常微分方程主要内容复习
常微分方程复习资料
（16）
2
（18）
1 a2 x2
dx arc sin
x C a
（19） （20）
1 a x
2 2
dx ln( x a 2 x 2 ) C
dx x a
2 2
ln | x x 2 a 2ln | cos x | C （22） cot xdx ln | sin x | C （23） sec xdx ln | sec x tan x | C （24） csc xdx ln | csc x cot x | C 注：1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把 x 换成 u 仍成立， u 是以 x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式：
f ( y, y)型, 例如：yy ( y) 2 0
dp dp , 代入原方程得yp p2 0 dy dy dp dy 当y 0, p 0时，约去p并分离变量得 p y dy p C1 y C1 y dx y C2 eC1x 令y p，则y p
常微分方程复习资料
一.基本概念： 含有一元未知函数一 y(x)（即待求函数）的导数或微分 的方程，称为常微分方程。 显然一个微分方程若有解，则必有无穷多解； 若 n 阶微分方程的解仲含有 n 个独立的附加条件（称为 定解条件）定出了所有任意常数的解称为特解； 微分方程连同定解条件一起，合称为一个定解问题； 当定解条件是初始条件（给出 y, y, y,, y ( n1) 在同一点 x0 处 的值）时，称为初值问题。 二.一阶微分方程 y ( x, y) 的解法
积分类型 1. f (ax b)dx 1 f (ax b)d (ax b) (a 0) a 1 2. f ( x ) x 1 dx f ( x )d ( x ) ( 0)
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
常微分方程期末复习提纲
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解
dy P(x) y Q(x) dx
(1)
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
dy dc(x) e p(x)dx c(x) p(x)e p(x)dx dx dx
代入(1)得
X x Y y ,
则方程化为
dY a1 X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 ,
0
得解 yx
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
第一章：绪论
一、常微分方程与偏微分方程
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关 系式称为微分方程.
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这 样的微分方程称为常微分方程.
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称 为偏微分方程.
二、微分方程的阶
定义2 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的 阶数称为微分方程的阶数.
方程两边同乘以 1 , 得
( y)
1 dy f (x)dx 0,
( y)
1
( f (x)) 0 ( y)
y
x
是恰当方程.
对一阶线性方程:
dy (P(x) y Q(x))dx 0, 不是恰当方程.
方程两边同乘以e P(x)dx , 得
e
P(
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点第一章 绪论1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要）例：03)(22=-+y dx dyx dx dy（1阶非线性）； x e dx yd y=+22sin 。
2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。
（以书后练习题为主） （习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________.第二章 一阶方程的初等解法1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要）2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要）3.线性非齐次方程的常数变易法；4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程；(2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1)32(1'2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221'y x y -=为：线性方程。
5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子；6.恰当方程的解法（分项组合方法）。
（重要）第三章 一阶方程的存在唯一性定理1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ；2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题3.1的1，2，3题）第四章 高阶微分方程1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质；2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系；3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要）4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）；5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（，特解的确定（比较系数法、复数法比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-¢¢，确定特解类型？（习题4.2相关题目）6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
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g y 0
两端积分得通解:
g y dy f x dx
1
齐次方程
y y 如果一阶微分方程 可以化成 d dx x 的形式，则称此方程为齐次微分方程． 这类方程的求解分三步进行： dy y （1）将原方程化为方程 dx 的形式． x y （2）作变量代换 u x u 仍是 x 的函数）， 以 u 为新的未知函数（注意， 就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方 程来求解．
将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的 常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为 ln x ，即得欧拉方程的解。
微分方程:
y'' py' qy 0
1 2
的通解
r1 r2
y C1e r x C2 e r x y (C1 C2 x)e
r1 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
r1 , 2 i ( 0)
二阶常系数非齐次线形微分方程
x
求齐次方程的通解
一阶线性微分方程
形如
dy P( x) y Q( x) dx
(1)
的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连 dy 续函数，且方程关于y及 dx 是一次的，Q(x)是自由项. 如果Q( x) 0，则称
dy P( x) y Q( x) dx
为一阶线性非齐次方程，
不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分
方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.
可分离变量的微分方程
1．定义 形如
dy f x g y dx (1)
的方程称为可分离变量的方程. 特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积， 其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数 2 ．解法 :
一、二阶常系数线性微分方程
二、 常系数线性齐次微分方程解的结构
三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法
(1) 的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
方程(1)成为
y'' P( x) y' Q( x) y 0 (2)
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
的实部
欧拉方程
形如 xn y(n) p1xn1 y( n1) pn1xy pn y f (x) 的方程称为欧拉方程，其中 p1 , p2 , pn 为常数。 欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的 阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 t 解法：作变量替换 x e 或t ln x, 将自变量x换成t， 则有 dy dy dt 1 dy d 2 y 1 d 2 y dy
/ 0 时，方程(1) 称为二阶线性齐次微分方程，当 f ( x) 称为二阶线性非齐次微分方程. 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程
y'' py' qy 0
(3)
(4)
为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程 / 为二阶常系数线性非齐次微分方程.
y'' py' qy f ( x) ( f ( x) 0)
化简后，方程(2)的通解为
y Ce
P ( x )dx
，
(3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解： P ( x )dx ， (4) 设 y C ( x )e 是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数, 将(4)式求其对x的导数，得
P ( x )dx P ( x )dx dy C' ( x)e P( x)C ( x)e ， dx 代入方程(1)中，得
如果Q( x) 0，即
为一阶线性齐次方程.
dy P( x) y 0 dx
(2)
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下: dy P( x) y 0 (2) 的通解： 1.先求 dx dy P( x)dx 分离变量后得 y
任意常数写成ln C的形式，得 ln y P( x)dx ln C，
微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程; 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程； 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分 方程的阶.
微分方程的解、通解与特解 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程 的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即
C' ( x)e
P ( x )dx
P( x)C ( x)e
P ( x )dx
P( x)C ( x)e
P ( x )dx
Q( x)，
化简后，得 P ( x ) dx C' ( x) Q( x)e ， 将上式积分，得
P ( x ) dx C ( x) Q( x)e dx C，
二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：
y py qy f ( x)
当 f ( x) pm ( x)e x 时，二阶常系数非齐次线形 微分方程具有形如 y* xk Qm ( x)e x 的特解，其中 Qm ( x) 是与 P 同次（m m ( x) 次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、 1或2。
当
f ( x) Pm ( x)e x cos x
或
f ( x) Pm ( x)e x sin x
时，
由欧拉公式知道， x P ( x ) e cos x m 分别是
i ) x x 和虚部。 Pm ( x)e Pm (x)e (cos x i sin x) 而方程 具有形如 ( i ) x y py qy P ( x ) e (9) m 的特解，其中 是与 * k ( i ) x P Q ( x是不是特征 ) y x Q ( x ) e m ( x) 同次（m m 次）的多项式，而k按 m 方程的根、是特征方程的单根依次取 0或1。 方程 和 x x y py qy P ( x ) e sin x m y py qy P ( x ) e cos x m 9）式的特解的实部和虚部。 的特解分别是（
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1, C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤： 1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根； 2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出 微分方程的通解.可使用下表:
特征方程: r 2 pr q 0 的两个根r1,r2 两个不相等的实根 两个相等的实根 r1 r2 一对共轭复根
(5)
其中C为任意常数.
把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为
ye
P ( x )dx
通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意 常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程 的通解，这种方法称为常数变易法.
P ( x )dx ( Q( x)e dx C ).
(6)
二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构
定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程 (3)的两个解，则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 也是方程(3)的
解，其中C1, C2是任意常数.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微
分方程(3)的两个线性无关的特解，则
dy f ( x, y ) dx
y y ux 由 u ，得 x
两端求导，得
dy du ux dx dx
ux du (u ) dx
代入方程中，得
这是变量可分离的微分方程．分离变量并积分， du dx 得
y （3）求出积分后，再以 u 代回，便得到所 x
(u) u
dt dx x dt dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 同理，有 3 3 ( 3 3 2 2 )， dx x dt dt dt
dx
,
2
2
(
2
)，
如果采用记号D表示对自变量t的求导运算 则上述结果可以写为 2
d dt
xy Dy, x y D ( D 1 ）y , x3 y D( D 1 ） ( D 2）y, x k y ( k ) D( D 1 ） (D k 1 ）y。