高等代数课件.
1) 交换矩阵的两行(列); 2) 用一个非零数乘矩阵的某一行(列), 即用一个非零数乘矩阵 的某一行(列)的每一元素; 3) 用某一数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列), 即用某一数 乘矩阵的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的对应元素上.
定理4.1.2 设A是一个m行n列
的
a11 a12 a1n
am1 am2 amn
am1 am2 amn bm
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
的系数矩阵和增广矩阵.
2.线性方程组的解 由定理4.2.1知, 对方程组
定理6.1.1 初等变换把一方程组变一个与它同解的方程组.
二. 矩阵及其初等变换
1.矩阵 由st个数cij排成的一个s行t列的表 c11 c12 c1t c21 c22 c2t cs1 cs2 cst
叫做一个s行t列(或st)矩阵. cij叫做这个矩阵的元素.
2. 矩阵的初等变换 矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行的 下列变换之一:
高等代数课件
陇南师范高等专科学校数学系
2008年制作
第六章 线性方程组
6.1 消元解法 6.3 齐次线性方程组解的结构 6.4 一般 线性方程组解结构 6.5 秩与线性相关性 6.6 特征向量与矩阵的对角化
6.1 消元解法
一. 线性方程组的初等变换 二. 矩阵及其初等变换 三. 矩阵与线性方程组的解 四. 例题
x11+ x22+…+ xnn=. 所以系数矩阵的列空间(的维数)与增广矩阵的列空间(的维数)相同. 即秩A=秩 A. 反之, 如果A=秩 ,A则1, 2,…, n的一个极大无关组也是 1, 2,…, n, 的一个极大无关组. 即可用1, 2,…, n线性表示. 这 说明线性方程组有解.
(4)
xir c x r,r1 ir1 crn xin dr
同解.
当r=n时, 方程组(4)有唯一解 xit dt , t 1,2, n. 当r<n时, 方程组(4)可以写为:
xi1 d1 - c x 1,r1 ir1 c1n xin
xi2
d2 - c x 2,r1 ir1 c2n xin
矩阵:
a21
a22
a2n
.
用行初等变换
am1 am2 amn
和第一种列初等变换可以把A化为以
下形式:
1 * * * * * r 0 * * * * *
行
0 0 0 1 * *
0
0
0 0
可进一步化为:
1 0 0 0 c1,r1 c1n 0 1 0 0 c2,r1 c2n
0 0 0 1 cr,r1 crn
0
0
0 0
三. 矩阵与线性方程组的解
1.线性方程组的系数矩阵与增广矩阵
a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1
称矩阵 a21 a22 a2n 和 a21 a22 a2n b2 分别为方程组
0 0 0 1 cr,r1 crn dr . (2)
0
0dr 1源自0 0 dm 而对增广矩阵的行的初等变换就是对其对应的方程组的初等变换, 而不涉及最后一列的第一种列变换无非是交换两个未知数的位置. 因此矩阵(2)就是一个与方程组(1)同解的方程组
一. 线性方程组的初等变换
例1.用消元法解线性方程组:
2x1 2x2 x3 x1 2x2 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
线性方程组的初等变换是指线性方程组的下述三种变换: 1) 交换两个方程的位置 2) 用一个非零数乘某一个方程 3) 用一个数乘一个方程后加到另一个方程
(5)
xir dr c x r,r1 ir1 crn xin
此时, 给未知量 xir1 , xir2 , , xin 任意指定取值, 它们连同它们代入(5)
后所决定的 xi1 , xi2 , , xir 将是方程组(4), 即方程组(1)的解. 因此, 这 时, 方程组(1)有无穷多个解. 称(5)为方程组(1)的一般解.
以下两种情形:
情形1. 当 r<m, 且dr+1, dr+2, … , dm不全为零时, 方程组(3)无解, 即方程组(1)无解.
情形2. 当r=m或r<m而dr+1, dr+2, … , dm全为零时, 方程组(3)与
xi1
c x 1,r1 ir1 c1n xin d1
xi2 c x 2,r1 ir1 c2n xin d2
四. 线性方程组有解的条件
考虑线性方程组:
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
分别用A和 A表示它的系数矩阵和增广矩阵, 用1, 2,…, n以及表 示增广矩阵的列向量. 如果方程组有解, 则存在数x1, x2,…, xn使
xi1
xi2
c x 1,r1 ir1 c1n xin d1 c x 2,r1 ir1 c2n xin d2
xir c x r,r1 ir1 crn xin dr
(3)
0 dr1
0 dm
的增广矩阵. 因此要方程组(1)解只需解方程组(3). 方程组(3)的解有
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm
的增广矩阵施行行变换和不涉及最后一列的列变换, 可把该增广矩
阵化为如下形式: 1 0 0 0 c1,r1 c1n d1 0 1 0 0 c2,r1 c2n d2
定理4.1.2 设A是一个m行n列
的
a11 a12 a1n
am1 am2 amn
am1 am2 amn bm
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
的系数矩阵和增广矩阵.
2.线性方程组的解 由定理4.2.1知, 对方程组
定理6.1.1 初等变换把一方程组变一个与它同解的方程组.
二. 矩阵及其初等变换
1.矩阵 由st个数cij排成的一个s行t列的表 c11 c12 c1t c21 c22 c2t cs1 cs2 cst
叫做一个s行t列(或st)矩阵. cij叫做这个矩阵的元素.
2. 矩阵的初等变换 矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行的 下列变换之一:
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第六章 线性方程组
6.1 消元解法 6.3 齐次线性方程组解的结构 6.4 一般 线性方程组解结构 6.5 秩与线性相关性 6.6 特征向量与矩阵的对角化
6.1 消元解法
一. 线性方程组的初等变换 二. 矩阵及其初等变换 三. 矩阵与线性方程组的解 四. 例题
x11+ x22+…+ xnn=. 所以系数矩阵的列空间(的维数)与增广矩阵的列空间(的维数)相同. 即秩A=秩 A. 反之, 如果A=秩 ,A则1, 2,…, n的一个极大无关组也是 1, 2,…, n, 的一个极大无关组. 即可用1, 2,…, n线性表示. 这 说明线性方程组有解.
(4)
xir c x r,r1 ir1 crn xin dr
同解.
当r=n时, 方程组(4)有唯一解 xit dt , t 1,2, n. 当r<n时, 方程组(4)可以写为:
xi1 d1 - c x 1,r1 ir1 c1n xin
xi2
d2 - c x 2,r1 ir1 c2n xin
矩阵:
a21
a22
a2n
.
用行初等变换
am1 am2 amn
和第一种列初等变换可以把A化为以
下形式:
1 * * * * * r 0 * * * * *
行
0 0 0 1 * *
0
0
0 0
可进一步化为:
1 0 0 0 c1,r1 c1n 0 1 0 0 c2,r1 c2n
0 0 0 1 cr,r1 crn
0
0
0 0
三. 矩阵与线性方程组的解
1.线性方程组的系数矩阵与增广矩阵
a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1
称矩阵 a21 a22 a2n 和 a21 a22 a2n b2 分别为方程组
0 0 0 1 cr,r1 crn dr . (2)
0
0dr 1源自0 0 dm 而对增广矩阵的行的初等变换就是对其对应的方程组的初等变换, 而不涉及最后一列的第一种列变换无非是交换两个未知数的位置. 因此矩阵(2)就是一个与方程组(1)同解的方程组
一. 线性方程组的初等变换
例1.用消元法解线性方程组:
2x1 2x2 x3 x1 2x2 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
线性方程组的初等变换是指线性方程组的下述三种变换: 1) 交换两个方程的位置 2) 用一个非零数乘某一个方程 3) 用一个数乘一个方程后加到另一个方程
(5)
xir dr c x r,r1 ir1 crn xin
此时, 给未知量 xir1 , xir2 , , xin 任意指定取值, 它们连同它们代入(5)
后所决定的 xi1 , xi2 , , xir 将是方程组(4), 即方程组(1)的解. 因此, 这 时, 方程组(1)有无穷多个解. 称(5)为方程组(1)的一般解.
以下两种情形:
情形1. 当 r<m, 且dr+1, dr+2, … , dm不全为零时, 方程组(3)无解, 即方程组(1)无解.
情形2. 当r=m或r<m而dr+1, dr+2, … , dm全为零时, 方程组(3)与
xi1
c x 1,r1 ir1 c1n xin d1
xi2 c x 2,r1 ir1 c2n xin d2
四. 线性方程组有解的条件
考虑线性方程组:
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
分别用A和 A表示它的系数矩阵和增广矩阵, 用1, 2,…, n以及表 示增广矩阵的列向量. 如果方程组有解, 则存在数x1, x2,…, xn使
xi1
xi2
c x 1,r1 ir1 c1n xin d1 c x 2,r1 ir1 c2n xin d2
xir c x r,r1 ir1 crn xin dr
(3)
0 dr1
0 dm
的增广矩阵. 因此要方程组(1)解只需解方程组(3). 方程组(3)的解有
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm
的增广矩阵施行行变换和不涉及最后一列的列变换, 可把该增广矩
阵化为如下形式: 1 0 0 0 c1,r1 c1n d1 0 1 0 0 c2,r1 c2n d2
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高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教.
V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合， 如果＝ 1＋ 2 ， ＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2， 因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ， 有 ＋ ＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性 任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
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例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴 与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的 直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空 间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章 线性空间
§8.2 子空间及其交与和 子空间的直和
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
高等代数课件 第五章
Pij 1 Pij
Di
(k )1
Di
(1) k
Tij (k)1 Tij (k)
引理5.2.1 A 行 A ，则 A可逆 A可逆 .
（初等变换不改变可逆性）.
定理5.2.1 任一m×n矩阵A总可以通过初等变
换化为
A
Ir Omr
,r
Or ,n r Omr ,n r
证 由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2
n
bmn
A 和B 加法定义为:
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
证
AA1 A由1 A I
有 (A1)A A(A.1) I
二 矩阵可逆的判别
定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵
称为初等矩阵.
n=4
0 0 0 1
P14
0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 00
1 0 0 0
D3
(k
)
0 0 0
1 0 0
0 k 0
0
0 1
1 0 0 0
T24
(k
矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其
中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）
(1) 加法交换律 A B B A
高等代数课件-§13整除的概念
04 整除的应用
在多项式分解中的应用
01
整除是多项式分解的重要工具，通过整除可以找到 多项式的根，从而将其分解为因式。
02
利用整除性质，可以将多项式中的项进行分组，从 而简化多项式的结构。
03
在进行因式分解时，整除可以帮助确定公因式，使 分解过程更加简便。
在矩阵运算中的应用
01 在矩阵运算中，整除可以用来计算行列式值，从 而判断矩阵是否可逆。
应用场景
在高等代数中，最大公因式主要用于 解决多项式的整除问题，而最小多项 式则更多地应用于矩阵的特征值计算 和求解方程组等领域。
03 欧几里得算法
欧几里得算法的原理
欧几里得算法基于辗转相除法的 原理，通过不断将大数除以小数， 直到余数为0，最终得到两个数
的最大公约数。
该算法基于数学归纳法的原理， 通过递归的方式不断缩小问题规
最小多项式的定义与性质
最小多项式的定义
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是满足条件的最小次数的 多项式。
唯一性
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是唯一的。
整除性
最小多项
关系描述
最大公因式和最小多项式在数学上存 在一定的联系，但它们分别描述了不 同的概念。
，从而找到方程组的解向量。
03
整除还可以用来验证解的正确性，确保找到的解满足
原方程组。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
模，最终得到最大公约数。
欧几里得算法的原理还可以用数 学公式表示，即gcd(a, b) =
gcd(b, a mod b)，其中mod表 示取余操作。
欧几里得算法的实现步骤
1 2
初始化
选择两个需要求最大公约数的数a和b，其中a>b。
高等代数课件-§3--2 柱面和锥面
x1 x 0 t , y 1 y 0 t , t 0. z z t, 0 1
从而有 F ( x1 , y1 , z1 ) F ( x0 t , y0 t , z 0 t ) t n F ( x0 , y0 , z 0 ) 0. 故M1在S上，从而整条直线OM0均在S上，这说明 S是锥面.
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱 面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的 一个定点 M 0 的连线组成的曲面称为锥面. M 0称为 顶点，C称为准线，C上的点与 M 0 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
x0 ,y0 ,z0 , 得： x-u =y 2 + z + 2u 2 x-u = 2 z + 2u
4x +25 y +z +4xz-20x-10z =0
2 2 2
x0 =y +z x0 = 2 z0 x =x0 +u y =y 0 z =z0 -2u
§2
柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移 动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为 准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每 条母线均相交的曲线均可作为准线。 n) 2.设一个柱面的母线方向为v (l , m,， 准线C 的 方程为 F ( x , y , z ) 0,
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线 上，从而有： f ( x , y ) 0
高等代数第四章 矩阵PPT
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
高等代数
东北大学秦皇岛分校
第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
高等代数
东北大学秦皇岛分校
矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
高等代数PPT (55)
第三章n维向量空间3.3 向量组的秩3.3.3 线性表出与秩的关系定理3.设向量组 1, …, r 可由 1, …, s 线性表出, (1) 若r > s , 则 1, …, r 线性相关; (2) 若 1, …, r 线性无关,则r ≤ s . 证明:(1) 不妨设向量均为n 维列向量, 令A =( 1, …, r ), B = ( 1, …, s ),因 1, …, r 可由 1, …, s 线性表出, 故存在K =(k ij )s ×r 使得: A n ×r =B n ×s K s ×r 三、线性表出与秩的关系多组由少组表出, 则多组相关AX 0 = BKX 0 = B 0 = 0.于是AX = 0有非零解X 0,对KX = 0, 变元数r > 方程数s , 有非零解X 0:因此 1, …, r 线性相关.(2) 是(1) 的逆否命题.设S : 是T 的一个极大无关组, 则性质1. 1,,s 证明:(1) T 中任取一个向量α:[1] 若α是S 中的向量, 当然可以由S 线性表出.[2] 若α不是S 中的向量, 添入S 中, 得s + 1 个向量1,,,,s S 是T 的极大无关组, 因此T 中任意s + 1个向量线性相关, 特别地,(2) 显然部分组S 可由整体向量组T 线性表出, 结合(1) 即得.(1) T 可由S 线性表出;(2) T 与S 等价;α可由S 线性表出.1,,,s 线性相关1:,,s S 线性无关两向量组秩的关系向量组Ⅰ 可由向量组Ⅱ 线性表出组Ⅰ 可由组Ⅱ 线性表出组Ⅰ与组Ⅱ 等价组Ⅰ 的秩r 1 ≤ 组Ⅱ 的秩r 2.秩I = 秩II.证明:设为Ⅰ 的极大无关组11,...,r 为Ⅱ 的极大无关组21,...,r 可由线性表出11,...,r 21,...,r 线性无关11,...,r推论: 12r r。
高等代数与解析几何课件
•
b定义为一个
a • b | a || b | cos a,b .
量 讨论内积、向量的长度、两个向量的夹角的关系.
代
a
b
数
b0
第
命题6.3 向量a与b垂直的充分必要条件是 ：ab 0.
一 章 a,
b,
定理6.4 向量的内积有下列性质：对任意的向量
c以及实数k , 有 (IP1)对称性质a
要条件是：
a
b
c
0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证明：对角 线互相平分的四边形
代 是平行四边形 . D
O
C
数
A
B
第
向量的标量乘法
一
定义1.3 实数k与向量a的标量乘积ka是一个向量， 它的长度是a的长度的| k | 倍，当k 0时它的方向与a
章 向
相同，当k 0时方向与a相反.
（对M任1）意k的(m向a量 ) a(,kbm以)a及; 实数 k有：
（3）推广到有限个点 线性流形.
量
（4）线性流形的基本特征.
（5）单纯形的概念.
代
例2.2 证明线性流形LM（A1，A2，，An )中任意
数 两点M1，M 2一定包含在这个线性流形内.
第
思考题：线性流形的基本特征.
（1）“直”、“平”，（2）是否包含零向量.
一
例2.3 设a和b是两个非零向量.试证由它们的线性
数
第
问题：（1）讨论两个非零向量共线的性质；
一
（2）讨论三个点共线的条件； （3）讨论三个向量共面的性质；
章 （4）讨论四个点共面的条件.
（5）将以上问题推广或一般化.
高等代数课件 第七章
二、坐标变换
设V是F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,,n}
是它的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系?
设
x11 x22 xnn
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L(V)对于加法和数乘来说作成数 域F上一个向量空间.
二、线性变换的积
设 , L(V ),容易证明合成映射 也是V上的 线性变换，即 L(V ). 我们也把合成映射 叫
坐标． 3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于
另一个基的矩阵。 三、重点难点:
线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵。
一、线性变换的矩阵
设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一 个线性变换，取定V的一个基 1,2,,令n,
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
二、教学目的:
掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的多 项式.
三、重点难点:
会做运算.
一、线性变换的加法和数乘
令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线 性映射叫做V 的一个线性变换.
我们用L(V)表示向量空间和一切线性变换所成的 集合，设 , L(v), k F, 定义
所以 是V的一个线性变换