04183概率论与数理统计(经管类)基础知识

D(aX b) a2 D( X )
,
D(Y ) [ x j E(Y )]2 p j
j
D( X ) [ x E( X )]2 f X ( x)dx


协方差与 相关系数
3、二维随机变量关系特征 协方差 cov(x,y) 相关系数 cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)

p j , i 1,2,
，
5、分布函数 F(x,y)的基本性质： ⑴ 0 F ( x, y) 1; 其中 x=h(y)为 y=g(x)的反函数 ⑵F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1，F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); ⑶F(x,y)分别对 x 和 y 右连续，即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0); ⑷ F (,) F (, y) F ( x,) 0, F (,) 1. ⑸当 x
i 1 i i
k
n
f ( x) 0 ；
②



f ( x)dx 1。
xk x
③ P(a ；
X b) F (b) F (a) =
F ( x)
Pn(k ) Cn p k q nk
二、随机变量及其分布
④对于离散型随机变量，
F ( x)
p
⑤对于连续型随机变量，
2 2 N (, 2 ) ，则①aX+b～N(aµ+b,a σ ), ②(X-µ)/σ～N(0,1)
X X
b(n, p) P( )
P( X k )

k
k!
e , k 0,1, 2,
8、随机变量函数 Y=g(X)的概率密度 离散型：
P(Y yi )
g ( x j ) yi
当
XY XY XY XY XY
⑶当 f(x,y)～N(µ 1,µ 2,σ1 ,σ2 ,ρ)则 ①fX(x)～N(µ 1,σ1 ),fY(y)～N(µ 2σ2 ),②ρ=0 3、随机变量的独立性 随机变量 X、Y 相互独立 F(x, y) F (x)F ( y) ，
X Y
离散型：
pij pi. p. j
P(Z zk )
x 1 e 2 2 x

( x)
1 2

x

e
1 t2 2
dt
3、分布律的性质 (1) p 0 , k
k
1,2,... ;
(2)
p
k 1
k
1
P( AB) P( AB) P( A) P( B A) P( B) P( A B) P( B A) P( A)
1
连续型：
fY ( y) f X (h( y)) h( y) ( x h( y)单调) 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律： P( X x , Y y ) p , i, j 1, 2,
i j ij
x2，y1 y2， F(x2，y2 ) F(x2，y1 ) F(x1，y2 ) F(x1，y1 ) 0 .
i 1
n
F () lim F ( x) 0
x
F () lim F ( x) 1
x
P( Bi A)
P( Bi ) P( A Bi )
④ F ( x 0) F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； 5、密度函数（概率密度）的性质 ①
P( B ) P( A B )
2/5
方差 方差
D( X ) [xi E( X )] pi
2 i
D(Y ) [ y E(Y )] f Y ( y)dy
2

D(X+C)=D(X), D(CX)=C2D(X), D(C) 0 , D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ) 当 X、Y 相互独立，则 D( X Y ) D( X ) D(Y )



f ( x, v)dv fY ( y)



f (u, y)du
K 阶中心矩 μK=E((X-E(X))K) μK =
③条件概率密度:
f ( x, y) f ( x, y) , x fY X ( y x) , y ， f X Y ( x y) f Y ( y) f X ( x)
密度函数
X U(a, b)
指数分布
1 , f ( x) b a 0,
a xb 其他
分布函数 xa 0, xa F ( x) ,a x b b a xb 1,
X
e()
P( AB) P( A)P(B) ； P(B A) P(B) ； P(B A) P(B A) ；
xi y j zk
E[G( X , Y )] =

P( X xi ,Y y j )

G(x , y ) p
i j i j
ij
－ －
G(x, y) f (x, y)dxdy
连续型：
f Z ( z)


f ( x, z x)dx
f ( z y, y)dy
k 1
n
pij 1.
函数期望 E(g(x))
E( X ) xf ( x)dx



F ( x, y)


x
y
E(Y ) g ( xk ) pk
k 1

f (u, v)dudv
E(Y ) g( x) f ( x)dx

F (, ) 1,
公式名称 排列组合 排列数
m! n Pm (m n)!
一、随机事件与概率 公式表达式 组合数 m!
n Cm
泊松定理 特别地： Cn0=1 0!=1 2、连续型随机变量及其分布 分布名称 均匀分布
当
则
n!(m n)!
运算律
事件关系 两个事件 相互独立 公理化定义 古典概型 几何概型 求逆公式 加法公式 减法公式 条件概率公式 与乘法公式 全概率公式 (由因推果 贝叶斯公式 （由果溯因） 伯努利概型
正态分布
f ( x)
2
X
N (, )
1 2 e 2 2 x
2

x

e

( t )2 2 2
dt
( A) ，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） ()
标准正态分布
( x)
X
N (0,1)
P( A) 1 P( A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)，当 B A 时 P(A-B)=P(A)-P(B)
k

f ( x)dx
x
1、离散型随机变量及其分布 分布名称及记号 0–1 分布 X b(1, p) 二项分布 泊松分布
分布律（概率分布）
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
k k P( X k) Cn p (1 p)nk , k 0,1,, n

XY

C=
XY
= cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))
=0，称 X 与 Y 完全不相关，当| |=1，称 X 与 Y 完全相关, | |=1 存在常数 a,b 使得 P( X aY b) 1且 a≠0 =1 称 X 与 Y 完全正相关， =-1 称 X 与 Y 完全负相关
，连续型：
f (x, y) f X (x) fY ( y)
E( X ) xi pi
E[G( X , Y )] =
E(Y ) y j p j
j 1
n
E(Y )

yf
Y
( y)dy

E( X ) xf X ( x)dx


4、二维随机变量和函数的分布 离散型：


②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数： 密度函数：
FX ( x)


FY ( y)

y


f (u, v)dudv
K 阶原点矩
Hale Waihona Puke νK=E(X )K
νk=E(X )=
k
x
i
νk=E(Xk)=
k i
pi
μK =



x k f ( x)dx,
f X ( x)
P( ABC) P( A) P( B A) P(C AB)
4、分布函数的性质 ① 0 F ( x) 1, ③
x ；
，
② F ( x) 是单调不减的函数，即
x1 x2 时，有
F ( x1) F ( x2) ；
P( A) P( Bi ) P( A Bi )
6、分布函数与密度函数关系： ①F’(X)=f(x) ②∫f(x)dx=F(x) 7、正态分布的性质 ①对 X N (0,1) ,则 ( x) 1 ( x) ，Φ(0)=1/2 P(X≤b)=Φ(b), P(X≥a)=1-Φ(a), P(a≤X≤b)= Φ(b)- Φ(a) ② X N (, 2 ) 与 X N (0,1) 关系:F(x)=P(X≤x)= Φ((x-µ )/σ) ③若 X 1/5