高等代数第一章PPT课件
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高等代数课件ppt1.2
仍为数域 P上的多项式．
f ( x) g( x) 0
2) f ( x ), g ( x ) P [ x ]
① ( f ( x ) g ( x )) m ax( ( f ( x )), g ( x ))) ② 若 f ( x ) 0, g ( x ) 0, 则 f ( x ) g ( x ) 0, 且
个非负整数，形式表达式
a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0
其中 a 0 , a 1 , a n
P,
称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 等表示．
§1.2 一元多项式
注： 多项式
①
ai x
i
f ( x ) a n x a n1 x
加法： 若 n m , 在 g ( x ) 中令
bn bn 1 bm 1 0
则
f ( x) g( x)
n
( a i bi ) x i . bi ) x i
减法： f ( x ) g ( x )
§1.2 一元多项式
i0 n
(a
i0
i
乘法：
f ( x ) g ( x ) a n bm x
n m
( a n bm 1 a n 1bm ) x
n m 1
( a 1 b 0 a o b1 ) x a 0 b) x
i
s1 i j s
注:
f ( x)g( x)
( f ( x ) g ( x )) ( f ( x )) ( g ( x ))
高等代数第一讲代数系统PPT课件
带余除法; 带余除法;
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
高等代数课件
a21 a31 a22 a32 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
高等代数第一章ppt课件
有 a c . 其中 NM*c表示{x全体Z |正x 整 c数} N * {1,2,3, } 的集合.
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、 最小数原理
.
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的 恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯 一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、 最小数原理
.
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的 恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯 一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
第一章 高等代数多项式ppt课件
定义3：若P是一个，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个 数域。
例如：有理数集Q、实数集ppt精R选、版 复数集C都是数域。
9
多项式
§1 数环和数域
例 4 证明 Q (2 ) { a b2|a ,b Q }是一个数域。
例 5 设 P 1{ ab2|a,b Q }P 2 { ab3|a,b Q } P { a b 2 c3 d 6 |a ,b ,c ,d Q }
零多项式：系数全为0的多项式，即f (x)=0。对零多项式不
定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f (x)≠0。
首一多项式：首项系数为pp1t精的选版多项式。
13
多项式
二、多项式的运算
§2 一元多项式的定义和运算
定义4：设
f(x)anxnan1xn1 a1xa0,
g(x)bmxmbm 1xm 1 b1xb0,
34多项式因式分解定理不可约多项式的性质性质1若px是不可约多项式则只有c性质2若px是不可约多项式则对任意的多项式f性质3若px是不可约多项式且对任意两个多项式f推论1若px是不可约多项式且px35多项式设px为数域p上的次数大于零的多项式
高等代数
高等代数
Higher Algebra
湖南大学数学与计量经济学院
性质2 对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且g(x) | f (x) 那么f (x) = cg(x)和g(x) = df (x)，其中c，d为非零常数。
性质3 对任意的f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且 g(x) | h(x)，那么f (x) | h(x) 。(整除的传递性)
x2 2在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
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37
38
39
定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果
① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
40
作业：P17 1，2，3.
41
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
作业：P7 3--7.
17
1.2 映 射
一、映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个 映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A 中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y
与它对应.
24
设A是非空集合, jA : A A ，x x, 称为A上的 恒
等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的 恒等映射. 设f : A B 是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
25
四 单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f ( A) B ,那 么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映
设 f : A B 是一个映射. 对于x A ，x的象 f (x) B. 一切这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x Af}( A) { f (x) x A} ， 叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.
21
三、 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C 是B 到
g f : A C; (g f )(x) g( f (x))
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
g f
A
C
f
g
22
B
23
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
数n 有关的命题. 如果 ①当n=1 时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n=k+1 时命题也
成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.
证 设命题不对一切正整数都成立. 令S 表示使命 题不成立的正整数所成的集合. 那么S Ø . 于是，由最 小数原理，S 中有最小数h .因为命题对于n=1 成立，所 以h 1,从而h-1 是一个正整数. 因为h是S中最小的数，所 以 h 1 S . 这就是说当n=h-1 时，命题成立. 于是由②， 当n=h时命题也成立. 因此 h S. 这就导致矛盾.
定理1.2.1 令 f : A B是集合A 到B 的一个映射. 那
么以下两个条件是等价的：
① f 是一个双射； ② 存在B到A的一个映射g ，使得 f jA f g jB ， 再者，当条件②成立时，映射g是由f 唯一确 定 27 的.
28
29
30
31
32
作业：P14 3，4，9，10.
C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g，( f (x)) 是C中
的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g( f (x)) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
映射，这映射是由 f : A B 和 g : B C 所决定的，称
为 f 与g 的合成（乘积），记作g f . 于是有
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个 唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的
象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
有 a c . 其中 NM*c表示{x全 体Z |正x 整 c数} N * {1,2,3,} 的集合.
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
36
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
20
二、映射的相等及像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于 每一 x，都f有fg(x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的. 记 作 f g
例 令 f : R R, x | x |, g : R R, x x 2 那么 f g .
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A到B的一个映射.
如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，
那么就写作 f : x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) . 18
19
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
33
1.3 数学归纳法
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
34
一、 最小数原理
35
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是* 的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S 都
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
26
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f ( A) B
② f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
38
39
定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果
① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
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作业：P17 1，2，3.
41
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
作业：P7 3--7.
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1.2 映 射
一、映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个 映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A 中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y
与它对应.
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设A是非空集合, jA : A A ，x x, 称为A上的 恒
等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的 恒等映射. 设f : A B 是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
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四 单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f ( A) B ,那 么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映
设 f : A B 是一个映射. 对于x A ，x的象 f (x) B. 一切这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x Af}( A) { f (x) x A} ， 叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.
21
三、 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C 是B 到
g f : A C; (g f )(x) g( f (x))
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
g f
A
C
f
g
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B
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设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
数n 有关的命题. 如果 ①当n=1 时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n=k+1 时命题也
成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.
证 设命题不对一切正整数都成立. 令S 表示使命 题不成立的正整数所成的集合. 那么S Ø . 于是，由最 小数原理，S 中有最小数h .因为命题对于n=1 成立，所 以h 1,从而h-1 是一个正整数. 因为h是S中最小的数，所 以 h 1 S . 这就是说当n=h-1 时，命题成立. 于是由②， 当n=h时命题也成立. 因此 h S. 这就导致矛盾.
定理1.2.1 令 f : A B是集合A 到B 的一个映射. 那
么以下两个条件是等价的：
① f 是一个双射； ② 存在B到A的一个映射g ，使得 f jA f g jB ， 再者，当条件②成立时，映射g是由f 唯一确 定 27 的.
28
29
30
31
32
作业：P14 3，4，9，10.
C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g，( f (x)) 是C中
的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g( f (x)) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
映射，这映射是由 f : A B 和 g : B C 所决定的，称
为 f 与g 的合成（乘积），记作g f . 于是有
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个 唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的
象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
有 a c . 其中 NM*c表示{x全 体Z |正x 整 c数} N * {1,2,3,} 的集合.
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
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二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
20
二、映射的相等及像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于 每一 x，都f有fg(x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的. 记 作 f g
例 令 f : R R, x | x |, g : R R, x x 2 那么 f g .
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A到B的一个映射.
如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，
那么就写作 f : x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) . 18
19
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
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1.3 数学归纳法
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
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一、 最小数原理
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数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是* 的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S 都
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
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定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f ( A) B
② f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.