(完整版)常微分方程的大致知识点
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结1.常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个未知函数的导数或高阶导数与该函数本身之间的关系的方程。
2.函数的导数和微分的概念导数描述了函数在其中一点上的变化率，基本导数法则包括常数规则、幂规则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数等；微分描述了函数在其中一点上的变化量。
3.一阶常微分方程一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一的微分方程。
常见的一阶微分方程形式包括可分离变量的方程、线性方程、齐次方程、恰当方程和一阶常系数线性齐次方程等。
4.可分离变量的方程可分离变量的方程是指方程中变量可分离为两个集合的乘积形式。
通过将变量分离，再进行积分求解得到方程的解。
5.线性方程线性方程是指方程中的未知函数和其导数只出现线性的形式。
线性方程的解可以通过积分因子法或变量代换法来求解。
6.齐次方程齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的次数相同的方程。
齐次方程可以通过变量代换法将其转化为可分离变量的方程来求解。
7.恰当方程恰当方程是指方程的左右两边可以写成一些函数的全微分形式。
通过判断方程是否恰当，并找到方程的积分因子，可以求解恰当方程。
8.一阶常系数线性齐次方程一阶常系数线性齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的系数是常数的方程。
一阶常系数线性齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
9.二阶常微分方程二阶常微分方程是指导数的最高阶数为二的微分方程。
常见的二阶微分方程形式包括线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和欧拉方程等。
10.线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的齐次方程。
线性常系数齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
11.线性常系数非齐次方程线性常系数非齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的非齐次方程。
通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到线性常系数非齐次方程的通解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点第一章 绪论1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要）例：03)(22=-+y dx dyx dx dy（1阶非线性）； x e dx yd y=+22sin 。
2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。
（以书后练习题为主） （习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________.第二章 一阶方程的初等解法1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要）2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要）3.线性非齐次方程的常数变易法；4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程；(2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1)32(1'2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221'y x y -=为：线性方程。
5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子；6.恰当方程的解法（分项组合方法）。
（重要）第三章 一阶方程的存在唯一性定理1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ；2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题3.1的1，2，3题）第四章 高阶微分方程1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质；2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系；3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要）4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）；5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（，特解的确定（比较系数法、复数法比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-¢¢，确定特解类型？（习题4.2相关题目）6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
常微分方程初步
常微分方程初步常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是单变量函数的导数与自变量的关系。
在实际生活和科学研究中，很多问题都可以用常微分方程来描述和解决。
本文将介绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程和二阶常微分方程的求解方法。
一、基本概念1.1 导数导数是函数在某个点处的变化率，它表示的是函数曲线在这个点的斜率。
如果在某点处的导数存在，则该点为函数的可导点。
设函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(△x→0) (f(x0+△x) - f(x0))/△x如果导数存在，则称函数在该点可导；反之，则称函数在该点不可导。
1.2 常微分方程常微分方程是一个未知函数在其自变量上的导数的关系式，其中该未知函数是自变量的函数。
通俗地讲，就是描述未知函数在自变量上的变化的一种数学方程。
常微分方程通常用y表示未知函数，x表示自变量。
一般形式为：F(x, y, y', y'', …, yⁿ）= 0其中，y'、y''、…、yⁿ分别表示y对于x的一阶、二阶、…、n 阶导数。
1.3 初值问题初值问题是求解常微分方程的一种方法，其本质是通过确定函数在某一个特定点的值，从而确定未知常数的值。
一个初值问题包括一阶常微分方程和一个初始点，形式为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，f(x, y)为已知函数，通常称为方程的右端，y0和x0分别是给定的初值。
二、一阶常微分方程的求解一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x, y)这是一个仅含未知函数y及其一阶导数y'的方程。
2.1 可分离变量方程如果该一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中，g(x)和h(y)都是已知函数，那么称其为可分离变量方程。
对上式两边同时积分，得到：∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx + C0其中C0为常数。
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。
1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。
2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。
常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。
- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。
常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。
3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。
- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。
- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。
- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。
- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。
- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。
- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。
以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。
常微分方程笔记
常微分方程笔记一、基本概念。
1. 常微分方程的定义。
- 含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：(dy)/(dx)+2y = 0，这里x是自变量，y = y(x)是未知函数。
2. 阶。
- 常微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y'+2y = sin x 是二阶常微分方程，因为方程中未知函数y的最高阶导数是二阶导数y''。
3. 解。
- 设函数y = φ(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，F(x,φ(x),φ'(x),·s,φ^(n)(x)) = 0，那么y=φ(x)就称为方程F(x,y,y',·s,y^(n)) = 0在区间I上的解。
例如，y = e^-2x是方程(dy)/(dx)+2y = 0的解，因为将y = e^-2x代入方程左边可得(d)/(dx)(e^-2x)+2e^-2x=- 2e^-2x+2e^-2x=0。
- 通解：如果n阶方程的解y=φ(x,C_1,C_2,·s,C_n)含有n个独立的任意常数C_1,C_2,·s,C_n，则称它为该方程的通解。
例如，y = C_1cos x + C_2sin x是方程y''+y = 0的通解。
- 特解：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。
比如在y =C_1cos x+C_2sin x中，令C_1 = 1，C_2 = 0，得到y=cos x，这就是方程y'' + y=0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)。
- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y))=f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C。
例如，对于方程(dy)/(dx)=y^2sin x，可变形为(dy)/(y^2)=sin xdx，积分得-(1)/(y)=-cos x + C，即y=(1)/(cos x - C)。
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= +
⎰x = + ⎰x = + ⎰x 常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项）
y x
4、一阶线性非齐次方程
常数变易法，或 y = e ⎰
a ( x )dx [⎰
b (x )e -⎰ a ( x )dx dx + C ]
5、伯努力方程
令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n
dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次
dx 6、全微分方程
若∂M ∂y
若
∂M ∂y dx = ∂N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ∂x ≠ ∂N ，则找积分因子，（留意书上公式） ∂x
f (x
f ( y ,
（二）毕卡序列
x y 1 y 0 0
x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推
（三）常系数方程
1、常系数齐次L (D ) y = 0
方法：特征方程
7、可降阶的二阶微分方程
d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy
dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp
dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
⎪ ⎪ dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x
1 2 1 2
单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x )
重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2
重的复根1, 2 = ± i ，3, 4
= ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ]
2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。
f (x )
第一步求L (D ) y = 0 的通解Y
第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y *
第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y *
如何求 y *
当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x
当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x )
cos vx + S m (x ) sin vx )
当 f (x ) 是一般形式时， y * = ⎰
x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W ()
（四）常系数方程组
方法：三部曲。
第一步求 dX dt
= A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。
利用特征方程 A - I
= 0 ，并分情况讨论。
第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )⎰Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )⎰Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环
⎧ dx = ax + b y dt ⎨ ⎪ = cx + dy 1、分析方程组⎩ dt
的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0
特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。
第一种情况：相异实根，1 ≠ 2
1 1 m m m
⎨ ⎪⎪ = ⎨ ⎪⎪ = ⎨ y = 讨论r s i n 当1 < 0,2 > 0 ，鞍点，图像 当1 < 0,2 < 0 ，稳定结点，图像 当1 > 0,2 > 0 ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，1 = + i ，2 = - i 当= 0 ，中心，图像
当< 0 ，稳定焦点，图像
当> 0 ，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，1 = 2 =
当b , c 同时为 0 时，如果> 0 ，不稳定临界结点，图像
如果< 0 ，稳定临界结点，图像
当b , c 不同时为 0 时，如果> 0 ，不稳定退化结点，图像
如果< 0 ，稳定退化结点，图像
⎧ dx = X (x , y ) 2、方程组⎪ dt dy Y (x , y ) ⎩
dt ⎧ dx = X (x , y ) 3、方程组⎪ dt dy Y (x , y ) ⎩ dt
的奇点的性质，Perron 定理
的极限环的性质，引入极坐标⎧x = r cos ⎩。