常微分方程复习内容 第三版
常微分方程第三版全文
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程(王高雄)第三版 3.4
(3.23)
曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程
( x, y , c ) 0 ' c ( x , y , c ) 0
消去参数c而得到的曲线 F ( x, y) 0之中,
曲线F ( x, y) 0称为(3.23)的 c 判别曲线.
注: c 判别曲线有时除包络外还有其它曲线.
9 3 x , 对 y 0 x0 c0 , 2 l 在 x0 , y0 点的切线的斜率为 2 c0 3 . y x 3 k c0 1, y 2 2 2 2 所以 l1 * : y x 不是 ( y c) ( x c) 0 的包络;
y c,
于是得到一支c-判别曲线
l1 * :
2、将
y x;
代入(2), 得另一支c-判别曲线
xc
2 0 3
l2 * :
2 4 2 y x x . 3 9 9
显然
2 2( x c ) x y 2( y c)
考察 解之得, 对
消去参数p便得方程的一个解.
如果令 则
( x, y, c) xc f (c) y 0,
'c ( x, y, c) x f ' (c) 0,
解: 令
y ' p, 求得它的通解为: ( y c) 2 ( x c) 3 0.
( x, y, c) ( y c) 2 ( x c)3 0, 令 ( x, y, c) 2( y c) 3( x c) 2 0. 消去参数c,得到 c y x 和 y x 4 . 27 2 3 经检验: y x 不是 ( y c) ( x c) 0 的包络,从而
常微分方程(王高雄)第三版
1 积分曲线 一阶微分方程
dy f (x, y) dx
的解 y(x所 ) 表x示 y平面上的一,条曲
称为微分方程的积分曲线.
而其通 y解 (x,c对 ) 应 xy平面上的一, 族
称这族曲线为族 积 . 分曲线
.
2 方向场
设函 f(x数 ,y)的定义 D,在 域 D内 为每(一 x,y)处 点 ,都画 上一f个 (x,y以 )的值为 ,中 斜心 率 (x,在 y)点的,线 称段 带 有这种直线 D为 段方 的 d程 y 区 f(x域 ,y)
dt
yn1
fn1(t;
y1,L
yn)
yn
fn(t;y1,L yn)
.
dx
Lorenz方程
dt dy
dt
a(y xz
x) cx
y
dz d t
y bz
Volterra两种种群竞争模型
dx d t
x(a bx cy )
dy
d t
y (d ex
fy )
c1
c2 cn
(,, ,(n1)) (c1,c2, ,cn)
c1
c2 cn 0
(n1) c1
(n1) c2
(n1) cn
其中 (k)表示ddkxk .
.
例3 验证 yc1exc2exc3e2x3是微分方
y'"2y"y' 2y6 的通. 解 证明: 由于 y' c1 exc2ex2c3e2x
七、驻定与非驻定
dyf(y),yDRn dt
与t无关，驻定系统
dyf(t,y),yDRn dt
与t有关，非驻定系统
.
八 相空间与轨线
常微分方程(第三版)
常微分方程（第三版） 习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
《常微分方程》(第三版)
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123 yxy dx dyxy 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y ydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln s in ln 07ln s gn arcs in ln s gn arcs in 1s gn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x ar ctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
《常微分方程》(第三版)
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123 yxy dx dyxy 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy yydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsinln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x xyc x x u dx xx du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程(王高雄)第三版 3.3
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 (3.1) '
的解y ( x, x0 , y0 )都在区间 [a, b]上存在, 并且 ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) , x [a, b] 则称初值问题(3.1) '的解y ( x, x0 , y0 )在点( x0 , y0 )
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
证明 在(3.1)满足y ( x0 ) y0的解存在区间内任取一值x1 ,
y1 ( x1 , x0 , y0 ), 则由解的唯一性知, (3.1)过点( x1 , y1 )与过点( x0 , y0 )的解是同一条积分曲线 , 即此解也可写成: y ( x, x1 , y1 ), 且显然有: y0 ( x0 , x1 , y1 ),
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理)
方程 条件: I. f ( x , y ) 在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件;
dy f ( x, y) , dx ( x, y) G R2 (1)
II. y ( x , x0 , y0 ) 是(1)满足( x0 , y0 ) G 的解,定义
C 时,有 S G G 覆盖定理,存在N,当G i i 1 对 0 ,记 y , S ), min , / 2 d (G
N
Ci
G
L max L1,, LN 则以 为半径的圆,当其圆心从S的
G
左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D
0
义, 其中 a x0 b, 则对 0, ( , a, b) 0, 使当
常微分方程复习提要全文
式
dyi (x) dx
fi (x, y1(x),
, yn (x)), (i 1.2
n)
则称 y1(x), , yn (x) 为微分方程组(3.1)在区间 [a,b] 的一个解。
通解及通积分：
含有n个任意常数 c1, cn 的方程组（3.1）的解
y1 1(x, c1, cn )
yn
n (x, c1,
齐次方程组的解组线性相关性的判别法：
推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性 无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点
不为零.
解组
线性相关 W ( x0 )=0 线性无关 W ( x0 ) 0
我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解 称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。
（其中F为已知的函数）
定义（P3） ：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的 阶数.
定义（P4） ：如果一个微分方程关于未知函数 及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程， 否则称之为非线性微分方程.
定义（P4）: 设函数 y x在区间I上连续，且有
dy1
dx
a11( x) y1
a12 ( x) y2
dy2 dx
a21( x) y1
a22 ( x) y2
dyn dx
an1( x) y1
an2 ( x) y2
a1n ( x) yn f1( x),
a2n ( x) yn f2 ( x), （3.6）
ann ( x) yn fn ( x).
解法：两边除以yn ，得 yn dy p( x) y1n f ( x) dx
令z y1n ，则 dz (1 n) yn dy ,代入方程
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第一章绪论（5道选择题和填空题5*3=15）
基本概念：常微分方程、偏微分方程、微分方程的阶的概念；线性和非线性微分方程的概念；解：隐式解、通解、特解的概念；积分曲线的概念。
考选择或填空题。
第二章一阶微分方程（每种类型都会考一道题目，计算题，五道8*5=40）
2.1 变量分离方程和变量变换
2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为变量分离方程的类型1) 2) 2.2 线性方程与常数变易法（公式）
一阶齐线性微分方程、一阶非齐线性微分方程、伯努利方程
2.3 恰当方程和积分因子
2.3.1 恰当方程：定义、判别方法、求解方法
2.3.2 积分因子：定义、特殊类型方程的积分因子的求法 第三章一阶微分方程解的存在定理
解的存在唯一性定理的内容及证明过程。
（五个小命题）
近似计算和误差估计；
第四章高阶微分方程
4.1 线性微分方程的一般理论
4.1.1 齐线性方程解的性质与结构：定理2－定理6
4.1.2 非齐线性方程与常数变易法：定理7 常数变易法
4.2 常系数线性方程的解法
4.2.2 复值函数与复值解：复值函数的运算性质、定理8、定理9
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程：欧拉待定指数函数法、根据特征根的性质确定；方程的基本解组、欧拉方程的求解
4.2.3 非齐线性方程－比较系数法
类型 I 类型II 综合以上知识高阶方程（三、四阶齐次、二阶非齐次未知数8*3=24）
第五章线性微分方程组
5.1 解的存在唯一性定理
5.1.1 记号和定义：将n 阶线性微分方程的初值问题化为等价的微分，方程组的初值问题；
5.2 线性微分方程组的一般理论
5.2.1 齐线性微分方程组：定理2－定理6 定理1＊定理2＊
5.2.2 非齐线性微分方程组：定理7 定理8 常数变易公式
5.3 常系数线性微分方程组
5.3.1 矩阵指数的定义和性质：性质、定理9、例1、例2
5.3.2 基解矩阵的计算：定理10、计算公式(5.52)和(5.61)
综合以上知识解方程组方程组（2-3个未知数8*2=16）
第六章非线性微分方程
6.1 引言：基本概念：零解稳定、渐近稳定、不稳定；按线性近似决定微分方程组的稳定性；定理1、定理
2、利用线性近似决定方程组稳定性
6.3 相平面, 含有两个未知函数的线性常系数方程组奇点的类型及稳定性（五种类型） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y g dx dy 2
22111c y b x a c y b x a dx dy ++++=)(][111t f x a dt
x d a dt x d x L n n n n n =+++≡-- t
m m m e b t b t b t f λ)()(110+++≡- t e t t B t t A t f αββ)sin )(cos )(()(+≡。