2020年11月1日四川省绵阳市高2021届高2018级高三一诊考试文科数学试题及参考答案附答题卡
《精编》四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题 文(含解析)新人教A版.doc
四川省绵阳市高考数学一模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕设集合A={2，3，4}，B={0，1，2}，那么A∩B等于〔〕A．{0} B．{0，1，2，3，4} C．{2} D．∅考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：集合A与集合B都是含有三个元素的集合，且有一个公共元素2，所以A∩B可求．解答：解：因为集合A={2，3，4}，B={0，1，2}，所以A∩B={2}．应选C．点评：此题考查了交集及其运算，两个集合的交集是有两个集合的公共元素组成的集合，是根底题．2．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕命题P：“∀x∈R，cosx≥1”，那么￢p是〔〕A．∃x∈R，cos≥1B．∀x∈R，cos＜1 C．∃x∈R，cosx＜1 D．∀x∈R，cosx＞1 考点：特称命题；命题的否认．专题：计算题．分析：利用全称命题：∀x∈M，p〔x〕；的否认是特称命题∃x∈M，p〔x〕直接得到结果．解答：解：因为全称命题：∀x∈M，p〔x〕；的否认是特称命题∃x∈M，p〔x〕．所以命题P：“∀x∈R，cosx≥1”，那么￢p是∃x∈R，cosx＜1．应选C．点评：此题考查命题的否认，全称命题：∀x∈M，p〔x〕；与特称命题∃x∈M，p〔x〕互为命题的否认．3．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕数列{a n}为等差数列，且a6+a8=，那么tan〔a5+a9〕的值为〔〕A．B．﹣C．±D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得，a5+a9=a6+a8=，然后求解正切函数值即可解答：解：由等差数列的性质可得，a5+a9=a6+a8=，∴tan〔a5+a9〕=tan=应选B点评：此题主要考查了等差数列的性质及特殊角的正切函数值的求解，属于根底试题4．〔5分〕〔2021•湖南〕如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么〔〕A．++=0 B．﹣+=0 C．+﹣=0 D．﹣﹣=0考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法那么得选项．解答：解：由图可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．应选项为A．点评：考查向量相等的定义及向量加法的三角形法那么．5．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕己知f〔x〕=xsinx，那么f′〔π〕=〔〕A．O B．﹣1 C．πD．﹣π考点：导数的乘法与除法法那么．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数f〔x〕求导，进而可求出f′〔π〕的值．解答：解：∵f′〔x〕=sinx+xcosx，∴f′〔π〕=sinπ+πcosπ=﹣π．应选D．点评：此题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．6．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕函数f〔x〕=e x﹣x﹣2的零点所在的区间为〔〕A．〔﹣1，0〕B．〔1，2〕C．〔0，1〕D．〔2，3〕考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f〔x〕，满足f〔a〕•f〔b〕＜0〔a，b为区间两端点〕的为答案．解答：解：因为f〔1〕=e﹣3＜0，f〔2〕=e2﹣e﹣2＞0，所以零点在区间〔1，2〕上，应选：B．点评：此题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕设，那么〔〕A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用幂函数的性质比较两个正数a，b的大小，然后推出a，b，c的大小即可．解答：解：因为y=是增函数，所以所以c＜a＜b应选B点评：此题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，考查计算推理能力，是根底题．8．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔A＞0，w＞0，|φ|＜〕，其导数f′〔x〕的局部图象如以以下列图所示，那么函数f〔x〕的解析式为：〔〕A ．f 〔x 〕=sin 〔2x+〕 B ．f 〔x 〕=2in 〔2x+〕 C ．f 〔x 〕=sin 〔2x ﹣〕 D ．f 〔x 〕=2in 〔2x ﹣〕考点： 由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式． 专题： 计算题． 分析： 通过导函数的图象求出Aω=2，T ，利用周期公式求出ω，通过函数图象经过的特殊点，求出φ，得到函数的解析式． 解答：解：由函数的图象可得Aω=2，T=4×=π，所以ω=2，A=1， 由导函数的图象，可知函数的图象经过〔﹣〕，所以0=sin 〔﹣φ〕，所以φ=， 所以函数的解析式为：f 〔x 〕=sin 〔2x+〕．应选A ． 点评： 此题是中档题，考查三角函数以及导函数的图象的应用，考查学生的视图能力、分析问题解决问题的能力，计算能力． 9．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕定义在R 上的奇函数f 〔x 〕是〔﹣∞，0]上的增函数，且f 〔1〕=2，f 〔﹣2〕=﹣4，设P={x|f 〔x+t 〕﹣4＜0}，Q={x|f 〔x 〕＜﹣2}．假设“x∈P 〞是“x∈Q 〞的充分不必要条件，那么实数t 的取值范围是〔 〕〔 〕 A ． t ≤﹣1 B ． t ＞﹣1 C ． t ≥3 D ． t ＞3 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 根据定义在R 上的奇函数f 〔x 〕是〔﹣∞，0]上的增函数，且f 〔1〕=2，f 〔﹣2〕=﹣4，可以画出f 〔x 〕的图象，然后再求出P 和Q 集合，根据“x∈P 〞是“x∈Q 〞的充分不必要条件可得P ⊆Q ，从而求出t 的范围；解答：解：∵定义在R上的奇函数f〔x〕是〔﹣∞，0]上的增函数，且f〔1〕=2，f〔﹣2〕=﹣4，可得f〔﹣1〕=﹣2，f〔2〕=4，画出f〔x〕的图象：∵P={x|f〔x+t〕﹣4＜0}，Q={x|f〔x〕＜﹣2}，解得P={x|x＜2﹣t}，Q={x|x＜﹣1}，∵“x∈P〞是“x∈Q〞的充分不必要条件，∴P⊆Q，∴2﹣t＜﹣1，解得t＞3，当t=3，可得P=Q，不满足“x∈P〞是“x∈Q〞的充分不必要条件，∴t＞3，应选D；点评：此题主要考查奇函数的定义及其应用，考查的知识点比较全面，利用了数形结合的方法，是一道中档题；10．〔5分〕〔2021•四川〕某企业生产甲、乙两种产品．生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是〔〕A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元考点：简单线性规划的应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解答：解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，那么该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P〔3，4〕，∴z的最大值为z=5×3+3×4=27〔万元〕．应选D．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤复原到现实问题中．11．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕偶函数f〔x〕在区间[0，+∞〕上满足f′〔x〕＞0，那么满足f〔x2﹣2x〕＜f〔x〕的X的取值范围是〔〕A．〔1，3〕B．〔﹣∞，﹣3〕∪〔3，+∞〕C．〔﹣3，3〕D．〔﹣3，1〕考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：根据导数符号可判断函数的单调性，再利用条件偶函数可把f〔x2﹣2x〕＜f〔x〕转化为x2﹣2x与x间不等式，从而得到x的取值范围．解答：解：因为函数f〔x〕为偶函数，所以f〔x2﹣2x〕＜f〔x〕等价于f〔|x2﹣2x|〕＜f 〔|x|〕．又函数f〔x〕在区间[0，+∞〕上满足f′〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在区间[0，+∞〕上单调递增．所以|x2﹣2x|＜|x|，两边平方并化简得x2〔x﹣1〕〔x﹣3〕＜0，解得1＜x＜3．应选A．点评：此题为函数奇偶性、单调性及导数的综合题，考查了相关的根底知识及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是去掉符号“f〞，转化为自变量间的不等关系．12．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕定义在R上的函数f〔x〕满足f〔1〕=1，f〔1﹣x〕=1﹣f〔x〕，2f〔x〕=f〔4x〕，且当0≤x1＜x2≤1时，f〔x1〕≤f〔x2〕，那么f〔〕等于〔〕A．B．C．D．考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f〔〕，然后根据条件求出f，，最后根据函数的单调性，以及两边夹的性质可求出所求．解答：解：∵f〔1〕=1，f〔1﹣x〕=1﹣f〔x〕令x=得f〔〕+f〔〕=1即f〔〕=∵2f〔x〕=f〔4x〕∴f〔x〕=f〔4x〕在f〔x〕=f〔4x〕中，令x=可得f〔〕==在f〔1﹣x〕+f〔x〕=1中，令x=可得f〔〕+f〔〕=1即f〔〕=同理可求f〔〕=，f〔〕=1﹣f〔〕==，f〔〕=1﹣f〔〕==，f〔〕=1﹣f〔〕===，f〔〕=1﹣=∵当0≤x1≤x2≤1时，f〔x1〕≤f〔x2〕，∴==∴f=应选B点评：此题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.13．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕∥，那么x= ﹣4 ．考点：平行向量与共线向量．分析：用两向量共线坐标形式的充要条件公式：坐标交叉相乘相等．解答：解：∵，∴2×〔﹣6〕=3x∴x=﹣4故答案为﹣4点评：考查两向量共线坐标形式的充要条件公式．14．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕偶函数f〔x〕=〔n∈Z〕在〔0，+∞〕上是增函数，那么n= 2 ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：结合幂函数在〔0，+∞〕上的单调性与指数的关系，我们可以求出n的取值范围为1，2，3，结合幂函数的奇偶性讨论后，可得答案．解答：解：假设幂函数f〔x〕=〔n∈Z〕在〔0，+∞〕上是增函数，那么＞0，即4n﹣n2＞0，又∵n∈Z∴n∈{1，2，3}又∵n=1，或n=3时=，此时幂函数f〔x〕为非奇非偶函数n=2时=2，幂函数f〔x〕=x2为偶函数满足要求故答案为：2点评：此题考查的知识点是幂函数的奇偶性和单调性及幂函数解析式的求法，幂函数是新课标的新增内容，此题是求幂函数解析式的经典例题，从单调性入手进行解答是解答此题的关键．15．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，那么实数λ的取值范围是〔﹣3，+∞〕．考点：数列与函数的综合．专计算题．题：分析：由对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，知a n+1﹣a n=〔n+1〕2+λ〔n+1〕﹣n2﹣λn=2n+1+λ，由{a n}是递增数列，知a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，由此能求出实数λ的取值范围．解答：解：∵对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，a n+1﹣a n=〔n+1〕2+λ〔n+1〕﹣n2﹣λn=2n+1+λ，∵{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，又a n+1﹣a n=〔n+1〕2+λ〔n+1〕﹣n2﹣λn=2n+1+λ∴当n=1时，a n+1﹣a n最小，∴a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，∴λ＞﹣3．故答案为：〔﹣3，+∞〕．点评：此题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到数列的性质，解题时要认真审题，注意函数思想的灵活运用，是根底题．16．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．给出以下命题：①所有奇数都属于M．②假设偶数2k属于M，那么k∈M．③假设a∈M，b∈M，那么ab∈M．④把所有不属于M的正整数从小到大依次排成一个数列，那么它的前n项和S n∈M．其中正确命题的序号是①③．〔写出所有正确命题的序号〕考点：命题的真假判断与应用．分析：根据中集合M的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们分别推证①③正确，举反例推翻②④可得答案．解答：解：∵所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．设奇数2k+1 〔k∈Z〕那么：2k+1=〔k+1〕2﹣k2，故①所有奇数都属于M正确；由12=42﹣22得，12∈M，但6∉M，故②假设偶数2k属于M，那么k∈M错误；∵a∈M，b∈M，设a=m2﹣n2，b=p2﹣q2，那么ab=〔m2﹣n2〕〔p2﹣q2〕=〔mp〕2+〔nq〕2﹣〔mq〕2﹣〔pn〕2=〔mp+nq〕2﹣〔mq+np〕2∈M，故③正确；当n=1时，S n即为第一个不属于M的正整数，此时S n∉M，故④错误；故答案为：①③点评：此题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握集合M的元素的特征是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解容许写出文说明、证明过程或演算步骤. 17．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕设向量=〔cos2x，1〕，=〔1，sin2x〕，x∈R，函数f 〔x〕=•．〔I 〕求函数f〔x〕的最小正周期及对称轴方程；〔II〕当x∈[0，]时，求函数f〔x〕的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的求值．分析：〔Ⅰ〕通过向量的数量积，利用两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数f〔x〕的最小正周期及对称轴方程．〔Ⅱ〕通过x的范围求出2x+的范围，利用正弦函数的值域，求解函数的值域即可．解答：解：〔Ⅰ〕f 〔x〕=•=〔cos2x，1〕•〔1，sin2x〕=sin2x+cos2x=2 sin〔2x+〕，…〔6分〕∴最小正周期T=，令2x+=k，k∈Z，解得x=，k∈Z，即f 〔x〕的对称轴方程为x=，k∈Z．…〔8分〕〔Ⅱ〕当x∈[0，]时，即0≤x≤，可得≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f 〔x〕取得最大值f 〔〕=2；当2x+=，即x=时，f 〔x〕取得最小值f 〔〕=﹣1．即f 〔x〕的值域为[﹣1，2]．…〔12分〕点评：此题以向量为依托，考查三角函数的两角和的正弦函数的应用，函数的周期，值域的求法，考查计算能力．18．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕数列{a n}是等比数列且a3=，a6=2．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设数列{a n}满足b n=3log2a n，且数列{b n}的前“项和为T n，问当n为何值时，T n取最小值，并求出该最小值．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：〔I〕由中数列{a n}是等比数列且a3=，a6=2．求出数列的公比，易得数列的通项〔II〕根据〔I〕及b n=3log2a n，可得数列{b n}的通项公式，进而结合二次函数的性质，及n∈N+，可求出当n为何值时，T n取最小值．解答：解：〔Ⅰ〕设公比为q，由a6=2，a3=，得a1q5=2，a1q2=，两式相除得q3=8，解得q=2，a1=，∴a n=×2n﹣1=2n﹣5〔Ⅱ〕b n=3log2a n=3log2〔2n﹣5〕=3n﹣15，∴T n=，又∵n∈N+当n=4或5时，T n取得最小值，最小值为﹣30点评：此题考查的知识点是数列求和，等比数列的通项公式，其中分别求出数列{a n}和{b n}的通项公式是解答的关键．19．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c假设asinA=〔a﹣b〕sinB+csinC．〔I 〕求角C的值；〔II〕假设△ABC的面积为，求a，b的值．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：〔Ⅰ〕把结合正弦定理整理可得a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理CosC=可求cosC，结合C 的范围可求C〔Ⅱ〕由三角形的面积公式可得，结合c=2，及由〔Ⅰ〕a2+b2﹣4=ab，可求a+b，联立方程可求a，b解答：解：〔Ⅰ〕∵asinA=〔a﹣b〕sinB+csinC，由正弦定理，得a2=〔a﹣b〕b+c2，即a2+b2﹣c2=ab．①由余弦定理得CosC==，结合0＜C＜π，得C=．…〔6分〕〔Ⅱ〕∵△ABC的面积为，即，化简得ab=4，①又c=2，由〔Ⅰ〕知，a2+b2﹣4=ab，∴〔a+b〕2=3ab+4=16，得a+b=4，②由①②得a=b=2．…〔12分〕点评：此题主要考查了三角形的正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于知识的综合应用20．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕己知二次函数y=f〔x〕的图象过点〔1，﹣4〕，且不等式f 〔x〕＜0的解集是〔O，5〕．〔I 〕求函数f〔x〕的解析式；〔II〕设g〔x〕=x3﹣〔4k﹣10〕x+5，假设函数h〔x〕=2f〔x〕+g〔x〕在[﹣4，﹣2]上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，求y=h〔x〕在[﹣3，1]上的最大值和最小值..考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据函数零点，方程根与不等式解集端点之间的关系，结合二次函数y=f〔x〕的图象过点〔1，﹣4〕，可求出函数f〔x〕的解析式；〔II〕由〔I〕可求出函数h〔x〕的解析式〔含参数k〕，进而由函数极大值点为﹣2，求出k值，结合导数法求最值的步骤，可得答案．解答：解：〔Ⅰ〕由y=f 〔x〕是二次函数，且f 〔x〕＜0的解集是〔0，5〕，可得f 〔x〕=0的两根为0，5，于是设二次函数f 〔x〕=ax〔x﹣5〕，代入点〔1，﹣4〕，得﹣4=a×1×〔1﹣5〕，解得a=1，∴f 〔x〕=x〔x﹣5〕．…〔4分〕〔Ⅱ〕h〔x〕=2f 〔x〕+g〔x〕=2x〔x﹣5〕+x3﹣〔4k﹣10〕x+5=x3+2x2﹣4kx+5，于是h′〔x〕=3x2+4x﹣4k，∵h〔x〕在[﹣4，﹣2]上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，∴x=﹣2是h〔x〕的极大值点，∴h′〔2〕=3×〔﹣2〕2+4×〔﹣2〕﹣4k=0，解得k=1．…〔6分〕∴h〔x〕=x3+2x2﹣4x+5，进而得h′〔x〕=3x2+4x﹣4．令h′〔x〕=3x2+4x﹣4=0，得x=﹣2，或x=．由下表：x 〔﹣3，﹣2〕﹣2〔﹣2，〕〔，1〕h′〔x〕 + 0 ﹣0 +h〔x〕↗极大↘极小↗可知：h〔﹣2〕=〔﹣2〕3+2×〔﹣2〕2﹣4×〔﹣2〕+5=13，h〔1〕=13+2×12﹣4×1+5=4，h〔﹣3〕=〔﹣3〕3+2×〔﹣3〕2﹣4×〔﹣3〕+5=8，h〔〕=〔〕3+2×〔〕2﹣4×+5=，∴h〔x〕的最大值为13，最小值为．…〔12分〕点评：此题考查的知识点是二次函数的性质，函数零点，方程根与不等式解集端点的关系，导数法求函数的极值与最值，其中求出函数h〔x〕的解析式是解答的关键．21．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕设数列{a n}的前n项和为S n，且〔t﹣1〕S n=2ta n﹣t﹣1〔其中t为常数，t＞0，且t≠1〕．〔I〕求证：数列{a n}为等比数列；〔II〕假设数列{a n}的公比q=f〔t〕，数列{b n}满足b1=a1，bn+1=f〔b n〕，求数列{}的通项公式；〔III〕设t=，对〔II〕中的数列{a n}，在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入k个〔k∈N*〕后，得到一个新的数列：a1，，a2，，，a3，，，，a4…，记此数列为{c n}．求数列{c n}的前50项之和．考点：数列递推式；等比关系确实定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：〔Ⅰ〕利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列；〔Ⅱ〕确定数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{}的通项公式；〔III〕确定数列{c n}为：1，﹣1，，2，2，，﹣3，﹣3，﹣3，，…，再分组求和，即可求得数列{c n}的前50项之和．解答：〔Ⅰ〕证明：由题设知〔t﹣1〕S1=2ta1﹣t﹣1，解得a1=1，由〔t﹣1〕S n=2ta n﹣t﹣1，得〔t﹣1〕S n+1=2ta n+1﹣t﹣1，两式相减得〔t﹣1〕a n+1=2ta n+1﹣2ta n，∴〔常数〕．∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．…〔4分〕〔Ⅱ〕解：∵q=f 〔t〕=，b1=a1=1，b n+1= f 〔b n〕=，∴=+1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴．…〔8分〕〔III〕解：当t=时，由〔I〕知a n=，于是数列{c n}为：1，﹣1，，2，2，，﹣3，﹣3，﹣3，，…设数列{a n}的第k项是数列{c n}的第m k项，即a k=，当k≥2时，m k=k+[1+2+3+…+〔k﹣1〕]=，∴m9=﹣45．设S n表示数列{c n}的前n项和，那么S45=[1+++…+]+[﹣1+〔﹣1〕2×2×2+〔﹣1〕3×3×3+…+〔﹣1〕8×8×8]．∵1+++…+==2﹣，﹣1+〔﹣1〕2×2×2+〔﹣1〕3×3×3+…+〔﹣1〕8×8×8=﹣1+22﹣32+42﹣52+62﹣72+82 =〔2+1〕〔2﹣1〕+〔4+3〕〔4﹣3〕+〔6+5〕〔6﹣5〕+〔8+7〕〔8﹣7〕=3+7+11+15=36．∴S45=2﹣+36=38﹣．∴S50=S45+〔c46+c47+c48+c49+c50〕=38﹣+5×〔﹣1〕9×9=﹣7．即数列{c n}的前50项之和为﹣7．…〔12分〕点评：此题考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．22．〔14分〕〔2021•绵阳一模〕函数f〔x〕=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣．〔I〕求实数a的值及函数f〔x〕的单调区间；〔II〕设g〔x〕=kx+1，对∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，求实数k的取值范围；〔III〕设b n=，证明：b1+b2+…+b n＜1+ln2〔n∈N*，n≥2〕．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔Ⅰ〕求导数，利用函数f〔x〕=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣，可确定a的值，利用导数的正负，可得函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕∀x∈〔0，+∞〕，f 〔x〕≤g〔x〕，即lnx﹣〔k+1〕x≤0恒成立，构造函数h〔x〕=lnx﹣〔k+1〕x，利用h〔x〕max≤0，即可求得k的取值范围；〔Ⅲ〕先证明当n≥2时，有ln〔n+1〕＜n，再利用放缩法，裂项法，即可证得结论．解答：〔Ⅰ〕解：由：〔x＞0〕，∵函数f〔x〕=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣．∴，∴a=1．∴，当x∈〔0，1〕时，f′〔x〕＞0，f 〔x〕为增函数，当x∈〔1，+∞〕时，f′〔x〕＜0，f 〔x〕为减函数，∴f 〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕，单调递减区间为〔1，+∞〕．…〔5分〕〔Ⅱ〕解：∀x∈〔0，+∞〕，f 〔x〕≤g〔x〕，即lnx﹣〔k+1〕x≤0恒成立，设h〔x〕=lnx﹣〔k+1〕x，有．①当k+1≤0，即k≤﹣1时，h′〔x〕＞0，此时h〔1〕=ln1﹣〔k+1〕≥0与h〔x〕≤0矛盾．②当k+1＞0，即k＞﹣1时，令h′〔x〕=0，解得，∴，h′〔x〕＞0，h〔x〕为增函数，，h′〔x〕＜0，h〔x〕为减函数，∴h〔x〕max=h〔〕=ln﹣1≤0，即ln〔k+1〕≥﹣1，解得k≥．综合k＞﹣1，知k≥．∴综上所述，k的取值范围为[，+∞〕．…〔10分〕〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅰ〕知f 〔x〕在〔0，1〕上是增函数，在〔1，+∞〕上是减函数，∴f 〔x〕≤f 〔1〕=0，∴lnx≤x﹣1．当n=1时，b1=ln〔1+1〕=ln2，当n≥2时，有ln〔n+1〕＜n，∵b n=＜=＜=，∴b1+b2+…+b n＜b1+〔〕+…+〔〕=ln2+〔1﹣〕＜1+ln2．…〔14分〕点评：此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2021届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学(文)试题Word版含答案
2021届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,0,1,2}A =-，集合{|2}x B y y ==，则A B =（ ）A ． {0,1}B ．{1,2}C ． {0,1,2}D ．(0,)+∞2.已知向量(1,2)a =，(,1)b x =，若a b ⊥，则x =（ ）A ．2B ． -2C ．1D ．-13.若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ）A ． 2425-B ．725-C ．1625D ． 854.若,a b R ∈，且||a b >，则（ ）A ．a b <-B ．a b > C. 22a b < D ．11a b> 5.已知命题0:p x R ∃∈，使得0lg cos 0x >；命题:0q x ∀<，30x >，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨6. 古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意为：有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一月织了九匹三丈，问每天比前一天多织多少吃布？已知1匹=40尺，1丈=10尺，若一月按30天算，则每天织布的增加量为（ ）A ．12尺B ．815尺 C. 1629尺 D ． 1631尺 7.若函数1,0()lg ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()10f x +<的解集是（ ）A．1(,)10-∞ B．1(,0)(0,)10-∞ C.1(0,)10D．1(1,0)(,)10-+∞8.已知1x>，1y>，且1lg,,lg4x y成等比数列，则xy有（）A．最小值10 B．最小值10 C. 最大值10 D．最大值109.已知点,,A B C在函数()3sin()(0)3f x xπωω=+>的图像上，如图，若AB BC⊥，则ω=（）A．1 B．π C.12D．2π10.若函数1()lnf x x ax bx=---在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．(,0]-∞ B．1(,]4-∞ C. [0)+∞ D．[1)+∞11.“a b e>>”是“ln lna b b a>”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要12.设函数2()2xf x x x e=+-的极大值是x，则（）A．1(,1)2x∈ B．3(1,)2x∈ C.1()(,2)4f x∈ D．()(2,3)f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最大值是．14.若函数3()(1)1f x x t x=+--的图像在点(1,(1))f--处的切线平行于x轴，则t=．15. 已知函数()34sin1f x x x=+-，若()5f a-=，则()f a=．16.已知矩形ABCD 的边长2AB =，4AD =，点,P Q 分别在边,BC CD 上，且3PAQ π∠=，则AP AQ的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的公差大于0，且47a =，26114,2,a a a a -分别是等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n b 的前n 项和n S ，若39n S >，求n 的取值范围.18. 已知函数2())4cos 3f x x x π=-+，将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，再向下平移2个单位，得到函数()g x 的图像.（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在2[,]63ππ上的单调递减区间及值域.19. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a +的值； （2）若2a =，当角A 最大时，求ABC ∆的面积.20. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在0x =处的切线是450x y +-=，且23x =是函数()f x 的一个极值点.（1）求实数,,a b c 的值；（2）若函数()f x 在区间(6,)m m -上存在最大值，求实数m 的取值范围.21.已知函数()xf x e ax a =-+()a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的方程()ln f x x =有唯一解0x ，且0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，求n 的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈.（1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围.2021届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:BABCD 6-10:CBBAD 11、12：AC二、填空题13.7 14.-2 15.-7 16.32-三、解答题17.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d （0d >）,由47=a ，得137+=a d ，○1又∵2a ，612-a a ，14a 是等比数列{}n b 的前三项，∴261214(2)-=a a a a ，即2111(5)()(13)-=++d a a d a d ，化简得12=d a ，○2联立○1○2解得11=a ，2=d .∴12(1)21=+-=-n a n n .（II ）∵123==b a ，26129=-=b a a ，31427==b a 是等比数列{}n b 的前三项， ∴等比数列{}n b 的公比为3，首项为3.∴等比数列{}n b 的前n 项和3(13)3(31)132--==-n n n S . 由39>n S ，得3(31)392->n ，化简得327>n ， 解得3>n ，*∈n N .18.解：（I ）2())4cos 3π=-+f x x xcoscos 2sin )2(1cos 2)33ππ=-++x x x32cos 22cos 2222=-++x x x12cos 222=++x x sin(2)26π=++x ， 由题意得()sin 2()2266ππ⎡⎤=-++-⎢⎥⎣⎦g x x ， 化简得()sin(2)6π=-g x x . （II ）由263ππ≤≤x ，可得72666πππ≤-≤x .当72266πππ≤-≤x 即233ππ≤≤x 时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减区间为2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∵()g x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴max ()()sin 132ππ===g x g . 又2711()sin sin()sin ()sin 36662662πππππππ==+=-=-<==g g ， ∴1()12-≤≤g x ， 即()g x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 19.解：（I ）∵2sin 3tan =c B a A ，∴2sin cos 3sin =c B A a A ，由正弦定理得22cos 3=cb A a ， 由余弦定理得2222232+-=b c a cb a bc，化简得2224+=b c a ， ∴2224+=b c a. （II ）因为2=a ，由（I ）知222416+==b c a ，且由余弦定理得2226cos 2+-==b c a A bc bc， 即6cos bc A =，且(0,)2A π∈. 根据重要不对等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时，“=”成立，∴63cos 84A ≥=. ∴当角A 取最大值时，3cos 4A =，8bc =.∴ABC ∆的面积11sin 22S bc A ==⨯=20.（I ）2'()32f x x ax b =++.∵曲线()y f x =在点0x =处的切线为450x y +-=，∴切点为(0,5),'(0)4f =-即4b =.①由(0)5f =，得5c =. ∵23x =是函数()f x 的一个极值点， ∴24244'()32+039333a f a b b =⨯+⨯+=+=.② 联立①②得2a =，4b =-.∴2a =，4b =-，5c =.（II ）由（I ）得32()245f x x x x =+-+，则2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+当'()0f x >时，2x <-或23x >； 当'()0f x <时，223x -<<. ∴()f x 在2x =-处取得极大值即(2)13f -=.由3224513x x x +-+=得322480x x x +--=，∴2(2)(2)0x x +-=即2x =-或2x =.要使函数()f x 在区间(6,)m m -上存在最大值，则622m m -<-<≤，即22m -<≤.21.解：（I ）'()x f x e a =-.当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，由'()0f x >解得ln x a >；由'()0f x <解得ln x a <， 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减.（II ）由已知可得方程ln 0x x e ax a -+-=有唯一解0x ，且0(,1)x n n ∈+，*n N ∈. 设()ln xh x x e ax a =-+-（0x >），即()0h x =由唯一解0x ，0(,1)x n n ∈+，*n N ∈. 由1'()x h x e a x =-+，令1()'()x g x h x e a x==-+， 则21'()0x g x e x =--<， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，即'()h x 在(0,)+∞上单调递减. 又0x →时，'()h x →+∞；x →+∞时，'()h x →-∞， 故存在0(0,)x ∈+∞使得0001'()0x h x e a x =-+=. 当0(0,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 在0(0,)x 上单调递增， 0(,)x x ∈+∞时，'()0h x <，()h x ()h x 在0(0,)x 上单调递减. 又()0h x =有唯一解，则必有0000()ln 0xh x x e ax a =-+-= 由0000010,ln 0,x x e a x x e ax a ⎧-+=⎪⎨⎪-+-=⎩消去a 得000001ln (1)()0x x x e x e x -+--=. 令11()ln (1)()ln 21x x x x x x e x e x e xe xxϕ=-+--=-++-， 则211'()2x x x x e e xe x xϕ=-++- 2211(1)(1)()x x x x e x e x x -=+-=-+. 故当(0,1)x ∈时，'()0x ϕ<，()h x 在(0,1)上单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，'()0x ϕ>，()h x 在(1,)+∞上单调递增. 由(1)0e ϕ=-<，1(2)ln 202ϕ=-+>， 即存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=即0()0h x =.又关于x 的方程()ln f x x =有唯一解0x ，且0(,1)x n n ∈+，*n N ∈， ∴0(1,2)x ∈.故1n =.22.解：（I ）将2t y =代入32x t =+，整理得30x -=， 所以直线l的普通方程为30x -=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.（II ）设A ，B 的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得221(32)()422t t +-+=，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=于是1222p t t t +==-. 设00(,)P x y，则0093(,2241(2x y ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩则9(,44P -. 所以点P 到原点O2. 23. 解：（I ）当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--，由()2f x ≥解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()(21)(1)3f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<； 当1x ≥时，()(21)(1)2f x x x x =+--=+，由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥.所以()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞.（II ）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]， ∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立原式可变为21||3x x m x +--≥-，即||4x m x -≤+，∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10，即m 的取值范围是[4,10]-.。
2021届绵阳一诊 文数(含答案)
绵阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCDAA ADBBC CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-1 14．6 15．916 16．3(0]4，−三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．∵ 31232315S a a a a =++==，得25a =．又217a a a ⋅=，得222()5a d a a d −⋅=+， ………………………………………3分 即5(5)55d d −=+，解得d =2．∴ 2(2)22+1n a a n n =+−⨯=． ………………………………………………6分（2）由题意得2122(21)24(21)n a n n n n b a n n +=+=++=⨯++， ……………8分 12(321)2(444)2n n n n T ++=++++ 28(41)23n n n −=++． ………………………………………………………12分 18．解：（1）π()sin()6f x x x =⋅+1cos )2x x x =+23sin cos x x x =31cos2sin 222x x +=π)6x =+． ………………………………………………4分由πππ2π22π262k x k −++≤≤(k ∈Z )， 可得ππππ36k x k −+≤≤(k ∈Z )， 即当x ∈ππ[ππ]36，k k −+(k ∈Z )时，函数()f x 单调递增， 同理可得当x ∈π2π[ππ]63，k k ++(k ∈Z )时，函数()f x 单调递减， 又π[0]2，x ∈， ∴ 函数)(x f 在π[0]6，上单调递增，)(x f 在ππ[]62，上单调递减． ……………8分（2）由题意得πππ())])463g x x x −+=−． ∵ π02≤≤x ，∴ ππ2π2333≤≤x −−，∴ π)[1]3x −∈，∴ 3()[2g x ∈−． …………………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得πsin sin sin cos()6C A A C =−， ∵ 0πA << ∴sin 0A ≠，∴ π1sin cos()sin 62C C C C =−=+，即sin C C ，得tan C =∵0πC <<，∴ π3C =． ……………………………………………………………………6分（2）由题意得sin B ==． 在△ABC 中， 由正弦定理得sin 8sin AB B AC C⋅==． …………………………8分π1sin sin()sin 32A B B B =+=+=，∴ AB 边上的高sin h AC A =⋅=． ………………………………………12分20．解：（1）当x =0时，f (x )=0；当x >0时，f (x )=-f (-x )=22()11[1]1x x x x −++−+=−−； 综上，所述22110()00110，，，，，．x x x f x x x x x ⎧+−>⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪+<⎪⎩…………………………………………5分（2）不等式f (x 2)+2af (x )≥-1恒成立， 等价于221112(1)1≥x a x x x +−++−−， 整理得211()22(1)0≥x a x x x +−++−，令 t =1x x+， 即222(1)0≥t a t −+−恒成立， …………………………………………………8分 ∵ x >0，于是t ≥2，∴ t -1≥0，于是2a ≥221(1)211t t t t −=−−+−−−， 令m =t -1≥1，1()2g m m m=−++， …………………………………………10分 显然()g m 在区间[1)，+∞上单调递减， ∴ max ()(1)2g m g ==．∴ 2a ≥2，即a ≥1． …………………………………………………………12分21．解：（1）)32(323)(2a x x ax x x f −=−='． 当0=a 时，2()30≥f x x '=，函数)(x f 在)(∞+−∞，上单调递增． …………2分 当0>a 时，由()0f x '>，得0<x 或32a x >． 由0)(<'x f ，得320a x <<． ∴函数)(x f 在(0)，−∞和2()3，a +∞上单调递增，在2(0)3，a 上单调递减． 当0<a 时，同理可得函数)(x f 在2()3，a −∞和(0)，+∞上单调递增， 在2(0)3，a 上单调递减． ………………………………………………………6分（2）由（1）可知，函数)(x f 的两个极值为a f 4)0(=和324()4327a f a a =−+， 由方程m x f =)(有三个不等实根等价于3044427，a a a m a >⎧⎪⎨−+<<⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧+−<<<.4274403a a m a a ，…………………………………8分 令m a a a g −+−=4274)(3． 由方程m x f =)(有三个不相等实根时，)3()32()6(∞+−−∞∈，，， a ． 则在)6(−−∞，上0)(>a g ，且在)3()32(∞+，， 上0)(<a g 均恒成立，∴(6)80≥g m −=−，且(3)80≤g m =−，∴8=m ． ………………………………………………………………………10分 此时0]42)2()[2(84)(223=+−−+−=−+−=−a x a x x a ax x m x f ．因为方程m x f =)(有三个不相等实根，∴042)2(2=+−−+a x a x 有两个异于2的不等实根，∴22(2)4(24)022(2)240，，a a a a ⎧∆=−−−+>⎪⎨+−−+≠⎪⎩解得)3()32()6(∞+−−∞∈，，，a ． 综上，所述8=m ． ……………………………………………………………12分22．解：（1）设点()A ρθ，为圆上任一点，则OA ρ=，π6AOM θ∠=−， 在Rt △AOM中，π)6ρθ=−.∴ 圆C的极坐标方程为π)6ρθ=−，(π3−≤θ≤2π3).…………………5分 （2）圆C 左上半圆弧OM 的三等分点对应的极角分别1π3θ=，2π2θ=. 代入圆C 的极坐标方程中， ∴ 圆C 左上半圆弧OM 的三等分点分别为1π(6)3，P ，2π)2，P ．………10分23．解：（1）由已知条件可得，34213()4222142，≥，，，，≤．xf x x xx⎧⎪⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−⎪⎩……………………3分作出函数图象如右图．……………………………5分（2）由（1）的图象可得，实数m满足532122m−<−<(或172122m−<+<)，解得35 44m−<<，∴实数m的取值范围为35()44，−．…………………………………………10分。
四川省绵阳市2021届高三数学第一次诊断性考试试题 文（含解析）(1)
四川省绵阳市2021届高三第一次诊断性考试数学（文）试题（解析版）第I 卷（选择题，共50分）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的骨干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，专门是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在尽力表现. 一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的4个选项中，只有一个符合题目要求的. 【题文】一、已知集合{}{},02,0122=--=≤-∈=x x x B x Z x A 则=⋂B A ( ) A.Φ B.{}1- C.{}0 D.{}2 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，因此=⋂B A {}1-，应选B. 【思路点拨】化简集合A 、B,从而求得A B ⋂. 【题文】二、命题"12),,0(">+∞∈∀xx 的否定是( )A."12),,0("00≤+∞∉∃x x B."12),,0("00≤+∞∈∃x xC."12),,0("≤+∞∉∀xx D."12),,0("<+∞∈∀xx 【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】B 解析：命题"12),,0(">+∞∈∀xx 的否定是"12),,0("00≤+∞∈∃x x ，应选B.【思路点拨】依照含一个量词的全称命题的否定方式写出结论.【题文】3、设各项均不为0的数列{}n a 知足)1(21≥=+n a a n n ，假设5422a a a =，那么=3a ( ) A.2 B.2 C.22 D.4 【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由)1(21≥=+n a a n n 知数列{}n a 是以2为公比的等比数列，因为5422a a a =，因此34111122a q a q a q a ⋅=⇒=，因此=3a 4，应选D.【思路点拨】由已知条件确信数列{}n a 是等比数列，再依照5422a a a =求得1a ，进而求3a . 【题文】4、如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，那么=⋅DB AD ( )A.3B.3-C.3D.-3 【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】D 解析：因为,AD AB BD AB BD =+⊥,因此=⋅DB AD ()203AB BD DB AB DB BD DB BD +⋅=⋅+⋅=-=-,应选 D.【思路点拨】利用向量加法的三角形法那么，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】五、已知53)4cos(=-x π，那么=x 2sin ( )A.2518B.2524±C.257-D.257 【知识点】二倍角公式；诱导公式. C6 C2 【答案解析】C 解析：因为53)4cos(=-x π，因此 27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即7cos 2sin 2225x x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，应选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭值，再用诱导公式求得sin2x 值. 【题文】六、已知y x 、知足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x ，那么y x -2的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 【知识点】简单的线性计划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，应选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解. 【题文】7、在()π2,0内，使sin cosx x ≥成立的x 取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,4ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,4ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,0π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,474,0【知识点】三角函数不等式的解法. C1【答案解析】A 解析：当(]0,x π∈时，不等式为sinx ≥cosx ，解得,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 当(),2x ππ∈时，不等式为-sinx ≥cosx 即sinx+cosx ≤0,解得7,4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上得7,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，应选A. 【思路点拨】依照含绝对值的不等式的解法，通过讨论x 的取值范围，去掉绝对值，然后利用单位圆及三角函数线，确信结论.【题文】八、已知)(x f 的概念在()+∞,0的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，记5log )5(log ,2.0)2.0(,2)2(22222.02.0f c f b f a ===，那么( ) A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a b c << 【知识点】函数的单调性. B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，即对任意两个不相等的正数21,x x ，都有21121212121212()()()()0x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，因此函数()()f x h x x =是()+∞,0上的减函数，因为20.220.22log 5<<，因此b>a>c,应选C.【思路点拨】构造函数()()f x h x x=，依照条件能够判定它是()+∞,0上的减函数，由此能够判定a,b,c 的大小关系.【题文】九、记函数212131)(23+-=x x x f 在()+∞,0的值域a x x g M ++=2)1()(,在()+∞∞-,的值域为N ，假设M N ⊆,那么实数a 的取值范围是( ) A.21≥a B.21≤a C.31≥a D.31≤a【知识点】函数的值域；集合关系. A1 B1【答案解析】C 解析：因为2()f x x x '=-，由()()()0,01,;f x x '>⇒∈-∞+∞由()()00,1f x x '<⇒∈，因此函数f(x)在（0,1）上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此M=1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,又N=[),a +∞，因此假设M N ⊆,那么实数a 的取值范围是31≥a ，应选C. 【思路点拨】利用导数求出函数f(x)在()+∞,0的值域M ，再求出函数g(x)的值域N,进而利用M N ⊆求得a 范围.【题文】10、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)1,0(log 0,1)2sin()(x a a x x x x f a ，且π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，那么实数a 的取值范围是A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛55,0 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,55 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,33 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 【知识点】函数的图像. B8【答案解析】A 解析：只需函数log ()(01),0a y x a x =-<<<与函数sin 1,02y x x π⎛⎫=-<⎪⎝⎭至少有3个交点，因此2log 52log a a a ->-=，因此2555a a ->⇒-<<，从而0,5a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，应选A. 【思路点拨】问题转化为函数log ()(01),0a y x a x =-<<<与函数sin 1,02y x x π⎛⎫=-<⎪⎝⎭至少有3个交点，由图像可知只需2log 52log a a a ->-=，解得a ⎛∈ ⎝⎭.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5小题，每题5分，共25分. 【题文】1一、假设1tan ,3α=-则ααααcos sin 2cos 2sin 3-+= . 【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值. C7【答案解析】35- 解析：因为1tan ,3α=-因此ααααcos sin 2cos 2sin 3-+3sin 2cos 3tan 2123cos 2sin cos 22tan 151cos 3αααααααα++-+====-----.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.【题文】1二、已知向量)0,2(),2,1(==b a ，假设b a +λ与向量)2,1(-=c 共线，那么实数=λ . 【知识点】向量共线的意义. F1【答案解析】-1 解析：因为)0,2(),2,1(==b a ，因此b a +λ=()2,2λλ+，又b a +λ与)2,1(-=共线，因此()2221λλλ-+=⇒=-.【思路点拨】依照向量的坐标运算求得b a +λ的坐标，再由b a +λ与向量)2,1(-=c 共线得关于λ的方程，解此方程即可.【题文】13、已知函数)('x f 是函数)(x f 的导函数，)0('2sin )(xf x x f +=，那么=)2('πf .【知识点】导数及其运算. B11【答案解析】-2 解析：因为)0('2sin )(xf x x f +=，因此()cos 2(0)(0)cos02(0)(0)1f x x f f f f '''''=+⇒=+⇒=-，因此()cos 2f x x '=-因此=)2('πf -2.【思路点拨】先对函数)0('2sin )(xf x x f +=求导，取得(0)f '的值，进而求出()2f π'.【题文】14、已知函数1223)(--=x x x f ，那么=+⋯+++)1110()113()112()111(f f f f . 【知识点】函数性质求函数值. B1 【答案解析】15 解析：因为1223)(--=x x x f ，因此()()()31231121121x x f x x x ----==---， 因此()(1)3f x f x +-=，因此所求=310152⨯= 【思路点拨】能够发觉()(1)3f x f x +-=，因此采纳倒序相加法求解.【题文】1五、概念：若是函数)(x f y =在概念域内给定区间[]b a ,上存在)(00b x a x <<，知足ab a f b f x f --=)()()(0，那么称函数)(x f y =是[]b a ,上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如x y =是[]2,2-上的平均值函数，0确实是它的均值点，假设函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，那么实数m 的取值范围是 .【知识点】函数中的新概念问题. B1【答案解析】(0，2) 解析：因为函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，因此存在0x )11(，-∈使21020m m mx x --=--得，1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈因此实数m 的取值范围是)20(，∈m ．【思路点拨】依照平均值函数”的概念写出m 关于0x 的函数，求此函数在（-1，1）上的值域即可. 三、解答题：本大题共6小时，共75分，解许诺写出文字说明，证明进程和演算步骤.【题文】1六、（本小题总分值12分）已知向量)cos ,(cos ),cos ,(sin wx wx n wx wx m ==，其中0>w 函数12)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π.（1）求w 的值. （2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ上的最大值. 【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. F2 C7 【答案解析】(1) 1=ω(2)213+ 解析：(1)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω =)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．……………………7分 (2) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π，又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f …………………………10分 =213+．…………………………………………………12分 【思路点拨】由向量的坐标运算能够列出关系式，求出ϖ的值，再依照解析式在概念域内求出函数的最大值. 【题文】17、（本小题总分值12分）已知函数1)2(log )(2-+-=t t t f 的概念域为D（1）求D ；（2）假设函数222)(m mx x x g -+=在D 上存在最小值2，求实数m 的值. 【知识点】函数的概念域;二次函数的最值. B1 B5【答案解析】(1) )21[，=D (2) 1=m 解析：(1) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………3分(2) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分 ① 假设m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增， 现在22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，现在m 值不存在； ③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，现在221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． ………………11分 综上：1=m ． ………………………………………………12分【思路点拨】由解析式成立的条件能够取得函数的概念域，再依照二次函数的性质求出m.【题文】1八、（本小题总分值12分）在ABC ∆中，c b a ,,别离是内角C B A ,,的对边，AB=5,51=∠ABC COS . （1）假设BC=4,求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）假设D 是边AC 的中点，且27=BD ，求边BC 的长. 【知识点】同角三角函数关系；三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【答案解析】(I) 46ABC S ∆= (II) 4=CB . 解析：(1) 51cos 5=∠=ABC AB ，，4BC =，又(0,)ABC π∠∈， 因此562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， ∴645624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ABC BC BA S ABC ．…………6分 (2) 以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边形ABCE ， 如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，BCDE在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ……………………………………10分【思路点拨】(1)利用同角三角函数关系求ABC ∠正弦值，再用三角形面积公式求得结论；（2）构造以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边形ABCE ，在三角形BCE 中利用余弦定理求出边BC 长.【题文】1九、（本小题总分值12分）记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为8533,,,9,a a a S S n =成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和n S ；（2）假设，⋯=+=3,2,1,2n a n c n n λ问是不是存在实数λ，使得数列{}n c 为单调递增数列？假设存在，请求出λ的取值范围，假设不存在，请说明理由.【知识点】等差数列及其前n 项和；等比数列；单调递增数列的条件. D1 D2 D3【答案解析】(1)1+=n a n ，2322n n S n =+；（2）存在实数λ，且3->λ. 解析：(1) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分(2) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分 假设使}{n c 为单调递增数列，则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ =012>++λn 对一切n ∈N *恒成立， 即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分 又12)(--=n n ϕ是单调递减的, ∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分【思路点拨】(1)依照已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得n a 和n S ；（2）假设数列{}n c 为单调递增数列，那么=-+n n c c 1012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立，由此得λ的取值范围.【题文】20、（本小题总分值13分）已知函数e ax e x f x (1)(--=为自然对数的底数），0>a （1）假设函数)(x f 恰有一个零点，证明：1-=a aea（2）假设0)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值集合. 【知识点】导数的应用. B12【答案解析】(1)观点析；（2）a 的取值集合为{1}.解析：(1)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分 由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，那么0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，， ∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (2)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，那么a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1}………13分【思路点拨】依照函数的导数可判定函数的单调性,由此得函数f(x)只有一个最小值，因为函数)(x f 恰有一个零点，因此此最小值是0，从而证得结论；（1）0)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，即函数f(x)的最小值大于或等于0，由此得关于a 的不等式，再利用导数求得结论. 【题文】2一、（本小题总分值14分）已知函数),(ln 2)(2R b a x bx x a x f ∈+-=. （1）假设1==b a ，求)(x f 点())1(,1f 处的切线方程；（2）设0≤a ，求)(x f 的单调区间；（3）设0<a ，且对任意的)2()(,0f x f x ≤>，试比较)ln(a -与b 2-的大小 【知识点】导数的几何意义；导数的应用；数值大小的比较. B11 B12 E1【答案解析】(1) 2230x y --=；（2）当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b 1，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单增区间是(0，a a b b 242--)，单减区间是(aab b 242--，+∞)．（3）ln()2a b -<-.解析：(1) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=，xx x f 11)(+-='， ∴21)1(-=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………3分(2)由()()∞+∈+-=，，0ln 22x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-='． (1)当0=a 时，xbxx f -='1)(． ①假设b ≤0，由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，．………5分 ②假设0>b ， 当bx 10<<时，0)(>'x f ；当b x 1>时，0)(<'x f ．即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)．…………7分 (2) 当0<a 时，0)(='x f ，得012=+-bx ax ，由042>-=∆a b 得aa b b x a a b b x 24242221--=-+=，．显然，0021><x x ，，当20x x <<时，0)(>'x f ，函数)(x f 的单调递增， 当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，因此函数)(x f 的单调递增区间是(0，aab b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)．……9分 综上所述：当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)； 当0<a 时，函数)(x f 的单增区间是(0，a a b b 242--)，单减区间是(aa b b 242--，+∞)． 10分 (3)由题意知函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(2)知，aa b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点， 故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-． 于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++令()ln 14(0)g x x x x =+->，那么1()4g x x '=-． 令0)(='x g ，得14x =，当1(0)4x ∈，时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增； 当1()4x ∈+∞，时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减． 因此对任意0x >，)(x g ≤11()ln 044g =<，又0a ->， 故()0g a -<，即041)ln(<++-a a ，即ln()142a a b -<--=-，∴ ln()2a b -<-．……………………………………………………………14分【思路点拨】（1）利用导数的几何意义)(x f 点())1(,1f 处的切线方程；（2）通过讨论a,b 的取值条件，得概念域上函数f(x)的导函数大于0或小于0的x 范围，确实是函数f(x)的增区间或减区间；（3）因为对任意的)2()(,0f x f x ≤>，因此函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(2)知，0<a 时，a a b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点，故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-．因此ln()(2)a b ---=ln()41a a -++，利用导数判定那个式子的符号即可.。
高三数学试题-四川省绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学文试题 最新
四川省绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学文试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合M ={x ∈Z|-2<x <1}，N ={-1，0，1}，则集合M 与N 的关系是A ．M ∈NB ．M ⊆NC ．M ⊇ND ．M =N2．)(x f '是函数f (x )=x 3-x +1的导数，则)1()1(f f '的值是 A ．0B ．1C ．2D ．33．下列函数中，与函数11-=x y 有相同定义域的是A ．1-=x yB ．11-=x y C ．()1ln -=x y D ．1-=x e y 4．数列{a n }中，a n =2n -12，S n 是其前n 项和，则当S n 取最小值时，n =A ．5或6B ．6或7C ．11或12D ．12或13 5．如果命题“p 且q ”与“非p ”都是假命题，则A ．命题p 不一定是真命题B ．命题q 不一定是假命题C ．命题q 一定是真命题D ．命题q 一定是假命题 6．函数f (x )=x 4-x 2+1在点x=1处的切线方程为A ．y =x +1B ．y =x -1C ．y =2x +1D ．y =2x -17．集合A ={-1，1}，集合B ={-2，2}，从A 到B 的映射f 满足f (1)+f (-1)=0，则此映射表示的函数是A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 8．函数y =lg|x -1|的图象大致为xyO 1 2 x yO 1 2 x yO 1 xyO -1 -2 2A ．B ．C ．D ．9．函数⎩⎨⎧<+≥=-，，，，)0()1()0(2)(1x x f x x f x 则)2(-f 的值为A ．21B ．1C ．2D ．0 10．已知{a n }是公比q >1的等比数列，a 1和a 7是方程2x 2-7x +4=0的两根，则log 2a 3-log 2a 4+log 2a 5=A ．2B ．2C ．21D ．011．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是A ．(-∞，45)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45，C ．(-1，45)D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-451，12．已知定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 2，若直线y =x +a与曲线y =f (x )恰有三个交点，则a 的取值范围为 A ．)041(，- B ．)2412(k k ，-（k ∈Z ） C ．)021(，-D ．)21(k k ，-（k ∈Z ）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，不能答在试题卷上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．在等差数列{a n }中，如果a n =a n +2，那么公差d = ．14．为庆祝祖国母亲60华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为101，则报名的学生人数是 ． 15．写出“函数f (x )=x 2+2ax +1(a ∈R)在区间(1，+∞)上是增函数”成立的一个．．充分不必要条件：_________． 16．已知二次函数f (x )=x 2-mx +m （x ∈R ）同时满足：（1）不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，nn a mb -=1．我们把所有满足b i ·b i +1＜0的正整数i 的个数叫做数列{b n }的异号数．给出下列五个命题：① m =0； ② m =4；③ 数列{a n }的通项公式为a n =2n -5；④ 数列{b n }的异号数为2； ⑤ 数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数()23log 1)(2-=x x f 的定义域为集合A ，不等式x-21≥1的解集为B ．（1）求(R A )∩B ；（2）记A ∪B =C ，若集合M ={x ∈R||x -a |<4}满足M ∩C =∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A ，B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5、8、9、9、9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10． （1）请你估计A ，B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（2）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．19．（本题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=120，S 20=440．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）记数列{nS 1}的前n 项和为T n ，求T n ． 20．（本题满分12分）已知函数f (x )=a x +2-1（a >0，且a ≠1）的反函数为)(1x f -．（1）求)(1x f -；（2）若)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值； （3）设函数1log )(-=x a x g a，求不等式g (x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21．（本题满分12分）已知x 1，x 2是函数x a x b x a x f 22323(-+=）（a >0）的两个极值点． （1）若a =1时，x 1=21，求此时f (x )的单调递增区间； （2）若x 1，x 2满足|x 1-x 2|=2，请将b 表示为a 的函数g (a )，并求实数b 的取值范围．22．（本题满分14分）已知数列{a n }共有2k 项（k ∈N*，k ≥2），首项a 1=2．设{a n }的前n 项的和为S n ，且a n +1=(a -1)S n +2（n =1，2，3，…，2k -1），其中常数a >1．（1）求证{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足)(log 1212n n a a a nb =（n =1，2，3，…，2k ），求{b n }的通项公式； （3）令a =1222-k ，对（2）中的{b n }满足不等式231-b +232-b +…+2312--k b +232-k b ≤4，求k 的值．绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．0 14．500 15．a =-1（答案不唯一）16．②⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}，由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分 （1）于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分（2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }．由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}． ∵ M ∩C =∅，∴ a +4≤32，解得a ≤310-．…………………………………………………12分18．解：（1）∵ A 班的5名学生的平均得分为(5+9+9+9+9)÷5=8，方差4.2])89()89()89()88()58[(512222221=-+-+-+-+-=S ；B 班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8，方差2])108()98()88()78()68[(512222222=-+-+-+-+-=S ．∴ S 12>S 22，∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．…………………………………8分（2）共有1025=C 种抽取样本的方法，其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，故所求的概率为52104=．………………………………………………………12分 19．解：（1）设{a n }的公差为d ，由题设有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+.440219202012029101011d a d a ，解得a 1=3，d =2．……………………………………5分 a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×2=2n +1，即{a n }的通项公式为a n =2n +1． ………………………………………………6分（2）由)2(2)123(+=++=n n n n S n ，得)2(11+=n n S n ， ……………………8分 ∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n )21151314121311(21+-++-+-+-=n n)2111211(21+-+-+=n n ， =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………12分20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分 （2）当0<a <1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）． 当a >1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分 （3）由已知有log a 1-x a≤log a (x +1)-2，即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ ]2131[，∈a ，∴ 21ax +≤1-x a ．①由21ax +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1，于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数，∴ 2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212． 结合x >1得1<x ≤9212． ∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎝⎛92121，．…………………………………12分 21．解：（1）∵ a =1时，x x b x x f -+=23231(）， ∴ 1)(2-+='x b x x f ．由题知21是方程012=-+x b x 的根，代入解得23=b ， 于是123)(2-+='x x x f ．由0)(>'x f 即01232>-+x x ，可解得x <-2，或x >21，∴ f (x )的单调递增区间是(-∞，-2)，(21，+∞)．…………………………4分（2）∵ 22)(a x b ax x f -+='，∴ 由题知x 1，x 2是方程ax 2+b x -a 2=0的两个根． ∴ abx x -=+21，x 1x 2=-a ， ∴ |x 1-x 2|=244)(221221=+=-+a abx x x x ． 整理得b =4a 2-4a 3．……………………………………………………………8分 ∵ b ≥0， ∴ 0<a ≤1．则b 关于a 的函数g (a )=4a 2-4a 3(0<a ≤1)． 于是)32(4128)(2a a a a a g -=-='，∴ 当)320(，∈a 时，0)(>'a g ；当⎥⎦⎤⎝⎛∈132，a 时，.0)(<'a g∴ g(a )在)320(，上是增函数，在⎥⎦⎤⎝⎛132，上是减函数．∴ 2716)32()(max ==g a g ，0)1()(min ==g a g ， ∴ 0≤b ≤2716． ………………………………………………………………12分 22．解：（1）n =1时2)1(12+-=S a a 2)1(1+-=a a a 2=，∴a aa a ==2212（常数）． n ≥2时，由已知a n +1=(a -1)S n +2有a n =(a -1)S n -1+2， 两式相减得a n +1-a n =(a -1)a n ，整理得a n +1=a ·a n ，即a a ann =+1（常数）即对n =1，2，3，…，2k -1均有a a a nn =+1（常数） 故{a n }是以a 1=2，a 为公比的等比数列．∴ a n =2a n -1．……………………………………………………………………5分 （2）)]2()2()2[(log 1)(log 11102212-⋅⋅⋅==n n n a a a n a a a n b )2(log 112102-++++⋅=n n a n]2[log 12)1(2-⋅=n n n a na n 2log 211-+=．……………………………………………………9分（3）由已知1222-=k a ，得12112log 2111222--+=-+=-k n n b k n ， 由02112123121123>---=---+=-k n k n b n 知21+>k n ，∴ 当n =1，2，…，k 时n n b b -=-23|23|，当n =k +1，k +2，…，2k 时23|23|-=-n n b b ，∴ |23||23||23||23|21221-+-++-+--k k b b b b23232323232322121-++-+-+-++-+-=++k k k k b b b b b b =]122)12([]122)10([+-+++--++-k k k k k k k k k =122-k k ， ∴ 原不等式变为122-k k ≤4，解得324-≤k ≤324+，∵ k ∈N*，且k ≥2，∴ k =2，3，4，5，6，7．……………………………………………………14分绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学（第Ⅱ卷） 答题卷（文史类）题号 二 三 第Ⅱ卷总 分总分人总分 复查人 17 18 19 20 21 22 分数得 分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． ． 14． ． 15． ．16． ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 得 分 评卷人 17．（本题满分12分）得分评卷人18．（本题满分12分）得分评卷人19．（本题满分12分）得分评卷人20．（本题满分12分）得分评卷人21．（本题满分12分）得分评卷人22．（本题满分14分）。
四川省绵阳市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性考试数学(文)试题
四川省绵阳市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B =( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．(0,3]D ．(3,4]2．若0b a <<，则下列结论不正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab a >C ．|a|+|b|>|a+b|D>3．下列函数中定义域为R ，且在R 上单调递增的是( ) A ．2()f x x =B．()f x =C ．()ln ||f x x =D ．2()e x f x =4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，33S =，则6a =( ) A ．4B ．5C ．10D ．155．已知函数2()21xx f x =-，若()2f m -=，则()f m =( )A ．-2B ．-1C ．0D ．126．已知命题:p 函数2sin sin y x x=+，(0,)x π∈的最小值为命题:q 若向量a ，b ，c ，满足a b b c ⋅=⋅，则a c =．下列命题中为真命题的是( )A ．()p q ⌝∧B ．p q ∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝7．若0.613a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.83b -=，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．已知x ，y 满足约束条件20,10,10,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．139．设函数()ln x f x ae x =-（其中常数0a ≠）的图象在点(1, (1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为( )A ．1B ．2C ．1ae -D ．12ae -10．某数学小组到进行社会实践调查，了解鑫鑫桶装水经营部在为如何定价发愁．进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：根据以上信息，你认为该经营部定价为多少才能获得最大利润？（ ） A ．每桶8.5元B ．每桶9.5元C ．每桶10.5元D ．每桶11.5元11．函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且图象关于x π=-对称，则ω的值为( ) A ．23B ．53C ．2D ．8312．在ABC ∆中，60A ︒∠=，A ∠的平分线AD 交边BC 于点D ，已知AD =1()3AB AD AC R λλ=-∈，则AB 在AD 方向上的投影为( )A ．1B ．32C ．3 D二、填空题13．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，()xf x e =，则(7)f =________．14．已知向量(2,2)a =-，向量b 的模为1，且22a b -=，则a 与b 的夹角为________． 15．2021年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60︒的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75︒的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）16．若函数2()1xf x x x ae =++-有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围为________．三、解答题17．已知函数22()(cos sin )2sin f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间；（2）若()01f x =-，且0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求0x 的值．18．在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设22log na n n cb =+，求数列{}nc 的前n 项和n T ．19．已知ABC ∆中三个内角A ，B ，Csin()1B A C =++． （1）求sin B ； （2）若2C A π-=，b 是角B的对边，b =ABC ∆的面积．20．已知函数3211()(1)2()32f x x a x ax a R =+--+∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值是2，若存在，求出a 的值；不存在，请说明理由．21．已知函数2()e x f x ax =-，a R ∈，(0,)x ∈+∞． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 的极大值为M ，求证：e12M <<． 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos ,sin x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩（α为参数）．坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设射线:3OM πθ=与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．23．设函数()|||1|5()f x x m x m R =-++-∈． （1）当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()2f x ≥-，求实数m 的取值范围．参考答案1．A 【解析】 【分析】先求解集合,A B ,然后求解A B .【详解】因为{}{*|3}1,2,3A x x ==∈≤N ，{}{}2|40|04B x x x =x x =-≤≤≤，所以{}1,2,3AB =.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养. 2．C 【分析】结合不等式的性质或特殊值，逐个选项验证. 【详解】因为0b a <<，所以11a b<，选项A 正确； 因为0b a <<，所以2ab a >，选项B 正确； 因为0b a <<，所以|a|+|b|=|a+b|，选项C 不正确；因为13y x =>D 正确.故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，这类问题的求解方法是利用常见的不等式的性质或者利用特殊值进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养. 3．D 【分析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项. 【详解】因为()f x =[0,)+∞，()ln ||f x x =的定义域为{}0x x ≠，所以排除选项B,C.因为2()f x x =在(,0]-∞是减函数，所以排除选项A ，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养. 4．B 【分析】先由3S 求2a ，再求公差d ，最后可得6a . 【详解】因为3233S a ==，所以21a =，可得32211d a a =-=-=，所以6335a a d =+=， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，熟练记忆等差数列的求和公式及通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 5．B 【分析】先由()f x 写出()f x -，再由二者关系可得()f m 与()f m -的关系，易得()f m . 【详解】因为()()22212112212x x x x x x x f x ----⋅-===---⋅，所以()()2112112x x x f x f x +-=+=--， 所以()()1f m f m +-=，易得()1f m =-.故选B. 【点睛】本题主要考查函数的表示方法，结合函数解析式的特征可求，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养. 6．D 【解析】 【分析】先判断命题p ，命题q 的真假，利用基本不等式和三角函数的性质可判断命题p 为假，再用零向量判断命题q 为假，进而判断命题p ⌝和命题q ⌝为真，易得()()p q ⌝∧⌝为真. 【详解】由题意命题:p 函数2sin sin y x x =+≥当且仅当2sin sin x x=时，等号成立，由()sin f x x =性质可得2sin 2x ≠，所以函数2sin sin y x x=+，(0,)x π∈取不到最小值p 为假，则命题p ⌝为真；命题:q 若向量b 为零向量，满足a b b c ⋅=⋅，但不一定有a c =，所以命题q 为假，则命题q ⌝为真，所以()()p q ⌝∧⌝为真.故选: D. 【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及基本不等式的最值问题要注意条件的检验，平面向量的运算要熟记运算规则，侧重考查逻辑推理的核心素养. 7．B 【分析】先将a 化成与b 同底，再利用指数函数单调性比较,a b 大小，然后利用中间值1比较,c a 的大小，最后易得三者关系. 【详解】因为00.6.6133a -⎛⎫= ⎪=⎝⎭，由指数函数3xy =单调递增，且0.60.8->-可得0.60.833a b --=>=，且1b a <<，又因为ln3ln 1c e =>=，所以c a b >>.故选B.【点睛】本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进行，不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养. 8．C 【分析】先作出可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出点代入目标函数可得. 【详解】作出可行域，如图，易得目标函数2z x y =+在点A 处取到最小值，由10,10,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得(0,1)A ，所以2z x y =+的最小值为1，故选C. 【点睛】本题主要考查线性规划求解最值问题，主要求解方法是作出可行域，平移目标函数，得到最值点，联立方程组，求出最值点可得最值. 9．A 【分析】先求得()f x 的导数，可得切线的斜率，根据切点写出切线的点斜式方程，令0x =可得l 在y 轴上的截距. 【详解】因为函数()ln xf x ae x =-的导数为1()xf x ae x'=-，可得图象在点(1, (1))f 处的切线斜率为1ae -，且()1f ae =，则切线方程为()()11y ae ae x -=--，令0x =可得1y =， 故选A. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解在某点处的切线方程的策略是：先求导数，代入切点横坐标可得切线斜率，然后结合点斜式可求切线方程，侧重考查数学运算的核心素养. 10．D 【分析】通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论．【详解】通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为（6+x ）元（0＜x ＜13），公司日利润y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280（0＜x ＜13）， ∵﹣40＜0，∴当x ＝440240⨯＝5.5时函数y 有最大值， 因此，每桶水的价格为6+5.5=11.5元，公司日利润最大， 故选D 【点睛】本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，属于基础题． 11．A 【分析】先求周期的范围，再进一步得到ω的范围，排除选项B,C,D. 【详解】因为函数()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以222T πππ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭，所以2T π≥.又因为2T πω=，所以22ππω≥，所以1ω≤.只有选项A 符合，经检验可知图象关于x π=-对称；故选 A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及性质，利用单调性和对称性确定参数，特值进行排除也是常用方法，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 12．D 【分析】先根据1()3AB AD AC R λλ=-∈得出四边形AFDE 为菱形，从而可得3AB =,进而可求AB 在AD 方向上的投影.【详解】 因为1()3AB AD AC R λλ=-∈，如图设13AE AC =,//DF AC ,所以四边形AFDE 为菱形；因为AD =60A ︒∠=，所以2AE =,即有6AC =;结合比例性质可得1BF =,所以3AB =;AB 在AD 方向上的投影为cos30AB ︒=故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 13．e 【分析】先根据()(2)f x f x =+可得周期为2，利用周期可求(7)(1)f f =，从而可得结果. 【详解】因为()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2，所以(7)(1)f f =；又因为当[0,2)x ∈时，()xf x e =，所以(7)(1)e f f ==.故答案为：e .【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值，主要求解思路是：先根据题设条件得出函数的周期，再结合周期把目标函数值转化到已知区间上，然后可求，侧重考查数学抽象的核心素养. 14．4π 【分析】先根据|2|2a b -=求得a b ⋅，然后利用向量的夹角公式可求. 【详解】因为(2,2)a =-，所以22a =，因为|2|2a b -=，所以22444a a b b -⋅+=，即有2a b ⋅=，，所以2cos ,a b a b a b⋅==，故a 与b 的夹角为4π.故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，向量夹角的求解主要利用公式cos ,a b a b a b⋅=来求，侧重考查数学运算的核心素养.15 【分析】根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得. 【详解】如图，根据已知可得60,75,30,ABF CBF CBD ∠=︒∠=︒∠=︒设飞行高度为x 千米，即CD x =，则BC =;在直角三角形CFB 中，75,CBF BC ∠=︒=,所以sin 75CF =︒，cos 75BF =︒；在直角三角形ABF 中，同理可求3cos75AF x =︒；因为飞行速度为/小时，飞行时间是1分钟，所以ED AC ===,所以sin 753cos 755AF CF x +=︒+︒=，解得5x =，故答案为5. 【点睛】本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养. 16．01a <<或3ea > 【分析】令f （x ）＝0，参变分离得a ＝21x x x e ++，令h （x ）＝21xx x e++，对h （x ）求导得函数h （x ）的单调递增区间为（0，1）,单调递减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），h （x ）极小值＝h （0）＝1，h （x ）极大值＝h （1）＝3e，由题意得函数h （x ）与直线y ＝a 有且仅有一个交点，即可得出a 的取值范围． 【详解】令f （x ）＝0，可得：a ＝21x x x e ++，令h （x ）＝21xx x e++， h '（x ）＝()()22(21)11x xxxx e x x e x x e e +-++--=，令h '（x ）＝0，解得x ＝0或1，由表格可得：h （x ）极小值＝h （0）＝1，h （x ）极大值＝h （1）＝3e，且(),x h x →-∞→+∞，(),0x h x →+∞→.由f （x ）有且仅有一个零点，转化为函数h （x ）与直线y ＝a 有且仅有一个交点．∴当01a <<或3ea >时，函数h （x ）与直线y ＝a 有且仅有一个交点． 故答案为01a <<或3ea >【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的零点转化为图象的交点问题，也考查了分析推理转化解决问题与计算的能力，属于中档题．17．（1）π 3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z（2）34π-【分析】（1）先结合三角恒等变换的公式把目标函数化简为标准型，结合周期求解公式和单调区间求解方法可求；（2）结合所给角的范围，确定024x π+的范围，结合函数值可得所求角.【详解】解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =--212sin cos 2sin x x x =--cos2sin2x x =-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴22T ππ==， 即()f x 的最小正周期为π．∵cos y x =的单调递减区间为[2,2]k k ππ+π，k ∈Z ， ∴由2224k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，解得388k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递减区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由已知()01f x =-0214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即0cos 242x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 再由0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，可得0732,444x πππ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭， ∴05244x ππ+=-， 解得034x π=-．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及性质，一般求解思路是：先利用公式把目标函数化简为标准型，然后利用相应性质的求解方法求解，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.18．（1）21n a n =-，2nn b =；（2）2122232n n n n T +-+=+【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，列式解得0d =（舍去）或2d =，进而得21n a n =-；再由数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-，得1n n n b S S -=-=2n ()2n ≥，且12b =，进而得2nn b =；（2）由（1）得212n n c n -=+，利用分组求数列{}n c 的前n 项和n T 即可. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，∵1a ，2a ，5a 成等比数列，2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=-.当1n =时，12b =， 当2n ≥时，()112222n n n n n b S S +-=-=---1222222n n n n n +=-=⨯-=．验：当1n =时，12b =满足上式，∴数列{}n b 的通项公式为2nn b =． （2）由（1）得，2122log 2n an n n c b n -==++， ()()()3521(21)22232n n T n -=++++++++()35212222(123)n n -=+++++++++()214(1)142n n n -+=+-2122232n n n+-+=+. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（1）13（2）2【分析】（1sin()1B A C =++及平方关系，可以求得sin B ；（2）根据三角形的性质及正弦定理可求a A =，c C =，然后利用面积公式可得. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，即()B A C π=-+， ∴sin sin()B A C =+，sin 1B B =+．两边平方可得222cos sin 2sin 1B B B =++， 根据22sin cos 1B B +=，可整理为23sin 2sin 10B B +-=， 解得1sin 3B =或sin 1B =-（舍去）． ∴1sin 3B =． （2）由2C A π-=，且A B C π++=，可得22A B π=-，C 为钝角，∴sin2cos A B =，又b =由正弦定理得sin sin sin a b cA B C===∴a A =，c C =．又C 为钝角，由（1）得cos 3B =．∴ABC ∆的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯ 99sin sin sin cos 222A A A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭999sin 2cos 44432A B ===⨯=综上所述，ABC ∆的面积为2． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和面积公式求解三角形问题，解三角形时需要注意三角形性质的使用及面积公式的选择，边角的相互转化是求解的常用策略，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.20．（1）极小值为()413f =，极大值为()813f -=；（2）存在76a =，理由见解析【分析】（1）当1a =时，31()23f x x x =-+，则2()1(1)(1)f x x x x '=-=-+，得()f x 的单调性，进而得()f x 的极值；（2）求导得()()()'1f x x a x =-+，按1a ≤，12a <<，2a ≥进行分别讨论得()f x 的单调性，进而求出最大值，判断最大值是2能否成立即可. 【详解】（1）当1a =时，31()23f x x x =-+，则2()1(1)(1)f x x x x '=-=-+， 由()'0fx >，得1x <-或1x >；由()'0f x <，得11x -<<，()f x ∴在(–1)∞-，上单调递增，(11)-，上单调递减，(1)+∞，上单调递增． ()f x ∴的极小值为()413f =，极大值为()813f -=. （2）()()()'1fx x a x =-+，当1a ≤时，()f x 在[1]2，单调递增，()f x ∴最大值为()202423f a =-=，解得76a =（舍）；当12a <<时，()f x 在[1)a ，上单调递减，在(2]a ，上单调递增，()f x ∴最大值为()1f 或()2f ，由173(1)262a f =-=，解得59a =（舍），由()22f =，解得76a =.当2a ≥时，()f x 在[1]2，单调递减，()f x ∴最大值为173(1)262a f =-=，解得59a =（舍)．综上所述：76a =.【点睛】本题考查了导数的应用：函数的单调性、极值、最值求参数等问题，也考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题． 21．（1）2ea >；（2）见解析 【分析】（1）求导()2x e f x x a x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x '-=，得()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，min ()(1)h x h e ==，由题意得按2e a ≤，2ea >分类讨论，计算实数a 的取值范围即可；（2）由（1）知，()f x 的极大值为()()000e 1012xx M f x f ⎛⎫=->= ⎪=⎝⎭，0)1(0x ∈，，令()12x x g x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导得()g x 在(0)1，上单调递增，即可证得.【详解】（1）由题意得()22x xe f x e ax x a x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x '-=． ∴当01x <<时，得'()0h x <，当1x >时，得'()0h x >，∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且x →+∞，()h x →+∞，0x →，()h x →+∞，∴min ()(1)h x h e ==．①当2a e ≤，即2e a ≤时，'()0f x ≥，于是()f x 在(0,)+∞上是增函数， 从而()f x 在(0,)+∞上无极值．②当2a e >，即2e a >时，存在1201x x <<<，使得()()''120f x f x ==， 且当()10,x x ∈时，'()0f x >，()f x 在()10,x 上是单调递增； 当()12,x x x ∈时，'()0f x <，()f x 在()12,x x 上是单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在()2,x +∞上是单调递增，故2x 是()f x 在(0,)+∞上的极小值． 综上，2e a >． （2）由（1）知，()f x 的极大值为()()001M f x f =>=．又()0002200000e e e e 122x x x x x M f x ax x x ⎛⎫==-=-⨯=- ⎪⎝⎭，0)1(0x ∈，， 令()12xx g x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，)1(0x ∈，，则1()(1)e 02x g x x '=->， ()g x ∴在区间(0)1，上单调递增，()(1)2e g x g ∴<=，12eM ∴<<. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立以及分类讨论思想，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，属于中档题．22．（1）224x y += 2ρ=（2）2 【分析】（1）结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式cos x ρθ=，sin y ρθ=可得极坐标方程；（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段AB 的长． 【详解】解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=++=， ∴曲线C 的普通方程为224x y +=． ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． （2）把3πθ=代入cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中， 可得cos 336ππρ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得ρ=即B 点的极径B ρ=， 由（1）易得2A ρ=，∴||2A B AB ρρ=-=．【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普通方程化为极坐标方程主要利用cos x ρθ=，sin y ρθ=来实现，侧重考查数学运算的核心素养. 23．（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞ （2）(,4][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）利用零点分段讨论法，把绝对值符号去掉可得解集； （2）先求()f x 的最小值，然后求解绝对值不等式即可. 【详解】（1）当2m =时，()|2||1|5f x x x =-++-．当1x ≤-时，()(2)(1)50f x x x =---+-≥，解得2x -≤； 当12x -<<时，()(2)150f x x x =--++-≥， 无解．当2x ≥时，()2150f x x x =-++-≥， 解得3x ≥；综上，原不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞．（2）∵()|||1|5|()(1)|5f x x m x x m x =-++-≥--+- |1|52m =+-≥- 当且仅当()(1)0x m x -+≤等号成立 ∴|1|3m +≥，∴13m +≥或13m +≤-， 即2m ≥或4m ≤-，∴实数m 的取值范围是(,4][2,)-∞-+∞． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的求解一般转化为分段函数求解，不等式有关的最值常用a b a b a b +≥±≥-来实现，侧重考查数学运算的核心素养.。
四川省绵阳市2020届高三第一次诊断性考试数学文试题含Word版含解析
四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学试题（文史类）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故选D.2. 若，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假设则，所以，这与已知矛盾.故假设错误，应有，所以选C.3. ．已知向量，，若，则的值是（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选A.4. 若，则（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】因为，解得，所以，故选D.5. 某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得，即。
根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以，解得。
选C。
6. 已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为恒成立，所以命题为假命题，由得或，即或，所以是假命题，故是真命题，选B.7. 函数满足，且当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数满足，所以函数的周期为又在一个周期内，函数解析式为，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数的图象，要使两个函数图象有且仅有四个交点，只需，所以，故选C.8. 已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，因此，向右平移后得，，所以代入选项检验，当时，取最大值，所以是一条对称轴，故选B.9. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.10. 已知，给出以下结论：①；②；③.则其中正确的结论个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】对①，由指数函数的性质知，再由幂函数性质知，所以；对②取，显然，故不正确；对③根据对数函数的性质和图象知，故正确. 故选B.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．11. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A点睛：解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理.在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.12. 已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故可设，∵∴ ，根据题意.存在，使得，只需，即，∴ ，∴.∴∴.故选B.点睛：本题主要考查了三角函数和导数的有关知识，难度较大，属于难题.求解时要做到灵活转化，一是根据条件设出，进而得到，并确定导数的值域；二是将存在两条互相垂直的切线转化为存在存在，使得，故得到只需，求得后再转化为三角函数的最值问题处理.13. 已知变量满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】3【解析】解：由变量x,y满足约束条件表示的平面区域，可知当直线过点（1,1）时，目标函数最小，且为514. 已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据函数的单调性及奇偶性可知，当或时，，故或时，，解得，故填.15. 在中，，，，且是边的两个三等分点，则__________．【答案】【解析】如图，,.∴。
2023年绵阳市第一次诊断考试文科数学答案
绵阳市高中2021级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BBCAD BACBC BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．15．[1)，-+∞16．1三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则4S 2=S 1+3S 3，得3a 3=a 2，················3分∴数列{a n }的公比q 31=，·····································································4分由271=a ，数列{a n }的通项公式n n n q a a --=⋅=4113；·································6分（2）令n n a b 3log =，则n b n n -==-43log 43，·········································8分∴当4≤n 时，0≥n b ，········································································9分∴当3=n 或4时，T n 取得最大值：612343=++==T T ．···························12分18．解：（1）∵1)8tan()3(=+=ϕππf ，∴πππϕk +=+48，而2||πϕ<，····························································2分∴8πϕ=，即)883tan()(π+=x x f ，·························································3分∴()f x 的最小正周期为：83T ππω==；··················································4分（2）由题意，33()tan()888g x x πλ=++，····················································5分∵(0)tan tan()88f ππ-=-=-，∴)8tan()883323tan()0(4(ππλππ-=++-=，得由f g ，··································7分∴∈+-=+k k ，πππλ832783Z ，······························································9分∴0381211>∈+-=λππλ，又，Z k k ，·····················································10分∴λ的最小值为74π．··········································································12分19．解：（1）∵232()(2)(2)=22(2)(2)f x x m x m x m x mx m m =+-+--+--为奇函数，∴2(2)0(2)0m m m --=⎧⎨--=⎩，解得：m =2．···························································5分（2）当m >0时，2x 2+m >0，∴函数2()(2)(2)f x x m x m =+-+不可能有两个零点．································6分当m <0时，由()0f x =，解得：x =m -2，·································7分要使得f (x )仅有两个零点，则2m -=，··········································8分即22780m m -+=，此方程无解．故m =0，即32()24f x x x =+，·······························································9分令32()()3243h x f x x x =-=+-，则2()682(34)h x x x x x '=+=+，()0h x '>，解得：0x >或43x <-，()0h x '<解得：403x -<<，故()h x 在4()3，-∞-，(0)，+∞上递增，在4(0)3，-上递减，···························10分又417()0327h -=-<，故函数()3y f x =-仅有一个零点．·························································12分20．解：（1）∵cos(C -B )sin A=cos(C -A )sin B∴(cos C cos B+sin C sin B )sin A=(cos C cos A+sin C sin A )sin B ·································2分∴cos C cos B sin A=cos C cos A sin B ·······························································3分又∵△ABC 为斜三角形，则cos C ≠0，∴cos B sin A =cos A sin B ，·········································································5分∴sin(A -B )=0，又A ，B 为△ABC 的内角，∴A=B ；···························································································6分（2）在△ABC 中，由（1）知，a=b ，由正弦定理sin sin b c B C =，则1sin sin C b c B=，···············································7分又1sin B c=，即sin 1c B =，∴11sin sin()sin 2C A B B a b===+=，∴2211ac -==sin 2B -sin 22B ，·································································9分∴2211a c -=sin 2B -sin 22B=sin 2B -4cos 2B sin 2B=sin 2B -4(1-sin 2B )sin 2B ，············10分令sin 2B=t ，令f (t )=t -4(1-t )t=4t 2-3t ，······················································11分又因为0＜sin 2B<1，即0＜t<1，∴当t=38时，f (t )取最小值，且f (t )min =916-，综上所述：2211a c -的最小值为916-．···················································12分21．解：（1）方法一：a ax x x f x -+-='-21e )(，············································1分因为()f x 在(1)+∞，上单调递增，∴()0≥f x '恒成立，故：当1x >时，21e 1≥x x a x ---恒成立．·····················································3分设21e ()(1)1x x g x x x --=>-，则max ()≥a g x ，则12(2)(e )()(1)x x x g x x ----'=-，易知1+≥x e x ，所以x e x ≥-1，故令0)(>'x g 得到：21<<x ；令0)(<'x g 得到：2>x ．∴()g x 在(2)，+∞上递减；在(12)，上递增．·············································5分故：当1>x 时，max ()(2)4e g x g ==-．∴实数a 的取值范围：4e ≥a -．···························································6分方法二：12()e x f x x ax a -'=-+-，因为()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()0≥f x '恒成立，等价于：2110e ≤x x ax a --+-在[1)+∞，上恒成立，········································2分设21()1(1)e x x ax a g x x --+=->，则max ()0≤g x ，1()(2)()e x x a x g x ----'=，当2a =时，()0g x '<，∴()g x 在[1)+∞，上递减，max ()(1)0g x g ==，符合题意．····························3分当2a >时，易知()g x 在(12)，上递减，在(2)a ，上递增，在）（+∞,2上递减，因为(1)0g =，故只需满足1()10a ag a e -=-≤（由1+≥x e x易得），符合题意．···················4分当21<<a 时，易知()g x 在(1，a )上递减，在(a ，2)上递增，在）（+∞,2上递减，因为(1)0g =，故只需满足4(2)10ea g -=-≤，即24<≤-a e ，当1≤a 时，易知()g x 在(1，2)上递增，在2+∞（，）上递减，························5分max 4()(2)10a g x g e-==->，不符合题意．综上：实数a 的取值范围：4e a -≥．·····················································6分（2）()f x 的极值点个数等价于()f x '的变号零点个数，令21()1e x x ax a g x --+=-，则等价于()g x 的变号零点个数，···························7分当x →-∞时，()g x →+∞；当+∞→x 时，1)(-→x g ，由（1）可知1()(2)()e x x a x g x ----'=，(1)0g =，当2=a 时，易知()g x 在），（∞+∞-上递减，故()g x 有唯一变号零点1；······8分当2a >时，易知()g x 在），（2∞-上递减，在），（a 2上递增，在）（+∞,2上递减，因为(2)(1)0g g <=，1()10e a ag a -=-≤，故()g x 有唯一变号零点1；当2<a 且1≠a 时，易知()g x 在()a -∞，上递减，在(a ，2)上递增，在2+∞（，）上递减，·············································································································9分01e )(1<-=-a aa g ，4(2)1ea g -=-，若(2)0g ≤，即4e 2a -<≤时，有唯一变号零点1；···································10分若(2)0g >，即4a e <-且1a ≠时，()g x 有三个变号零点1，2x ，3x ，且2312x x <<<。
四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学文试题
绵阳市高中2015级第一次诊断性考试数学（文史类） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合()(){}410A x x x =∈-+<Z ，{}2,3,4B =，则A B =I （ ） A ．()2,4 B ．{}2,4 C ．{}3 D ．{}2,3 2．若x y >，且2x y +=，则下列不等式成立的是（ ） A ．22x y < B ．11x y< C ．1x > D ．0y < 3．．已知向量()1,2a x =-r ，(),1b x =r ，若a b ∥r r，则x 的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．若tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．3- B ．3 C ．34-D ．345．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米. A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 6．已知命题0:p x ∃∈R ，使得00x e≤；命题:,q a b ∈R ，若12a b -=-，则1a b -=-.下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当11x -≤≤时，()f x x =.若函数()y f x =的图象与函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．()4,5 B ．()4,6 C ．{}5 D ．{}68．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若将()y f x =的图象向右平移16个单位得到()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一条对称轴方程是（ ） A ．56x =B ．13x =C ．12x = D ．0x = 9．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知01a b <<<，给出以下结论：①1123a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②1132a b >；③1123log log a b >. 则其中正确的结论个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．2- C．2-．1-12．已知,,a b c ∈R ，且满足221b c +=，如果存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,2- B．⎡⎣ C．⎡⎣ D．⎡-⎣第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量,x y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ．14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()21f =，若()211f x +<，则x 的取值范围是 ．15．在ABC ∆中，2AB =，4AC =，3A π∠=，且,M N 是边BC 的两个三等分点，则AM AN ⋅=u u u r u u u r．16．已知数列{}n a 的首项1a m =，且121n n a a n ++=+，如果{}n a 是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）设0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin 2α的值. 18.设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .（1）求n T ；（2）若对于任意的*n ∈N ，11n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围. 19．在ABC ∆中，23B π∠=，D 是边BC上一点，且AD =2BD =. （1）求ADC ∠的大小；（2）若AC =ABC ∆的面积. 20．已知函数()()32f x x x x a a =+-+∈R .（1）求()f x 在区间[]1,2-上的最值；（2）若过点()1,4P 可作曲线()y f x =的3条切线，求实数a 的取值范围. 21．函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R .（1）求()f x 的单调区间； （2）若0a >，求证：()32f x a≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos ,45sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设1:6l πθ=，2:3l πθ=，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB ∆的面积.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2123f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≥；（2）记()f x 的最小值是m ，正实数,a b 满足22ab a b m ++=，求2a b +的最小值.绵阳市高2015级第一次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCADC BCBAB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．)21()23(∞+--∞，，15．32016．(21，23)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分43125343πππ=+=T ，解得π=T ， 于是由T =πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………3分 ∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ，即1)32sin(=+ϕπ， ∴2232ππϕπ+=+k ，k ∈Z ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ， 又)22(ππϕ，-∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π-=x x f ． …………………6分(Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα，即53)62sin(=-πα， 因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，-∈-，∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………8分 ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6sin )62cos(6cos )62sin(ππαππα-+-= =21542353⨯+⨯ 10334+=． ………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，由S 3=15有3a 1+d 223⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简3d =2a 1，② ………………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分∴)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ， ∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n ．……………………………………………………7分(Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)32(3+<+n n tn，∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ，………………9分又nn 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++nn ≥162， ……………………………………………………11分 ∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理BADBDB AD ∠=∠sin sin ，得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6π，故AB =BD =2．在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ． ……………………12分 20．解：（Ⅰ）)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ， ……………………………1分由0)(>'x f 解得31>x 或1-<x ；由0)(<'x f 解得311<<-x ，又]21[，-∈x ，于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]231[，上单调递增． …………………………………………………………………3分∵ a f a f a f +-=+=+=-275)31(10)2(1)1(，，，∴ )(x f 最大值是10+a ，最小值是a +-275．………………………………5分 (Ⅱ) 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+， 则14123)(232--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ， 整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解． 令a x x x x -+--=5222)(23μ， ∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ，由0)(>'x μ解得1>x 或31-<x ，由0)(<'x μ解得131<<-x ，即函数)(x μ在)31(--∞，，)1(∞+，上单调递增，在)131(，-上单调递减． ……………………………………………………………………10分要使得0)(=x μ有3个根，则0)31(>-μ，且0)1(<μ，解得271453<<a ， 即a 的取值范围为)271453(，． ………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减；………………3分 ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a ． ……………………5分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增， 则121ln )1()(min --==aa a f x f ． …………………………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a≥0，即证a ln ≥a11-．………………………………………………………………8分 构造函数11ln )(-+=aa a μ，则22111)(a a a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ， 即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+aa ≥0成立． 从而)(x f ≥a23-成立．………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分∴ S △AOB AOB ∠=sin 2121ρρ )63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤23-时，f (x )=-2-4x ， 由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分当x ≥21时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1，……………4分所以f (x )≥6的解集是)1[]2(∞+--∞，，．…………………………………5分 （Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分 ∵ b a 2⋅≤2)22(b a +， …………………………………………………………8分 由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +， 解得b a 2+≥252-，∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。
2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)
2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A．（2，4） B．{2，4}C．{3}D．{2，3}2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A．x2＜y2B．C．x2＞1 D．y2＜13．（5分）已知向量，，若，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C．D．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米．A．13 B．14 C．15 D．166．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A．p B．¬q C．p∨q D．p∧q7．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当﹣1≤x≤1时，f（x）=|x|．若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为（）A．（4，5） B．（4，6） C．{5}D．{6}8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=0 B．C．D．9．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：则其中正确的结论个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个11．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A．2﹣2B．1﹣2C．﹣2 D．﹣112．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+c的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是．14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，则=．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=m，且a n+1+a n=2n+1，如果{a n}是单调递增数列，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，且，求sin2α的值．18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tT n＜a n+11恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）在△ABC中，，D是边BC上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．20．（12分）已知函数f（x）=x3+x2﹣x+a（a∈R）．（1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P（1，4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围．21．（12分）函数f（x）=﹣lnx+2+（a﹣1）x﹣2（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，求证：f（x）≥﹣．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A．（2，4） B．{2，4}C．{3}D．{2，3}【解答】解：集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}={x∈Z|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B={2，3}，故选：D2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A．x2＜y2B．C．x2＞1 D．y2＜1【解答】解：∵x＞y，且x+y=2，∴x＞2﹣x，∴x＞1，故x2＞1正确，故选：C3．（5分）已知向量，，若，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：根据题意，向量，，若，则有2x=（x﹣1），解可得x=﹣1，故选：A．4．（5分）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C．D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米．A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，∵该职工这个月缴水费55元，∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x﹣10）×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x﹣10）×5=55，解得：x=15，故选：C．6．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A．p B．¬q C．p∨q D．p∧q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得：命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0为假命题，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣1=b﹣2或a﹣1=﹣b+2即a﹣b=﹣1，或a+b=3，故命题q为假命题，故¬q为真命题；p∨q，p∧q为假命题，故选：B7．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当﹣1≤x≤1时，f（x）=|x|．若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为（）A．（4，5） B．（4，6） C．{5}D．{6}【解答】解：因为f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期为2，在x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|．画出函数f（x）与g（x）=log a x的图象如下图所示；若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则函数g（x）=log a x的图象过（5，1）点，即a=5，故选：C8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=0 B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=sinϖx+cosϖx=2sin（ωx+）（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，∴设函数f（x）的周期为T，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（）2，解得：T=2，∴T=2=，解得：ω=π，∴f（x）=2sin（πx+），∴y=g（x）=f（x﹣）=2sin[π（x﹣）+]=2sin（πx+），∵令πx+=kπ+，k∈Z，解得：x=k+，k∈Z，∴当k=0时，函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是：x=．故选：C．9．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“C=”⇔“A+B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：①；②；③．则其中正确的结论个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：∵0＜a＜b＜1，故y=为减函数，y=x a在（0，+∞）上为增函数，故，即①正确；y=b x为减函数，y=在（0，+∞）上为增函数，，即②错误；y=log a x与在（0，+∞）上均为减函数，故，．即③正确；故选：B11．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A．2﹣2B．1﹣2C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵f′（x）=1﹣=，∴当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（﹣1）=0，∴f（x）只有唯一一个零点x=﹣1，即x1=﹣1，∵|x1﹣x2|≤1，∴﹣2≤x2≤0，∴g（x）在[﹣2，0]上有零点，（1）若△=4a2﹣4（4a+4）=0，即a=2±2，此时g（x）的零点为x=a，显然当a=2﹣2符合题意；（2）若△=4a2﹣4（4a+4）＞0，即a＜2﹣2或a＞2+2，①若g（x）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g（﹣2）g（0）≤0，∴a=﹣1，②若g（x）在[﹣2，0]上有两个零点，则，解得﹣1≤a＜2﹣2．综上，a的最小值为﹣1．故选：D．12．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+c的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ax+bcosx+csinx，b2+c2=1，∴f′（x）=a+ccosx﹣bsinx=a﹣sin（x﹣φ），其中tanφ=，则f′（x）∈[a﹣1，a+1]，若存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则存在k1，k2∈[a﹣1，a+1]，使k1k2=﹣1，由（a﹣1）（a+1）=a2﹣1≥﹣1得：a=0，则a+c=c=sin（φ+θ），其中tanθ=，故a+c∈[﹣，]，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是3．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是（﹣，）．【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，则（2x+1）=f（|2x+1|），又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，则f（2x+1）＜1⇒f（|2x+1|）＜f（2）⇒|2x+1|＜2，解可得﹣＜x＜；则x的取值范围是（﹣，）；故答案为：（﹣，）．15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，则=．【解答】解：根据题意，如图△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，有=+=+=+（﹣）=+，=+=+=+（﹣）=+，则=（+）•（+）=2+2+•=；即=；故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=m，且a n+1+a n=2n+1，如果{a n}是单调递增数列，则实数m的取值范围是（，）．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1+a n=2n+1，对其变形可得[a n+1﹣（n+1）]+（a n﹣n）=0，即a n+1﹣（n+1）=﹣（a n﹣n），又由a1=m，则a1﹣1=m﹣1，当m=1时，a n﹣n=0，则a n=n，符合题意，当m≠1时，数列{a n﹣n}是以m﹣1为首项，公比为﹣1的等比数列，则a n﹣n=（m﹣1）×（﹣1）n，即a n=（m﹣1）×（﹣1）n+n，=（m﹣1）×（﹣1）n﹣1+n﹣1，则a n﹣1当n为偶数时，a n﹣a n=2（m﹣1）+1，①﹣1当n为奇数时，a n﹣a n=﹣2（m﹣1）+1，②﹣1如果{a n}是单调递增数列，则有，解可得＜m＜，即m的取值范围是（，）∪（1，）；故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，且，求sin2α的值．【解答】解：（1）由图得，A=2．…（1分），解得T=π，于是由T=，得ω=2．…（3分）∵，即，∴，k∈Z，即，k∈Z，又，所以，即．…（6分）（2）由已知，即，因为，所以，∴．…（8分）∴===．…（12分）18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tT n＜a n+11恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①…（2分）又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②…（4分）联立①②解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．…（5分）∴，∴．…（7分）（Ⅱ）∵tT n＜a n+11，即，∴，…（9分）又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，…（11分）∴t＜162．…（12分）19．（12分）在△ABC中，，D是边BC上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABD中，由正弦定理，得，∴，∴．（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，整理得CD2+6CD﹣40=0，解得CD=﹣10（舍去），CD=4，∴BC=BD+CD=4+2=6．∴S=．△ABC20．（12分）已知函数f（x）=x3+x2﹣x+a（a∈R）．（1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P（1，4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），…（1分）由f'（x）＞0解得或x＜﹣1；由f'（x）＜0解得，又x∈[﹣1，2]，于是f（x）在上单调递减，在上单调递增．…（3分）∵，∴f（x）最大值是10+a，最小值是．…（5分）（2）设切点Q（x，x3+x2﹣x+a），P（1，4），则，整理得2x3﹣2x2﹣2x+5﹣a=0，…（7分）由题知此方程应有3个解．令μ（x）=2x3﹣2x2﹣2x+5﹣a，∴μ'（x）=6x2﹣4x﹣2=2（3x+1）（x﹣1），由μ'（x）＞0解得x＞1或，由μ'（x）＜0解得，即函数μ（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．…（10分）要使得μ（x）=0有3个根，则，且μ（1）＜0，解得，即a的取值范围为．…（12分）21．（12分）函数f（x）=﹣lnx+2+（a﹣1）x﹣2（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，求证：f（x）≥﹣．【解答】解：（1）．…（1分）①当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；…（3分）②当a＞0时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得．即f（x）在上单调递减；f（x）在上单调递增；综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；a＞0时，f（x）的单调递减区间是，f（x）的单调递增区间是．…（5分）（2）由（1）知f（x）在上单调递减；f（x）在上单调递增，则．…（6分）要证f（x）≥，即证≥，即lna+≥0，即证lna≥．…（8分）构造函数，则，由μ'（a）＞0解得a＞1，由μ'（a）＜0解得0＜a＜1，即μ（a）在（0，1）上单调递减；μ（a）在（1，+∞）上单调递增；∴，即≥0成立．从而f（x）≥成立．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，即x2+y2﹣6x﹣8y=0．…（2分）∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ．…（4分）（2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．…（6分）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．…（8分）===．…（10分）∴S△AOB.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．水秀中华（1）解不等式f（x）≥6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．【解答】解：（1）当x≤时，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，…（2分）当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…（3分）当x≥时，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…（4分）所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分）（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4．…（7分）∵a•2b≤，…（8分）由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤，解得a+2b≥，∴a+2b的最小值为．…（10分）。