《常微分方程》知识点

《常微分方程》复习资料

1．（变量分离方程）形如

()()dy

f x y dx

?=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ?分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ?≠时，将（1.1）写成

()()

dy

f x dx y ?=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得

()()dy

f x dx c y ?=??+（1.2）

，由（1.2）所确定的函数(,)y x c ?=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ?=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如

(dy y

g dx x

=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy du

x u dx dx

=+）；

（2）解以上的分离变量方程；

（3）变量还原．

3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()

()()0dy

a x

b x y

c x dx

++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dy

P x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dy

P x y dx

=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dy

P x y dx

=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ?=，为任意常数；

c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的

解，则

()c x ()()p x dx

y c x e ?=()()()()()p ??p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()

()p x dx dc dx

x Q x e -?=)，积分得；

()p x dx c ?=+ ()()c x Q x e -?（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dx

p x dx

y e Q x e dx -??c

=+? ． 4．（伯努利方程）形如

()()n dy

P x y Q x y dx

=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1n

z y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx

=-+-；

（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．

5．（可解出的方程）形如y (,)dy

y f x dx

=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dy

p dx

=

，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f p

p x p x

???=+???（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方

程；

（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ?=，将它代入（5.2）

，即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ?=，为任意常数；

c

（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)

((,),)

x p c y f p c p ψψ=??

=?，其中

p 是参数，是任意常数；

c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0

(,)x p c y f x p Φ=??

=?

，其中p 是参数，是任意常数．

c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dy

x f y dx

=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dy

p dx

=

，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p

=代入，得1f f p

p y p y ???=+???（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方

程；

（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)

(,,)0x f y p y p c =??Φ=?

，其中p 是

参数，是任意常数．

c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dy

F x dx

=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dy

p dx

=

，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()

()x t p t ?ψ=??

=?

，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ?=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψ?'c =

+?；

（4）通解为()

()()x t y t t dt ?ψ?=???'=+??

?c ．

8．（不显含x 的方程）形如(,)0dy

F y dx

=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．

解法：（1）设dy

p dx

=，则方程变为；

(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()

()y t p t ?ψ=??

=?

，（关键一步也是最困难一步）；

（3）把()y t ?=，()p t ψ=代入dy dx p =

，并两边积分得()

()

t x dt c t ?ψ'=+?； （4）通解为()()()t x dt c t y t ?ψ?'?

=+??

?=?

?． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()

(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．

(1),,k y y -' 解法：令()

()k y

z x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，

()()n n y z -=k ()

(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x

将()

()k y

z x =()

y

f =连续积分次，可得通解．

k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．

解法：设，则()y 2

22,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy

'''''=

==+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为

1()(,,,)n 1P y y C C ?-== dy dx

，原方程通解为11(,,,)n n dy

x C y C C ?-=+? ．

11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)

(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即

(1)(,,,,)0n d

x y y y dx

-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)

(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．

12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．

()

()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx

解法：可通过变换y e =?

将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2

()

(1),(),,(,,,)zdx

zdx

zdx

n n y ze y z z e y

z z z e -???'''''==+=Φ (1)

(,,,,)0n f x z z z -'，

代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ?dx ()z x (n -1)= ．

13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00

(,)

()dy

f x y dx

y x y ?=???=?（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,

h a =(,)x y R M Max f x y ∈=b

M

．

初值问题（13.1）等价于积分方程0

0(,)x

x y y f t y =+

?

dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())x

n n

n x x y x x y f ???ξ?-=??

?=+???dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．

1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0

(,,)0

c x y c x y c Φ=??

'Φ=?消去参数而得到的曲线

之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．

15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dy

F 15.1）的奇解包含在由方程组?

去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0

c F x y p F x y p =?'=?p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y x

f dx

dx ??

=+ ??

?（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠

解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dy

p dx

=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，

得

[()]0．dp

x f p dx '+= 如果0dp dx

=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．

如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0

()

x f p y xp f p '+=??

=+?或

()0

()x f c y xc f c '+==+??

?

其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．

]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ??????

???????????===?????????????

????? ? ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()

()

()()

),()()()()()

n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡

称为这个向量函数

所构成的Wronsky 行列式．

n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）

（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12t

t

e λλ12(),,,],n t

n v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．

A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d x

L x a a x dt dt

--=+++= （20.1）

，其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．

12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；

（2）计算方程（20.1）相应的解：

（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k t

e

λ；

（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k t

t

t

m e te t e t

e k t

λλλ- λ；

（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin t

t

e t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：

2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t t

t

m t

e t te t t e t e t te t t

e t

ααααααββββββ-- ；

（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．

21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．

设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2

()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设2

0p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()x

m y Q x e λ=；

（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()x

m y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，202

0p q λλ++=p λ+=，可设，2

()()m Q x x Q x =2

()x

m y x Q x e λ=． ()k x

综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 0

1

2k λλλ??=???

不是根是单根是重根