高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4

立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
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1 1 E 1

A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1

A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
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X A CB
1
1
.
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3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
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2. 推广 ① 矩阵方程 A n n X n s B n s , 若A为可逆矩阵，则
X A
1
B .
② 矩阵方程 X m n A n n B m n ,
若A为可逆矩阵，则
X BA
1
.
③ 矩阵方程 A n n X n s B s s C n s , 若A, B皆可逆，则
,
, Z
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例2 设方阵 A 满足
证明： 证： 由 A 2
A
A 3 A 10 E 0,
2
与
A 4E
皆可逆，并求其逆. 得
A ( A 3 E ) 10 E ,
3 A 10 E 0,
1 故 A 可逆，且 即 A ( A 3 E ) E , 10 1 1 A ( A 3 E) 10 再由 A 2 3 A 10 E 0, 得 ( A E )( A 4 E ) 6 E ,
1)
2)
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解：1） ∴ A可逆.
1 2 3 2 2 1 2, 3 4 3
再由
A1 1 2 , A 2 1 6 , A 3 1 4 , A1 2 3 , A 2 2 6 , A 3 2 5 , A1 3 2 , A 2 3 2 , A 3 3 2 .
有 A 1
1 2 6 4 3 6 5 . A 2 2 2 2 A
*
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2)
A a 1a 2 a n ,
∴ 当 a i 0 ( i 1, 2 , , n ) 时，A可逆. 且由于
a 1 1 a1 1 a2 a2 1 an an a 1 1 1 a2 . 1 an
A
1
( AB ) A
1
E,
( AB )B
1
EB
1
,
即有， A 1 B , B 1 A .
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例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.
1 2 3 A 2 2 1 3 4 3
a1 a2 A an

3 5 1 2


4 6 2 1


2 23 0 8

注:
一般地，A
A
1
可逆 a d b c 0 , 1 d b c a . ad bc
a b c d
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练 习 已知
0 3 3 A 1 1 0 , AB A 2B, 1 2 3
一、可逆矩阵的概念
二、可逆矩阵的判定、求法
三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
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一、可逆矩阵的概念
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作
② 可逆矩阵A的逆矩阵
A
1
即
1 6
( A E )( A 4 E ) E , (A 4E)
1
故 A 4 E 可逆，且
1 6 ( A E)

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四、矩阵方程
1. 线性方程组
a 1 1 x 1 a 1 n x n b1 a n 1 x 1 a nn x n bn
* A A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n An1 An 2 Ann
称为A的伴随矩阵.
性质：
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AA A A A E
* *
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证：由行列式按一行（列）展开公式
T
T 1

A
1 T

.
(5) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A




1

A A
.
k
(6) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
k
1

A
1
.
注： 当
A 0
0
时，定义
A
k
A E,
(A
1
)

k
则有
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A A


A

,

A

ALeabharlann x1 x2 X= x n , b1 b2 B= b n
(1 )
令 A ( a ij ) n n ,
则（1）可看成矩阵方程 A X B . 若A为可逆矩阵，则
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X A
1
B.
1
A
1
.
也是可逆矩阵，且
A
1
A.
1
③ 单位矩阵 E 可逆，且 E
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E .
二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法
1、伴随矩阵 定义 设 A ij 是矩阵 A ( a ij ) n n 中元素 a ij 的代数
余子式，矩阵
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同理, A * A d E .
2、定理：矩阵A可逆当且仅当
非退化的），且 证：若 A 0 , 由 得 A
A
*
A 0,
（即A
A
1

*
A
*
.
*
A
AA A A A E

A
*
A E
1
A
A A
*
所以，A可逆，且 A
.
A
反过来，若A可逆，则有 A A 1 E , 两边取行列式，得 A
A
1
1

A
1
.
, 则 AB 亦可逆 , 且
3 若 A , B 为同阶方阵且均可逆
AB B A
1
1
1
推广
2012-9-22
A1 A 2 Am Am A
1
1
1 2
A1 .
1
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4 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
a k 1 A i 1 a k 2 A i 2 a k n A in a 1 l A1 j a 2 l A 2 j a n l A n j
d, 0,
d, 0,
k i k i l j l j
An1 An 2 Ann
d A .
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A
1
E 1.
A 0.
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3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 A B
则A、B皆为可逆矩阵，且 证： A B E
AB A B E 1 A 0, B 0.
A
1
E,
A.
B, B
1
从而
由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 再由
R ( A ) R ( B ),
又P可逆， 有 P 1 B A , 故 R ( A ) R ( B ).