最新常微分方程第二版答案第6章6-1知识点复习考点归纳总结参考
常微分方程第六、八章习题答案
第六章 线性微分方程组、习题6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dt dy)(=的通解，其中分别为：)(t A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t ty y y t y t C t C y y y tC y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;0,00)(A .12211或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解：由）（ .0.0)(,,0.,1011,1011)(A .2212112221212121C e te e y e te e t ey te y y e y eC y y y y y y y y dt d t t t t t tt t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解：由）（φCt t t t y t t t t t ty t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;0110)(A .3212122212211122112212121故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解：由）（φ.0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(..)()(,001010100,001010100)(A .4321212121313123212223213311133111223321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t ttt t t tttt t t t t t t ttt t t dt dy tdt dy dtdy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y eC y y a y y dt dy t 故通解为线性无关即为方程祖的三个解。
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
高数应用数学 第6章 常微分方程
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
100 cm
(200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流
出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满 了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为
一、问题的提出
数学知 识
基本科 学原理
微分 方程
例 1 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动
时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间列
车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解： 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
2.微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
【总结】常微分方程知识总结
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。
注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
《常微分方程》第六章 非线性微分方程
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).
高数答案（全集）第六章参考答案
高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
常微分方程第二版答案第6章6-
习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组 y t A dtdy )(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
（1）方程组的分量形式为：211y y dt dy += ，22y dtdy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为()0tt t e te t e ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭又 2det ()0t t e Φ=≠ 。
因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t e te c e c y y 21210（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1221y dtdy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。
这样就求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。
故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ① ②（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪⎨⎧='='='132231y y y y y y 解 ①+③得3131)(y y y y dtd +=+ 解 ①-③得 1313()d y y y y dt -=- 解之得 131132 t t y y ke y y k e --+=-=由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----tt t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133******** 又由②得 t e c y 22=由此可求得方程组的一个解矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t t t t te e e e e t 0000)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 00003213213．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关，则存在不全为零的三个常数 321,,c c c 使得,000000012321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++02321①而①式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。
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习 题 6-1
1． 求出齐次线性微分方程组
y t A dt
dy
)(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
（1）方程组的分量形式为：
211y y dt dy += ，22y dt
dy
= 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和
t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为
()0
t t t e te t e ⎛⎫Φ=
⎪⎝⎭
又 2det ()0t
t e Φ=≠ 。
因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛t t t e te c e c y y 21210
（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==122
1
y dt
dy y dt dy
由①、②可和 21
120d y y dt
+=
由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。
这样就
求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫
Φ= ⎪-⎝⎭
又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此
)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。
故方程组的通解为1122cos int
int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
① ②
（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪
⎨⎧='='='13
22
31y
y y y y y 解 ①+③得
3131)(y y y y dt d
+=+ 解 ①-③得 1313()d
y y y y dt
-=- 解之得 131132 t t y y k e y y k e --+=-=
由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----t
t t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133121121
21 又由②得 t e c y 22=
由此可求得方程组的一个解矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=Φ--t t t t t
e e e e e t 0
00
0)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 0000321321
3．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关，则存在
不全为零的三个常数 321,,c c c 使得
,000000012321=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++0
2321①而①式之左端是一个不高于二
次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。
①
② ③
4．试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组
y x A dx
dy
)(=与y x B dx
dy
)(= 有一个相同的基解矩阵，则 )()(x B x A =
证：设这两个方程组的相同基解矩阵为 )(x Φ那么，必有 []0)(det ≠Φt ,故)(x Φ可逆,设逆矩阵为)(1x -Φ,同而
1
()()()d A x x B x dx
-Φ=
Φ= 证毕
6．设当b x a <<时，非齐次线性方程组
()()dy
A x y f x dx
=+（1）中的()f x 不恒为零。
证明（1）有且至多有 n+1个线性无关解。
证 设)(),(1x y x y n 是方程组（1）的相应齐次方程组的n 个线性无关的解，)(x ϕ是（1）任意一个特解，则 )()(,),()(),()(21x x y x x y x x y n ϕϕϕ+++
是(1)的n+1个线性无关解.这是因为,若存在常数 121,,,+n n k k k k 使得
()()0)()()()()(111≡++++++x k x x y k x x y k n n n ϕϕϕ 则一定有 1210n n k k k k +==== 否则有
1
1121
121
()()()n
n n n k k x y x y x k k k k k k ϕ++--=
+
+
++++++
这与)(x ϕ为(1)的解矛盾，因此，0121≡++++n n k k k k 假设可知021==-==n k k k 故01=+n k ，所以（1）n+1个线性无关的解。
又设 )(x ϕ是（1）在(a,b)上的任一解，12
1 n y y y +是（1）的n+1个线性无关的
解， 那么，),()(1x y x -ϕ2()(),
,x y x ϕ-)()(1x y x n +-ϕ 是(1)的对应齐次方程组
y x A dx
dy
)(= （2） 的解，而（2）最多有n 个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数,,,,121+n k k k 使得 ),(b a x ∈
()()0))(()()(112211≡-+-+-++n n y x k y x k y x k ϕϕϕ
即 ()112211121)(++++++=+++n n n y k y k y k x k k k ϕ 显然，0121≠+++n k k k ， 否则，存在不全为零的常数 ,,,,121+n k k k 使得
0)()()(112211≡+++++x y k x y k x y k n n 这与)(,),(),(121x y x y x y n + 线性无关矛盾，故
1
11121
121
()()()n
n n n k k x y x y x k k k k k k ϕ+++--=
+
+
++++++
这说明（1）的任一解，都可由这n+1个线性无关的解的线性表出，同时也说明（1）的任意n+2个解线性相关，故方程组（1）在（a ，b ）上至多有n+1个线性无关解。