洛阳市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(WORD版,含解析)
洛阳市2016年第一学期期末考试高一数学试题卷一、选择题1. 已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2},{2,3}A B ==，则()U C A B =（） A. {1,3,4} B. {3,4} C. {3} D. {4} 答案：D解析：考查集合交并补运算2. 在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（） A.31y x =- B.20x +=C.123x y+= D.210x y -+= 答案：C解析：化为y ＝kx ＋b ，求出k 的值为负数，即为所求。
考查直线的倾斜角与斜率3. 线段210(13)x y x -+=-≤≤的垂直平分线方程为（） A.230x y +-= B.230x y +-= C.210x y +-= D.210x y --=答案：B解析：中点坐标为（1,1），两直线互相垂直，斜率相乘为－1，可求得。
4. 函数ln 26y x y x ==-+与的图像有交点00(,)P x y ，若0(,1)x k k ∈+，则整数k 的值为（）A.1B.2C.3D.4 答案：B解析：考查函数零点存在定理，即二分法5. 已知,a b R ∈，且满足0<a<1<b ，则下列大小关系正确的是（）A.log b a a a b b <<B. log a b a b b a <<C. log a b a b b a <<D.log b a a b a b <<答案：D解析：考查基本初等函数6. 已知半径为R 的半圆卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（）A.3324R π B. 338R π C. 3524R π D. 338R π答案：A解析：考查圆锥的侧面展开图及体积底面圆周长为2r R ππ= 圆锥的高为3R/2h =323364h R V r ππ==，故选A7. 给出下面四个命题（其中m,n,l 为空间中不同的直线，α,β是空间中不同的平面）中错误的命题个数为（） ①//,////m n n m αα⇒ ②,,m l m l αβαββ⊥=⊥⇒⊥③,,l m l n m l αα⊥⊥⊂⇒⊥④,//,//,//,////m n A m m n n αβαβαβ=⇒A. 1B.2C.3D.4 答案：C解析：仅第4个正解8. 若不等式||212x a x >-对任意[1,1]x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是（）A.1(,1)(1,)2+∞B. 1(0,)(1,)2+∞C. 1(,1)(1,2)2D. 1(0,)(1,2)2答案：A解析：考查分类整合能力注意到21(),[1,1]2f x x x =-∈-的值域为11[,]22-当1,||[0,1]a x >∈时均成立当01,||[0,1]a x <<∈时，取特殊值a=1/2，则最小值为1/2，因此01/2a <<综上，故选A9. 在四棱锥P-ABCD 中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形，在棱PB,PC 上各有一点M,N ，且四边形AMND 的周长最小，点S 从A 出发依次沿四边形AM,MN,ND 运动至点D ，记点S 行进的路程为x ，棱锥S-ABCD 的体积为V(x)，则函数V(x)的图像是（）答案：C解析：考查侧面展开图正四棱锥侧面展开图，从A 到D 最短距离为直角三角形PAD 的斜边4 2132163()tan 3033V x Sh x -==︒为线性函数，故选B10. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞单调递增，若实数a 满足1(lg )(lg )2(1)f a f f a+≤，则a 的取值范围是（）A. (,10]-∞B.1[,10]10C.(0,10]D. 1[,1]10答案：B解析：考查函数奇偶性(lg )(lg )2(lg )2(1)f a f a f a f +-=≤等价于|lg |1a ≤，因此1lg 1a -≤≤，故选B11. 在直角坐标系内，已知(3,3)A 是圆C 上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10,70x y x y -+=+-=，若圆C 上存在点P ，使90MPN ∠=︒，其中M,N 的坐标分别为(-m,0),(m,0)，则m 的最大值为（）A.4B.5C.6D.7 答案：C解析：考查直线与圆两条直线交点即为圆心C(3,4)，因此半径为AC ＝1 圆心C 到原点距离为5，圆上到原点最大距离为5+1 直角三角形斜边上中线长为m ≤6，故选C12. 若关于m,n 的二元方程组2410240m n km n k ⎧⎪-+-=⎨--+=⎪⎩有两组不同的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.(0,512)B.(512,+∞)C.(13, 34]D. (512, 34] 答案：D解析：考查数形结合与转化能力，知识点：直线与圆 方程组有实根问题转化对应曲线有交点问题第一方程为半圆241y x =-+，圆心C(0,1)，半径2 第二方程为直线(2)4y k x =-+，且过定点A(2,4) 因此k 最大值可用AB 两定确定413224k -==+ 从而k 最小值可用圆心到直线距离确定2|421|52121k d r k k --===⇒=+ 二、填空题13. 在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2),(1,3,1)A B -，若点M 在y 轴上，且MA=MB ，则M 的坐标是___解析：考查问题转化能力，具体问题方程化点M 在y 轴上，故M(0,y,0)，依题意，M 在AB 公垂线上222121(3)1y y ++=+++ 解得y=-1，故M(0,-1,0)14. 若函数22y x ax =-+-的区间(0,3]上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围为___解析：考查二次函数的分类讨论能力对称轴/2x a =，区间中点为3/2，讨论最值共有四种情况注意区间左端点取不到，因此只有一种情况既有最大值又有最小值开口向下，对称轴在区间内部偏左(),(3)2aMax f Min f ==故3022a <≤，即(0,3]a ∈15. 已知函数1/333,1log ,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩则满足1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为___解析：考试分段函数及分类整合能力31()log 929f ==，因此()2f m ≤ 当m ≥1时，335log 5m m ≤⇒≤，即31log 5m ≤≤ 当0<m<1时3log 21/9m m -≤⇒≥，即1/91m ≤< 综上，31/9log 5m ≤≤16. 一个多面体的直观图和三视图如下，M 是A ’B 的中点，N 是棱B ’C ’上的任意一点（含顶点），对于下列结论：其中正确的是___①当点N 是棱B ’C ’的中点时，MN//平面ACC’A’； ②MN ⊥A’C ；③三棱锥N-A’BC 的体积为3/6V a =；④点M 是该多面体的球心. 答案：1,2,3,4解析：考查立体几何取A ’B ’的中点D ，则MND 平行//平面ACC’A’ A’C ⊥平面ABC ’因此A’C ⊥面内直线MN三棱锥可以转换为A’-NBC ，底面NBC 为2/2a ，高为a/3，故3/6V a = 这是半个正棱柱，因此球心为点M三、解答题17. （10分）已知直线1:10l x my ++=和2:(3)2(137)0l m x y m --+-=. (1)若12l l ⊥，求实数m 的值；(2)若12//l l ，求两直线之间的距离d. 解析：(1)若垂直，则(3)23m m m -=⇒=-(2)若平行，则(3)201371m m m -+=-≠且，解得m=11030x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，|13|222d +== 18. 已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =--++，其中01a a >≠且. (1)求函数的定义域; (2)求函数的值域.解析：求定义域转化为解不等式组1030x x +<⎧⎨+>⎩解得31x -<<- 求值域转化为求函数最值问题()log (1)(3)a f x x x =--+，对称轴x=-2当0<a<1时，(2),(3)(1)Min f Max f f =-=-=-=+∞ 当a>1时，(2),(3)(1)Max f Min f f =-=-=-=-∞综上，当0<a<1时函数值域为y ≥0，当a>1时函数值域为y ≤0 19. 如图，PAD ∆与正方形ABCD 共用一边AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中PA=PD ，AB=2，点E 是棱PA 的中点. (1)求证：PC//平面BDE;(2)若直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，求点A 到平面BDE 的距离. 解析：(1)线面平行转化为线线平行 因此连接正方形对角线AC 交BD 于O PAC ∆的中位线OE//PC ，故PC//平面BDE.(2)取公共边AD 的中点N ，等腰三角形三线合一，故PN ⊥AD 从而PN ⊥底面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成角即∠PAD ＝60° 等边三角形PAD 中233282ADE S ∆== AB ⊥AD 从而AB ⊥平面PAD ，故三棱锥B-ADE 的高为AB=2三棱锥B-ADE 的体积为1333V Sh ==在RT EAB ∆中5EB =，在RT BDE ∆中3EB = 从而531522BDE S ∆⨯== 三棱锥B-ADE 与三棱锥A-BDE 是同一立体 因此153253235d d ⨯=⇒= 20. 已知函数22()(,,)ax f x a b c Z bx c-=∈+是奇函数. (1)若(1)1,(2)40f f =->，求f(x)；(2)若1()1b f x =>且，对任意的x>1都成立，求a 的最小值. 解析：由奇函数性质可得c=0(1)若(1)1f =则212a a b b -=⇒-=若(2)4f >则42214422a ab a -->⇒>-解得27/2a <<，故a=3，b=1因此232()x f x x-=(2)依题设条件得221,()1ax x f x x-∀>=>分离变量得 22221x a x x x +>=+，换元1(0,1)t x=∈得2()2g t t t =+ 求a 的最小值即二次函数区间上的最大值g(1)＝3 因此3a ≥ （注意g(t)取不到3）21. 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD,AD//BC,AD=8,BC=6,AB=2，E,F 分别在BC,AD 上，EF//AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC. (1)若BE=3，求几何体BEC-AFD 的体积；(2)求三棱锥A-CDF 的体积的最大值，并求此时二面角A-CD-E 的正切值.解析：考查空间几何体分割法连接CF ，将几何体分割为四棱锥C-ABEF 和三棱锥A-CDF (1)已知BE=CE=3，AB=2四棱锥C-ABEF 底面积S=6，高h=3，故V=6 已知AF=3，FD=5，EF=AB=2三棱锥A-CDF 底面积S=5，高h=3，故V=5 因此几何体BEC-AFD 的体积为V=11(2)由(1)知BE=x ，(0<x ≤6)是关键参数，将体积问题函数化 三棱锥A-CDF 底面积S=8-x ，高h=x ，故()(8)/3V x x x =- 二次函数区间最值问题，最大值V(4)=16/3当x=4时，△CEF 及△CDF 均为等腰直角三角形 故二面角A-CD-E 为∠ACF ，4tan 222ACF ∠==22. 已知点A(6,2),B(3,2)，动点M 满足MA=2MB (1)求点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹与y 轴的交点为P ，过P 作斜率为k 的直线l 与M 的轨迹交于另一点Q ，若C(1,2k+2)，求CPQ ∆面积的最大值，并求出此时直线l 的方程. 解析：动点轨迹问题，字母化方程化设M(x,y)，则2222(6)(2)4[(3)(2)]x y x y -+-=-+-整理得22(2)(2)4x y -+-=，动点轨迹为圆心(2,2)，半径为2的圆 (2)圆与y 轴的交点为P(0,2)，过P 的直线方程y=kx+2 圆心(2,2)到直线的距离为2|2|1k d k=+，直线截圆所得弦长222421PQ r d k=-=+点C(1,2k+2)到直线的距离22|222|||11k k k h k k+--==++三角形面积为222||2|2|2()11||1/||11k k S k k k k k k ===≤++++ 即||1k =时等号成立，此时直线方程为2y x =±。
2015-2016年河南省洛阳市孟津一中高一上学期期末数学试卷(文科)与答案Word版
2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高一（上）期末数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5.00分）已知两个集合，则A∩B=（）A．A B．B C．{﹣1，1}D．∅2．（5.00分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5.00分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．4．（5.00分）已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是（）A．B．C．0 D．﹣5．（5.00分）已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5.00分）函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）7．（5.00分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31，之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a8．（5.00分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥n则n∥α；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是（）A．③④B．②④C．①②D．①③9．（5.00分）过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（5.00分）多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）（单位cm）A．B．C．D．3211．（5.00分）已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]D．{﹣1}12．（5.00分）设f（x）定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，，则的大小关系是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[﹣2，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．14．（5.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的斜率是．15．（5.00分）已知5x+12y=60，则的最小值是．16．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m 有3个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18．（12.00分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．19．（12.00分）圆C过点M（5，2），N（3，2）且圆心在x轴上，点A为圆C 上的点，O为坐标原点．（1）求圆C的方程；（2）连接OA，延长OA到P，使得|OA|=|AP|，求点P的轨迹方程．20．（12.00分）已知y=f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）若f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，求a的取值范围．21．（12.00分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．22．（12.00分）设函数f（x）=log2（1+a•2x+4x），其中a为常数（1）当f（2）=f（1）+2，求a的值；（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高一（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5.00分）已知两个集合，则A∩B=（）A．A B．B C．{﹣1，1}D．∅【解答】解：由A中y=，得到1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1，即A=[﹣1，1]，由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≤0，且x﹣1≠0，解得：﹣1≤x＜1，即B=[﹣1，1），则A∩B=[﹣1，1）=B，故选：B．2．（5.00分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d=，则|AB|=2=2，当k=1时，|AB|=，即充分性成立，若|AB|=，则，即k2=1，解得k=1或k=﹣1，即必要性不成立，故“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件，故选：A．3．（5.00分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d===．故选：D．4．（5.00分）已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是（）A．B．C．0 D．﹣【解答】解：直线PQ的斜率为，可知：直线PQ的倾斜角为120°，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，因此斜率是．故选：A．5．（5.00分）已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：∵a＞1，∴函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，又0＜b＜1，∴f（﹣1）=﹣1﹣b＜0，f（0）=1﹣b＞0，∴函数f（x）=a x+x﹣b在（﹣1，0）内有零点，故选：B．6．（5.00分）函数的单调增区间是（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）【解答】解：令t=﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，可得函数的定义域为（﹣1，3），且y=，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为[1，3），故选：C．7．（5.00分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31，之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜0.312＜0.310=1，log20.31＜log21=0，20.31＞20=1，∴b＜a＜c．故选：A．8．（5.00分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥n则n∥α；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是（）A．③④B．②④C．①②D．①③【解答】解：对于①，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②，若m∥α，m∥n则n可能在α内；故②错误；对于③，若m⊥α，m∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故③正确；对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m⊥β；故④正确；故选：A．9．（5.00分）过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接PM、AM，可得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，∵圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=，∴点M坐标为（3，2），半径r=，点M到直线l：2x﹣y=0的距离为PM==，由PA切圆M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM==，得∠APM=30°，∴∠APB=2∠APM=60°．故选：C．10．（5.00分）多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）（单位cm）A．B．C．D．32【解答】解：由已知中的三视图，画出几何体的直观图如下：该几何体是一个以△ABC为底面，在DA为高的三棱锥，底面△ABC的底边长为高均为4cm，故底面面积S=，棱锥的高DAA=4cm，故棱锥的体积V==cm3，故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]D．{﹣1}【解答】解：函数f（x）=的值域为R，由y=log2x是增函数，∴y=（2﹣a）x+3a也是增函数，故得2﹣a＞0，解得：a＜2，∵函数f（x）的值域为R，（2﹣a）×1+3a≥log21，解得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，2）．故选：B．12．（5.00分）设f（x）定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，，为减函数，∴当x≤1时函数f（x）为增函数．∵f（）=f（）=f（）=f（），且，∴，即．故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[﹣2，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，∴不等式f（1+m）+f（m）＜0等价为f（1+m）＜﹣f（m）=f（﹣m），即，即，得﹣＜m≤1，故答案为：（﹣，1]14．（5.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的斜率是2．【解答】解：点A（1，2），B（3，1），则线段AB的斜率为：=．则线段AB的垂直平分线的斜率是：2．故答案为：2．15．（5.00分）已知5x+12y=60，则的最小值是．【解答】解：由就是点（x，y）到原点距离，要求它的最小值实际上就是求原点到直线5x+12y=60的距离，即，故答案为：．16．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．18．（12.00分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：如图，连结B1E并延长，交BC于点F，连结AB1，∵△B1EC1∽△FEB，且，∴，则点F为BC中点．∵G为△ABC的重心，∴，∴GE∥AB1，又AB1⊂面AA1B1B，GE⊄面AA1B1B，∴GE∥面AA1B1B；（2）解：∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，过A1作A1H⊥AB于H，则A1H⊥面ABC，则A1H为三棱柱的高，又侧棱AA 1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴．又底面ABC是边长为2的正三角形，∴．∴．19．（12.00分）圆C过点M（5，2），N（3，2）且圆心在x轴上，点A为圆C 上的点，O为坐标原点．（1）求圆C的方程；（2）连接OA，延长OA到P，使得|OA|=|AP|，求点P的轨迹方程．【解答】解：（1）由已知得MN的垂直平分线为x=4，所以圆心坐标为C（4，0），则半径r=所以圆的方程为（x﹣4）2+y2=5（2）连接OA，延长OA到P，使得|OA|=|AP|，则点A为点P与点O的中点设P（x，y），A（x0，y0），则有，代入方程，化简得点P的轨迹方程为（x﹣8）2+y2=2020．（12.00分）已知y=f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）若f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当x∈[3，6]时，f（x）为二次函数，且f（x）≤f（5），f（6）=2，设f（x）=ax2+bx+c，则有，解得；∴f（x）=﹣x2+10x﹣22，∴f（3）=﹣1，又∵f（x）为奇函数，且在[0，3]上的一次函数，f（3）=﹣1，∴，当x∈[﹣6，﹣3]时，﹣x∈[3，6]，∴f（﹣x）=﹣x2﹣10x﹣22，∵f（x）为[﹣6，6]上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+10x+22．综上所述，f（x）=；（2）当﹣6≤x≤﹣3时，f（x）=（x+5）2﹣3，当x=﹣5时，f（x）的最小值为﹣3；x=﹣3时，f（﹣3）=1，即有f（x）∈[﹣3，1]；当﹣3＜x＜3时，f（x）∈（﹣1，1）；当3≤x≤6时，f（x）=﹣（x﹣5）2+3，f（x）∈[﹣1，3]．即有y=f（x）的值域为[﹣3，3]，故f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，即a2+4a+3≤0，解得﹣3≤a≤﹣1，综上：若f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，求a的取值范围为{a|﹣3≤a≤﹣1}．21．（12.00分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．所以BM⊥平面CDE．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）（2）法一：过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线EF与平面CBE所成的角…（11分）设AB=1，则，在Rt△EFN中，．故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…（15分）法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．F（0，0，0），E（1，0，2），，C（﹣1，0，0），平面CBE 的一个法向量为…（11分）则=故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…（15分）22．（12.00分）设函数f（x）=log2（1+a•2x+4x），其中a为常数（1）当f（2）=f（1）+2，求a的值；（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=log2（1+a•2x+4x），∴f（1）=log2（1+2a+4），f（2）=log2（1+4a+16），由于f（2）=f（1）+2，即log2（4a+17）=log2（2a+5）+2，解得，a=﹣；（2）因为f（x）≥x﹣1恒成立，所以，log2（1+a•2x+4x）≥x﹣1，即，1+a•2x+4x≥2x﹣1，分离参数a得，a≥﹣（2x+2﹣x），∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=，此时x=1，所以，a ≥﹣=﹣2，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象 判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．即实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015-2016学年河南省洛阳市高一上学期期中数学试卷和解析
2015-2016学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1}B．{x|x＜1}C．{x|x≥1}D．{x|x＞1}2．（5分）已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，则A∪B=（）A．{﹣4，﹣3，0，2，3}B．{﹣3，﹣2，0，1，3}C．{﹣3，﹣1，0，1，2}D．{﹣4，﹣3，0，1，2}3．（5分）下列哪个函数与y=x是相同函数（）A．y=B．y=C．y=D．y=（a＞0且a≠1）4．（5分）已知f（x）=，则f（1）为（）A．3 B．B、4 C．C5 D．65．（5分）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x﹣1 B．f（x）=x3C．f（x）=|x|D．f（x）=lnx6．（5分）若0＜a＜1，﹣1＜b＜0，则函数y=a x+b的图象必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三两汽车在不同速度下的燃油效率情况．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，用甲、乙、丙三两汽车在该市行驶，最省油是（）A．甲车B．乙车C．丙车D．无法确定8．（5分）满足A1∪A2={x，y，z}的有序集合对（A1，A2）的个数是（）A．6 B．8 C．24 D．279．（5分）已知1＜x＜10，令a=lgx，b=log2（lgx），c=2lgx，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a10．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f （x2）]＜0，则称函数f（x）为“优美函数”，则下列函数中是“优美函数”的是（）A．f（x）=e x+e﹣x B．f（x）=C．f（x）=lg（）D．f（x）=11．（5分）奇函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0，且在区间（0，2]与[2，+∞）上分别是增函数和减函数，则满足x3•f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）∪（1，4） B．（﹣∞，4）∪（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）12．（5分）设定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解，则bc=（）A．﹣9 B．9 C．﹣16 D．16二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设全集U={x|0＜x＜9，x∈N*}，若A∩B={2，3}，A∩∁U B={1，5，7}，∁U A∩∁U B={6}，则集合B=．14．（5分）若函数f（x）=x3﹣（）x的零点在区间（n﹣1，n）内，则整数n=．15．（5分）若函数f（x）=在区间（2，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当x＞0时，f（x）是增函数；②f（x）的图象关于（0，c）对称；③当b≠0时，方程f（x）=0必有三个实数根；④当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根．其中正确的命题是（填序号）三、解答题17．（10分）计算（1）lg25﹣lg5•lg20+2lg2﹣（lg2）2（2）（）+log16（﹣2）2﹣（）﹣2﹣（+1）0．18．（12分）已知集合A={x|2≤2x≤16}，B={x|log x＜﹣1}．（1）求A∩B，∁R B∪A；（2）已知集合C={x|a+1＜x＜2a﹣1}，若A∩C=C，求实数a的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=．（1）求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．20．（12分）学校为方便高三学生去郑州参加全国数学联赛，打算向某汽车公司包车，汽车公司提供一辆45座的巴士，成本费为1500元，学生的票价按以下方式结算：若乘车学生的人数不超过30人，车票每张收费80元，若乘车学生的人数超过30人，则给与优惠，每多1人，车费每张减少2元．（1）试将汽车公司的利润W表示为乘车学生人数x的函数；（2）计算乘车学生的人数为多少时，汽车公司可获得的利润最大，并求出最大利润．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x+﹣4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣1，1]时，不等式a•3x﹣f（3x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）对于函数f（x）与g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）与g（x）是区间D上的“亲密函数”．设函数f（x）=log4（x﹣m），g（x）=log4，区间D为[m+2，m+3]．（1）若f（x）与g（x）在区间[m+2，m+3]上都有意义，求实数m的取值范围．（2）若f（x）与g（x）是区间[m+2，m+3]上的“亲密函数”，求实数m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1}B．{x|x＜1}C．{x|x≥1}D．{x|x＞1}【解答】解：要使函数有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1，故函数的定义域为{x|x≤1}，故选：A．2．（5分）已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，则A∪B=（）A．{﹣4，﹣3，0，2，3}B．{﹣3，﹣2，0，1，3}C．{﹣3，﹣1，0，1，2}D．{﹣4，﹣3，0，1，2}【解答】解：∵A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，且A∩B={﹣3}，∴a﹣3=﹣3，2a﹣1=﹣3，a2+1=﹣3，解得：a=0或a=﹣1，当a=0时，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，0}，不合题意；当a=﹣1时，A={1，0，﹣3}，B={﹣4，﹣3，2}，符合题意；则A∪B={﹣4，﹣3，0，1，2}，故选：D．3．（5分）下列哪个函数与y=x是相同函数（）A．y=B．y=C．y=D．y=（a＞0且a≠1）【解答】解：A．y==|x|与y=x的对应法则、值域皆不同，故不是同一函数．B．y=的定义域是{x|x≠0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数．C．y==x与y=x是同一函数．D．y（a＞0且a≠1）的定义域是{x|x＞0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数．故选：C．4．（5分）已知f（x）=，则f（1）为（）A．3 B．B、4 C．C5 D．6【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=f（4）=f（7）=7﹣4=3，故选：A．5．（5分）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x﹣1 B．f（x）=x3C．f（x）=|x|D．f（x）=lnx【解答】解：f（x）=3x﹣1是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；f（x）=x3也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；f（x）=lnx也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；f（x）=|x|不是单调函数，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点．故选：C．6．（5分）若0＜a＜1，﹣1＜b＜0，则函数y=a x+b的图象必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x 轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵﹣1＜b＜0，∴|b|＜1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于正半轴，∴函数f（x）=a x+b的图象过一，二，四象限，故选：C．7．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三两汽车在不同速度下的燃油效率情况．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，用甲、乙、丙三两汽车在该市行驶，最省油是（）A．甲车B．乙车C．丙车D．无法确定【解答】解：由图象可知，甲车的燃油效率最高，故以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故选：A．8．（5分）满足A1∪A2={x，y，z}的有序集合对（A1，A2）的个数是（）A．6 B．8 C．24 D．27【解答】解：若A1为空集，则A2为{x，y，z}，共1种；若A1含有一个元素：例如A1={x}，则A2为{y，z}或{x，y，z}，以此类推，共6种；若A1含有两个元素：例如A1={x，y}，则A2为{z}或{x，z}或{y，z}或{x，y，z}，共4种，以此类推，共12种；若A1含有三个元素：此时A2为A1的子集，共8种；则共有1+6+12+8=27种，即满足A1∪A2={x，y，z}的有序集合对（A1，A2）的个数是27，故选：D．9．（5分）已知1＜x＜10，令a=lgx，b=log2（lgx），c=2lgx，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵1＜x＜10，∴0＜a=lgx＜1，b=log2（lgx）＜0，c=2lgx＞1，∴b＜a＜c．故选：B．10．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f （x2）]＜0，则称函数f（x）为“优美函数”，则下列函数中是“优美函数”的是（）A．f（x）=e x+e﹣x B．f（x）=C．f（x）=lg（）D．f（x）=【解答】解：∵函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f （﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则称函数f（x）为“优美函数”，∴“优美函数”既是奇函数，又是减函数，在A中，f（x）=e x+e﹣x是偶函数，故A不是“优美函数”；在B中，f（x）==1﹣是增函数，故B不是“优美函数”；在C中，f（x）=lg（）既是奇函数，又是减函数，故C是“优美函数”；在D中，f（x）=是增函数，故D不是“优美函数”．故选：C．11．（5分）奇函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0，且在区间（0，2]与[2，+∞）上分别是增函数和减函数，则满足x3•f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）∪（1，4） B．（﹣∞，4）∪（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）【解答】解：∵奇函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0，∴f（4）=f（﹣1）=f（0）=0．由题意可得如图所示，满足x3•f（x）＞0的x的取值范围是：1＜x＜4，或﹣4＜x＜﹣1．故选：A．12．（5分）设定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解，则bc=（）A．﹣9 B．9 C．﹣16 D．16【解答】解：设t=f（x），则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0等价为t2+bt+c=0，作出f（x）的图象如图：由图象可知当t=2时，方程f（x）=2有三个根，当t≠2时方程f（x）=t有两个不同的实根，∴若若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x1，x2，x3，则等价为t2+bt+c=0只有一个根t=2，由f（x）=2得，x=0，或者log3|x|=2，即得x=±9，即三个根x1，x2，x3，分别为0，9或﹣9，由韦达定理可得2+2=﹣b，2×2=c，即b=﹣4，c=4，可得bc=﹣16．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设全集U={x|0＜x＜9，x∈N*}，若A∩B={2，3}，A∩∁U B={1，5，7}，∁U A∩∁U B={6}，则集合B={2，3，4，8} ．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩B={2，3}，A∩∁U B={1，5，7}，∴A={1，2，3，5，7}，∴∁U A={4，6，8}，∵∁U A∩∁U B={6}，∴∁U B={1，5，6，7}，∴B={2，3，4，8}故答案为：{2，3，4，8}．14．（5分）若函数f（x）=x3﹣（）x的零点在区间（n﹣1，n）内，则整数n= 1．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（）x在R单调递增．∴函数f（x）=x3﹣（）x最多有一个零点．当x=0时，f（0）=﹣1，当x=1时，f（1）=＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）上存在零点，因此必然n=1．故答案为：1．15．（5分）若函数f（x）=在区间（2，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：函数f（x）===m+（2m﹣2）在区间（2，+∞）上是增函数，故2m﹣2＜0，求得m＜1，故答案为：（﹣∞，1）．16．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当x＞0时，f（x）是增函数；②f（x）的图象关于（0，c）对称；③当b≠0时，方程f（x）=0必有三个实数根；④当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根．其中正确的命题是②④（填序号）【解答】解：f（x）=x|x|+bx+c=，①当x＞0时，f（x）=x2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，当﹣≤0时f（x）才是增函数，故不正确；②由f（x）的解析式可知c=0时，f（x）=﹣f（﹣x），其图象关于原点对称，∵f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，∴f（x）的图象关于（0，c）对称，故正确；③当b≠0时，令b=1、c=0，则方程f（x）=0，即x|x|+x=0，解得：x=0，故不正确；④当b=0时，方程f（x）=0，即x|x|+c=0，（i）若c＜0，当x≤0时，即x2=c，此时无解；当x＞0时，即x2=﹣c，此时x=﹣；（ii）若c≥0，当x≤0时，即x2=c，此时x=﹣；当x＞0时，即x2=﹣c，此时无解；综上所述，当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根，正确；故答案为：②④．三、解答题17．（10分）计算（1）lg25﹣lg5•lg20+2lg2﹣（lg2）2（2）（）+log16（﹣2）2﹣（）﹣2﹣（+1）0．【解答】解：（1）原式=2lg5﹣lg5（1+lg2）+2lg2﹣（lg2）2=2（lg5+lg2）﹣lg5﹣lg2（lg5+lg2）=2﹣lg5﹣lg2=2﹣1=1．（2）原式=+﹣﹣1=﹣．18．（12分）已知集合A={x|2≤2x≤16}，B={x|log x＜﹣1}．（1）求A∩B，∁R B∪A；（2）已知集合C={x|a+1＜x＜2a﹣1}，若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|2≤2x≤16}={x|1≤x≤4}=[1，4]，B={x|log x＜﹣1}={x|x＞3}=（3，+∞），∴A∩B=（3，4]，∴∁R B=（﹣∞，3]，∴∁R B∪A=（﹣∞，4]，（2）∵A∩C=C，∴C⊆A，当C=∅时，由a+1≥2a﹣1，解的a≤2，当C≠∅时，由1≤a+1＜2a﹣1≤4，解的2≤a≤，综上所述a的取值范围为（﹣∞，]．19．（12分）设函数f（x）=．（1）求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f（a）+f（1﹣a）=+=+=+=1．（2）∵f（a）+f（1﹣a）=1，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=1007×1=1007．20．（12分）学校为方便高三学生去郑州参加全国数学联赛，打算向某汽车公司包车，汽车公司提供一辆45座的巴士，成本费为1500元，学生的票价按以下方式结算：若乘车学生的人数不超过30人，车票每张收费80元，若乘车学生的人数超过30人，则给与优惠，每多1人，车费每张减少2元．（1）试将汽车公司的利润W表示为乘车学生人数x的函数；（2）计算乘车学生的人数为多少时，汽车公司可获得的利润最大，并求出最大利润．【解答】解：（1）设乘车学生人数为x，车票为y元，则：y=，则W=xy﹣1500=；（2）当1≤x≤30时，W max=80×30﹣1500=900，当30＜x≤45时，W=﹣2（x﹣35）2+950（元），∴当x=35时，W max=950（元），综上所述，当乘车学生的人数为35时，汽车公司可获得的利润最大，最大利润为950元．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x+﹣4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣1，1]时，不等式a•3x﹣f（3x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x﹣﹣4，又f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）=x++4．则f（x）=；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式a•3x﹣f（3x）≤0恒成立，由3x＞0，即为a•3x﹣（3x+﹣4）≤0，即有a≤（）2﹣4•+1恒成立，令t=（≤t≤3），则a≤t2﹣4t+1，由g（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3，t=2∈[，3]，可得g（t）的最小值为﹣3，则a≤﹣3．22．（12分）对于函数f（x）与g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）与g（x）是区间D上的“亲密函数”．设函数f（x）=log4（x﹣m），g（x）=log4，区间D为[m+2，m+3]．（1）若f（x）与g（x）在区间[m+2，m+3]上都有意义，求实数m的取值范围．（2）若f（x）与g（x）是区间[m+2，m+3]上的“亲密函数”，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由知，当m≥0时，x＞3m；当m＜0时，x＞m，若f（x）与g（x）在区间[m+2，m+3]上都有意义，则m≥0时，m+2＞3m，解得：0≤m＜1；当m＜0时，m+2＞m，解得：m＜0；综上所述：m＜1．（2）若f（x）与g（x）是区间[m+2，m+3]上的“亲密函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1成立，即|log4（x﹣m）﹣log4|≤1成立，即|log4（x﹣m）（x﹣3m）|≤1成立，即≤（x﹣m）（x﹣3m）≤4成立，令h（x）=（x﹣m）（x﹣3m）=（x﹣2m）2﹣m2，x∈[m+2，m+3]，则由（1）知函数的图象是开口朝上，且以x=2m＜m+2为对称轴的抛物线，故h（x）在[m+2，m+3]上为增函数，故，解得：m∈[，]赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
河南省洛阳市2016届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的真子集个数为（）A．2 B．3 C．7 D．82．已知iz=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（）A．0.87＜log0.87＜70.8B．0.87＜70.8＜log0.87C．log0.87＜70.8＜0.87D．log0.87＜0.87＜70.84．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知到定点M（a，0）与N（2，0）的斜率之积为的点的轨迹方程为x2﹣2y2=4（x≠±2），则实数a的值（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣16．函数f（x）=cosωxcosθ+sinωxsinθ（ω≠0），对任意x都有f（x）=f（﹣x），则f（）=（）A．1或0 B．﹣1或1 C．0 D．﹣1或07．一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为，其俯视图是面积为4的正方形，侧视图是一个面积为4的矩形，则该长方体正视图的面积为（）A．4 B．2C．8 D．48．在区间[﹣2，2]任取一个实数x，则使不等式4x﹣32x+1+8≤0成立的概率为（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足，若不等式y≥ax﹣3恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，4]C．[，2]D．[2，4]10．在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E两点的椭圆离心率为（）A．B．C．﹣1 D．﹣111．已知锐角A，B满足2tanA=tan（A+B），则tanB的最大值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=lnx+的一条切线方程为y=kx+b，则k+b的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量，满足||=，||=2，=﹣3，则||=．14．已知函数f（x）=，则f（﹣1）+f（2）=．15．已知底面为正三角形，高为4的正三棱柱的外接球的表面积为32π，则该正三棱柱的体积为．16．在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3，O为△ABC的外心，若=λ+μ，λ∈[0，]，μ∈[0，]，则点G的轨迹对应图形面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2，且a1，a2，a3﹣8成等差数列，数列{a n b n}的前n项和为．（1）分别求出数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，已知∀n∈N*，S n≤m恒成立，求实数m的最小值．18．有一名同学家开了小卖部，他为了研究气温对某种饮料销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号的下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数，得到如下资料：日期7月15日8月15日9月15日10月15日11月15日12月15日摄氏温度x（℃）36 35 30 24 18 8饮料杯数y 27 29 24 18 15 5改同学确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验．（1）求选取2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据误差不超过3杯，则认为得到的线性回归方程是理想的，请问（2）所得到的线性回归方程是否理想．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为==，=﹣．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BB1，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：AB1⊥平面BCD；（2）若OC=OA，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．已知函数f（x）=a（x2﹣x﹣1）e﹣x+m，（x∈R，a＞0）．（1）当a=1时，f（x）有三个零点，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有f（x2）﹣1＜f（x1）＜f（x2）+1成立，求实数a的取值范围．21．已知抛物线E：y=mx2（m＞0），圆C：x2+（y﹣2）2=4，点F是抛物线E的焦点，点N（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）为抛物线E上的动点，点M（2，﹣），线段MF恰被抛物线E平分．（1）求m的值；（2）若y0＞4，过点N向圆C作切线，求两条切线与x轴围成的三角形面积的最小值．选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016太原校级二模）已知曲线C1的直角坐标方程为+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线C1上一点，∠xOP=α（0≤α≤π），将点P绕点O逆时针旋转角α后得到点Q，=2，点M的轨迹是曲线C2，（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）求|OM|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015贵州二模）已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．（1）当a=8时，求不等式解集．（2）若不等式有解，求a的范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的真子集个数为（）A．2 B．3 C．7 D．8【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合C中的元素，从而求出C的真子集个数．【解答】解：A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}={0，5，7}，则C的真子集个数为：23﹣1=7个，故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，考查集合的真子集的个数，是一道基础题．2．已知iz=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求得得答案．【解答】解：由iz=2+i，得，∴，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（1，2），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（）A．0.87＜log0.87＜70.8B．0.87＜70.8＜log0.87C．log0.87＜70.8＜0.87D．log0.87＜0.87＜70.8【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵70.8＞70=1，0＜0.87＜0.80=1，log0.87＜log0.81=0，∴log0.87＜0.87＜70.8．．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：∵输入n的值为3，∴当i=1时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=1，i=2；当i=2时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=2，i=3；当i=3时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=4；当i=4时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为4，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．已知到定点M（a，0）与N（2，0）的斜率之积为的点的轨迹方程为x2﹣2y2=4（x≠±2），则实数a的值（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出点P（x，y），表示出两线的经、斜率，利用其乘积为建立方程化简即可得到点P的轨迹方程，即可求出a的值．【解答】解：设P（x，y），则k MP=，k NP=，∵定点M（a，0）与N（2，0）的斜率之积为，∴k MP×k MP=，∴=，即x2﹣（a+2）x﹣2y2=2a，∵x2﹣2y2=4（x≠±2），∴a=﹣2，故选：B．【点评】考查解析几何中将位置关系转化为方程的一个典型题，其特点是利用坐标建立方程，化简整理得轨迹方程，属于中档题．6．函数f（x）=cosωxcosθ+sinωxsinθ（ω≠0），对任意x都有f（x）=f（﹣x），则f（）=（）A．1或0 B．﹣1或1 C．0 D．﹣1或0【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用两角差的余弦公式化简f（x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得f（）的值．【解答】解：函数f（x）=cosωxcosθ+sinωxsinθ=cos（ωx﹣θ）（ω≠0），∵对任意x都有f（x）=f（﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）为函数f（x）的最大值或最小值，故f（）=±1，故选：B．【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为，其俯视图是面积为4的正方形，侧视图是一个面积为4的矩形，则该长方体正视图的面积为（）A．4 B．2C．8 D．4【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据已知可得侧视图的底边长为底面的对角线长2，高为，进而其视图的底边长也为底面的对角线长2，高为，可得答案．【解答】解：由已知中一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为，其俯视图是面积为4的正方形，侧视图是一个面积为4的矩形，可得侧视图的底边长为底面的对角线长2，高为，故其视图的底边长也为底面的对角线长2，高为，故该长方体正视图的面积为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出正视图的形状是解答的关键．8．在区间[﹣2，2]任取一个实数x，则使不等式4x﹣32x+1+8≤0成立的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计．【分析】根据指数不等式的解集求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由4x﹣32x+1+8≤0得（2x）2﹣62x+8≤0，即（2x﹣2）（2x﹣4）≤0，即2≤2x≤4，得1≤x≤2，则对应的概率P==，故选：D【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据指数不等式的解法，求出不等式的解法结合几何概型的概率公式进行计算是解决本题的关键．9．已知实数x，y满足，若不等式y≥ax﹣3恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，4]C．[，2]D．[2，4]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若y≥ax﹣3恒成立，即平面区域ABC在直线y=ax﹣3的上方即可．即C（2，0）在y=ax﹣3的上方或在直线上即可，即2a≤3，解得a≤，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件y≥ax﹣3恒成立，得到平面区域ABC在直线y=ax﹣3的上方是解决本题的关键．10．在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E两点的椭圆离心率为（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设AB=2c，则AE=BD=c，BE=AD=c，由此能求出以A，B为焦点，且过D，E两点的椭圆离心率．【解答】解：根据题意，设AB=2c，则AE=BD=c，BE=AD=c，∴在以A，B为焦点，且过D，E的椭圆中，离心率e==．故选：C．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．11．已知锐角A，B满足2tanA=tan（A+B），则tanB的最大值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】令tanA=x，tanB=y（x、y＞0）．则有=2x，故有y==，再利用基本不等式求得y的最大值．【解答】解：已知锐角A，B满足2tanA=tan（A+B），为简单起见，令tanA=x，tanB=y（x、y＞0）．则有=2x，即y==≤=，当且仅当2x=时，取等号，故y=tanB的最大值为，故选：D．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．12．已知函数f（x）=lnx+的一条切线方程为y=kx+b，则k+b的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】求得函数的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，再由g（m）=lnm﹣+，求出导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，即可得到所求值．【解答】解：f（x）=lnx+的导数为f′（x）=+，设切点为（m，n），则k=+，b=n﹣km=lnm+﹣km=lnm﹣，即有k+b=lnm﹣+，m＞0，由g（m）=lnm﹣+的导数为g′（m）=+﹣=，当m＞1时，g′（m）＞0，g（m）递增；当m＜1时，g′（m）＜0，g（m）递减．即有m=1处，g（m）取得极小值，且为最小值0．即有k+b的最小值为0．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查直线方程的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量，满足||=，||=2，=﹣3，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出（）2，开方即为||．【解答】解：（）2==3﹣12+16=7，∴||=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则f（﹣1）+f（2）=3．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算出f（﹣1）和f（2）的值，相加即可．【解答】解：f（﹣1）=﹣1=2﹣1=1，f（2）=+1=1+1=2，故f（﹣1）+f（2）=3，故答案为：3．【点评】本题考查了求函数值问题，考查对数函数和指数函数的计算，是一道基础题．15．已知底面为正三角形，高为4的正三棱柱的外接球的表面积为32π，则该正三棱柱的体积为12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】过球心O作棱柱底面的垂线，由勾股定理计算底面中心到顶点的距离，根据正三角形的性质得出底面边长．【解答】解：∵外接球的表面积为32π，∴外接球的半径为2．过球心O作底面ABC的垂线OD，则D为正三角形ABC的中心，且OD=2，连结OA，则OA=2，∴AD==2．∵AD=AB×=，∴AB=2．∴正三棱柱的体积V==12．故答案为：12．【点评】本题考查了棱柱与外接球的关系，棱柱的结构特征，体积计算，属于基础题．16．在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3，O为△ABC的外心，若=λ+μ，λ∈[0，]，μ∈[0，]，则点G的轨迹对应图形面积为．【考点】余弦定理的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】可作出图形：分别取OB，OC的中点D，E，根据向量加法的平行四边形法则便知，点G的轨迹为以OD，OE为邻边的平行四边形，根据条件，由余弦定理可以求出BC=7，而根据正弦定理可以求出外接圆半径，从而可以得出OD，OE的值，这样根据三角形的面积公式即可求出点G的轨迹对应图形的面积为：2S△DOE．【解答】解：如图，取OB的中点D，OC的中点E，根据向量加法的平行四边形法则知，点G的轨迹为以OD，OE为邻边的平行四边形；在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3；∴由余弦定理得，BC2=52+32﹣253cos120°=49；∴BC=7；由正弦定理，；即；∴；∴，且∠DOE=120°；∴点G的轨迹对应图形面积为2S△DOE=ODOEsin∠DOE=．故答案为：．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，余弦定理和正弦定理，以及三角形的面积公式：S=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1=2，且a 1，a 2，a 3﹣8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为．（1）分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{}的前n 项和为S n ，已知∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a 1=2，且a 1，a 2，a 3﹣8成等差数列计算可知q=3，进而可知a n =23n ﹣1，利用a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1+a n b n =与a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1=作差、整理可知b n =n （n ≥2），验证当n=1时成立即可；（2）通过（1）可知，数列{}是首项为、公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式计算可知S n =（1﹣）＜，进而可得m 的最小值．【解答】解：（1）∵a 1=2，且a 1，a 2，a 3﹣8成等差数列，∴2a 2=a 1+a 3﹣8，即2a 1q=a 1+a 1q 2﹣8，∴q 2﹣2q ﹣3=0，解得：q=3或q=﹣1（舍）， ∴a n =23n ﹣1，∵a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1+a n b n =，∴a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1=，两式相减得：a n b n =2n3n ﹣1（n ≥2），∴b n===n（n≥2），又∵b1===1满足上式，∴数列{b n}的通项公式b n=n；（2）由（1）可知，数列{}是首项为、公比为的等比数列，∴S n==（1﹣）＜，∴满足条件的实数m的最小值为．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．有一名同学家开了小卖部，他为了研究气温对某种饮料销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号的下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数，得到如下资料：日期7月15日8月15日9月15日10月15日11月15日12月15日摄氏温度x（℃）36 35 30 24 18 8饮料杯数y 27 29 24 18 15 5改同学确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验．（1）求选取2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据误差不超过3杯，则认为得到的线性回归方程是理想的，请问（2）所得到的线性回归方程是否理想．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为==，=﹣．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（3）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为35和8时的y的值，把预报的值同原来表中所给的35和8对应的值做差，差的绝对值不超过3，得到线性回归方程理想．【解答】解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A，∵从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A）==；（2）由数据求得=27，=21，由公式求得b=0.7，∴a=21﹣0.7×27=2.1，∴y关于x的线性回归方程为y=0.7x+2.1；（3）当x=35时，y=0.7×35+2.1=26.6，|29﹣26.6|＜3，当x=8时，y=0.7×8+2.1=7.7，|7.7﹣5|＜3，所以得到的线性回归方程是理想的【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BB1，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：AB1⊥平面BCD；（2）若OC=OA，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】（1）使用勾股定理求出BD，AB1，根据△AOD∽△B1OB可求出AO和DO的长，利用勾股定理的逆定理得出AO⊥OD，又CO⊥侧面ABB1A1可得OC⊥OA，故而AB1⊥平面BCD；（2）将三棱柱分解成三个小三棱锥计算体积．【解答】（1）证明：∵AB⊥BB1，AB=1，AA1=BB1=，D为AA1的中点，∴BD==，AB1==．∵△AOD∽△B1OB，∴，∴AO=，OD=．∴AO2+OD2==AD2．∴AO⊥OD，∵CO⊥侧面ABB1A1，AO⊂平面ABB1A1，∴CO⊥AO，又∵OC⊂平面BCD，OD⊂平面BCD，OC∩OD=O，∴AO⊥平面BCD，即AB1⊥平面BCD．（2）连结B1C，A1C，则V=V=V=V．∵OC=OA=，S==．∴V =V =S CO=．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=3V=．【点评】本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算．属于中档题．20．已知函数f （x ）=a （x 2﹣x ﹣1）e ﹣x +m ，（x ∈R ，a ＞0）． （1）当a=1时，f （x ）有三个零点，求实数m 的取值范围；（2）若对任意x 1，x 2∈[0，4]均有f （x 2）﹣1＜f （x 1）＜f （x 2）+1成立，求实数a 的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断． 【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得f ′（x ）=﹣x （x ﹣3）e ﹣x ，确定函数的单调性，求出极值，利用f （x ）有三个零点，求实数m 的取值范围；（2）由（1）知，函数f （x ）在[0，4]上有极大值f （3）=5ae ﹣3也是最大值，要使得函数f （x ）对任意x 1，x 2∈[0，4]均有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜1成立，只需|f （3）﹣f （0）|＜1即可，由此利用导数性质能求出实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f （x ）=（x 2﹣x ﹣1）e ﹣x +mf ′（x ）=﹣x （x ﹣3）e ﹣x ，令f ′（x ）=0，∵a ＞0，∴x 1=0，x 2=3，f ′（x ）＞0，得0＜x ＜3； f ′（x ）＜0，得x ＜0或x ＞3，f （x ）在（﹣∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；∴函数f （x ）极大值f （3）=5e ﹣3，极小值为f （0）=﹣1，∵f （x ）有三个零点，∴﹣1＜﹣m＜5e﹣3，∴﹣5e﹣3＜m＜1；（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=5ae﹣3，也是最大值，又∵f（0）=﹣a＜0，f（4）=11ae﹣4＞0，∴f（0）＜f（4），∴f（x）在[0，4]上的最小值为﹣a，∴要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有f（x2）﹣1＜f（x1）＜f（x2）+1，即有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，只需|f（3）﹣f（0）|＜1即可，∴5ae﹣3+a＜1，∵a＞0，∴0＜a＜．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．21．已知抛物线E：y=mx2（m＞0），圆C：x2+（y﹣2）2=4，点F是抛物线E的焦点，点N（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）为抛物线E上的动点，点M（2，﹣），线段MF恰被抛物线E平分．（1）求m的值；（2）若y0＞4，过点N向圆C作切线，求两条切线与x轴围成的三角形面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）线段MF的中点P（1，﹣）在抛物线E上，建立方程，即可求m的值；（2）设切线：y﹣y0=k（x﹣x0），切线与x轴交于点（x0﹣，0），圆心到切线的距离d==2，由此能求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．【解答】解：（1）抛物线E的焦点F（0，），线段MF的中点P（1，﹣）在抛物线E上，∴﹣=m，∴m=或﹣（舍去）；（2）设切线：y﹣y0=k（x﹣x0），即：kx﹣y+y0﹣kx0=0，切线与x轴交于点（x0﹣，0），圆心到切线的距离d==2，∴4+y02+k2x02﹣4y0+4kx0﹣2x0y0k=4k2+4，化简得：（x02﹣4）k2+2x0（2﹣y0）k+y02﹣4y0=0，设两切线斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，k1k2=，S=|（x0﹣）﹣（x0﹣）|y0====2[+（y0﹣4）+8]≥2（2×4+8）=32．当且仅当=y0﹣4，即y0=8时取等号．故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32．【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用，易错点是均值定理的应用．解题时要认真审题，仔细解答．选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=EDEO．由切割线定理得EA2=EBEC，∴EDEO=EBEC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…【点评】本题考查四点共圆的证明，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、切割线定理的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016太原校级二模）已知曲线C1的直角坐标方程为+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线C1上一点，∠xOP=α（0≤α≤π），将点P绕点O逆时针旋转角α后得到点Q，=2，点M的轨迹是曲线C2，（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）求|OM|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把代入椭圆方程可得曲线C1的极坐标方程+sin2θ=．在极坐标系中，设M（ρ，θ），P（ρ1，α），由题意可知，ρ1=，α=．由于点P在曲线C1上，可得+sin2α=．由以上即可得曲线C2的极坐标方程．（II）由（Ⅰ）得=（1+3sin2）．即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为+ρ2sin2θ=1，即+sin2θ=．在极坐标系中，设M（ρ，θ），P（ρ1，α），由题意可知，ρ1=，α=．①∵点P在曲线C1上，∴+sin2α=．②由①②得曲线C2的极坐标方程为=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（1+3sin2）．∵的取值范围是[，]，∴|OM|的取值范围是[2，4]．【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、直角坐标和极坐标方程、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015贵州二模）已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．（1）当a=8时，求不等式解集．（2）若不等式有解，求a的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=8时，化简不等式通过去绝对值符号，求解不等式得到解集．（2）若不等式有解，转化为函数的最值问题，然后求a的范围．【解答】解：（1）由题意可得：|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3…当时，﹣2x+1+x﹣1≤3，x≥﹣3，即…当时，2x﹣1+x﹣1≤3，即…当x≥1时，2x﹣1﹣x+1≤3，即x≤3…∴该不等式解集为{x|﹣3≤x≤3}．…（2）令f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|，有题意可知：…又∵…∴…即=，…【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值以及几何意义，考查分类讨论思想以及计算能力．。
2016-2017学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷
第1页（共17页）2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求■1. （5 分）集合 A={x € N +| - 1V X V 4} , B={x|x 2< 4}，贝U A H B=（ ）A . {0，1, 2} B. {1, 2} C . {1, 2, 3} D. {0，1，2, 3}2. （5分）设m , n 是两条不同的直线，a, B 是两个不同的平面，下列说法正确 的是（ ）A . 若 m // a, aHB =n 贝U m // n B . 若 m // a, m ±n ,贝U n 丄 aC.若 m 丄 a, n 丄 a,贝U m // nD.若 m? a , n? B , a 丄 B,贝U m 丄 n3. （5分）若三条直线ax+y+1=0 , y=3x , x+y=4 ,交于一点，贝U a 的值为（ ） A . 4 B.- 4 C. 2 D .-2 3 34. （5分）在空间直角坐标系O -xyz 中，若O （0 , 0 , 0）, A （ 0 , 2 , 0）, B （ 2 ,0 , 0）, C （2 , 2 , 2 二），则二面角 C- OA - B 的大小为（ ）A . 30° B. 45° C. 60° D . 90°5. （5分）已知倾斜角60为的直线I 平分圆：x 2+y 2+2x+4y - 4=0 ,则直线I 的方 程为（ ）A .气二x - y+；+2=0 B.气二x+y+ ；+2=0 C. :x- y+气二-2=0 D . x - y -\:二+2=0丄（3 ■'）,则（ ）A . c >b >a B. c >a >b C . a >c >b D . a >b >c7- （5分）如果实数x ，y 满足（x -2） 2+y 2=2，则：的范围是（）A . （- 1, 1） B. [ - 1 , 1]C. （-X , - 1）U （ 1 , +x ） D . （-X ,- 1] U [ 1 , +x ）8. （5分）已知函数f （x ） = ：，（a € A ）,若f （x ）在区间（0 , 1]上是减函6. （5分）已知函数f （x ）=（丄） 丄 -）,c=f,b=f （2 b x>0，若曰（l第2页(共17页)数，则集合A 可以是（ ）A . (-x, 0) B. [1, 2) C .(- 1, 5] D. [4, 6]9. (5分)圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如 图所示，则该几何体的体积为( )A.4 n +8 B . 8 n +16 C. 16 n +16 D . 16 n +48 10. (5分)由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A , B, C, D 在同一平面上，ABCD 是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体 积为( )A . 1125 "■ nB. 3375 ~nC. 450 nD. 900 n 11. (5分)设函数f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x ) =f (4 -x ),且对任 意 X 1, X 2€( 0, +x),都有(X 1- X 2)[f (X 1+2)- f (X 2+2)] > 0，则满足 f (2 -x ) =f ( —' J )的所有x 的和为()x+4A .- 3 B.- 5 C.- 8 D . 8 12. (5分)已知点P (t , t - 1), t € R,点E 是圆x 2+y 2=上的动点，点F 是圆 (x - 3) 2+ (y+1) 2冷上的动点，贝U I PF -|PE 的最大值为()A . 2 B. C. 3 D . 4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ____________________________________________________ (5分)满足42x -1>(,[) -x -4的实数x 的取值范围为____________________________ . £第3页(共仃页)14. (5 分)已知直线 1仁 ax+4y -仁0,12: x+ay- *=0,若 h // b,则实数 a= _____ .1 115. (5 分)若函数 f (x )= ，则 f (- ) +f (- ) +f (- 1) +f (0) +f (1) 2X +1 3 2 +f (■) +f (■)= .2 3 16. (5分)方程. _ ,_- =ax+a 由两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围 三、解答题：本大题共6小题，共70分■解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程.17. (10分)在平面直角坐标系中，△ ABC 三个顶点分别为A (2, 4), B( 1,3), C (-2, 1).(1) 求BC 边上的高所在的直线方程；(2) 设AC 中点为。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
河南省洛阳市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}24120x x x A =--<，{}2x x B =<，则()RAB =ð（ ）A ．{}6x x <B ．{}22x x -<<C ．{}2x x >-D ．{}26x x ≤< 2、设i 为虚数单位，复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i - C ．i D ．i - 3、已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为10，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -=4、若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75、已知命题:p 0R x ∃∈，使0sin x =:q R x ∀∈，都有210x x ++>．给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题；④命题“()()p q ⌝∨⌝是假命题． 其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③6、已知角α的终边经过点()a A ，若点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）A ．BC ．12-D ．127、在平面直角坐标系内，若曲线C :22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞ 8、已知直线:m 230x y +-=，函数3cos y x x =+的图象与直线l 相切于P 点，若l m ⊥，则P 点的坐标可能是（ ）A ．3,22ππ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭9、把函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=10、在平面直角坐标系x y O 中，点A 与B 关于y 轴对称．若向量()1,a k =，则满足不等式20a OA +⋅AB ≤的点(),x y A 的集合为（ ）A ．()(){}22,11x y x y ++≤ B ．(){}222,x y x y k +≤C ．()(){}22,11x y x y -+≤ D ．()(){}222,1x y x y k ++≤11、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π 12、设二次函数()2f x ax bx c =++的导函数为()f x '．对R x ∀∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则2222b a c +的最大值为（ ）A 2B 2C ．2D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是 ．14、函数()1,10,01x x x f x e x +-≤<⎧=⎨≤≤⎩的图象与直线1x =及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15、将5名实习老师分配到4个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是 （用数字作答）． 16、如图，在C ∆AB中，C sin2∠AB =，2AB =，点D 在线段C A 上，且D 2DC A =，D B =，则cosC = ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设12log n n b a =，求22212111111n n b b b T =++⋅⋅⋅+---．18、（本小题满分12分）在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ），且规定82.7分是复试线，那么在这200012.7≈，若()2,z μσN ，则()0.6826z μσμσP -<<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD =． ()1求证：平面Q PB ⊥平面D PA ；()2在棱C P 上是否存在一点M ，使二面角Q C M -B -为30？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点． ()1求椭圆C 的标准方程；()2设O 为坐标原点，22b k k aOA OB⋅=-，判断∆AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 21、（本小题满分12分）设函数()()2ln 12f x x ax a x =---（0a >）．()1若0x ∃>，使得不等式()264f x a a >-成立，求实数a 的取值范围；()2设函数()y f x =图象上任意不同的两点为()11,x y A 、()22,x y B ，线段AB 的中点为()00C ,x y ，记直线AB 的斜率为k ，证明：()0k f x '>．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的切线，B 为切点，D A E 是O 的割线，C 是O 外一点，且C AB =A ，连接D B ，BE ，CD ，C E ，CD 交O 于F ，C E 交O 于G ． ()1求证：CD D C BE⋅=B ⋅E ；()2求证：FG//C A ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l 的参数方程为2x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ⋅PB 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()1设函数()52f x x x a =-+-，R x ∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；()2已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）参考答案一、选择题：13、60 14、12e 15、24016、79三、解答题。
洛阳市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题版,含解析
洛阳市2016年第一学期期末考试高一数学试题卷一、选择题1. 已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2},{2,3}A B ==，则()U C A B =U （） A. {1,3,4} B. {3,4} C. {3} D. {4} 答案：D解析：考查集合交并补运算2. 在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（） A.31y x =- B.20x +=C.123x y+= D.210x y -+= 答案：C解析：化为y ＝kx ＋b ，求出k 的值为负数，即为所求。
考查直线的倾斜角与斜率3. 线段210(13)x y x -+=-≤≤的垂直平分线方程为（） A.230x y +-= B.230x y +-= C.210x y +-= D.210x y --=答案：B解析：中点坐标为（1,1），两直线互相垂直，斜率相乘为－1，可求得。
4. 函数ln 26y x y x ==-+与的图像有交点00(,)P x y ，若0(,1)x k k ∈+，则整数k 的值为（）A.1B.2C.3D.4 答案：B解析：考查函数零点存在定理，即二分法5. 已知,a b R ∈，且满足0<a<1<b ，则下列大小关系正确的是（）A.log b a a a b b <<B. log a b a b b a <<C. log a b a b b a <<D.log b a a b a b <<答案：D解析：考查基本初等函数6. 已知半径为R 的半圆卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（）A.3324R π B. 338R π C. 3524R π D. 338R π 答案：A解析：考查圆锥的侧面展开图及体积底面圆周长为2r R ππ= 圆锥的高为3R/2h =3233h R V r ππ==，故选A7. 给出下面四个命题（其中m,n,l 为空间中不同的直线，α,β是空间中不同的平面）中错误的命题个数为（） ①//,////m n n m αα⇒②,,m l m l αβαββ⊥=⊥⇒⊥I ③,,l m l n m l αα⊥⊥⊂⇒⊥④,//,//,//,////m n A m m n n αβαβαβ=⇒IA. 1B.2C.3D.4 答案：C解析：仅第4个正解8. 若不等式||212x a x >-对任意[1,1]x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是（）A.1(,1)(1,)2+∞UB. 1(0,)(1,)2+∞UC. 1(,1)(1,2)2UD. 1(0,)(1,2)2U答案：A解析：考查分类整合能力注意到21(),[1,1]2f x x x =-∈-的值域为11[,]22-当1,||[0,1]a x >∈时均成立当01,||[0,1]a x <<∈时，取特殊值a=1/2，则最小值为1/2，因此01/2a <<综上，故选A9. 在四棱锥P-ABCD 中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形，在棱PB,PC 上各有一点M,N ，且四边形AMND 的周长最小，点S 从A 出发依次沿四边形AM,MN,ND 运动至点D ，记点S 行进的路程为x ，棱锥S-ABCD 的体积为V(x)，则函数V(x)的图像是（）答案：C解析：考查侧面展开图正四棱锥侧面展开图，从A 到D 最短距离为直角三角形PAD 的斜边4 2132163()tan 3033V x Sh x -==︒为线性函数，故选B10. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞单调递增，若实数a 满足1(lg )(lg )2(1)f a f f a+≤，则a 的取值范围是（）A. (,10]-∞B.1[,10]10C.(0,10]D. 1[,1]10答案：B解析：考查函数奇偶性(lg )(lg )2(lg )2(1)f a f a f a f +-=≤等价于|lg |1a ≤，因此1lg 1a -≤≤，故选B11. 在直角坐标系内，已知(3,3)A 是圆C 上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10,70x y x y -+=+-=，若圆C 上存在点P ，使90MPN ∠=︒，其中M,N 的坐标分别为(-m,0),(m,0)，则m 的最大值为（）A.4B.5C.6D.7 答案：C解析：考查直线与圆两条直线交点即为圆心C(3,4)，因此半径为AC ＝1 圆心C 到原点距离为5，圆上到原点最大距离为5+1 直角三角形斜边上中线长为m ≤6，故选C12. 若关于m,n 的二元方程组2410240m n km n k ⎧⎪-+-=⎨--+=⎪⎩有两组不同的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.(0,512)B.(512,+∞)C.(13, 34]D. (512, 34] 答案：D解析：考查数形结合与转化能力，知识点：直线与圆 方程组有实根问题转化对应曲线有交点问题第一方程为半圆241y x =-+，圆心C(0,1)，半径2 第二方程为直线(2)4y k x =-+，且过定点A(2,4) 因此k 最大值可用AB 两定确定413224k -==+ 从而k 最小值可用圆心到直线距离确定252121d r k k ===⇒=+ 二、填空题13. 在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2),(1,3,1)A B -，若点M 在y 轴上，且MA=MB ，则M 的坐标是___解析：考查问题转化能力，具体问题方程化点M 在y 轴上，故M(0,y,0)，依题意，M 在AB 公垂线上222121(3)1y y ++=+++ 解得y=-1，故M(0,-1,0)14. 若函数22y x ax =-+-的区间(0,3]上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围为___解析：考查二次函数的分类讨论能力对称轴/2x a =，区间中点为3/2，讨论最值共有四种情况注意区间左端点取不到，因此只有一种情况既有最大值又有最小值开口向下，对称轴在区间内部偏左(),(3)2aMax f Min f ==故3022a <≤，即(0,3]a ∈15. 已知函数1/333,1log ,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩则满足1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为___解析：考试分段函数及分类整合能力31()log 929f ==，因此()2f m ≤ 当m ≥1时，335log 5m m ≤⇒≤，即31log 5m ≤≤ 当0<m<1时3log 21/9m m -≤⇒≥，即1/91m ≤< 综上，31/9log 5m ≤≤16. 一个多面体的直观图和三视图如下，M 是A ’B 的中点，N 是棱B ’C ’上的任意一点（含顶点），对于下列结论：其中正确的是___①当点N 是棱B ’C ’的中点时，MN//平面ACC’A’； ②MN ⊥A’C ；③三棱锥N-A’BC 的体积为3/6V a =；④点M 是该多面体的球心. 答案：1,2,3,4解析：考查立体几何取A ’B ’的中点D ，则MND 平行//平面ACC’A’ A’C ⊥平面ABC ’因此A’C ⊥面内直线MN三棱锥可以转换为A’-NBC ，底面NBC 为2/2a ，高为a/3，故3/6V a = 这是半个正棱柱，因此球心为点M三、解答题17. （10分）已知直线1:10l x my ++=和2:(3)2(137)0l m x y m --+-=. (1)若12l l ⊥，求实数m 的值；(2)若12//l l ，求两直线之间的距离d. 解析：(1)若垂直，则(3)23m m m -=⇒=-(2)若平行，则(3)201371m m m -+=-≠且，解得m=11030x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，222d == 18. 已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =--++，其中01a a >≠且. (1)求函数的定义域; (2)求函数的值域.解析：求定义域转化为解不等式组1030x x +<⎧⎨+>⎩解得31x -<<- 求值域转化为求函数最值问题()log (1)(3)a f x x x =--+，对称轴x=-2当0<a<1时，(2),(3)(1)Min f Max f f =-=-=-=+∞ 当a>1时，(2),(3)(1)Max f Min f f =-=-=-=-∞综上，当0<a<1时函数值域为y ≥0，当a>1时函数值域为y ≤0 19. 如图，PAD ∆与正方形ABCD 共用一边AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中PA=PD ，AB=2，点E 是棱PA 的中点. (1)求证：PC//平面BDE;(2)若直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，求点A 到平面BDE 的距离. 解析：(1)线面平行转化为线线平行 因此连接正方形对角线AC 交BD 于O PAC ∆的中位线OE//PC ，故PC//平面BDE.(2)取公共边AD 的中点N ，等腰三角形三线合一，故PN ⊥AD 从而PN ⊥底面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成角即∠PAD ＝60°等边三角形PAD 中2ADE S ∆==AB ⊥AD 从而AB ⊥平面PAD ，故三棱锥B-ADE 的高为AB=2三棱锥B-ADE 的体积为133V Sh ==在RT EAB ∆中EB =RT BDE ∆中EB =从而22BDE S ∆== 三棱锥B-ADE 与三棱锥A-BDE 是同一立体因此3235d d ⨯=⇒= 20. 已知函数22()(,,)ax f x a b c Z bx c-=∈+是奇函数. (1)若(1)1,(2)40f f =->，求f(x)；(2)若1()1b f x =>且，对任意的x>1都成立，求a 的最小值. 解析：由奇函数性质可得c=0(1)若(1)1f =则212a a b b -=⇒-=若(2)4f >则42214422a ab a -->⇒>-解得27/2a <<，故a=3，b=1因此232()x f x x-=(2)依题设条件得221,()1ax x f x x-∀>=>分离变量得 22221x a x x x +>=+，换元1(0,1)t x=∈得2()2g t t t =+ 求a 的最小值即二次函数区间上的最大值g(1)＝3 因此3a ≥ （注意g(t)取不到3）21. 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD,AD//BC,AD=8,BC=6,AB=2，E,F 分别在BC,AD 上，EF//AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC. (1)若BE=3，求几何体BEC-AFD 的体积；(2)求三棱锥A-CDF 的体积的最大值，并求此时二面角A-CD-E 的正切值.解析：考查空间几何体分割法连接CF ，将几何体分割为四棱锥C-ABEF 和三棱锥A-CDF (1)已知BE=CE=3，AB=2四棱锥C-ABEF 底面积S=6，高h=3，故V=6 已知AF=3，FD=5，EF=AB=2三棱锥A-CDF 底面积S=5，高h=3，故V=5 因此几何体BEC-AFD 的体积为V=11(2)由(1)知BE=x ，(0<x ≤6)是关键参数，将体积问题函数化 三棱锥A-CDF 底面积S=8-x ，高h=x ，故()(8)/3V x x x =- 二次函数区间最值问题，最大值V(4)=16/3当x=4时，△CEF 及△CDF 均为等腰直角三角形 故二面角A-CD-E 为∠ACF ，tan 222ACF ∠==22. 已知点A(6,2),B(3,2)，动点M 满足MA=2MB (1)求点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹与y 轴的交点为P ，过P 作斜率为k 的直线l 与M 的轨迹交于另一点Q ，若C(1,2k+2)，求CPQ ∆面积的最大值，并求出此时直线l 的方程. 解析：动点轨迹问题，字母化方程化设M(x,y)，则2222(6)(2)4[(3)(2)]x y x y -+-=-+-整理得22(2)(2)4x y -+-=，动点轨迹为圆心(2,2)，半径为2的圆 (2)圆与y 轴的交点为P(0,2)，过P 的直线方程y=kx+2 圆心(2,2)到直线的距离为21d k=+，直线截圆所得弦长22221PQ r d k=-=+点C(1,2k+2)到直线的距离2211h k k==++三角形面积为222|2|2()11||1/||11k S k k k k k k ===≤++++ 即||1k =时等号成立，此时直线方程为2y x =±。
河南省洛阳市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析
2015-2016学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3x﹣1 B．x+2=0 C． +=1 D．2x﹣y+1=03．线段x﹣2y+1=0（﹣1≤x≤3）的垂直平分线方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣1=04．函数y=lnx与y=﹣2x+6的图象有交点P（x0，y0），若x0∈（k，k+1），则整数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若不等式a|x|＞x2﹣对任意x∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A 出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为x，棱锥S﹣ABCD的体积为V（x），则函数V（x）的图象是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．14．若函数y=﹣x2+ax﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知直线l1：x+my+1=0和l2：（m﹣3）x﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．18．已知函数f（x）=log a（﹣x﹣1）+log a（x+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．20．已知函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（x）；（2）若b=1，且f（x）＞1对任意的x∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．21．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=3，求几何体BEC﹣AFD的体积；（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．2015-2016学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={2}，由全集U={1，2，3，4}，A∩B）={1，3，4}．∴∁U（故选：A．2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3x﹣1 B．x+2=0 C． +=1 D．2x﹣y+1=0【考点】直线的倾斜角．【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．【解答】解：对于A：k=3，是锐角，对于B：是直角，对于C：k=﹣，是钝角，对于D：k=2，是锐角，故选：C．3．线段x﹣2y+1=0（﹣1≤x≤3）的垂直平分线方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出线段的中点坐标，求出线段的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程．【解答】解：x=﹣1时，y=0，x=3时，y=2，∴（﹣1，0），（3，2）的中点为（1，1），线段x﹣2y+1=0的斜率是：k==，线段x﹣2y+1=0（﹣1≤x≤3）的垂直平分线的斜率是：﹣2，故所求直线方程是：y﹣1=﹣2（x﹣1），即：2x+y﹣3=0，故选：B．4．函数y=lnx与y=﹣2x+6的图象有交点P（x0，y0），若x0∈（k，k+1），则整数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的图象．【分析】可判断函数f（x）=lnx﹣6+2x连续，从而由零点的判定定理求解．【解答】解：设f（x）=lnx+2x﹣6，因为函数f（x）=lnx﹣6+2x连续，且f（2）=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函数y=lnx﹣6+2x的零点在（2，3）之间，故x0∈（2，3）；∵x0∈（k，k+1），∴k=2，故选B．5．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，∴log a b＜log a1=0，b a＞b0=a0＞a b＞0，∴log a b＜a b＜b a．故选：D．6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【解答】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A7．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据线面平行的判定定理进行判断．②根据线面垂直的性质定理进行判断．③根据线面垂直的定义进行判断．④根据面面平行的判定定理进行判断．【解答】解：①m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故①错误，②α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交；故②错误，③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，若m与n相交，则l⊥α，否则不成立，故③错误，④若m∩n=A，设过m，n的平面为γ，若m∥α，n∥α，则α∥γ，若m∥β，n∥β，则γ∥β，则α∥β成立．故④正确，故错误是①②③，故选：C．8．若不等式a|x|＞x2﹣对任意x∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）【考点】函数恒成立问题．【分析】设f（x）=a|x|，g（x）=x2﹣，根据不等式的大小关系转化为两个函数的图象关系，利用分类讨论以及数形结合进行求解即可．【解答】解：设f（x）=a|x|，g（x）=x2﹣，当x∈[﹣1，1]时，g（x）∈[﹣，]，∵f（x）和g（x）都是偶函数，∴只要保证当x∈[0，1]时，不等式a|x|＞x2﹣恒成立即可．当x∈[0，1]时，f（x）=a x，若a＞1时，f（x）=a x≥1，此时不等式a|x|＞x2﹣恒成立，满足条件．若0＜a＜1时，f（x）=a x为减函数，而g（x）为增函数，此时要使不等式a|x|＞x2﹣恒成立，则只需要f（1）＞g（1）即可，即a＞1﹣=，此时＜a＜1，综上＜a＜1或a＞1，故选：A．9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A 出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为x，棱锥S﹣ABCD的体积为V（x），则函数V（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据棱锥的体积公式求出函数的解析式，并根据正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，求出x的范围，判断函数的图象即可．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，∴BC2=PB2+PC2﹣2PB•PCcos30°=16+16﹣2×4×4×=32﹣16，∴底面正方形的面积s=32﹣16，h=xtan30°，∴V（x）=sh=xtan30°，为线性函数，∵四边形AMND的周长最小，正四棱锥侧面展开图如图所示，∴正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，∴x≤4故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（lga）+f（lg）≤2f（1），等价为f（lga）+f（﹣lga）=2f（lga）≤2f（1），即f（lga）≤f（1）．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（lga）≤f（1）等价为f（|lga|）≤f（1）．即|lga|≤1，∴﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，故选：B．11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出⊙C的方程，过P，M，N的圆的方程，两圆外切时，m取得最大值．【解答】解：由题意，∴A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（2，4，），D（4，4），∵A（3，3），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为+1=6，故选：C．12．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作函数n=1+与直线n=k（m﹣2）+4的图象，从而化为图象的交点的个数问题，从而解得．【解答】解：由题意作函数n=1+与直线n=k（m﹣2）+4的图象如下，直线n=k（m﹣2）+4过定点A（2，4），当直线n=k（m﹣2）+4过点C时，=2，解得，k=，当直线n=k（m﹣2）+4过点B时，k==，结合图象可知，＜k≤，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y值即可．【解答】解：设设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，可得=，即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1．M的坐标是（0，﹣1，0）．故答案为：（0，﹣1，0）．14．若函数y=﹣x2+ax﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：函数y=﹣x2+ax﹣2，对称轴x=，若函数在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，∴0＜≤，解得：0＜a≤3，故答案为：（0，3]．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．【考点】指、对数不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】由函数的解析式求得f（）==2，画出函数f（x）的图象，求得A、B的横坐标，可得满足不等式的实数m的取值范围【解答】解：∵函数，∴f（）==2，∴函数f（x）的图象如图所示：令=2，求得x=，故点A的横坐标为，令3x﹣3=2，求得x=log35，故点B的横坐标为log35．∴不等式，即f（m）≤2．顾满足f（m）≤2的实数m的取值范围为，故答案为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．【考点】棱柱的结构特征．【分析】本题是直观图和三视图的综合分析题，要抓住M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）就是动点，从三视图抓住直观图的特征，结合下情况分别证明．【解答】解：①M连接AB中点E，N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC1A1，面面平行⇒线面平行，①正确；②M连接A1C中点G，连接C1G，A1C⊥平面MNC1G．∴MN⊥A1C；②正确；===a3，③正③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A确；④由三视图可知：此多面体是正方体切割下来了的，M是A1B的中点（空间对角线中点），是正方体中心，∴点M是该多面体外接球的球心．故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知直线l1：x+my+1=0和l2：（m﹣3）x﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）由垂直可得1•（m﹣3）﹣2m=0，解方程可得；（2）由l1∥l2可得m值，可得直线方程，由平行线间的距离公式可得．【解答】解：（1）∵直线l1：x+my+1=0和l2：（m﹣3）x﹣2y+（13﹣7m）=0，∴当l1⊥l2时，1•（m﹣3）﹣2m=0，解得m=﹣3；（2）由l1∥l2可得m（m﹣3）+2=0，解得m=1或m=﹣2，当m=2时，l1与l2重合，应舍去，当m=1时，可得l1：x+y+1=0，l2：﹣2x﹣2y+6=0，即x+y﹣3=0，由平行线间的距离公式可得d==218．已知函数f（x）=log a（﹣x﹣1）+log a（x+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；（2）根据对数的运算性质，以及符合函数的值域的求法，即可得到答案，需要分类讨论．【解答】解：（1）要使函数有意义，则．解得：﹣3＜x＜﹣1．即f（x）的为定义域（﹣3，1），（2）f（x）=log a（﹣x﹣1）+log a（x+3）=log a[﹣（x+1）（x+3）]，令t=﹣（x+1）（x+3），∵﹣3＜x＜﹣1，∴0＜t≤1，当0＜a＜1时，值域为[0，+∞），当a＞1时，值域为（﹣∞，0]．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，证明PC∥OE，即可证明PC∥平面BDE；（2）取AD的中点N，连接PN，证明∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角，利用等体积方法求点A到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，则∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵点E是棱PA的中点，∴PC∥OE，∵OE⊂平面BDE，BD⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；（2）解：取AD的中点N，连接PN，则∵PA=PD，∴PN⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PN⊥平面ABCD，∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥平面PAD，==，∴V B﹣DAERt△EAB中，EA=1，AB=2，BE=，∵，BD=2，∴DE⊥EB，==．∴S△BDE设点A到平面BDE的距离为h．则，∴h=，∴点A到平面BDE的距离为．20．已知函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（x）；（2）若b=1，且f（x）＞1对任意的x∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数是奇函数求出c=0，根据f（1），f（2）的值求出a，b从而求出f（x）即可；（2）问题转化为a＞=+对任意x∈（1，+∞）恒成立，令t=，从而求出a的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，即=0，∴c=0，∴f（x）=，又f（1）==1，∴b=a﹣2，f（2）﹣4=﹣4＞0，∴﹣4=＞0，∴2＜a＜，∵a∈Z，∴a=3，b=1，∴f（x）=；（2）b=1时，由（1）得：f（x）=，f（x）＞1恒成立即＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，即a＞=+对任意x∈（1，+∞）恒成立，令t=，∴t ∈（0，1），于是+=2t 2+t ∈（0，3），∴a ≥3，a 的最小值是3．21．如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD=8，BC=6，AB=2，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ． （1）若BE=3，求几何体BEC ﹣AFD 的体积；（2）求三棱锥A ﹣CDF 的体积的最大值，并求此时二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）推导出FD ⊥平面ABEF ，从而AF ⊥平面EFDC ，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC ﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，由此能求出几何体BEC ﹣AFD 的体积．（2）设BE=x ，则AF=x （0＜x ≤6），FD=8﹣x ，V 三棱锥A ﹣CDF =，当x=4时，V 三棱锥A ﹣CDF 有最大值，∠ACF 为二面角A ﹣CD ﹣E 的平面角，由此能求出二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【解答】解：（1）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC=EF ，FD ⊥EF ， ∴FD ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，∴FD ⊥AF ，又AF ⊥EF ，FD ∩EF=F ，∴AF ⊥平面EFDC ，同理，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC ﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，对于三棱锥A ﹣CDF ，棱锥高为AF=BE=3，FD=5，∴V 三棱锥A ﹣CDF ===5，对于四棱锥C ﹣ABEF ，棱锥高为CE=3，∴V 四棱锥C ﹣ABEF ===6，∴几何体BEC ﹣AFD 的体积V=V 三棱锥A ﹣CDF +V 四棱锥C ﹣ABEF =5+6=11．（2）设BE=x ，∴AF=x （0＜x ≤6），FD=8﹣x ，∴V 三棱锥A ﹣CDF =，∴当x=4时，V 三棱锥A ﹣CDF 有最大值，且最大值为，在直角梯形CDEF 中，EF=2，CE=2，DF=4，∴CF=2，CD=2，DF=4，∴CF 2+CD 2=DF 2，∠DCF=90°，∴DC ⊥CF ，又AF⊥平面EFDC，DC⊂平面EFDC，∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角，tan==，∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设M（x，y），由|MA|=2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）令x=0，可得P（0，2）．直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k2）x2﹣4x=0，解出可得Q坐标，|PQ|．求出点C到直线l的距离d，△CPQ面积S=|PQ|•d，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设M（x，y），∵|MA|=2|MB|，∴=2，化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．（2）令x=0，解得y=2，∴P（0，2）．直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k2）x2﹣4x=0，解得x=0，或x=．∴Q．∴|PQ|==．点C到直线l的距离d==．∴△CPQ面积S=|PQ|•d=××==≤=1，当且仅当|k|=1时取等号．∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线l的方程为：y=±x+2．2016年10月12日。
2015-2016学年河南省普通高中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年河南省普通高中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（C U M）∩N=（）A．{2} B．{3} C．{2，3，4} D．{0，1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】本题思路较为清晰，欲求（C U M）∩N，先求M的补集，再与N求交集．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，∴C U M={3，4}．∵N={2，3}，∴（C U M）∩N={3}．故选B．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．2．函数f（x）=lg（3x﹣1）的定义域为（）A．R B．C．D．【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=lg（3x﹣1）是一个对数函数，故其真数必大于0，由此得到关于自变量x的不等式，解出它的解集，即为所求的函数的定义域，再选出正确选项【解答】解：由题意，函数f（x）=lg（3x﹣1）是一个对数型函数令3x﹣1＞0，得x＞，即函数f（x）=lg（3x﹣1）的定义域为观察四个选项，D选项正确故选D【点评】本题考查对数函数的定义域，解题的关键是理解对数的定义﹣﹣﹣真数大于0，从而得出自变量的取值范围即定义域，本题是对数性质考查的基本题，计算题，考查了转化的思想，将求定义域的问题转化成了求不等式的解集．3．已知函数f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值为（）A．a2+a+2 B．a2+1 C．a2+2a+2 D．a2+2a+1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得f（a+1）=（a+1）2+1，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=x2+1，∴f（a+1）=（a+1）2+1=a2+2a+2．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．函数y=2|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【专题】数形结合．【分析】由已知中函数的解析式，结合指数函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则，我们可以判断出函数的奇偶性，单调性，及特殊点，逐一分析四个答案中的图象，即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x）∴y=2|x|是偶函数，又∵函数y=2|x|在[0，+∞）上单调递增，故C错误．且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A，D错误故选B【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据函数的解析式，分析出函数的性质，进而得到函数的形状是解答本题的关键．5．已知函数f（x）=，则f（2）=（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：由分段函数可知，f（2）=﹣2+3=1，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可得到结论．A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】阅读型．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（2，3）内一定有零点，其他区间不好判断．故选c．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300 km的某地，他应付的邮资是（）A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】根据表格，写出邮资y与运送距离x的函数关系式，判断出1300∈（1000，1500]得到邮资y的值．【解答】解：邮资y与运送距离x的函数关系式为∵1300∈（1000，1500]∴y=7.00故选C【点评】求分段函数的函数值，关键是判断出自变量所属于那一段，然后将其代入那一段的解析式，求出函数值．8．如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣7【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】求出函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=，令≥4，即可解出a的取值范围．【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得≥4，，得a≥9．故选A．【点评】考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分．请将正确答案填写在答题表中）9．已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，则f（3）的值为18．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题．【分析】由f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，先求出f（2），再利用f（3）=f（2+1）=3f（2）可求f（3）的值．【解答】解：∵f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，∴f（2）=3f（1）=6，f（3）=f（2+1）=3f（2）=18，故答案为18．【点评】本题考查函数值、抽象函数及其应用，由f（1）的值求出f（2）的值，再由f（2）的值求出f（3）的值．10．计算的值为0．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】将根式化为2的分数指数幂，再利用指指数与对数运算法则可获解．【解答】解：原式=××+（﹣2）﹣2=﹣4=4﹣4=0．故答案为0．【点评】本题考查分数指数幂及对数运算，要注意：（1）正确化简，一般将根式化为分数指数，（2）正确运用公式．11．若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；分类讨论；转化思想．【分析】根据奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，可知函数f（x）在（0，+∞）上的单调性和零点，从而把不等式f（x）＞0利用函数的单调性转化为自变量不等式．【解答】解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0∴不等式f（x）＞0等价于；1°x＞0时，f（x）＞f（1）∴x＞1；2°x＜0时，f（x）＞f（﹣1）∴﹣1＜x＜0；综上x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【点评】考查函数的奇偶性和单调性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法，和分类讨论的思想，属中档题．12．函数f（x）=log3（x2﹣2x+10）的值域为[2，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域，再求真数的范围，利用对数函数的单调性求出f（x）的值域．【解答】解：令t=x2﹣2x+10=（x﹣1）2+9≥9故函数变为y=log3t，t≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log39=2故f（x）的值域为[2，+∞）故答案为：[2，+∞）【点评】本题考查二次函数最值的求法、利用对数函数的单调性求函数的最值．13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为0.729a．【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．【专题】计算题．【分析】光线原来的强度为a，光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，故通过n块玻璃板后的强度变为原来的2n倍．【解答】解：光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，则通过3块玻璃板后的强度变为a×0.93=0.729a．故答案为：0.729a．【点评】本题考查指数函数的特征，通过n块玻璃板后的强度y=a×2n．14．数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：f（0）不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为乙说的是错误的．【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【专题】开放型；反证法．【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想．【解答】解；如果甲、乙两个同学回答正确，∵在[0，+∞）上函数单调递增；∴丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称”错误，此时f（0）是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误．故答案为乙．【点评】解决本题的关键是能根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，在解答的过程中应用了反证法的思想，属基础题．三、解答题（分4道小题，共44分）15．已知函数．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）f（x）为分式函数，则由分母不能为零，解得定义域；（2）要求用定义证明，则先在（1，+∞）上任取两变量且界定大小，然后作差变形看符号．【解答】解：（1）由x2﹣1≠0，得x≠±1，所以，函数的定义域为x∈R|x≠±1（4分）（2）函数在（1，+∞）上单调递减．（6分）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，（8分）∵x1＞1，x2＞1，∴x12﹣1＞0，x22﹣1＞0，x1+x2＞0．又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，故△y＜0．因此，函数在（1，+∞）上单调递减．（12分）【点评】本题主要考查函数定义域的基本求法和单调性定义证明函数的单调性．16．有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】先根据题意设t小时后蓄水池内水量为y吨，得出蓄水池中水量y关于t的函数关系式，再利用换元法求出此函数的最小值即可．本题解题过程中可设，从而．转化成二次函数的最值问题求解．【解答】解：设t小时后蓄水池内水量为y吨，（1分）根据题意，得（5分）===（10分）当，即t=5时，y取得最小值是50．（11分）答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨．（12分）【点评】本小题主要考查建立函数关系、二次函数的性质等基础知识，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．17．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值．【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的图象与性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，可得a3﹣1=4，由此求出a；（2）本题要根据指数函数的单调性比较大小，要解决两个问题一是自变量的大小，由于=﹣2，故自变量大小易比较，另一问题是函数的单调性，由于底数a的取值范围不确定，需对参数a的取值范围进行讨论以确定函数的单调性，在每一类下比较大小．（3）由f（lga）=100知，a lga﹣1=100，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得（lga﹣1）•lga=2，解此方程先求lga，再求a．【解答】解：（1）∵函数y=f（x）的图象经过P（3，4）∴a3﹣1=4，即a2=4．（2分）又a＞0，所以a=2．（4分）（2）当a＞1时，；当0＜a＜1时，．（6分）因为，，f（﹣2.1）=a﹣3.1当a＞1时，y=a x在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＞a﹣3.1．即．当0＜a＜1时，y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＜a﹣3.1．即．（8分）（3）由f（lga）=100知，a lga﹣1=100．所以，lga lga﹣1=2（或lga﹣1=log a100）．∴（lga﹣1）•lga=2．∴lg2a﹣lga﹣2=0，（10分）∴lga=﹣1或lga=2，所以，或a=100．（12分）【点评】本题考点是指数函数单调性的应用，考查了求指数函数解析式，利用单调性比较大小，以及解指数与对数方程，本题涉及到的基础知识较多，综合性较强，在本题中解指数与对数方程时用到了两边取对数将指数方程转化为一元二次方程求解，这是此类方程求解时专用的一个技巧，要好好总结其运用规律．18．集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有．（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由；（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用．【专题】计算题；证明题；转化思想．【分析】（1）f（x）∈A，g（x）∉A．对于f（x）∈A的证明只要看是否满足条件即可，用作差法进行验证．g（x）∉A，可通过举反例来证明，如取x1=1，x2=2，不满足．（2）受（1）的启发，可从指数函数中去找，先按照条件“当x∈（0，+∞）时，值域为（0，1）且”找到，再证明是否满足条件条件即可．【解答】解：（1）f（x）∈A，g（x）∉A．（2分）对于f（x）∈A的证明．任意x1，x2∈R且x1≠x2，=即．∴f（x）∈A（3分）对于g（x）∉A，举反例：当x1=1，x2=2时，，，不满足．∴g（x）∉A．（4分）（2）函数，当x∈（0，+∞）时，值域为（0，1）且．（6分）任取x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，则=即．∴．是一个符合条件的函数．（8分）【点评】本题是一道情境题，主要考查不等式的证明以及不等式的应用，还考查了构造思想，如本题中f（x）构造类型f（x）=a x或（k＞1）很常见．。