2011年高考数学创新题型精选(成套模拟)1
2011年高考数学模拟试题(山东新课标理科卷)答案解析
又 ＢＣ （ 平 面 ＢＣ １ ，。 Ｄ上Ｂ １ １＝ 二 Ｃ Ｂ１ ．Ｂ ． Ｃ ，
取 ＤＢ 的 中点 Ｆ， 结 Ａ 又 Ａ１ — 连 Ｆ， Ｄ ） 一 ＝ ＝ ＝ Ａ 则 Ａ Ｂ Ｂ， Ｆ上 Ｄ。取 ＤＣ 的 中 点 Ｍ ， 结 连
（／ 由题 意 ， Ｉ） 的可 能值 为 ０１２ ３则 ， ，， ，
（） ２ ①文首 引 出 中心 话题 。文章 开篇 引 用
“ 天不 是读 书天 ” 顺 理 成 章 地 推 出 “ 什 么 春 ， 没 读 书的 季节 ” 读 书没 有 什 么用 ” 观点 ， 着 “ 的 接 用设 问 的方式 引 出要 探讨 的 中心话题 ： 书 的 读 理 由是 什 么 。引人 深 思 ， 人 深 省 。 （ 发 ２分 ， 意 思对 即可 ） ②结尾 呼应 开头 ， 正话 反说 ， 风趣 用
爱情 的悲 歌
（） 触 龙 说 赵 太 后 》 ４《 —— 良药 苦 口更 利
病， 忠言顺 耳最 利心 （） 祭 十 二 郎 文 》 ５《 —— 肺 腑 悲 言 吟 唱 绝
调， 叔侄深 情抒 写至文 ２ ． 每 小题 １ ， ４分 ， １（ 分 共 意思对 即可 ）
（） １ 飘忽 不定 （ 上忽下 ） 忽
取 Ｄ １的 中 点 Ｈ ， 结 Ａ Ｈ 、 Ｃ 连 ＨＭ ， 在
Ｐ
２ ８ ５ ７
８ １ ９
８ ９ ５
１ ２５ ８
Ｒ ＡＡ１ ｔ ＨＭ 中 ，
‘
．
‘ Ｈ＝， ＨＭ ＝１ ．Ａ Ｍ ＝， Ａ ／ ｇ， ，． 。 ／ Ｘ。
一
３
—
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
卢湾区2011年高考模拟考试数学试卷及答案(理科)
卢湾区2011年高考模拟考试数学试卷（理科） 2011.4（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.不等式|2|x -≤1的解集是 ．2.函数21x y =-的反函数为 ．3.方程2sin 2sin 0x x -=的解集为 ．4.若实数对(,)x y 满足224x y +=，则xy 的最大值为 ．5.若关于x , y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩则mn 的值为 ．6.在极坐标系中，点A 的极坐标为(2,0) ，直线l 的 极坐标方程为(cos sin )20ρθθ++=，则点A 到直 线l 的距离为 ．7.某算法的流程图如图所示，则该算法输出的n 值 是 ． 8.已知251(2)nx x+(n ∈N *)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是 ． 9．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则sin β= ．10. 一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为(1,2),- (3,3), (3,5),-(1,6)，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是 ．11．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30︒方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，则此时该船到灯塔S 的距离约为 海里（精确到0.01海里）．12.已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12, l l ，1l 与抛物线交于, P Q 两点，2l 与抛物线交于, M N 两点，设1l 的斜率为k ．若某同学已正确求得弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p p kk+，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为．输出n 开始否n ←n +1 2n ＞n 2是结束n ←1 （第7题图）13．已知向量OA，OB的夹角为π3，||4OA = ，||1OB = ，若点M 在直线OB 上，则||OA OM -的最小值为 ． 14.已知集合2(21)cos ,n A x x n m-π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，当m 为4022时，集合A 的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．“πϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+是奇函数”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 16．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则l i m n n S →∞的值为 （ ） A ．23B ．43C ．83D ．16317.已知复数z 满足z 12i z 2i 32---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为 （ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线 18.已知234101()1234101xxxxf x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101()1234101xxxxg x x =-+-+-⋅⋅⋅-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有 （ ） A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈ B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈ D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）已知矩形ABC D 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，此圆柱的体积为300π，求异面直线A C 与PB 所成角的余弦值．APBCDO20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分．某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知椭圆E ：22221x y ab+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ，且126F P F P ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以M N 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．参加活动次数 1 2 3 人 数23522．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．已知数列c b a ,,是各项均为正数的等差数列，公差为d （d >0）．在b a ,之间和b,c 之间共插入n 个实数，使得这3n +个数构成等比数列，其公比为q ． （1）求证：||1q >；（2）若1,1 a n ==，求d 的值；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a,b 之间，t 个位于b,c 之间，且,s t 都为奇数，试比较s 与t 的大小，并求插入的n 个数的乘积（用,,a c n 表示）.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于定义域为D 的函数()y f x =，若有常数M ，使得对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足等式12()()2f x f x M +=，则称M 为函数y =f (x )的“均值”． （1）判断1是否为函数()21(1f x x =+-≤x ≤1)的“均值”，请说明理由；（2）若函数2()2(12,f x ax x x =-<<a 为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 是单调函数，且其值域为区间I ．试探究函数()f x 的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（不必证明）． 说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分．卢湾区2011年高考模拟考试数学试题（理科）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题4分）1. [1,3]2.2log (1)y x =+3. {|,}Ζx x k k =π∈4. 25. 24-6. 227. 5 8． 7 9．725-10．(0,4)11．14.14 12. 32pk pk -- 13．23 14.1006 二．选择题（每小题5分）15．A 16．D 17．C 18．B19．解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连A C ， 由矩形ABC D 内接于圆O ，可知A C 是圆O 的直径， 于是2226810r A C ==+=，得5r =， ……………3分又圆柱的体积25300V PA =π⋅=π，可得12PA =．……6分 分别以直线,,A B A D A P 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，可得(6,8,0),(6,0,12)AC PB ==-，………8分 设异面直线A C 与PB 所成角所成的角θ，向量AC 与PB的夹角为ϕ，则||3635cos |cos |25||||1065AC PB AC PB θϕ⋅====⋅⨯ ， 故异面直线A C 与PB 所成角的余弦值为3525． ………………………………12分20．解：（1）3人参加活动次数各不相同的概率为111235310C C C 1C 4P ==故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为14． ……………………………5分（2）由题意知：ξ=0, 1, 2，222235210C C C 14(0)C 45P ξ++===； ……………7分11112335210C C C C 217(1)C 4515P ξ+====； ……………9分1125210C C 102(2)C 459P ξ====． ……………10分ξ的分布列为 ：x0 12APB CDOxyz……………11分所以ξ的数学期望:1472410124515945E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………13分21．解：（1）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->，则12(3,1),(3,1),F P c F P c =+=-故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=-，可得4c =， …………………2分所以2222122||||(34)1(34)162a PF PF =+=+++-+=，…………………4分 故22232,18162a b a c ==-=-=， 所以椭圆E 的方程为221182xy+=． ……………………………6分（2）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则12(9,),(1,)F M m F N n ==，又12F M F N ⊥ ，可得1290F M F N m n ⋅=+=，即9m n =-， …………………8分又圆C 的圆心为(5,),2m n +半径为||2m n -，故圆C 的方程为222||(5)()()22m n m n x y +--+-=，即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是22(5)()90x y m n y -+-+-=， ……………………11分 令0y =，可得8x =或2，故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)． ……………………13分 （另法：（1）中也可以直接将点P 坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C 直径的两端点直接写出圆C 的方程） 22．解：（1）由题意知2n c q a+=，2c a d =+，又0,0a d >>，可得2211n c d q a a+==+>， ………………………………2分即2||1n q +>，故2||1n q +>，又2n +是正数，故||1q >．………………………………4分 （2）由,,a b c 是首项为1、公差为d 的等差数列，故d c d b 21,1+=+=， 若插入的这一个数位于,a b 之间，则21q d =+，321q d =+， 消去q 可得32)1()21(d d +=+，即320d d d --=，其正根为251+=d ．………7分若插入的这一个数位于,b c 之间，则q d =+1，321q d =+，()P x ξ=144571529消去q 可得3)1(21d d +=+，即3230d d d ++=，此方程无正根． 故所求公差251+=d ． ………………………………………9分（3）由题意得1s b a d q aa++==，12t c a d q ba d ++==+，又0,0a d >>，故220()a d a d daa da a d ++-=>++，可得2a d a d aa d++>+，又20a d a d+>+，故110s t q q ++>>，即11||||s t q q ++>．又||1q >，故有11s t +>+，即s t >． ………………………………………12分 设3n +个数所构成的等比数列为}{n a ，则123,,2s n a c a a a b a c +++====，由413(2,3,4,k n k n a a a a ac k +-+===…，2)n +，可得32(a a (2)22231)()()n n n a a a a a +++= (1)1322()()()n n n a a a a ac +++=， ……………………14分又10s b q a+=>，01>=+bc qt ，由,s t 都为奇数，则q 既可为正数，也可为负数，①若q 为正数，则23a a …2n a +12()n ac +=，插入n 个数的乘积为122()n ac a c++；②若q 为负数，,,32a a …2,n a +中共有12n +个负数，故32a a (1)(1)222(1)()n n n a ac +++=-，所插入的数的乘积为2a c +1(1)22(1)()n n ac ++-．所以当42(n k k =-∈N*)时，所插入n 个数的积为122()n ac a c++；当4(n k k =∈N*）时，所插入n 个数的积为122()n ac a c+±+． …………………18分（另法：由又10s b q a+=>，01>=+bc qt ，20n c qa+=>由,s t 都为奇数，可知n 是偶数，q 既可为正数也可为负数．23a a …2n a +23()()()aq aq aq =…(1)(2)112()n n n n aqaq++++=①若q 为正数，则23a a …2n a +111121222()()()n n n n n n ca q aac a ++++++===，故插入n 个数的乘积为122()n ac a c++； …………………15分②若q 为负数，由n 是偶数，可知(1)(2)2n n ++的奇偶性与22n +的奇偶性相同，可得23a a …2n a +2122(1)()n n ac ++=-．所以当42(n k k =-∈N*)时，所插入n 个数的积为122()n ac a c++；当4(n k k =∈N*）时，所插入n 个数的积为122()n ac a c+±+． …………………18分）23．解：（1）对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-， 当且仅当21x x =-时，有1212()()112f x f x x x +=++=，故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分 (另法：对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，令21x x =-， 则2[1,1]x ∈-，且1212()()112f x f x x x +=++=，若2[1,1]x '∈-，且12()()12f x f x '+=，则有22()()f x f x '=，可得22x x '=，故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分） （2）当0a =时，()2(12)f x x x =-<<存在“均值”，且“均值”为3-；…………5分 当0a ≠时，由2()2(12)f x ax x x =-<<存在均值，可知对任意的1x ， 都有唯一的2x 与之对应，从而有2()2(12)f x ax x x =-<<单调， 故有11a ≤或12a≥，解得1a ≥或0a <或102a <≤， ……………………9分综上，a 的取值范围是12a ≤或1a ≥． ……………………10分（另法：分0,a =1111,12,2a aa≤<<≥四种情形进行讨论）（3）①当I (,)a b =或[,]a b 时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b +； …………………12分②当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………14分③当I (,)a =+∞或(,)a -∞或[,)a +∞或(,]a -∞或[,)a b 或(,]a b 时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………16分 [评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]①当且仅当I 形如(,)a b 、[,]a b 其中之一时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b +； ……………………13分②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 形如(,)a +∞、(,)a -∞、[,)a +∞、(,]a -∞、[,)a b 、(,]a b 其中之一时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分 （另法：①当且仅当I 为开区间或闭区间时，函数()f x 存在唯一的“均值”．这时函数()f x 的均值为区间I 两端点的算术平均数； ……………………13分②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 为除去开区间、闭区间与(,)-∞+∞之外的其它区间时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分）[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]。
数学_2011年江苏高考数学模拟试卷1(含答案)
2011年江苏高考数学模拟试卷1一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知命题p:x 2−2x −15≤0，命题q:x 2−2x −m 2+1≤0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．2. 若正数a 、b 、c 、d 满足ab +bc +cd +ad =1，那么a +b +c +d 的最小值是________．3. 已知函数f(x)=x 3−(k 2−k +1)x 2+5x −2，g(x)=k 2x 2+kx +1，其中k ∈R ． （1）设函数p(x)=f(x)+g(x)．若p(x)在区间(0, 3)上不单调，求k 的取值范围； （2）设函数q(x)={g(x),x ≥0f(x),x <0.是否存在k ，对任意给定的非零实数x 1，存在惟一的非零实数x 2(x 2≠x 1)，使得q′(x 2)=q′(x 1)？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由． 4. 函数f(x)=2sin 2x−3sinx (2sinx+3)2的值域为________．5. 设x 0是方程8−x =lgx 的解，且x 0∈(k, k +1)(k ∈Z)，则k =________．6. 矩形ABCD 中，AB =6，AD =7．在矩形内任取一点P ，则∠APB >π2的概率为________． 7. 在△ABC 中，C =π2，AC =1，BC =2，则f(λ)=|2λCA →+(1−λ)CB →|的最小值是________．8. 已知1−cos2αsinαcosα=1，tan(β−α)=−13，则tan(β−2α)等于________．9. 如图是由所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列{n 2+4n}(n ∈N ∗, n ≤2009)的项，则所得y 值中的最小值为________．10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，PF 1⋅PF 2=4ab ，则双曲线的离心率是________．11. 设函数f(x)=ax +b ，其中a ，b 为实数，f 1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n (x)]，n =1，2，…．若f 5(x)=32x +93，则ab =________．12. 设A 、B 是椭圆x 225+y 216=1上不同的两点，点C(−3, 0)，若A 、B 、C 共线，则ACCB 的取值范围是________．13. 设函数f(x)=x(12)x +1x+1，A 0为坐标原点，A n 为函数y =f(x)图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量a n =∑A k−1A k →nk=1，向量i=(1, 0)，设θn 为向量a n 与向量i 的夹角，则满足∑tan n k=1θk <53的最大整数n 是________．14. 已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC =3√2，过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m →=(2,2cos 2B+C 2−1)，向量n →=(sin A2，−1)．（1）求m →⋅n →取得最大值时的角A 的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值．16. 如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：（1）直线EF // 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．17. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m+a；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为an+a．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为ℎ1和ℎ2，则他对这两种交易的综合满意度为√ℎ1ℎ2．现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为ℎ甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为ℎ乙（1）求ℎ甲和ℎ乙关于m A 、m B 的表达式；当m A =35m B 时，求证：ℎ甲=ℎ乙；（2）设m A =35m B ，当m A 、m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为ℎ0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 18. 如图，已知椭圆C:x 25+y 23=m 22(m >0)，经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆G 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点． （1）是否存在k ，使对任意m >0，总有OA →+OB →=ON →成立？若存在，求出所有k 的值； （2）若OA →⋅OB →=−12(m 3+4m)，求实数k 的取值范围．19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n(n, S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且过点P n(n, S n)的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2k n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设A={x|x=k n, n∈N∗}，B={x|x=2a n, n∈N∗}等差数列{c n}的任一项c n∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，110<c10<115，求{c n}的通项公式．20. 已知函数f1(x)=3|x−p1|，f2(x)=2⋅3|x−p2|（x∈R，p1，p2为常数）．函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x)={f1(x)若f1(x)≤f2(x) f2(x)若f1(x)>f2(x)（1）求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a<b，且p1，p2∈(a, b)．若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度之和为b−a2（闭区间[m, n]的长度定义为n−m）2011年江苏高考数学模拟试卷1答案1. m<−4或m>42. 23. 解析：（1）因P(x)=f(x)+g(x)=x3+(k−1)x2+(k+5)x−1，p′(x)=3x2+2(k−1)x+(k+5)，因p(x)在区间(0, 3)上不单调，所以p′(x)=0在(0, 3)上有实数解，且无重根，由p′(x)=0得k(2x+1)=−(3x2−2x+5)，∴ k=−(3x2−2x+5)2x+1=−34[(2x+1)+92x+1−103]，令t=2x+1，有t∈(1, 7)，记ℎ(t)=t+9t，则ℎ(t)在(1, 3]上单调递减，在[3, 7)上单调递增，所以有ℎ(t)∈[6, 10)，于是(2x+1)+92x+1∈[6,10)，得k∈(−5, −2]，而当k=−2时有p′(x)=0在(0, 3)上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈(−5, −2)；（2）当x<0时有q′(x)=f′(x)=3x2−2(k2−k+1)x+5；当x>0时有q′(x)=g′(x)=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，记A=(k, +∞)，B=(5, +∞)（1）当x 1>0时，q′(x)在(0, +∞)上单调递增， 所以要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，只能x 2<0且A ⊆B ， 因此有k ≥5，（2）当x 1<0时，q′(x)在(−∞, 0)上单调递减， 所以要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，只能x 2>0且A ⊆B ， 因此k ≤5，综合(1)(II)k =5；当k =5时A =B ，则∀x 1<0，q′(x 1)∈B =A ，即∃x 2>0， 使得q′(x 2)=q′(x 1)成立，因为q′(x)在(0, +∞)上单调递增，所以x 2的值是唯一的； 同理，∀x 1<0，即存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)， 要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，所以k =5满足题意． 4. [−116，5]5. 76. 3π287. √2 8. −1 9. 17 10. √3 11. 6 12. [14, 4]13. 3 14. 18π15. 解：(1)m →⋅n →=2sin A2−(2cos 2B+C 2−1)=2sin A2−cos(B +C)．因为A +B +C =π，所以B +C =π−A ，于是m →⋅n →=2sin A2+cosA =−2sin 2A2+2sin A2+1=−2(sin A2−12)2+32． 因为A2∈(0,π2)，所以当且仅当sin A2=12，即A =π3时，m →⋅n →取得最大值32． 故m →⋅n →取得最大值时的角A =π3；（2）设角、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理，得b 2+c 2−a 2=2bccosA 即bc +4=b 2+c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b =c =2时取等号． 又S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3．当且仅当a =b =c =2时，△ABC 的面积最大为√3．16. ∵ E ，F 分别是AB ，BD 的中点．∴ EF 是△ABD 的中位线，∴ EF // AD ，∵ EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴ 直线EF // 面ACD ； ∵ AD ⊥BD ，EF // AD ，∴ EF ⊥BD ， ∵ CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴ CF ⊥BD 又EF ∩CF ＝F ，∴ BD ⊥面EFC ，∵ BD ⊂面BCD ，∴ 面EFC ⊥面BCD 17. 解：（1）甲：买进A 的满意度为ℎA1=12m A +12，卖出B 的满意度为ℎB1=m Bm B +5；所以，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为ℎ甲=√ℎA1⋅ℎB1=√12m A +12×m B m B +5=√12m B(mA +12)(mB +5)；乙：卖出A 的满意度为：ℎA2=m Am A +3，买进B 的满意度为：ℎB2=20m B +20； 所以，乙卖出A 与买进B 的综合满意度ℎ乙=√ℎA2⋅ℎB2=√m Am A+3×20mB+20=√20m A(m A +3)(m B +20)；当m A =35m B 时，ℎ甲=√12m B(35mB +12)(m B +5)=√20m B(m B +20)(m B +5)，ℎ乙=√20×35m B(35m B +3)(m B +20)=√20m B(m B +5)(m B +20)，所以ℎ甲=ℎ乙（2）设m B =x （其中x >0），当m A =35m B 时， ℎ甲=ℎ乙=√20x(x+5)(x+20)=√20x+100x+25≤√2√x⋅x+25=√2045=23；当且仅当x =100x，即x =10时，上式“=”成立，即m B =10，m A =35×10=6时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为23（3）不能由（2）知ℎ0=23．因为ℎ甲ℎ乙≤49因此，不能取到m A ，m B 的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立． 18. 解：（1）椭圆C:x 25m 22+y 23m 22=1，c 2=5m 22−3m 22=m 2，c =m ，∴ F(m, 0)，直线AB:y =k(x −m)，{y =k(x −m)x 25+y 23=m 22(m >0)，(10k 2+6)x 2−20k 2mx +10k 2m 2−15m 2=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=20k 2m10k 2+6， x 1x 2=10k 2m 2−15m 210k 2+6；则x m =x 1+x 22=10k 2m10k 2+6，y m =k(x m −m)=−6km10k 2+6，若存在k ，使AB 为ON 的中点，∴ OA →+OB →=2OM →． ∴ OA →+OB →=(2x m ,2y m )=(20k 2m10k 2+6,−12km10k 2+6)， 即N 点坐标为(20k 2m10k 2+6，−12km10k 2+6)．由N 点在椭圆上，则15×(20k 2m10k 2+6)2+13×(−12km10k 2+6)2=m 22即5k 4−2k 2−3=0．∴ k 2=1或k 2=−35（舍）．故存在k =±1使OA →+OB →=ON →． （2）OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2(x 1−m)(x 2−m) =(1+k 2)x 1x 2−k 2m(x 1+x 2)+k 2m 2 =(1+k 2)⋅10k 2m 2−15m 210k 2+6−k 2m ⋅20k 2m 10k 2+6+k 2m 2=(k 2−15)10k 2+6m 2，由m 2⋅(k 2−15)10k +6=−12(m 3+4m)，得m 2⋅k 2−1510k +6=−m 22(m +4m)≤−2m 2，即k 2−15≤−20k 2−12，k 2≤17，∴ −√77≤k ≤√77，且k ≠0．19. 解：（1）∵ 点P n (n, S n )都在函数f(x)=x 2+2x 的图象上， ∴ S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +1．当n =1时，a 1=S 1=3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n +1 （2）由f(x)=x 2+2x 求导可得f′(x)=2x +2 ∵ 过点P n (n, S n )的切线的斜率为k n ， ∴ k n =2n +2．∴ b n =2k n a n =4⋅(2n +1)⋅4n ．∴ T n =4×3×41+4×5×42+4×7×43++4×(2n +1)×4n ①由①×4，得4T n =4×3×42+4×5×43+4×7×44++4×(2n +1)×4n+1② ①-②得：−3T n =4[3×4+2×(42+43++4n )−(2n +1)×4n+1]=4[3×4+2×42(1−4n−1)1−4−(2n +1)×4n+1]∴ T n =6n+19⋅4n+2−169．（3）∵ Q ={x|x =2n +2, n ∈N ∗}，R ={x|x =4n +2, n ∈N ∗}，∴ Q ∩R =R ． 又∵ c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数， ∴ c 1=6．∵ {c n }是公差是4的倍数， ∴ c 10=4m +6(m ∈N ∗)． 又∵ 110<c 10<115，∴ {110<4m +6<115m ∈N ∗，解得m =27．所以c 10=114，设等差数列的公差为d ，则d =c 10−c 110−1=114−69=12，∴ c n =6+(n −1)×12=12n −6，所以{c n }的通项公式为c n =12n −6 20. 解：（1）由f(x)的定义可知，f(x)=f 1(x)（对所有实数x ）等价于f 1(x)≤f 2(x)（对所有实数x ）这又等价于3|x−p 1|≤2⋅3|x−p 2|，即3|x−p 1|−|x−p 2|≤3log 32=2对所有实数x 均成立．(∗)由于|x −p 1|−|x −p 2|≤|(x −p 1)−(x −p 2)|=|p 1−p 2|(x ∈R)的最大值为|p 1−p 2|， 故(∗)等价于3|p 1−p 2|≤2，即|p 1−p 2|≤log 32，这就是所求的充分必要条件 （2）分两种情形讨论(I)当|p1−p2|≤log32时，由（1）知f(x)=f1(x)（对所有实数x∈[a, b]）则由f(a)=f(b)及a<p1<b易知p1=a+b2，再由f1(x)={3p1−x，x<p13x−p1，x≥p1的单调性可知，函数f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度为b−a+b2=b−a2（参见示意图）(II)|p1−p2|>log32时，不妨设p1<p2，则p2−p1>log32，于是当x≤p1时，有f1(x)=3p1−x<3p2−x<f2(x)，从而f(x)=f1(x)；当x≥p2时，有f1(x)=3x−p1=3p2−p1+x−p2=3p2−p1⋅3x−p2>3log32⋅3x−p2=f2(x)从而f(x)=f2(x)；当p1<x<p2时，f1(x)=3x−p1，及f2(x)=2⋅3p2−x，由方程3x−p1= 2⋅3p2−x解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为x0=p1+p22+12log32(1)显然p1<x0=p2−12[(p2−p1)−log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知f(x)={f1(x)，p1≤x≤x0f2(x)，x0<x≤p2综上可知，在区间[a, b]上，f(x)={f1(x)，a≤x≤x0f2(x)，x0<x≤b（参见示意图）故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度之和为(x0−p1)+(b−p2)，由于f(a)=f(b)，即3p1−a=2⋅3b−p2，得p1+p2=a+b+log32(2)故由（1）、（2）得(x0−p1)+(b−p2)=b−12[p1+p2−log32]=b−a2综合(I)(II)可知，f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度和为b−a2．。
2011高考数学(理)仿真模拟题及答案(10)
2011届高考数学仿真押题卷——全国卷（理10）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.复数51034ii+-的虚部为 A. 2 Ｂ. 2i Ｃ. 2- Ｄ. 2i - 2.已知集合3{|0},{|||1}1x M x N x x x +=<=≤-，则()U M C N = Ａ. 1-（３，－］ Ｂ.(3,1-－） Ｃ. {1} Ｄ. (3,1)-3.已知公比为2的等比数列{}n a 中，2463a a a ++=，则579a a a ++的值为 Ａ. 12 Ｂ. 18 Ｃ. 24 Ｄ. 64.已知2sin()sin()()22πππαααπ-=-+<<，则sin α=Ａ.5 Ｂ. 5- Ｃ. 5-D. 55.若a b c 、、是实数，则“0ac <”是“不等式20ax bx c ++>有解”的 Ａ.充要条件 Ｂ.充分不必要条件Ｃ.必要而不充分条件 Ｄ.既不充分也不必要条件6.函数)(x f y =的反函数为14()(,2)2x f x x R x x -+=∈≠-+，则)(x f y =的图像 A ．关于点(2,1)-对称 B.关于点(1,2)-对称 C. 关于点(1,2)对称 D.关于直线关于点2=y 对称7.若变量,x y 满足约束条件202100x y x y y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，则22(1)(1)x y ++-的最小值是A ．45 Ｂ. 1625 Ｃ. 54 D. 25168.在ABC ∆所在的平面内有一点P ，如果PA PC AB PB +=-,那么PBC ∆和面积与ABC∆的面积之比是 A ．43B ．21 C ．31 D ．329.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点1A 在底面ABCD 内的射影恰好是点B ，若011,2,60AB AD AA BAD ===∠=，则异面直线1A B 和1B C 所成角为Ａ.6π Ｂ. 4π Ｃ. 3π Ｄ. 2π 10.曲线1sin ()(0,(0))cos xf x f x+=在点处的切线与圆22:()(1)1C x t y t -+--=的位置关系为A ．相离B ．相切C ．相交D ．与t 的取值有关11.定义在R 上的偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =-，且当(1,0)x ∈-时，有'()0xf x <，设(3),(2)a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系是Ａ. a b c >> Ｂ. a c b >> Ｃ. b c a >> Ｄ. c b a >>12.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F 且倾斜角为060的直线交C 于A 、B 两点，若23AF FB =，则椭圆的离心率为A.23 B . C. 12 D. 25第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题（每题5分，共20分。
2011年高考理科数学精彩试题及问题详解-全国卷1
2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为（ ）（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （ ）（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 （ ）12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是 （ ） （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则 （ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11-y x=的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2011年浙江省高考数学模拟题(一)
2011年浙江省高考数学模拟题(一)2011年浙江省高考数学模拟题（一）一、填空题1.已知复数 z 1=m +2i ，z 2=3-4i ，若 z 1z 2为实数，则实数m 的值为 。
-3 2。
2．如图墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 。
1-π 4。
3. 甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如下图所示，则他们在这次测验中成绩较好的是 甲 组。
甲 乙5 853 6 47 94 7 4569 76641 8 0292 94. 设集合A ={0,1,2}，B ={0,1,2}，分别从集合A 和B 中随机 取一个数a ,和b ，确定平面上的一个点P (a ,b )，记“点P (a ,b )落在直线x+y=n 上”为事件C n (0≤n ≤4， n ∈N)，若事件C n 的概率最大，则n 的可能值为 。
2。
5. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为(3，2)，其一边AB 所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为 。
x -y -3=0。
6. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 是 cm 3。
3 (cm 3)。
7. 若点P (2，0)到双曲线x 2 a 2 -y 2b 2 =1的一条渐近线的距离为2 ，则该双曲线的离心率为 。
2 。
8．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填 。
3。
9. 函数y =f (x )的图像在点M (1, f (1))处的切线方程是y =3x -2，则f (1)+ f ′(1)= 。
4。
10．若直线ax +by =1(a ,b ∈R)经过点(1，2)，则1 a +1b的最小值是 。
3+22 。
2011年高考数学模拟试题(全国卷)答案解析
（） ２建设者 背 负建 筑 材材 料 ， 在海 拔 ３０ ６０ 多米高 的葱岭 工地上 沿 陡峭 山路 行进 ， 战生 挑 命 的极 限 ， 紧张而有 序 。
１ ． 原缺 氧 、 单 原 始 用 来 衬 托 （ ６高 简 烘 托） 工作 环境 的异 常艰 苦 恶劣 ， 歌 了葱 岭 水 讴 利工程 建设者 的牺牲 与奉 献 。
’． ． 咖
９ 数 （的 像 于 （３０ ． 函 厂 ）图 关 点一 ， Ｄ ｚ ）
。 ＝＝ ＝ 。
６ ｃ 由题 意 得 ： ． ｃ ２・
得 ｐ＝３ 。
・ ２ 求 ２ 一 ０
，
成 心 称得 ） 厂 一） ｏ 中 对 ， ｚ （３ ｚ＝， ＋一 ＝ 又 ＝
ｚ ＝ ｆ ＋要）于 （） ）－（ ｘ ， 是厂ｚ是偶函数， 且
＼
，
ｌ 口
ｒ Ｊ
厩 留凰
蕴， 为下 文描 写水利建 设者 的贡献 做铺 垫 。
１ ． １润 色和美 化葱 岭 ， ５ （） 数千 年来 一直 是 我们先 人 的理 想 和 愿 望 ， 只有 到 了今 天 ， 开 才 始变为 现实 。 或“ 大力帮 助”
１．名著 是文 学天 空 中璀 璨 的 星辰 ， 聚 ９ 凝
着作 家智 慧 的光 芒 ； 著是 岁月 长河 中 晶莹 的 名
水滴 ， 折射 着 时代 动 人 的 光彩 ； 著是 知 识 海 名 洋 中明亮 的航标 ， 引领 着我 们到达 彼岸 。名 著 让 我们睿 智 ， 著 让 我 们 豁达 ， 著 让 我 们 高 名 名 尚 。小溪 文学社 “ 与 名著 ” 我 主题 报 告 会 正 式
不但献出了青春和健康 ， 还将贡献子孙 （ 边疆 建设 后继 有人 ） 。
2011年浙江省高考数学(理科)试题(模拟题一)
2011年杭州市高三年级第一次调研试题数学（理科）考生注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，考试时间120分钟，满分150分；请考生将本卷所有答案写在答题卷上。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数()()()⎩⎨⎧>≤++=0202x x c bx x x f ，若()()04f f =-，()22-=-f ，则关于x 的方程()x x f =的解的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）如果复数()i m +2()mi +1是实数，则实数m 的值是（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2-（3）如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论错误．．的是 （A ）//BD 平面11D CB （B ）BD AC ⊥1（C ）⊥1AC 平面11D CB （D ）异面直线AD 与1CB 角为︒60 （4）已知α为锐角，且有()052cos 3tan 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+--βπαπ，()()01sin 6tan =-+++βπαπ，则αsin 的值是（A ）553 （B ）773 （C ）10103 （D ）31（5）若对(]1,-∞-∈x 时，不等式()12122<⎪⎭⎫⎝⎛--xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是（A ）()3,2- （B ）()3,3- （C ）()2,2- （D ）()4,3- （6）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率是（A ）10100510480C C C （B ）101004106100C C C （C ）10100520410C C C （D ）10100420680C C C （7）在四面体ABCD 中，设1=AB ，3=CD ，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积是 （A ）23 （B ）21 （C ）31 （D ）33（8）若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于P ，Q 两点，且点P ，Q 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥+-0001m y kx y y kx 表示的平面区域的面积是（A ）41 （B ）21（C ）1 （D ）2（9）双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点为2F ，1C 与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（A ）1- （B ）1 （C ）12-（D ）12（10）设集合{}123456M =，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，且{},123i j k ∈ ，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，()min{}x y ，表示两个数x ，y 中的较小者），则k 的最大值是（A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）13非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2011年高考数学模拟系列试卷(1)新课标
2011年高考模拟系列试卷（一）数学试题（理）（新课标版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,0,,01A a B x x =-=<<，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．{}1D ．(1,)+∞2．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为AB．- C．2D．2-3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k = A ．22 B ．23 C ．24 D ．25 4．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于 A ．6 B ．6πC．D．5．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π7．若1()nx x+展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于A ．8B ．16C ．80D ．708．已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则a b 的最大值为A ．12B ．2C ．3D ．319．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s ________2s （填“>”、“<”或“＝”）．A ．>B ．<第4题第9题图C ．＝D ．不能确定 10．若函数()(,)y f x a b =的导函数在区间上的图象关于直线2b a x +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．①B ．②C ．③D ．③④11．已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是A ．12()()0f x f x +<B ． 12()()0f x f x +>C ．12()()0f x f x ->D ．12()()0f x f x -<12．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形面积是_________． 14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是_________． 15．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM的最小值为_________．16．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭第12题图区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为_________．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在A B C ∆中，已知45A = ，4cos 5B =．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若10,BC D =为AB 的中点，求C D 的长． 18．（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ． 19．（本小题满分12分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S 数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2n n na b =的前n 项和为n T ，求n T ．20．（本小题满分12分）如图，已知E ，F 分别是正方形A B C D 边B C 、C D 的中点，EF与A C 交于点O ，P A 、N C 都垂直于平面A B C D ，且4PA AB ==，2N C =，M 是线段P A 上一动点．（Ⅰ）求证：平面P A C ⊥平面N E F ；（Ⅱ）若//P C 平面M EF ，试求:P M M A 的值；（Ⅲ）当M 是P A 中点时，求二面角M E F N --的余弦值． 21．（本小题满分12分）第20题已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线P A 与P B 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若O P O Mλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 22．（本小题满分14分）已知三次函数()()32,,f x ax bx cx a b c R =++∈．（Ⅰ）若函数()f x 过点(1,2)-且在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有12()()f x f x t -≤，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时()f x 的表达式．参考答案一．选择题1．B ； 2．C ； 3．A ； 4．C ； 5．A ； 6．C ； 7．D ； 8．A ； 9．B ； 10．D ； 11．D ； 12．B ． 二．填空题 13．18； 14．12-； 15．4； 16．22n j -（这里j 为[1,2]n 中的所有奇数）．三．解答题17．解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈ ，∴3sin 5B ==．cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-43cos135cos sin 135sin 2525B B =+=-+10=-（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C ===．由正弦定理得sin sin BC AB AC =，即2A B =，解得14AB =．在B C D ∆中，7B D =，22247102710375C D =+-⨯⨯⨯=，所以C D =18．解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．随机变量X 服从超几何分布． 031263185(0)204C C P X C ===， 1212631815(1)68C C P X C ===，2112631833(2)68C C P X C ===，312631855(3)204C C P X C ===．X∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S aa a =+=+，3123136S a a a a =++=+， ==解得11a =，故21n a n =-．（Ⅱ）211(21)()222nnn n na nb n -===-， 法1：12311111()3()5()(21)()2222nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①①12⨯得 23411111111()3()5()(23)()(21)()222222nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ② ①-②得 2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯ 11111(1)113121222(21)()12222212nn n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-． 法2：121112222n n nnn na nb n --===⋅-，设112nn k k kF -==∑，记11()()nk k f x k x-==∑，则()1111(1)()1(1)n nnn kk nk k x x n nx xf x x x xx +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， ∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故111(1)1123224(2)13122212nn n n nnn T F n --+=-=-+⋅-+=--．20．解： 法1：（Ⅰ）连结BD ，∵P A ⊥平面A B C D ，BD ⊂平面A B C D ，∴PA BD ⊥，又∵B D A C ⊥，AC PA A = ，∴B D ⊥平面P A C ，又∵E ，F 分别是B C 、C D 的中点，∴//E F B D ，∴E F ⊥平面P A C ，又E F ⊂平面N E F ，∴平面P A C ⊥平面N E F ．（Ⅱ）连结O M ，∵//P C 平面M E F ，平面PAC 平面M E F O M =，∴//P C O M ，∴14P MO CP A A C ==，故:1:3P M M A =．（Ⅲ）∵E F ⊥平面P A C ，O M ⊂平面P A C ，∴E F ⊥O M ，在等腰三角形N E F 中，点O 为EF 的中点，∴N O E F ⊥，∴M O N ∠为所求二面角M E F N --的平面角．∵点M 是P A 的中点，∴2A M N C ==，所以在矩形M N C A中，可求得MN AC ==，N O =M O =在M O N ∆中，由余弦定理可求得222cos 233M O O N M NM O N M O O N+-∠==-⋅⋅，∴二面角M E F N --的余弦值为33-．法2：（Ⅰ）同法1；（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，∴(4,4,4)PC =- ，(2,2,0)EF =-，设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面M EF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)M E m =- ，所以0n M E n E F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y m z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，故6(1,1,)n m = ． ∵//P C 平面M EF ，∴0PC n ⋅= ，即24440m+-=，解得3m =，故3A M =，即点M 为线段P A上靠近P 的四等分点；故:1:3P M M A =．（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN = ，设平面N E F 的法向量为(,,)m x y z =，则00m E N m E F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-，当M 是P A 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,33m n <>==-，∴二面角M E F N --的余弦值为33-21．解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=，∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =． 所以椭圆方程为22132xy+=．（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(0)A，0)B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1y k =2y k =， 即2220012222000222(3)2333333x x yk k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值23-． （Ⅲ）设(,)M x y ，其中[x ∈．由已知222O P O Mλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x xx x yx y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．①当3λ=时，化简得26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313xyλλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．22．解：（Ⅰ）∵函数()f x 过点(1,2)-，∴(1)2f a b c -=-+-= ①又2()32f x ax bx c '=++，函数()f x 点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=，∴(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，∴2320a b c a b c ++=-⎧⎨++=⎩ ② 由①和②解得1a =，0b =，3c =-，故 3()3f x x x =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±，∵(3)18f -=-，(1)2f -=，(1)2f =-，(2)2f =，∴在区间[]3,2-上m ax ()2f x =，m in ()18f x =-， ∴对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x ，12|()()|20f x f x -≤，∴20t ≥，从而t 的最小值为20． （Ⅲ）∵2()32f x ax bx c '=++，则(0)(1)32(1)32f cf a b c f a b c'=⎧⎪'-=-+⎨⎪'=++⎩，可得6(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-． ∵当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，∴(1)1f '-≤，(0)1f '≤，(1)1f '≤， ∴6||(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-(1)(1)2(0)4f f f '''≤-++≤，∴23a ≤，故a 的最大值为23， 当23a =时，(0)1(1)221(1)221f c f b c f b c '⎧==⎪'-=-+=⎨⎪'=++=⎩，解得0b =，1c =-，∴a 取得最大值时()323f x x x =-．。
宁波市2011年高考模拟试卷数学(理科)
宁波市2011年高考模拟试卷数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至3页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式V =ShP (A +B )=P (A )+P (B )其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 V =31Sh如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k )=kk n p C (1-p )n -k (k =0,1,2,…n )台体的体积公式)2211(31S S S S h V ++=球的表面积公式S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积， 球的体积公式V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径h 表示台体的高第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知全集R U =,集合2{|30}A x x x =->,{|B x x =>则()UB A 等于(A) {|3x x >或0}x <(B) {|13}x x <<(C) {|13}x x <≤ (D) {|13}x x ≤≤(2) 设a ，b 是单位向量，则“a ·b =1”是“a =b ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(3)右图是某同学为求50个偶数：2，4，6，…，100的 平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图 中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是(A) 5050,x i x >=(B) 50100,x i x ≥= (C) 5050,x i x <= (D) 50100,xi x ≤=(4)若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体外接球的表面积是 (A) 4πcm 2 (B) 3π cm 2 (C) 2πcm 2 (D) πcm 2开始x =0,i =1是结束否 x =x ＋2i i =i ＋1 输出x（第3题图）1 1正视图侧视图1(5)设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A)0,0πϕω<<>的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90°， KL ＝1，则1()6f 的值为(A) 43- (B) 14- (C) 12- (D) 43(6)设双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2．过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则 双曲线C 的离心率为(A)2 (B) 2 (C)3 (D) 3(7) 设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面. 考察下列命题,其中真命题是 (A) βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,, (B) ββαβα⊥⇒⊥=⊥n n m m ,, (C) n m ,,αβα⊥⊥∥βn m ⊥⇒ (D) α∥β,,α⊥m n ∥βn m ⊥⇒(8) 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，则实数a 的取值范围为(A) )5,3( (B) ),21(+∞ (C) )2,1(- (D) )1,31((9) 前12个正整数组成一个集合{}1,2,3,,12⋅⋅⋅，此集合的符合如下条件的子集的数目为m ：子集均含有4个元素，且这4个元素至少有两个是连续的．则m 等于 (A) 126(B) 360(C) 369(D) 495（第5题图）xyKLOM(10) 设平面向量a =(x 1,y 1),b=(x 2,y 2) ,定义运算⊙：a ⊙b =x 1y 2-y 1x 2 .已知平面向量a ，b ，c ，则下列说法错误的是(A) (a ⊙b )+(b ⊙a )=0 (B) 存在非零向量a ，b 同时满足a ⊙b =0且a •b =0 (C) (a +b )⊙c =(a ⊙c )+(b ⊙c ) (D) |a ⊙b |2= |a |2|b |2-|a •b |2第II 卷（非选择题 共100分）注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上．2.在答题纸上作图, 可先使用2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题： 本大题共7小题，每小题4分，共28分． (11) 已知复数3i z =( i 为虚数单位)，则243z ＝ ▲ . (12) 已知2cos()3cos()02x x ππ-+-=，则tan 2x = ▲ ．(13) 已知圆的方程为08622=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ． (14) 设二次函数2()f x ax bx c =++（,,R a b c ∈），若对所有的实数x ，都有222x x -+≤()f x ≤2243x x -+成立，则a b c ++＝ ▲ ．（15）现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀的硬币抛出后正面出现的概率为23.现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ▲ ．(16) 数列{}n a 为等差数列，12619,1a a ==-，设16||n n n n A a a a ++=++⋅⋅⋅+，N n *∈．则n A 的最小值为 ▲ ．(17) 如图，已知平行四边形ABCD 中，2,3==BC AB ，60=∠BAD ， E 为BC 边上的中点，F 边形内（包括边界）一动点，则AF AE ⋅的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18）（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值．（19）（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，31=a ，若数列{}1+n S 是公比为4的等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设111)3(+++⋅-=n n n n S a a b ，*∈N n ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FE DCA（第17题图）（第21题图）（20）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知3==DE AE ，F 为线段DE 上的动点． （Ⅰ）若F 为DE 的中点，求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）若二面角F BC E --与二面角D BC F --的大小相等，求DF 长．（21）（本小题满分15分）已知点)2,0(-D ，过点D 作抛物线:1C )0(22>=p py x的切线l ，切点A 在第二象限，如图．（Ⅰ）求切点A 的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为23的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线OB OA l ,,的斜率分别为21,,k k k ，若k k k 4221=+，求椭圆方程．（22）（本小题满分14分）函数()f x 定义在区间[a , b ]上，设“min{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最小值，“max{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最大值．现设1()min{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数 )(x f 为区间[,]a b 上的“第k 类压缩函数”． (Ⅰ) 若函数32()3,[0,3]f x x x x =-∈，求)(x f 的最大值，写出)()(21x 、fx f 的解析式；(Ⅱ) 若0m >，函数32()f x x mx =-是[0,]m 上的“第3类压缩函数”，求m 的取值范围．宁波市2011年高考模拟试卷数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题（第20题图）的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年高考数学创新题型精选一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy （x+y ），z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A ．0B ．6C ．12D ．182．设○+是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是A ．43B ．72C ．86D ．904．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A ． 5B ． 4C ． 3D ． 25．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。
在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是A ．48B ．18C ．24D ．366．点P 到点A （21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－21的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是A ．21B ．23C ．21或23D ．－21或21 7．如果二次方程 x 2-px-q=0（p,q ∈N*） 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF十进制12345678910 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A B ⨯=A ．6EB ．72C ．5FD ．B010．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABC PCA S S ∆∆，λ3＝ABCPAB S S∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61），则 A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。
类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。
不必证明。
类比性质叙述如下 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿12．规定记号“∆”表示一种运算，即+∈++=∆R b a b a b a b a 、，．若31=∆k ，则函数()x k x f ∆=的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿．13．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 7 ……则第9行中的第4个数是＿＿＿＿＿＿＿＿ A ．132B ．255C ．259D ．26014．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_________________ 15．设函数f （x ）的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f （x ）在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝s1nn x 在[0，n π]上的面积为n 2（n ∈N *），（1）y ＝s1n3x 在[0,32π]上的面积为 ；（2）y ＝s1n （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 ． 16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5；④6； ⑤7以上结论正确的为______________。
（写出所有正确结论的编号．．）三、解答题（共4小题，10+12+12+12=46，共46分）ABCDA 1B 1C 1D 1第16题图αA17．（本题满分10分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f 。
y=f （x ）图像的一条对称轴是直线8π=x ． （1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间；（3）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切． 18．（本题12分）某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是21．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n 站的概率为n P ．（1）求P 0，P l ，P 2； （2）求证:)(21211-----=-n n n n P P P P （3）求玩该游戏获胜的概率．19．（本题12分）如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2．（1）分别用不等式组表示W 1和W 2；（2）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程； （3）设不过原点O 的直线l 与（2）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点．求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．20．（本题12分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j，坐标平面上点n A 、n B )(*N n ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1+n n A A ＝i ＋j ；②i OB 31=且1+n n B B ＝2()33n i ⨯ 。
（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ，求n a )(*N n ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切)(*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．D 提示：当x ＝0时，z ＝0，当x ＝1，y ＝2时，z ＝6，当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为18，选D2．C 提示： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0．5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 中222⨯=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。
3．B 提示：根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数。
但是当m n =时22221x y m n+=是圆而不是椭圆。
先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能。
故满足条件的椭圆有8972⨯=个。
选B4．D 提示：由题意至少可得f （0）=f （2）=f （-2）=f （3）=f （-3）=f （-5）=f （5）=f （1）=f （4）=0,即在区间（0，6）内f （x ）=0的解的个数的最小值是5,选（D ）5．D 提示：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；选D 。
6．D 提示：（思路一）点P 在抛物线y 2=2x 上，设P （22y ,y ）,则有（22y +21）2=（22y －a ）2+（y－2）2,化简得（21－a ）y 2－4y+a 2+415=0, 当a =21时, 符合题意；当a≠21时，∆=0,有3a －22a +415a +817=0,（ a +21）（a 2－a +417）=0, a =－21。
选D ．（思路二） 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，B 在直线y=2上,当a=－21时,B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=21时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D ．答案：D 7．C 提示：由 △=p 2+4q>0,-q<0, 知方程的根为一正一负．设 f （x ）=x 2-px-q ，则 f （3）=32-3p-q>0, 即 3p+q<9．由于p,q ∈N*，所以 p=1,q≤5 或p=2,q≤2．于是共有7组（p,q ）符合题意．故选C ．8．D 提示：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n, 直线 m 、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．故选D ． 答案：D9．A 提示：∵A=10,B=11,又A×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A×B=6E,∴选（A ） 10．A 提示：由题f （p ）=).,,(321λλλ若G 为)31,31,31()(=∆G f ，ABC 则的重心．而)61,31,21()(=Q f 与之比较知。
中在GAB Q ∆。
故选A 。
二、填空题11．（下列答案中任一即可，答案不唯一）（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。
（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。
（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。
（4）在空间，射线OD 上任意一点P 到射线OA 、OB 、OC 的距离之比不变。
（5）在空间，射线OD 上任意一点P 到平面AOB 、BOC 、COA 的距离之比不变。