考研数学一试题及完全解析(Word版)
考研数学一真题(WORD清晰版)
2021 考研数学〔一〕真题完整版一、选择题： 1～8 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .〔1〕假设反常积分1b dx 收敛，那么〔〕0x a 1xA a 1且b 1B a 1且b1 C a 1且a b 1 D a 1且 a b 1〔2〕函数f x 2x 1 , x1，那么f x的一个原函数是〔〕ln x, x1x121x21A F x, xB F x1 , xx ln x 1 , x 1x ln x 1 1, x 1 x1212, x1C F x, xD F xx 1x ln x 1 1, x 1x ln x 1 1, x 1〔3〕假设y1 x2 21x2 , y1x221x2是微分方程y p x y q x 的两个解，那么q x〔〕A 3x 1 x2B 3x 1 x2C1x D1x x2x2x, x0〔4〕函数f x111，那么〔〕,x,n 1,2,n n1n〔A 〕x0 是f x 的第一类间断点〔B〕x0 是f x的第二类间断点〔C〕f x 在x0 处连续但不可导〔D 〕f x 在x0 处可导〔5〕设 A， B 是可逆矩阵，且A 与 B 相似，那么以下结论错误的选项是〔〕〔A 〕A T与B T相似〔 B 〕A1与B1相似〔C〕A A T与B B T相似〔D 〕A A1与B B1相似〔6〕设二次型f x1, x2 , x3x12x22x324x1 x24x1 x34x2 x3，那么 f x1 , x2 , x3 2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕〔A 〕单叶双曲面〔 B〕双叶双曲面〔 C〕椭球面〔 C〕柱面〔7〕设随机变量X ~ N ,20，记 p P X2，那么〔〕〔A 〕p随着的增加而增加〔 B 〕p随着的增加而增加〔C〕p随着的增加而减少〔D 〕p随着的增加而减少〔 8〕随机试验E有三种两两不相容的结果A1 , A2 , A3，且三种结果发生的概率均为1，将3试验 E 独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果A1发生的次数，Y表示 2 次试验中结果A2发生的次数，那么X 与 Y 的相关系数为〔〕二、填空题： 914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．xt sin t dtt ln 1〔9〕lim02__________x 01cos x〔10〕向量场A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度rotA_________〔 11〕设函数f u, v可微，z z x, y 由方程 x 1 z y 2x2 f x z, y 确定，那么dz 0,1_________〔12〕设函数f x arctanxx，且 f ' ' 01，那么a________ 12ax100010____________.〔13〕行列式014321〔14〕设x1, x2,..., x n为来自总体N ,2的简单随机样本，样本均值x，参数的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么的置信度为的双侧置信区间为______.三、解答题： 15—23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解容许写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤 .〔15〕〔此题总分值10 分〕平面区域D r ,2r 2 1 cos,22，计算二重积分xdxdy .D〔16〕〔此题总分值10 分〕设函数y(x)满足方程y'' 2 y'ky 0, 其中 0k1.证明：反常积分y( x) dx 收敛；假设 y(0) 1, y ' (0) 1, 求y( x)dx 的值 .〔17〕〔此题总分值10 分〕设函数 f ( x, y) 满足f ( x, y)(2x 1)e 2 x y , 且 f (0, y) y 1, L tx是从点 (0,0) 到点(1,t) 的光滑曲线，计算曲线积分I (t)L t f (x, y) dx f (x, y) dy ，并xy求 I (t) 的最小值〔18〕设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个外表的外侧，计算曲面积分 Ix 2 1 dydz 2ydzdx 3zdxdy〔19〕〔此题总分值10 分〕函数 f ( x) 可导，且 f (0)1 ， 0 f '( x)1，设数列x n2满足 x n 1 f (x n )(n 1,2...) ，证明：〔I 〕级数(x n 1 x n ) 绝对收敛；n 1〔II 〕 lim x n 存在，且 0 lim x n 2 .nn1 1 12 2 〔20〕〔此题总分值11 分〕设矩阵 A2a1 , B1 a1 1aa 12当 a 为何值时，方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解0 1 1 〔21〕〔此题总分值11 分〕矩阵 A2 3 0〔I 〕求 A 99〔II 〕设 3 阶矩阵 B( , 2 , 3 ) 满足 B2BA ，记 B100(1 ,2 ,3 )将 1 , 2 ,3 分别表示为 1, 2 , 3 的线性组合。
考研数学一真题及答案解析(完整版)
2021考研数学〔一〕真题完整版一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕假设反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，那么〔 〕()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且〔2〕函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，那么()f x 的一个原函数是〔 〕()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩〔3〕假设()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，那么()q x =〔 〕()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++〔4〕函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，那么〔 〕〔A 〕0x =是()f x 的第一类间断点 〔B 〕0x =是()f x 的第二类间断点 〔C 〕()f x 在0x =处连续但不可导 〔D 〕()f x 在0x =处可导〔5〕设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，那么以下结论错误的选项是〔 〕 〔A 〕TA 与TB 相似 〔B 〕1A -与1B -相似 〔C 〕TA A +与TB B +相似 〔D 〕1A A -+与1B B -+相似〔6〕设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，那么()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔 〕〔A 〕单叶双曲面 〔B 〕双叶双曲面 〔C 〕椭球面 〔C 〕柱面〔7〕设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么〔 〕〔A 〕p 随着μ的增加而增加 〔B 〕p 随着σ的增加而增加 〔C 〕p 随着μ的增加而减少 〔D 〕p 随着σ的增加而减少 〔8〕随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为〔 〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx〔10〕向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA〔11〕设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，那么()_________1,0=dz〔12〕设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，那么________=a 〔13〕行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 〔14〕设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，那么μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.〔16〕〔此题总分值10分〕设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 假设'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.〔17〕〔此题总分值10分〕设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值〔18〕设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个外表的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑〔19〕〔此题总分值10分〕函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： 〔I 〕级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；〔II 〕lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.〔20〕〔此题总分值11分〕设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？〔21〕〔此题总分值11分〕矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭〔I 〕求99A〔II 〕设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。
$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。
$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。
$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。
$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
B。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
C。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。
D。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。
3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。
B。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()201x t e dt -⎰B.0ln(1)x ⎰C.sin 20sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x →=则（ ）A.当00,()0x f x x →==在处可导.B.当00,()0x f x x →==在处可导.C.当0()00.x f x x →==在处可导时,D.当0()00.x f x x →==在处可导时,3.设函数()f x 在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1fff n x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭非零向量d 与n 重直，则（）A.(,)lim 0x y →=存在 B.(,)lim 0x y →=存在C.(,)lim 0x y →=存在D.(,)lim 0x y →=4.设R 为幂级数1n nn a x ∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1n nn a x ∞=∑发散时，||r R ≥B.1n nn a x ∞=∑发散时，||r R ≤C.||r R ≥时，1n nn a x ∞=∑发散D.||r R ≤时，1n nn a x ∞=∑发散5.若矩阵A 经初等变换化成B ，则（ ）A.存在矩阵P ，使得P A =BB.存在矩阵P ，使得BP =AC.存在矩阵P ，使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解6.已知直线22211112:x a y b c L a b c ---== 与直线33322222:x a y b c L a b c ---==相交于一点，法向量,1,2,3.i i i i a a b i c ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则 A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关7.设A,B,C 为三个随机事件，且11()()(),()0()()412P A P B P C P AB P AC P BC ======，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.5128.设12(),,,n x x x …为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P X P X x ====Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑的近似值为 A.1(1)-ΦB.(1)ΦC.1(0,2)-ΦD.(0,2)Φ 二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。
2024年考研数学一真题及解析
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则（）（A ）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数（B ）()f x 是偶函数，()g x 是奇函数（C ）()f x 与()g x 均为奇函数（D ）()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ，【解析】由于cos te 是偶函数，所以()f x 是奇函数；又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数，所以是()g x 奇函数.（2）设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数，∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧，则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰（）（A ）()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰（B ）()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰（C ）()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰（D ）()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ，【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂，1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.（3）设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +，则∑∞=02n nna（）（A ）61-（B ）31-（C ）61（D ）31【答案】（A ）【解析】法1，∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，当n n n a n 22221,0⋅-=>，所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na （，故选(A)；法2：n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(，2ln )02ln()0(=+==C S ，⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n （4）设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0()limx f x m x→=时，(0)f m '=（B ）当(0)f m '=时，0()limx f x m x→=（C ）当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=（D ）当(0)f m '=时，0lim ()x f x m→'=【答案】B ，【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续，从而0lim ()(0)0x f x f →==，所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-，故选B .（5）在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）（A ）1,2m n ==（B ）2m n ==（C ）2,3m n ==（D ）3m n ==【答案】B ，【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.（6）设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则（）（A ）1,1a b =≠（B ）1,1a b ==-（C ）2,2a b ≠=（D ）2,2a b =-=【答案】D ，【解析】由于123,,ααα线性相关，故1111011a a a =得1a =或2-，当1a =时，13,αα相关，故2a =-，又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .（7）设A 是秩为2的3阶矩阵，α是满足0A α=的非零向量，若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=，则（）（A ）3A 的迹为2（B ）3A 的迹为5（C ）2A 的迹为8（D ）2A 的迹为9【答案】A ，【解析】由0A α=且0α≠，故10λ=，由于A 是秩为2的3阶矩阵，对于0Ax =仅有一个解向量，所以，1λ是一重，0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成，A ββ=,故21λ=为两重，故3A 的特征值为0,1,1，故3()2tr A =.（8）设随机变量,X Y 相互独立，且()()~0,2,~2,2X N Y N -，若}{}{2P X Y a P X Y +<>=，则a =（）（A）2-（B）2-+（C）2-（D）2-+【答案】B ，【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---，所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+（9）设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩，其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =（）（A ）136-（B ）172-（C ）172（D ）136【答案】D ，【解析】当01x <<时，|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰，,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=，故选D （10）设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-，则下列随机变量中与Z 同分布的是（）（A ）X Y +（B ）2X Y+（C ）2X （D ）X【答案】（D ）【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时，当当0≥z 时，dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ，显然Y X Z -=与X 同步，故选（D ）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上 1. x 0时，下列无穷小量中最高阶是()xt 2e 0B. ：ln(1 、t 3dt)sin x 2C. sint dt2.设函数f (x)在区间(-1，1)内有定义，且p 叫f (x) 0,则(0, f (x)在x 0处可导.A lim |n(x ，y ，f(x ，y))|A. (x,y) (0,0)B.jn ,0)|n (x ；y ,f (x ,y))| 0存在A.1 dt0, f (x)在x 0处可导.C.当 f (x)在x0处可导时 ,lim -f(x)x 0Jx|0. D.当 f (x)在x 0处可导时 ,lim 」凶0.x 0 2V x 3•设函数f (x)在点(0，0)处可微，f(0,0) 0,n非零向量d 与n 重直，则((0,0)0存在代Hx4•设R 为幕级数a n X n 的收敛半径，r 是实数，则(n 1A.a n X n 发散时， n 1|r| RB.a n X n 发散时， n 1|r| RC. |r | R 时，a n x n 发散n 1D. | r | R 时，a n X n 发散n 15•若矩阵A 经初等变换化成 B ，则( )A. 存在矩阵P ,使得FA=BB. 存在矩阵P ,使得BP=AC. 存在矩阵P ,使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解, x a 2y b 2 2 C 26•已知直线L i :2 2一a i D cia i x a 3 yb 32 c 3i…与直线L 2 :---相交于一点，法向量a ib i ,i 1,2,3.则a 2b 2 C 2ciA. a 1可由a 2,a 3线性表示B. a 2可由a 1,a -线性表示C. a -可由a 1, a 2线性表示D. a 1, a 2,a -线性无关C limC. (x,y)(0,0)|d (x,y, f (x, y)) |0存在D. (x,y)im(o,o)Id (x,y, f(x, y)) |17.设A,B,C 为三个随机事件，且P(A) P(B) P(C) -,P(AB) 0 P(AC) P(BC)4A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为3A. -4 2 B. -3 1C. -2 5 D. —12A.1 (1)B. (1)C. 1(0,2)D. (0,2)13.行列式, 上的均匀分布， Y sinX ，则Cov(X,Y 2 2三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答写出文字说明、 步骤.、填空题: 9—14小题，每小题 2分，共24分。
考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim2x b ax a +→-==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<．(C) 025t =． (D)025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()x y C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-+,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydyxdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x +【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+. 【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =.所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析第1题 单项选择题 （每题4分，共8题，共32分） 下列每小题的四个选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。
1、当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则( )3、设函数f(x ，y)在点(0，0)处可微f(0，0)=0，且非零向量d 与n 垂直，则( )．4、设R 为幂级数的收敛半径，r 是实数，则( )．5、若矩阵A 经初等列变换化成B ，则( )．A 、 存在矩阵P ，使得PA=BB 、 存在矩阵P ，使得BP=AC 、 存在矩阵P ，使得PB=AD 、 方程组Ax=0与Bx=0同解A 、可由，线性表示B 、 可由，线性表示C 、 可由，线性表示D 、，，线性无关A 、B 、C 、D 、A 、1-(1)B 、(1)C 、 1-(0．2)D 、 (0．2)6、已知直线相交于一点，法向量，则( )．7、设A ，B ，C 为三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为( )．8、设X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=，(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为( )．第2题 填空题 （每题4分，共6题，共24分） 将正确答案写在题中横线上（或者“括号里”）的空白处。
9、10、11、若函数f(x)满足f”(x)+af’(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则12、13、14、设X服从区间(-)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．第3题解答题（每题10.44分，共9题，共93.96分）根据所给材料回答问题。
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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。
（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】 本题属基本题型。
（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .【评注】 本题属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。
（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。