八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用课件(新版)北师大版
图1-3-2
3 勾股定理的应用
知识点二 长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离 长方体的每个面都是平面图形,所以计算同一个面上的两点之间的 距离比较容易.若计算不同平面上的两点之间的距离,则变成了两个平 面之间的问题,必须先将它们转化到同一平面内,即把长方体设法展开 成一个平面图形,再构造直角三角形,利用勾股定理解决.
3 勾股定理的应用
易错点 使用勾股定理考虑不全面 例 在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的长为( ) A.25 C.25或7 B.7 D.不能确定
3 勾股定理的应用
解析 分两种情况:①如图1-3-11.
图1-3-11
在Rt△ABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9. 在Rt△ACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16.
图1-3-3
3 勾股定理的应用
解析 ①将四边形GBEF与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB, 如图1-3-4所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABC中,由勾股定 理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.
图1-3-4 ②将四边形CDBE与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图1-3 -5(1)所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABD中,由勾股定理得 AB2=AD2+BD2=112+32理的应用
素养呈现 确定几何体上的最短路线时,往往无法直接求解,需要先转 化为平面图形.将几何体展开,就能直观地看出最短距离. 本题先将几何体展开,再利用“两点之间,线段最短”确定所求线段,最 后使用勾股定理求出线段的长. 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与 变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养,利用平面 图形有助于发现、描述问题,有助于理解、记忆得到的结果,可以把困 难的数学问题变容易,把抽象的数学问题变简单.
3 勾股定理的应用
题型二 利用勾股定理解决折叠问题 例2 如图1-3-8,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC 交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.
图1-3-8
3 勾股定理的应用
解析 在△ABE和△CD'E中,∠B=∠D'=90°,∠AEB=∠CED',AB=CD', ∴△ABE≌△CD'E, ∴AE=EC. 设AE=x cm(x>0),则BE=(8-x)cm. 在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2, 即62+(8-x)2=x2,
图1-3-9
3 勾股定理的应用
解析 如图1-3-10,作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P 即为所建的出口.
图1-3-10 此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小,最小距离为AC的长.作AD⊥ BB'于点D,在Rt△ADC中,AD=A'B'=8 km,DC=6 km, ∴AC2=AD2+DC2=100,∴AC=10 km, ∴这个最小距离为10 km.
3 勾股定理的应用
培养勾股定理中的几何直观能力
典例剖析 例 如图1-3-13所示,长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm,高 为6 cm,如果用一根细线从A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用 细线最短需要多长?如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么 所用细线最短时其长度的平方是多少?
3 勾股定理的应用
知识点三 勾股定理在实际问题中的应用 3.一艘轮船以30 km/h的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时 离开港口以16 km/h的速度向东南方向航行,它们离开港口半小时后相 距 km.
答案 17 解析 作出图形,如图,因为东北和东南方向的夹角为90°,所以△ABC为 直角三角形.在Rt△ABC中,AC=30×0.5=15(km),BC=16×0.5=8(km),所以 AB2=AC2+BC2=152+82=289,所以AB=17 km.
144 13 144 169 144 13
3 勾股定理的应用
点拨 首先要根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状,然后利用勾股 定理求线段的长.为减小思考问题的“跨度”,可将原问题分解成下述 “子问题”:(1)△ABC是什么形状的三角形;(2)走私艇C进入我国领海 的最短距离是多少;(3)走私艇C最早会在什么时间进入我国领海.这样 问题就可迎刃而解.
初中数学（北师大版）
八年级 上册
第一章
勾股定理
3 勾股定理的应用
知识点一 圆柱侧面上两点间的最短距离 圆柱侧面的展开图是一个长方形.圆柱侧面上两点之间最短距离的 求法是把圆柱侧面展开成平面图形,依据两点之间线段最短,以最短路
线为斜边构造直角三角形,利用勾股定理求解.
3 勾股定理的应用
例1 如图1-3-1所示,一个圆柱体高20 cm,底面半径为5 cm,在圆柱体下 底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已 被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B点,最短路 程是多少?(π取3)
3 勾股定理的应用
知识点三 勾股定理在实际问题中的应用 例3 如图1-3-6,南北方向线MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时 50分,我国缉私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷 向我领海驶来,便立即通知正在MN线上巡逻的缉私艇B.已知A,C两艇的 距离是13海里,A,B两艇的距离是5海里,缉私艇B与C艇的距离是12海里, 若C艇的速度不变,那么它最早会在什么时间进入我国领海?
展开长方体时,一定要注意打开哪一个侧面,并且向上、下与向左、右展
开会出现长度不同的路线,应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
3 勾股定理的应用
例2 如图1-3-3所示,有一个长方体,长、宽、高分别为6、5、3.在长方 体的底面A处有一堆蚂蚁,它们想吃到长方体上底面与A相对的B点处的 食物,则需要爬行的最短路程是多少?
∴BC=BD+CD=9+16=25.
3 勾股定理的应用
②如图1-3-12.
图1-3-12
在Rt△ABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9.
在Rt△ACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16. ∴BC=CD-BD=16-9=7.
答案 C
易错警示 分两种情况讨论,易丢掉△ABC为钝角三角形的情况.
图1-3-13
3 勾股定理的应用
解析 将长方体展开,连接AB',如图1-3-14所示. 因为AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B'=6 cm, 所以AB'2=AA'2+A'B'2=82+62=102, 所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,所用细线最短 需要10 cm. 如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短时,其 长度的平方为(8n)2+62=64n2+36.
3 勾股定理的应用
答案 A 如图所示,将圆柱的侧面展开,连接AB, ∵底面半径为2 cm, ∴BC= =2π=6(cm), 在Rt△ABC中,∵AC=8 cm,BC=6 cm, ∴AB2=AC2+BC2=100, ∴AB=10 cm.
4 2
3 勾股定理的应用
知识点二 长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离 2.图1-3-2是一个三级台阶,它的每一级台阶的长、宽和高分别是50 cm, 30 cm,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的顶点,A点上有一只壁虎,它 想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面
图1-3-1
3 勾股定理的应用
解析 如图1-3-2所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长
1 即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC=20 cm,BC= ×2×π×5=15 2
(cm).在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252, 所以AB=25 cm,所以最短路程是25 cm.
25 ∴x= , 4 25 ∴EC=AE= cm. 4 1 25 75 2 ∴S阴影= · EC· AB=1 × ×6= (cm ). 2 2 4 4
3 勾股定理的应用
点拨 关于折叠问题的解题步骤: (1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算). (2)选择或构造直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通 过重叠图形找到数量关系. (3)利用勾股定理列方程求解.
爬到B点,至少需爬 (
)
图1-3-2 A.13 cm B.40 cm C.130 cm D.169 cm
3 勾股定理的应用
答案 C 将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为壁虎所爬的最短路 线.
因为BC=30×3+10×3=120(cm),AC=50 cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理, 得AB2=AC2+BC2=16 900,所以AB=130 cm.所以壁虎至少需爬130 cm.
3 勾股定理的应用
4.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:小汽车在城市道路上行驶 速度不得超过70 km/h.如图1-3-3,一辆小汽车在一条城市道路上直线行 驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪(点A)的正前方30 m处(点C), 过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50 m.问这辆小汽车 超速了吗?
图1-3-6
3 勾股定理的应用
解析 设直线MN与AC交于点E,则∠BEC=90°. 因为AB2+BC2=52+122=169,AC2=132=169, 所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,∠ABC=90°. 因为MN⊥CE,所以C艇进入我国领海的最短距离是线段CE的长. 在Rt△BCE和Rt△ABE中,CE2+BE2=144,(13-CE)2+BE2=25,由此得26CE= 288,所以CE= 海里. 因为C艇的速度是13海里/时,所以 ÷13= ≈0.85(小时)=51(分).所以 9时50分+51分=10时41分. 答:走私艇最早会在10时41分进入我国领海.
北师大版八年级数学上册《1-3 勾股定理的应用》课堂教学课件PPT初中公开课
NEPQR12北师大版 数学 八年级 上册在同一平面内，两点之间,线段最短从行政楼A 点走到教学楼B 点怎样走最近？教学楼行政楼BA你能说出这样走的理由吗？导入新知素养目标3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识.2. 运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.1. 灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A 点沿侧面爬行到B 点的问题.讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A 点爬行到B 点？2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？BA我要从A 点沿侧面爬行到B 点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！知识点 1BAdABA'ABBAO想一想蚂蚁走哪一条路线最近？A'蚂蚁A→B的路线若已知圆柱体高为12 cm ，底面周长为18 cm ，则:BArO12侧面展开图1218÷2AB小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.A'A'AB 2=122+(18÷2)2 所以AB =15.例1 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m ，高AB 是5m ，π取3）ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则AB '为梯子的最短距离. 因为AA '=2×3×2=12, A 'B '=5m ,所以AB '=13m . 即梯子最短需13米.素养考点 1利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题数学思想：立体图形平面图形转化展开如图所示,一个圆柱体高20cm ,底面半径为5cm ,在圆柱体下底面的A 点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A 点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B 点,最短路程是多少?(π取3)变式训练解:如图所示,将圆柱侧面沿AC 剪开并展平,连接AB ,则AB 的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC =20 cm ,BC =12×2×π×5=15(cm ).在△ABC 中,∠ACB =90°,由勾股定理得AB 2=BC 2+AC 2=152+202=252,所以AB =25 cm ,最短路程是25cm .B牛奶盒A例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？6cm8cm 10cm素养考点 2利用勾股定理解决长方体的最短路线问题长方体爬行路径A BFEH GA BCDE FGH前（后）上（下）A BCDE FGHB CGFE H A BCDE FGH右（左）上（下）前（后）右（左）B CAE F G分析BB 18AB 2610B 3AB 12=102 +（6+8）2=296AB 22= 82 +（10+6）2=320AB 32= 62 +（10+8）2=360因为360＞320＞296所以AB 1 最短.A B点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？前上A BAB左上AB前右变式训练ABC解:如图所示在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=20 2+102=500101010所以AB2=500.李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解:连接对角线AC ，只要分别量出AB 、BC 、AC 的长度即可.AB 2+BC 2=AC 2△ABC 为直角三角形知识点2（2）量得AD长是30cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB =DC =8m ，AD =BC =6m ，AC =9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：因为AB =DC =8m ，AD =BC =6m ， 所以AB 2+BC 2=82+62=64+36=100. 又因为AC 2=92=81，所以AB 2+BC 2≠AC 2，∠ABC ≠90°， 所以该农民挖的不合格．素养考点 1利用勾股定理的逆定理解答测量问题有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为 x 米,即AB =x 米，而AC =2米，BC =1.5米， 有x 2=1.52+22 ,x =2.5故，最长是2.5+0.5=3(米)答:这根铁棒的最长3米，最短2米.故，最短是1.5+0.5=2(米)当最短时:x =1.5ACB最短是多少米？变式训练巩固练习如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长.已知滑梯的高度CE=3m ，CD =1m ，试求滑道AC 的长.故滑道AC 的长度为5m .解：设滑道AC 的长度为x m ，则AB 的长也为x m ，AE 的长度为（x -1）m .在Rt △ACE 中，∠AEC =90°，由勾股定理得AE 2+CE 2=AC 2，即（x -1）2+32=x 2，解得x =5.例知识点 3探究新知甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h 的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h 的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？解:如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点,乙到达C 点.则:AB =2×6=12(千米),AC =1×5=5(千米).在Rt △ABC 中,所以BC =13(千米)即甲乙两人相距13千米.BC 2=AC 2+AB 2 =52+122=169=132巩固练习解：连接BD .在Rt △ABD 中,由勾股定理得 BD 2=AB 2+AD 2，所以BD =5cm .又因为CD =12cm ，BC =13cm ,所以BC 2=CD 2+BD 2，所以△BDC 是直角三角形.所以S 四边形ABCD =S Rt △BCD -S Rt △ABD =12BD •CD -12AB •AD =12 ×(5×12-3×4)=24 (cm 2)．CBA D 例 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD =3cm ，AB =4cm ，CD =12cm ，BC =13cm ，求四边形ABCD 的面积.素养考点 1利用勾股定理的逆定理解答面积问题探究新知如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC =12 cm ，AB =3cm ，BC =4cm ，求△ABC 的面积.解:因为S △ACD =30 cm 2，DC =12 cm. 所以AC =5 cm.又因为AB 2+BC 2=32+42=52=AC 2,所以△ABC 是直角三角形, ∠B 是直角. 所以D C BA 变式训练S △ACD =12CD •AC =12×12× AC =30（ cm 2 ）S △ABC =12AB •BC =12×3× 4=6（ cm 2 ）巩固练习如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．解析：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B=A′2+B2=162+122=故答案为20．2020（cm）连接中考基础巩固题1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他D们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）A. B.C. D.2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m ，公园到医院的距离为400 m ，若公园到超市的距离为500 m ，则公园在医院的 ( )A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上C.北偏东55°的方向上D.无法确定B 基础巩固题3.如图，某探险队的A 组由驻地O 点出发，以12km/h 的速度前进，同时，B 组也由驻地O 出发，以9km/h 的速度向另一个方向前进，2h 后同时停下来，这时A ，B 两组相距30km ．此时，A ，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：因为出发2小时，A 组行了12×2=24(km )， B 组行了9×2=18(km )，又因为A ，B 两组相距30km ，且有242+182=302，所以A ，B 两组行进的方向成直角．基础巩固题AO B4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?车速检测仪小汽车30米30°北60°解：小汽车在车速检测仪的南偏东60°方向或北偏西60°方向.25米/秒=90千米/时>70千米/时所以小汽车超速了.2秒后50米40米基础巩固题如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.A DB C341312能力提升题解：连接AC .在Rt △ABC 中，AC =A 2+B 2=32+42=5,在△ACD 中，AC 2+CD 2=52+122=169=AD 2，所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD =90°.所以S 四边形ABCD =S Rt △ABC +S Rt △ACD =6+30=36.能力提升题A DBC341312如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．拓广探索题PC BAQ解：设AB 为3x cm ，BC 为4x cm ，AC 为5x cm ，因为周长为36cm ，即AB +BC +AC =36cm ，所以AB =9cm ，BC =12cm ，AC =15cm.因为AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP =9-3×2=3(cm )，BQ =12-1×3=9(cm )，在Rt △PBQ 中，由勾股定理得PQ =32+92=310 (cm ).拓广探索题所以3x +4x +5x =36，解得x =3.PC BAQ勾股定理及逆定理的应用应用最短路径问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题解决不规则图形面积问题测量问题课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。
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再见
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现 要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不 变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ 解：如图，在Rt△ABC中： ∵500＞202 ． ∴不能在20 s内从A爬到B．
典型例题
2．如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm.现有绳子从点D 出发，沿长方体表面到达点B′，问：绳子最短是多少厘米？
典型例题
5． 如图,长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折
叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于
5 3
.
随堂练习
1．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这
个洞口，则圆形盖的半径至少为
1 2
米．
2．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固
有 C 90 .
3．已知∣x-12∣+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以 x、y 、z为三边的三角
形的形状.
直角三角形
探究新知
探究圆柱上两点之间最短距离
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物
在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第一章勾股定理
3.勾股定理的应用
学习目标
1．能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的 实际问题 2．能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形 的理解和辨析能力
复习回顾
1．在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则
有 a2 b2 c2.
2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理的应用课件
解：在Rt△ABO中， ∵AB＝25 m，AO＝24 m， ∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49. ∴OB＝7 m. 同理，在Rt△COD中， DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152， ∴DO＝15 m， ∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)． 故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
A. 9
B. 13
C. 14
D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直
角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ）
A. x2＋y2＝49
B. x－y＝2
C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被 台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在 离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多 高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角 形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m. ∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)， 故这根旗杆被吹断前有24 m高．
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，
若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问
水池的深度为（ A ）
A. 2m
B. 2.5m
C. 2.25 m
D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长
为( C )
A. 4
B. 8
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版数学八年级上册《勾股定理的验证及应用》课件
+ ，
四边形 = △ + △ = + ( − ) ，
所以 + =
所以 + = .
+ (
− ) .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分
所以 ∠ + ∠ = ∘ .所以 ∠ = ∘ .
因为 梯形 = △ + △ + △ ,
所以 (
+ )( + ) =
整理得 + = .
+ + .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方
该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 / ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = ， = − = ， = .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = − = ， = .
在 △ 中，
= + = + = () .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .
同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地
别是 和 ,作 ⊥ , ⊥ ,垂足分别为 ， ，
且 = .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
北师大版八年级上册初二数学全册课件(精心整理汇编)
知1－讲
导引：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不 重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．
即S：A两+S条B直=S角C边上
的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 知1－导
A
a
Bb c
C
SA+SB=SC
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
知1－讲
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
弦c 股b
知1－讲
议一议 观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
知1－讲
例1 如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a， b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为 c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定 理正确性的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)说明勾股定理的正确性．
新北师大版八年级上册数学
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1 课堂讲解 勾股定理
勾股定理与图形的面积
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？
2
2π,
所以c2＝25，a2＝16.
根据勾股定理，得
b2＝c2－a2＝9.
所以
S3
1 2
北师大版八年级数学上册全套教学课件
ⅰ、三边的平方分别是 各正方形的面积；
数格子法
ⅱ、满足“两直角边的平 方和等于斜边的平方”。
(4) 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
1.6 2.4
(4) 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
这种验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数 学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将 此图称为弦图 。
想一想:
你还有其它的拼图方法吗?
二、用“外镶法”拼图： 将直角三角形按图拼在大正方形外部
c2 (b a)2 1 ab 4 2
b2 2ab a2 2ab b2 a2
在直角三角形中： ∵ 92+122=斜边2 ∴ 斜边=15 ∴旗杆高=9+15=24(米)
知识归纳
“勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
B a2+b2= c2
a2= c2-b2 a
c
b2= c2-a2 C
b
A
1、求下图中字母所代表的正方形的面积：
2、求下列直角三角形未知边的长度：
仍然成立
1勾.6
弦
较短的直角边称为“勾”
2股.4
较长的直角边称为“股”
斜边边称为“弦”
新知归纳
勾股定理：
(1)文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
(2)符号语言：
C 90 (已知)
B
a
c
a2 b2 c2 (勾股定理)
C
b
A
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆 之前有多高？
新版北师大版八年级数学上册全册课件共570张PPT
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（第1课时）
一、新课引入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底 部6 m，那么需要多长的钢索？
、新课引入
观察下面地板砖示意图：
你发现了什么？
你能发现图中三个正 方形的面积之间存在什么关系
三、归纳小结
你学到了什么？
1、 如果三角形三条边长分别为a，b，c ，且
满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角
形. 2、勾股定理判定的应用.
四、强化训练
1、如果三角形的三边长a，b，c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先 向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米， 这时它离开出发点_________千米.
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
二、新课讲解
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧 拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽 车的速度吗？
北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理(同步+复习)精品讲义课件
2.
① ②
变式：
a2=c2- b2 ； b2=c2-a2 a=√ c2- b2 b=√c2-a2 c= √a2+b2
3.
注：
① ② ③
定理用途：三边知二求一；搭建需要的方程。 a,b,c是相对的，运用公式时要特别认准斜边。 斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的长。
【例1】△ABC中，∠C=90°
① 若a=3 ,b=4，求c。 ② 若C=41，b=40，求a。 ③ 若一条直角边a=5,斜边比另外一条直角边大1， 求斜边的长。 ④ 折叠长方形ABCD, 使点D落在BC边上的点F 处，折痕为AE，AB=8，BC=10，求EC的长
A D E B F C
【练习1】
二．勾股定理的证明
1. 2. 拼正方形法： 拼梯形法：
【例题】
【习题1】
【习题2】
【习题3】
【习题4】
【习题5】
【习题6】
下课了!
结束寄语
•悟性 •取决于有无悟心
看 一 看
探索-发现： 回答问题
（1）观察图2-1 正方形1中含有 9 个 小方格，即它的面积是 9 个单位面积。
3 1 2
图2-1
3 1 2
图2-2
正方形2的面积是 9 个单位面积。 正方形3的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
一．勾股定理
1. 定理：
① 文直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ② 符如果a,b是直角边，c是斜边，则：a2+b2=c2
4.
5.
【例1】
1. 给定三边直接判定是否直角三角形。 2. 试一试：
二．勾股数
1. 定义：满足a 2 +b2=c2 的三个正整数，叫做 勾股数。 本质：以这三个数的长度为边的三角形是直 角三角形；知道直角三角形的两边是勾股数 之二，直接写出第三边。 每组勾股数的倍数还是勾股数。 构造公式：a为大于1的奇数：a与其平方分 别加减1除以2所得的数为一组勾股数；a为 大于1的偶数， a 与其一半的平方分别加减1 所得的数为一组勾股数。 常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；8、 15、17；5、12、13；9、12、15。熟记。
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程