2009模拟泛函试题
泛函分析基础试卷参考答案
又对en{0,, 0, 1, 0,, }X, || en||1,
|| T ||sup|| x ||1|| T x |||| T en|||| {0,, 0, an, 0,} || = | an|(5分)
所以|| T ||supn| an|M.
所以|| T ||M.(3分)
所以2A x, y0x, yH
所以A x0xH
所以A0.(5分)
4.证明无穷维赋范线性空间X的共轭空间X '也是无穷空间.
证设{ x1, x2,}是X中线性无关向量,
由Hnha-Banach定理
存在f1X ', f1(x1)0,
存在f2X ', f2(x2)0, f2(x1)0
存在f3X ', f3(x3)0, f3(x1)f3(x2)0
所以(T), (5分)
对[0, 1],定义线性算子T : XX,对xC [0, 1]
(T x) (t) x (t)t[0, 1]
由|| T x ||maxt[ 0, 1]| x (t) |
maxt[ 0, 1]| x (t) |
|| x ||
所以T有界.且
T (AI)(AI) TI
所以(A),
所以(A)[0, 1]. (5分)
令SB1A1B (XX),则
S TB1A1ABI, A B B1A1I (2分)
所以ST1,所以T是正则算子. (1分)
二.以下各题每题15分,共75分
1.设X是度量空间, {xn}是X中Cauchy列,证明若存在{xn}的收敛子列{xn k},则{xn}收敛.
证设xX, xn kx (k)
对任何> 0,存在K, k > K时,
泛函分析复习
于是由定理（1.18*）可知，∀x ∈ [a, b], ∞ ∑ ne−nx f (x) = n=1 (∞ ) ∞ ∑ ∑ −nx ′ − nx ′ (e ) = e = n=1 n=1 ( ) ′ ex − ex = = (ex ex − 1 −1)2 由[a,b]的任意性可知 f (x) = −ex , x ∈ (0, +∞) (ex − 1)2n→+∞ຫໍສະໝຸດ lim f (x) = 0
⇒ ≤ |x1 − − 于 是 ，∀ε > 0,取δ = ε3 ,当x1 , x2 ∈ (0, +∞)且|x1 − x2 | < δ 时 1 1 1 3 3 |x1 − x2 | ≤ δ3 = ε 故f (x) = x 3 在(0, +∞)上是一致连续的。□ (注：老师给的答案里面写的是(0, +∞)) ■P22-8证明f (x) =
由ε的任意性，有 inf (A + B ) ≤ inf A + inf B (4)
(3)(4)一起表明inf (A + B ) = inf A + inf B 。□ ■P15-8 对于点列{xn } ⊂ R，若 1 , n = 1, 2, · · · 2n 求证{xn }是Cauchy列。又若 |xn+1 − xn | ≤
0 0
■P50-5(见 例2.14)设X 是 一 度 量 空 间 ，x0 ∈ X ,证 明f (x) = ρ(x, x0 )是X 上的连续函数。 [证] 实际上，对x, y ∈ X ,由下式 |f (y ) − f (x)| = |ρ(y, x0 ) − ρ(x, x0 )| ≤ ρ(y, x) 即可证明f 是连续映射（函数）。□ ■P50-6设X 是一度量空间，F ⊂ X 是一个非空闭集， 对x ∈ X ,记作inf {ρ(x, y ) : y ∈ F } = ρ(x, F ),证明：对 任意r > 0，集合{x ∈ X : ρ(x, F ) < r}是开集。 [证] 要 证A = {x ∈ X : ρ(x, F ) < r}是 开 集 ， 只 需 证Ac = {x ∈ X : ρ(x, F ) ≥ r}是闭集。 设{xn } ⊂ Ac 且xn → x,下证x ∈ Ac ，由Ac 的定义可知 ∀y ∈ F, ρ(xn , y ) ≥ r 而且ρ(xn , x) → 0, n → +∞,于是对任意的y ∈ F ρ(x, y ) ≥ ρ(xn , y ) − ρ(xn , x) ≥ r − ρ(xn , x) 两边取极限得ρ(x, y ) ≥ r 由y 的任意性可知ρ(x, F ) ≥ r,即x ∈ Ac □ ■P58【 定 理2.14】 设A是 度 量 空 间X 中 的 一 个 紧 集，f 是定义在A上的一个连续函数，那么f 是有界 的，且上下确界可达。 [证] 先证f 有界。若不然，则存在xn ∈ A，使
2009秋泛函分析试卷B
2009年秋季学期《泛函分析》课程试卷B 卷（开卷考试）（适用专业：06级数学与应用数学 ）卷面总分100分一、填空题（本题共10分，每小题2分）1。
如果度量空间X 有一个可数的（ ），则称X 是可分空间。
2。
完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为（ ）。
3。
（X ，1d ），（Y ，2d ）是两个度量空间，如存在X 到Y 上的映射T ，满足（ ），则称（X ，1d ）和（Y ，2d ）等距同构。
4。
线性赋范空间[,]p L a b ，若[,]p f L a b ∈，则f 的范数p f =（ ）。
5。
(1)p l p <<+∞的共轭空间为（ ）。
二、判断题（本题共10分，每小题2分）1。
任何线性赋范空间的共轭空间是Banach 空间。
（ ）2。
设Y 是Hilbert 空间X 的闭子空间，则成立Y Y ⊥⊥=。
（ ）3。
若X 是非空的完备度量空间，则X 是第一纲集。
（ ）4。
算子的一致收敛可导出强收敛，强收敛可导出弱收敛。
（ ）5。
有界闭集一定是紧集。
（ ）三、证明题（本题共60分）1。
若(),()p q n n x x l y y l =∈=∈，用Holder 2。
设T 是线性赋范空间X 到线性赋范空间Y 的线性算子， 不等式证明Minkowski 不等式成立。
则T 为有界算子的充要条件为T 是X 上的连续算子。
3。
叙述并证明共鸣定理（一致有界性定理）。
4。
叙述并证明压缩映射定理。
5。
设X 是Hilbert 空间，f 是X 上的连续线性泛函，那么6。
设X 是内积空间，M 是X 中非空凸集，并且按X 中由 存在唯一的z X ∈，使对每个x X ∈，有(),f x x z =<>，并且内积导出的距离完备，那么对于每个x X ∈，存在唯一的f z =。
y M ∈，使得(,)x y d x M -=。
四、论述题（本题共20分）给出内积空间、线性赋范空间、度量空间的定义，并指出它们三者之间的关系。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
泛函分析考试题
判断题：(1) 设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。
√ (2) 距离空间中的列紧集都是可分的。
√(3) 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
× (4) 任何一个Hilbert 空间都有正交基。
×(5) 设X 是线性赋范空间，T 是X →X 的有界线性算子，若T 既是单射又是满射，则T 有逆算子。
× (6) 设X 是线性赋范空间，若X 与X *同构，则X 必是完备的。
√ (7) 设X 是Hilbert 空间，T 是线性算子，满足()(),,,,Tx y x Ty x y X =∈，则()T L X ∈。
√(8) 设M X ⊆是线性赋范闭子空间，若0x M ∉，则一定存在f X *∈，使()000,,1Mff x x f ===。
×(9) 设X 是Banach 空间，T 是X 上线性算子，如果()D T 是X 中的闭集且在X 中稠密，则T 有界。
√(10) 设{}n a l ∞⊆，定义2l 上的算子T 为{}(){}n n n T a ξξ=，则(){}p n T a σ=。
√1.设X 是有限维赋范空间，试证：X 上任意两个范数都是等价范数。
证明：令()()1212,,,X X X X =∙=∙，显然必存在有一个范数较强，不妨假设存在一个M>0，使得21x M x ≤。
取单位算子()12,I L X X ∈，这时有21Ix M x ≤，故I 是有界线性算子，显然I 是单射，满射，由逆算子定理可知，I 存在逆算子1I -，且有界，因而1121I x I x --≤，所以12,∙∙等价。
2.设X 是有限维赋范空间，试证：X 中弱收敛等价于按范数收敛。
证明：显然，在X 中按范数收敛的序列一定是弱收敛。
另一方面，取{}01,n n x X x X ∞=⊆∈，使得0w n x x −−→，即对于任意的T X *∈使得0lim n n Tx Tx →∞=。
福建自考2009年4月实变与泛函分析
2009年4月高等教育自学考试福建省统一命题考试实变与泛涵分析初步 试卷(课程代码 2012)一、填空题(本大题共15小题，每小题2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
2.{自然数全体}～{正偶数全体}，这只须令ϕ(x)=________,x 为自然数，(填写一 个一一映射)．4.设E={(0，y)∣ Y∈(0，1)∩Q}，则E’=____________ 。
5.设P 为康托尔集则mp=___________。
6.开区间(d ，b)可以写成(a ，b)=_________故它是F σ型集．7.填写叶果洛夫定理：设mE<∞，∣⎰n (x)∣是E 上一列a. e ．收敛于一个a ．e.有限函数f(x)的可测函数，则 _____________。
10.设E 为自然数集，则dx x E 2⎰=__________。
13．__________线性赋范空间称为Banach 空间．14．如果度量空间(x ，d)中___________那么称(x ．d)是完备的度量空间．15.设X 和Y 是两个同为实(或复)的线性空间，Q 是x 的线性子空问，T 是Q 到Y 中的映射， 如果Q y x ∈∀,，及数α，成立T(X+Y)=________，T(αx)=_________，则称T 为Q 到Y 中的线性算子．二、定理证明 (本大题共2小题,每小题10分，共20分)16．设A 、B 都是可测集，则A ∪ B 也是可测集17．设f(x)在[a ，b]上R 可积，则它必同时L 可积目．有相同积分值：三、本大题共8分 18．设Q 为有理数集，A=[0，1]一Q ，试证A =C ．四、本大题共8分19．证明可数点集外测度为零．五、本大题共10分20．设在E 上⎰n (x)⇒⎰(x)，g n (x)⇒ g(x)，且上⎰n (x)≤g n (x)在E 上a ．e ．成立，n=1，2，…，则⎰(x )≤g(x)a ．e ．于E六、本大题共8分七、本大题共8分八、本大题共8分23.设 ⎰ (x)在〔a ，b 〕上绝对连续．且(x )≤0 a.e.于〔a ，b 〕，则以⎰ (x)为减函数。
2009实变函数与泛函分析初步试题
是第1页-浙江省2009年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设f （x ）在E 上有定义，D 与D ′是E 的两个可测分划，D ′是D 的加细，s （D ′，f ）与s （D ,f ）分别表示f （x ）在E 上的两个Darboux 小和，则有（ ）A.s （D ,f ）≤s （D ′,f ）B.s （D ,f ）=s （D ′,f ）C.s （D ,f ）≥s （D ′,f ）D.不能确定2.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的闭包Q 是（ ）A.QB.φC.RD.R ＼Q 3.设{F n }是一列闭集，F = ∞=1n F n ,则F 一定是（ ）A.开集B.闭集C.开集，也是闭集D.不能确定二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1.可数个可数集的并集是不可数集.（ ）2.若点集E 的任一个聚点属于E ，则E 一定是闭集.（ ）3.设P 是Cantor 三分集，x ∈P ,则x 一定不是内点.（ ）4.设A ,B 是R n 中的两个可测集,则A ∩B 不一定可测.（ ）5.Dirichlet 函数是不可测函数.（ ）6.设f （x ）是［a ,b ］上的单调函数,则f ′（x ）a.e 存在.（ ）三、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.设{}∞=1n n A =1是一列单调递增的集列,则∞→n lim A n =______. 2.设E ⊂R n 是开集,则CE 是R n 中______（开,闭）集.3.Lebesgue 可测集可以表示为______集与零测度集的和集.4.设f +（x ）与f -（x ）分别是f （x ）的正部与负部,则|f （x ）|用f +（x ）与f -（x ）表示为|f （x ）|=______.5.设f （x ）在E 上Lebesgue 可积,则对任意可测子集A ⊂E ,⎰→A mA x f dx )(lim0=______. 6.设F 1⊂R p ,F 2⊂R q 为闭集,则F 1×F 2是Rp +q 中的______（开,闭）集.是第2页- 7.设F n =［n 1,1-n 1］,n=3,4,…,则 ∞=3n n F =______. 8.设f （x ）是［a ,b ］上有界变差函数,E ={x ∈［a ,b ］|f ′（x ）}不存在,则mE =______.9.)( Is A C ∈αα =______. 10.设mA n =0,E = ∞=1n n A,则mE =______.四、完成下列各题（本大题共4小题，每小题9分，共36分）1.设E 是函数y =⎪⎩⎪⎨⎧=≠00,0,1sin x x x 的图形上的点所组成的集合,在R 2中讨论0E ,E ′,∂E ,E . 2.设f （x ）在E =［a ,b ］上可积,试证明:对于任意ε>0,存在E 上的连续函数ϕ（x ）使得⎰<-εdx |(x)|f(x)abϕ.3.设E 可测,试证明:对于任意ε>0,存在开集G 与闭集F 使得F ⊂E ⊂G 且m （G -E ）<ε,m （E -F ）<ε.4.设mE <∞,f n （x ）（n =1,2,…）是点集E 上a.e 有限的可测函数列,f n （x ）（n =1,2,…）a.e.收敛于有限函数f （x ）,则对任意ε>0,存在常数C 与可测集E 0⊂E ,m （E ＼E 0）<ε使得对一切自然数n ,有|f n （x ）|≤C .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 2
在 C[0,2] 上定义 f ( x (t )) = ∫0tx(t )dt x (1) 。
2
（6 五、叙述并证明 Lax-Milgram 定理。 分） 设 证明{ xn }依范数收敛到 x 的充要条件为： 六、 X 为 Hilbert 空间。
x n w x, 且 lim x n →
n →∞
≥ x . （10 分）
→ 七、 设 x n = nte nt 。证明在 C[0,1] 中 x n w x, 但 {xn } 不依范数收
敛。 （10 分） 八、设 X 与 Y 为 Banach 空间，且 T : D(T ) X → Y 为有界线性算子。 1．证明 T 能唯一地延拓到 D(T) 上的成为 D(T) 上的有界线性算子； （5 分） 2．若 N（T）=0 且 D(T ) 为闭子空间。证明 R（T）为闭子空间的充要 条件为： a > 0, Tx ≥ a x . （5 分）
．
共 2 页
第 1 页
10. 设 M 是 Hilbert 空间 X 的闭子空间，P : X → M 为投影算子，则 || P || = ．
三、叙述题(每小题 4 分) 叙述题 每小题 11. 内积空间；12. 逆算子定理；13. Riesz 表示定理； 14. 弱收敛；15. 全有界；16. 算子的剩余谱． （10 分） 四、求以下有界线性泛函范数。 1． 2． 在 L2 [0,2] 上定义 f ( x (t )) = ∫0 t x (t )dt ∫ x (t )dt ；
西 安 交 通 大 学 考 试 题 模拟院
考 试 日 期 年 月 日
专业班号 姓 名 学 号 期中 期末
一、判断题(每小题 3 分) 判断题 每小题 1. 有限维线性赋范空间一定是 Banach 空间。( ) ) )
2. 设 X 是有限维线性赋范空间，则 X 上的范数都是等价的．( 3. 线性赋范空间中的完备线性子空间是闭线性子空间．( 4. 闭线性算子总是连续线性算子．( )
5. 若 C 是以θ为内点的闭凸子集，则 C 的 Minkowski 泛函是连续 的．( ) ) )
6. 设 X 是无穷维 Banach 空间， T∈L ( X )， ρ ( T )是开集． 若 则 ( 7. 设 X, Y 是 Banach 空间， T∈L ( X, Y ) T *∈L ( Y *, X * )． 则 ( 二、填空题(每小题 3 分) 填空题 每小题 8. 设 f : L2[0, 1] → R 为 f (x) = ∫[0, 1] x(t) dt．则|| f || = 9. 设 X 是 Banach 空间， T∈L(X)， λ | > || T ||， Rλ (T) = 若| 则 ．