广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(三角函数)详解

合集下载

高三数学三角函数试题答案及解析

高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2.“θ≠”是“cos θ≠”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“cos θ＝”是“θ＝”的必要不充分条件，所以“θ≠”是“cos θ≠”的必要不充分条件，选B.3.已知函数，则一定在函数图象上的点是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据的解析式，求出，判断函数的奇偶性，由函数的奇偶性去判断四个选项是否在图象上．．为奇函数，在图象上．故选C．【考点】函数的奇偶性．4.函数y=的定义域是.【答案】{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}【解析】由1-tanx≥0,即tanx≤1,结合正切函数图象可得,kπ-<x≤kπ+,k∈Z,故函数的定义域是{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.已知的三个内角所对的边分别为，且，则角的大小为 .【答案】【解析】根据正弦定理：，，即：，，【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数公式.7.已知函数上有两个零点,则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于，故，由于函数在区间上有两个零点，所以，所以，所以，故选D.【考点】1.三角函数的图象；2.三角函数的对称性8.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.9.已知函数时有极大值，且为奇函数，则的一组可能值依次为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为当时有极大值，所以=0，解得当k=0时,；因为=为奇函数，所以,当k=0时,,故选D.【考点】1.求函数的导数及其导数的性质；2.三角函数的性质.10.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，则据此可知答案选D.【考点】函数的图像与性质.11.中，角所对的边分别为且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若向量，向量，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）主要利用三角形中内角和定理、三角恒等变换来求；（Ⅱ）通过余弦定理、解方程组可求；试题解析：（Ⅰ）∵∴，∴，∴或∴（II）∵∴，即①又，∴，即②由①②可得，∴又∴，∴【考点】解三角形中内角和定理以及余弦定理的使用、三角恒等变换等知识点，考查学生的计算能力.12.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．13.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系14.函数的最小正周期为．【答案】【解析】根据题意，由于即为其周期，故答案为【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。

高考数学三角函数典型综合题型题库_含详解

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值.解：（1）ABC ∆的内角和A B C π++=3A π=203B π∴<<sin 4sin sin BCAC B x A== 12sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<<（2）y =21sin()sin )32x x x x x π-=+26sin cos x x x =+7)2)6666x x ππππ=--<-<当262x ππ-=即3x π=时，y 取得最大值………………………14分2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的长度相等，求β－α的值(k 为非零的常数)．解：(1)由题意得：a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) a －b ＝(cos α－cos β， sin α－sin β) ∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β)＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝1－1＝0 ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2) 方法一：k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β， sin α－k sin β)| k a ＋b |＝1)cos(22+-+αβk k ，| a －k b |＝1)cos(22+--αβk k 由题意，得4cos (β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝2π．方法二：由| k a ＋b |＝| a －k b |得：| k a ＋b |2＝| a －k b |2即(k a ＋b )2＝( a －k b )2，k 2| a |2＋2k a ⋅b ＋| b |2＝| a |2－2k a ⋅b ＋k 2| b |2由于| a |＝1，| b |＝1∴k 2＋2k a ⋅b ＋1＝1－2k a ⋅b ＋k 2，故a ⋅b ＝0，即(cos α，sin α)⋅ (cos β，sin β)＝0 10分 ⇒ 0)cos(0sin sin cos cos =-⇒=+αββαβα 因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝2π．3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知3sin 22B A ++cos 22B A -=2, (cosA •cosB ≠0)，求tanAtanB 的值。

高三数学三角函数综合试题答案及解析

高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.3.函数的值域为．【答案】【解析】令，则.【考点】1、三角函数；2、二次函数；3、换元法.4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．5.已知函数.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间是：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用正弦函数的单调区间，即可求得其单调递增区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而求得的范围.试题解析：.函数的单调减区间是：.的范围为，所以，所以即：【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的单调区间及范围.6.如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度；⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？【答案】⑴;⑵当为时，取得最小值．【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，则 2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为． 6分⑵设，则，． 8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值， 12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值． 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．8.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.9.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】，故选B．【考点】1．三角函数诱导公式；2．三角函数平方关系．10.在△ABC中，角均为锐角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】D．【解析】又角均为锐角，则且中，，故选D．【考点】1．诱导公式；2．正弦函数的单调性．11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.【答案】②③④．【解析】当，等号成立时当且仅当“即”，显然不成立，则命题①不正确；在中，若，则或，则是等腰或直角三角形，故②正确；由，因为正实数，满足，所以，故③正确；如果是可导函数，若函数在处取到极值，则，当，，但函数在处无极值，则是函数在处取到极值的必要不充分条件，故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为；（2）将代入，得，因为，所以，再利用余弦定理，解出，最后根据三角形面积公式求出. 试题解析：（1）由题意所以.由（1），因为,所以，解得.又余弦定理，所以，解得，所以.【考点】1.三角函数恒等变形；2.三角函数周期；3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知，，其中，若函数，且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为．(l)求的值；(2)在△ABC中，以a，b，c(分别是角A，B，C的对边，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)先根据，结合二倍角公式以及和角公式化简，求得，函数最大值是，那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期，然后根据求解的值；(2)先将代入函数的解析式得到：，由已知条件以及，结合三角函数的图像与性质可以解得，所以，由正弦定理得，那么的周长可以表示为：，由差角公式以及和角公式将此式化简整理得，，结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析：（1）， 3分∵，∴函数的周期，∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴，解得. 4分（2）由（Ⅰ）可知，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得. 7分由正弦定理得：，所以周长为：， 10分，所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式；2.差角公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质；5.正弦定理16.已知向量，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题主要利用向量平行的坐标运算得到，然后解出，再利用二倍角正切公式可得；（Ⅱ）本小题首先化简函数解析式，然后根据三角函数的图像与性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域；试题解析：（Ⅰ），， 2分即，， 4分6分（Ⅱ）=10分，12分，即 14分【考点】1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的拆角方法.18.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．19.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.20.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。

广东仲元中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

广东仲元中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（）A ．914B ．514C ．37D ．9282．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ．2 C ． 33D ． 223．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（） A 15B ．15-3 C ．53D ．5-34．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．626．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．157．已知命题p :直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q :直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m .下列命题为真命题的是（） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <9．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 10．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>11．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州仲元中学高三数学专题训练《三角函数》解析版

广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(三角函数)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，则sin α等于( )A.66x B.66 C.306x D ．－66解析：r ＝x 2＋2，∵cos α＝36x ，∴x x 2＋2＝3x6，∴x 2＋2＝12， ∴sin α＝y r ＝－212＝－66.答案：D2．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A >0，tan A －sin A <0，则角A 的取值范围是( )A ．(0，π4)B ．(π4，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)解析：由tan A <sin A 可知A 为钝角，又sin A ＋cos A >0，结合单位圆可知A ∈(π2，3π4)．答案：C3．已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.12 B ．－12C ．－14D ．±12解析：∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α，即cos α－sin α<0，∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴cos α－sin α＝－12.答案：B4．已知2sin 2α－sin αcos α＋5cos 2α＝3，则tan α的值是( )A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或2解析：由2sin 2α－sin αcos α＋5cos 2α＝3，得 sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，即tan 2α＋tan α－2＝0，解之得tan α＝1或tan α＝－2. 答案：C5．将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数为y ＝cos x ，则f (x )为( )A ．y ＝cos(2x ＋π3)B ．y ＝cos(2x －π3)C ．y ＝cos(2x ＋23π)D ．y ＝cos(2x －23π)解析：y ＝cos xy ＝cos2xy ＝cos2(x ＋π3)．答案：C6．若α∈[52π，72π]，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：原式＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2＝|sin α2＋cos α2|＋|sin α2－cos α2|.∵α∈[5π2，7π2]，∴α2∈[5π4，7π4]，当α2∈[5π4，3π2]时，sin α2≤cos α2≤0，原式＝－(sin α2＋cos α2－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2，当α2∈[3π2，7π4]时，sin α2<0，cos α2≥0. 且|sin α2|≥|cos α2|，∴原式＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.综上，原式＝－2sin α2.答案：D7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ≤π2)，且此函数的图象如图1所示，由点P (ω，φ)的坐标是( )图1A ．(2，π2)B ．(2，π4)C ．(4，π2)D ．(4，π4)解析：由图象可得函数的周期T ＝2×(7π8－3π8)＝π＝2πω，得ω＝2，将(3π8，0)代入y ＝sin(2x＋φ)可得sin(3π4＋φ)＝0，由0<φ≤π2可得φ＝π4，∴点(ω，φ)的坐标是(2，π4)，故选B.答案：B8．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2解析：f (x )＝(1＋3·sin xcos x)cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)．∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3.∴12≤sin(x ＋π6)≤1.∴1≤f (x )≤2. 答案：B9．若定义在R 上的函数f (x )满足f (π3＋x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝2sin 13x B ．f (x )＝2sin3xC ．f (x )＝2cos 13x D ．f (x )＝2cos3x解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴排除A 、B.又∵f (π3＋x )＝－f (x )，∴f (x )是周期为23π的函数，∴选D. 答案：D10．(2010·黄冈质检)已知函数f (x )＝πsin x4，如果存在实数x 1、x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．π解析：由题意得函数f (x )在x ＝x 1、x ＝x 2处取得最小值与最大值，结合图象可知|x 1－x 2|的最小值恰好等于该函数的半个周期，即等于12×2π14＝4π，选B.答案：B11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点(0，12)B ．f (x )的图象在[512π，23π]上是减函数C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(512π，0)解析：∵T ＝π，∴ω＝2，又2·23π＋φ＝kπ＋π2∴φ＝kπ＋π2－4π3当k ＝1时，φ＝π6，验证知选D.答案：D12．若在x ∈[0，π2]内有两个不同的实数值满足等式cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则k 的取值范围是( )A ．－2≤k ≤1B ．－2≤k <1C ．0≤k ≤1D ．0≤k <1图2解析：原方程即2sin(2x ＋π6)＝k ＋1，sin(2x ＋π6)＝k ＋12.由0≤x ≤π2，得π6≤2x ＋π6≤7π6， y ＝sin(2x ＋π6)在x ∈[0，π2]上的图象形状如图2.故当12≤k ＋12<1时，方程有两个不同的根，即0≤k <1. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分) 13．sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是__________．解析：解法1：sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin30°＝12.解法2：sin14°cos16°＋sin76°cos74° ＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12.答案：1214．设x ∈(0，π2)，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin2x 的最小值为________．解析：∵y ＝2sin 2x ＋1sin2x ＝2－cos2xsin2x＝k ，取A (0,2)，B (－sin2x ，cos2x )，则k 表示过A 、B 两点直线的斜率，而B 在方程x 2＋y 2＝1的左半圆上，作图(略)，易知k min ＝tan60°＝ 3.答案： 315．已知函数f (x )＝sin(x －π3)＋3cos(x －π3)，g (x )＝3f (π2－x )，直线x ＝m 与f (x )和g (x )的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为__________．解析：f (x )＝2sin(x －π3＋π3)＝2sin x ，g (x )＝3f (π2x )＝3·2sin(π2－x )＝23cos x ，f (x )－g (x )＝2sin x －23cos x ＝4sin(x －π3)故|MN |的最大值为4. 答案：416．给出下列命题：①若{a n }成等比数列，S n 是前n 项和，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列；②已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为π2y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④函数y ＝2sin(2x －π6)的图象的一个对称点是(π12，0)；其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：当q ＝－1时，S 4＝S 8＝S 12＝0，∴①错． ∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴2sin(－ωx ＋θ)＝2sin(ωx ＋θ)，∴cos θ＝0.∴θ＝π2.∵|x 2－x 1|的最小值为π，周期为2π，ω＝±1.∴②错．答案：③④三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)求2cos5°－sin25°cos25°的值．解：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos5°－sin(30°－5°)cos25°＝2cos5°－12cos5°＋32sin5°cos25°＝32cos5°＋32sin5°cos25°＝3(32cos5°＋12sin5°)cos25°＝3cos(30°－5°)cos25°＝ 3.18．(12分)(2009·广西南宁模拟)已知函数f (x )＝3sin4x cos2x ＋a sin 2x 在x ＝π6时取得最大值．(1)求函数f (x )的定义域； (2)求实数a 的值．解：(1)∵cos2x ≠0，∴2x ≠kπ＋π2(k ∈Z )，∴f (x )的定义域为{x |x ≠12kπ＋π4，k ∈Z }．(2)∵f (x )＝3sin4x cos2x ＋a sin 2x ＝23sin2x ＋a2(1－cos2x )， ∴f (x )＝23sin2x －a 2cos2x ＋a 2≤(23)2＋(a 2)2＋a2.∵在x ＝π6时，f (x )取得最大值，则23sin π3－a 2cos π3＝12＋(a 2)2，∴3－a 4＝12＋a24，求得a ＝－4.19．(12分)已知向量m ＝(cos x 2，cos x 2，n ＝(cos x 2，sin x2)，且x ∈[0，π]，令函数f (x )＝2a m ·n＋b .(1)当a ＝1时，求f (x )的递增区间；(2)当a <0时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b .解：(1)m ·n ＝cos 2x 2＋sin x 2cos x 2＝1＋cos x 2＋12sin x .∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＋a ＋b ＝2a sin(x ＋π4)＋a ＋b .当a ＝1时，f (x )＝2sin(x ＋π4)＋b ＋1.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π4∈[π4，54π]，由π4≤x ＋π4≤π2，得0≤x ≤π4.∴f (x )的递增区间是[0，π4]．(2)当a <0时，f (x )＝2a sin(x ＋π4)＋a ＋b .易知sin(x ＋π4)∈[－22，1]，∴f (x )∈[(2＋1)a ＋b ，b ]．则⎩⎨⎧ (2＋1)a ＋b ＝3b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝1－2b ＝4.20．(12分)(2009·江苏南京模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋ 23sin x cos x .(1)求函数f (x )在[－π6，π3]上的值域；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos2x ＋3sin2x＝2sin(2x ＋π6)＋1，∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin(2x ＋π6)≤1.∴0≤2sin(2x ＋π6)＋1≤3.∴f (x )在区间[－π6，π3]上的值域为[0,3]．(2)f (C )＝2sin(2C ＋π6)＋1＝2，sin(2C ＋π6)＝12，∵0<C <π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6.∴2C ＋π6＝5π6，即C ＝π3.∵2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3＋32.21．(12分)(2009·江西九校联考)已知函数f (x )＝m ·n ，其中m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx ,2sin ωx )，其中ω>0，若f (x )相邻两对称轴间的距离不小于π2.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝3，b ＋c ＝3，当ω最大时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin(2ωx ＋π6)．∵ω>0，∴函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝πω，由题意可知T 2≥π2，即T ≥π，解得0<ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}． (2)由(1)可知ω的最大值为1，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12.而π6<2A ＋π6<136π， ∴2A ＋π6＝56π，∴A ＝π3.由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－bc ＝3，又b ＋c ＝3，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝2，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32.22．(14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,0<ω<2，|φ|<π)的一系列对应值如下表：(1)(2)若对任意的实数a ，函数y ＝f (kx )(k >0)，x ∈(a ，a ＋2π3]的图象与直线y ＝1有且仅有两个不同的交点，又当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)依题意，T ＝2πω＝2[5π6－(－π6)]，∴ω＝1.又{ B ＋A ＝3B －A ＝－1，解得{ A ＝2 B ＝1 f (5π6)＝2sin(5π6＋φ)＋1＝3，|φ|<π2，解得φ＝－π3图3∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1为所求．(2)由已知条件可知，函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ＝3x －π3∈[－π3，2π3]而y ＝sin t 在[－π3，π2]上单调递增，在[π2，2π3]上单调递减，且sin π3＝sin 2π3＝32(如图3)，∴sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，方程f (x )＝m 恰有两个不同的解的充要条件是m ∈ [3＋1,3)．。

高中三角函数专题练习题附答案

高中三角函数专题练习题附答案一、填空题1．平面向量i a 满足：1(0,1,2,3)i a i ==，且310i i a ==∑．则012013023a a a a a a a a a ++++++++的取值范围为________．2．已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，3PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．3．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 4．已知()()()cos sin 30f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.5．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____． 6．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.7．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．8．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.9．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相．邻交点．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 10．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．二、单选题11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=12．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥13．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-14．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数15．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（）A ．212+B ．3C ．312+D ．216．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒17．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（） A ．125 B ．85C ．165D ．18518．设函数242,0()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．319．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5520．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（）A ．18B ．14C ．12D ．34三、解答题21．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小；（2）求BCD ∆面积的最大值.22．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.23．已知函数1()1xf x x-=+. （1）证明函数()f x 在(1,)-+∞上为减函数；（2）求函数ln (tan )y f x =的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在(,)42ππ，使得不等式(tan )tan 0f x a x +≤能成立，试求实数a 的取值范围.24．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.25．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由；（Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时，（ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少（ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少?26．已知函数()sin()0,04,||2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++><<< ⎪⎝⎭图象的一个最高点和最低点的坐标分别为5,2312π⎛+ ⎝和11,2312π⎛-⎝．（1）求()f x 的解析式；（2）若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3()2f x m ≤-，求m 的取值范围．27．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()sin cos 12g x x x af x =--.（1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值；（2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，求a 的取值范围.28．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且43sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 29．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．23,4⎡⎤⎣⎦2．28π 37 4．140325．③④627．12,1⎡⎤⎣⎦8．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭9．1或2##2或110．5+32二、单选题11．C 12．B 13．C 14．A 15．D 16．C 17．A 18．B 19．B20．D 三、解答题21．（1）23B π=；（21. 【解析】【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】（1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.22．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=，因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，故()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+，所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.23．（1）证明见解析；（2）,,44k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，奇函数；（3）(,3-∞-. 【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据奇偶性定义可判断函数的奇偶性. （3）令tan t x =，考虑101tat t-+<+在()1,+∞上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数a 的取值范围. 【详解】（1）11x ∀>-，21x ∀>-，12x x <，又()()()122212121211()()11112x x x x f x f x x x x x ----=-+-=+++，因为11x >-，21x >-，12x x <，故110x +>，210x +>，120x x -<，故12())0(f x f x ->即12()()f x f x >，所以函数()f x 在(1,)-+∞上为减函数. （2）((ln t )n )a y f x =的x 满足的不等关系有：1tan 01tan xx->+即()()1tan tan 10x x +-<，故tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩，解得,44k x k k Z ππππ-+<<+∈，故函数的定义域为,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，该定义域关于原点对称.令()((ln ta )n )F x f x = 又()()()tan tan tan()tan tan 11ln lnln 11x xx x xF x f -+--===--+()()()tan ln x f F x =-=-，故ln (tan )y f x =为奇函数.（3）令tan t x =，因为(,)42x ππ∈，故1u >.故在(,)42ππ上不等式(tan )tan 0f x a x +≤能成立即为存在1t >，使得101tat t-+≤+，所以()11t a t t -≤+在()1,+∞上能成立，令1s t =-，则0s >且()21121323t s t t s s s s-==+++++，由基本不等式有2s s+≥s 时等号成立，所以()131t t t -≤=-+，当且仅当1t 时等号成立，故()11t y t t -=+的最大值为3-，所以a的取值范围为(,3-∞-. 【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.24．(1)2a =,2b =-或2a =-,4b =函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】【分析】（1）先求得sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可；（2）由（1）()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则()2sin 224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进而判断单调性即可【详解】解:(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, ①当0a >时,由题意可得12a ab a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a =,2b =-； ②当0a <时,由题意可得221a a b a a b ⎧⎛⨯-++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =-,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-,4b =所以()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 25．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析；（Ⅱ）（ⅰ）6πθ=时，最大值5（ⅱ）6πθ=时，最大面积是334【解析】(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,再利用三角函数的性质求出结论;(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,所以()()2222222a b a b ab a b +≥++=+,所以()2222a b a b c +≤+, 所以ABC ∆的周长为)21222a b c c ++≤=,当且仅当a b =时等号成立,即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++22sin 24πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 因为02πα<<,所以3444πππα<+<, 所以当42ππα+=,即4πα=时, ABC ∆周长取得最大值222+,此时点C 是半圆的中点.(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p , 则p AD DC CB AB =+++2sin cos22AB AB θθ=++()2214sin 212sin 254sin 2θθθ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭,显然0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 121122s s s AC OD BC OE =+=⋅+⋅ 11sin 21cos 2sin 222AB AB θθθ=⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅()sin 21cos2θθ=+, 所以()222sin 21cos2s θθ=+()()221cos 21cos 2θθ=-+()()31cos21cos2θθ=-+()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()2231cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()431cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 413273216⎛⎫==⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1cos 22θ=时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以此时6πθ=,所以当6πθ=时,s =,即四边形ABCD【点睛】本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.26．(1) ()2sin(2)3f x x π=-[22]-，【解析】【分析】（1）根据题意得到()21T k Z k π=∈+，42k ω=+所以2ω=，再代入数据计算得到，2A=b =3πϕ=-得到答案.（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦得到0()2f x ≤≤+202m m +≥⎧⎪⎨+⎪⎩. 【详解】（1）由题意得1151()12122k T ππ-=+，则()21T k Z k π=∈+．又2T πω=，则42k ω=+，因为04ω<<，所以2ω=．2A ==,b ==因为()f x的图象经过点5(,212π，所以52sin(2)212πϕ⨯+=+所以23k πϕπ=-+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-．故()2sin(2)3f x x π=-+（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦从而,0()2f x ≤≤+()2f x m ≤-≤，所以()2m f x m +≤≤+．要使得存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m -≤，则202m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩解得22m -≤≤．故m 的取值范围为[22]-，．【点睛】本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键. 27．（1）4π（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b 的最大值；（2）令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在⎡⎣的零点问题，分类讨论即可求出答案. 【详解】解：（1）由πππ2π2π242k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增，令0k =，得3ππ44x -≤≤时()f x 单调递增，所以π43π4b b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π.（2）()()sin cos 1g x x x x =--()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-，设πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣.它的图形如图所示.又()()2211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=+-=-⎣⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，2t ⎡∈⎣，令()21122h t t at =-+-，则函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内最多一个零点.①当0为()h t 的零点时，102-=显然不成立； ②2()h t 3202a -=，得324a =324a =211022t at -+-=中，得21321022t --=，解得12t =，22t =，不符合题意. ③当零点在区间(2时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =，由24t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知不符合题意；若210a ∆=->，即1a >，设211022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内恰有一个零点，则一个根在()0,1内，另一个根在()2,+∞内，所以()()102000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩解得32a > 综上，a 的取值范围为32⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题. 28．（1）3(；（21334 【解析】【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)13x π<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin cos()cos sin()x x A x x A =-+- sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值，所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c ．又sin sin B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．29．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可. 【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+ 其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴=()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m =()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题. 30．(Ⅰ)3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-= ∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。

高三数学三角函数试题答案及解析

高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.已知向量，设函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，.（2）根据两角和的正弦公式，求得，利用三角形的面积，解得，结合,由余弦定理得从而得解.试题解析：（1）由题意得3分令,解得：，，，或所以函数在上的单调递增区间为， 6分（2）由得：化简得：又因为，解得： 9分由题意知：，解得，又,所以故所求边的长为. 12分【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用.6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，得，函数关于对称，所以，，又因为，解得，故选B.【考点】的图像和性质7.已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，所以从而.将各选项代入验证可知选【考点】1、三角函数的周期；2、函数图象的变换8.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性9.在中，（1）求角B的大小;（2）求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由正弦定理实现边角互化，再利用两角和与差的正余弦公式化简为,再求角的值；（2）二倍角公式降幂扩角，两角差余弦公式展开，同时注意隐含条件，即可化为一角一函数，再结合求其值域.求解时一定借助函数图象找其最低点与最高点的纵坐标.试题解析：(1）由已知得：，即∴∴ 5分（2）由（1）得：，故+又∴所以的取值范围是. 12分【考点】1.正余弦定理；2.三角函数值域；3.二倍角公式与两角和与差的正余弦公式.10.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.11.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。

2023届广东省广州市仲元中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)

2023届广东省广州市仲元中学高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}4A x x =∈<N ，{}2B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2x x ≤D ．{}02x x ≤≤【答案】B【分析】阴影区域表示属于集合A 但不属于集合B 的元素的集合. 【详解】{}{}40,1,2,3A x x =∈<=N ，图中阴影部分表示的集合为{}{},0,1,2x x A x B ∈∉=. 故选：B.2．若13i z =-，则1zzz =-（） A ．13i - B ．13i -C ．133-+D ．133-【答案】C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =-=--=+= 13i 1313z zz -+==-+- 故选：C3．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64B ．96C ．128D ．160【答案】C【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，求得48d =-，得到3192a =，结合党旗长与宽之比都相等和1192b =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，设公差为d ，因为1288a =，596=a ，可得519628848513a a d --===--，可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=，又由长与宽之比都相等，且1192b =，可得3113a ab b =，所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==. 故选：C.4．已知直线:0l x y +=与双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>无公共交点，则双曲线C 离心率e 的取值范围为（）． A ．(1,3⎤⎦ B ．)3,⎡+∞⎣C ．(1,2⎤⎦D ．)2,⎡+∞⎣【答案】C【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果. 【详解】由题意得，:0l x y +=的斜率为1-，而()2222:1,0x y C a b a b-=>的渐近线为b y x a =±，由于直线l 与双曲线C 没有公共交点，如图，所以1b a -≥-，即1b a ≤，故2221c a a -≤，即2211c a -≤，所以22e ≤，故12e <≤，即(1,2e ⎤∈⎦. 故选：C.5．在ABC 中，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是（） A ．O 是ABC 的外心 B ．O 是ABC 的内心 C ．O 是ABC 的重心. D ．O 是ABC 的垂心【答案】D【分析】首先利用数量积的运算公式变形，判断选项. 【详解】∵OA OB OB OC ⋅=⋅，∴()0OB OA OC ⋅-=，∴0OB CA ⋅=，∴OB CA ⊥，同理由OA OB OC OA ⋅=⋅，得到OA BC ⊥， ∴点O 是ABC 的三条高的交点. 故选：D6．若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（）． A ．a b c d <<< B ．a c b d <<< C ．b c d a <<< D ．a d b c <<<【答案】A【分析】利用介值法分别与0,1比较大小，然后再利用作差法比较,b c 的大小. 【详解】由题意，0.01sin 40,e 1a d =<=>，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而 ()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c ⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【点睛】指对数比较大小时，一般采用介值法，通过分别和0,1比较大小判断，当遇到同一范围内的数时，可以通过作差或者作商的办法比较两数大小关系.7．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为34；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为（）A ．34B ．58C ．716D ．916【答案】B【分析】记事件A 为“第1球投进”，事件B 为“第2球投进”，由全概率公式可求得结果. 【详解】记事件A 为“第1球投进”，事件B 为“第2球投进”， ()34P B A =，()14P B A =，()34P A =，由全概率公式可得()()()()()22315448P B P A P B A P A P B A ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第1球与第2球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.8．已知菱形ABCD 的边长为2，且60DAB ∠=，沿BD 把ABD △折起，得到三棱锥A BCD '-，且二面角A BD C '--的平面角为60°，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（）． A ．13π9B ．52π9C ．3π5D ．2π3【答案】B【分析】取BD 的中点H ，连接,A H CH ',由此确定三棱锥外接球球心的位置，进而求得外接球半径，即可求得答案.【详解】取BD 的中点H ，连接,A H CH '，因为ABCD 为菱形，所以,A H BD CH BD '⊥⊥, 故A HC '∠ 为二面角A BD C '--的平面角，则'60A HC ∠=︒，由题意可知,A BD BCD '△△为正三角形，则外接球球心位于过,A BD BCD '△△的中心且和它们所在面垂直的直线上，故分别取,A BD BCD '△△的重心为12,G G ，过点1G ，2G 分别作两个平面的垂线，交于点O ，点O 即为三棱椎的外接球的球心，由题意可知A BD '≌BCD △，球心到面A BD '和面BCD 的距离相等，即12OG OG = , 连接,OD OH ，则1230OHG OHG ∠=∠=,菱形ABCD 的边长为2 1133132323cos3033HG HG OH ∴====， 2222213139OD OH HD ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭，即三棱锥A BCD '-的外接球的半径13R =则其外接球的表面积为21352π4π4π99R =⨯=，故选：B ．二、多选题9．已知一组样本数据2115,x x x ，...,，其中()21,2,,15i x i i ==，由这组数据得到另一组新的样本数据1y ，2y ，…，15y ，其中20i i y x =-，则（）． A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本方差相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5 【答案】BC【分析】根据平均数、方差和百分位数的概念与性质分析运算. 【详解】由题意可得：816x x ==∵20i i y x =-，则204y x =-=-，22y x s s =，故A 错误，B 正确．第30百分位数：150.3 4.5⨯=，故为第5个数．i y 的排列为：18-，16-，14-，12-，10-，……因此，第30百分位数为10-，C 正确；新样本的平均数为1515630x y+=，D 错误．故选：BC.10．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-【答案】ACD【分析】先由图像求函数解析式，再逐一研究性质即可. 【详解】从图象可以看出，2A =，318844T πππ-==，因为0>ω，所以2ππω=，解得2ω=，将点,28π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得2sin 24πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，其中2πϕ<，解得4πϕ=，所以()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；易得()2sin 8g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()28g π-=-，所以B 错误；因为()08g π=，所以C 正确；因为()()2sin 22sin 448f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=++-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且33488f g ππ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()()f x g x +的最小值为4-，D 正确. 故选：ACD.11．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则（）． A ．该棱台的高为2 B ．该棱台的表面积为16123+ C ．该棱台的体积为282 D ．该棱台外接球的体积为4010π3【答案】AD【分析】根据正四棱台的结构特征可求得高，判断A;求得每个面面积即可求得四棱台表面积，判断B;利用棱台体积公式求得体积，判断C;求出四棱台外接球的半径，即可求得该棱台外接球的体积，判断D.【详解】由题意可知22AC =，11A C 42=，所以正四棱台的高224222222h ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭A 正确；正四棱台的侧面为等腰梯形，故斜高h '==所以正四棱台的侧面积为()14242⨯⨯+4，16，即正四棱台的表面积41620S =++=+B 错误；正四棱台的体积()14163V ==C 错误；设该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，点O 到上底面的距离为x ，所以()222222R x R x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得=R所以该棱台外接球的体积为34π3⨯=，D 正确，故选：AD ．12．过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（） A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值 B ．直线P 1P 2的斜率为定值 C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1] 【答案】ABC【分析】A.由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，讨论12,P P 的位置，即可判断；B.由两点12,P P 的坐标，表示直线12PP 的斜率，即可判断；C.分别求切线方程，并表示点,A B 的坐标，即可求线段AB 的长度；D.根据切线方程，求交点P 的横坐标，因为AB 为定值，即转化为求点P 的横坐标的取值范围.【详解】因为ln ,01ln ln ,1x x y x x x -<<⎧==⎨≥⎩，所以，当01x <<时，1y x '=-；当1≥x 时，1y x'=，不妨设点1P ，2P 的横坐标分别为12,x x ，且12x x <，若1201x x <<≤时，直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =-，221k x =-，此时121210k k x x =>，不合题意；若211x x >≥时，则直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =，221k x =，此时121210k k x x =>，不合题意.所以1201x x <≤<或1201x x <<≤，则111k x =-，221k x =，由题意可得121211k k x x =-=-，可得121=x x ，若11x =，则21x =；若21x =，则11x =，不合题意，所以1201x x <<<，选项A 对；对于选项B ，易知点()111,ln P x x -，()222,ln P x x ，所以，直线12PP 的斜率为()1212212121ln ln ln 0P P x x x x k x x x x +===--，选项B 对；对于选项C ，直线1l 的方程为()1111ln y x x x x +=--，令0x =可得11ln y x =-，即点10,1ln A x ，直线2l 的方程为()2221ln y x x x x -=-，令0x =可得21ln 1ln 1y x x =-=--，即点()10,ln 1B x --，所以，()()111ln 1ln 2AB x x =----=，选项C 对；对于选项D ，联立112211ln {1ln 1y x x x y x x x =-+-=+-可得1212121221P x x xx x x x ==++，令()221x f x x =+，其中()0,1∈x ，则()()()2222101x f x x -'=>+，所以，函数()f x 在0,1上单调递增，则当()0,1∈x 时，()()0,1f x ∈，所以，()121210,121ABP P x S AB x x =⋅=∈+△，选项D 错. 故选：ABC.三、填空题13．已知θ为三角形的内角，且2sin 2sin θθ=，则()sin 1cos 2sin cos θθθθ-=+___________.【答案】1615【分析】根据二倍角公式可由2sin 2sin θθ=得tan 2θ=，再将()sin 1cos 2sin cos θθθθ-+化成齐次式即可解出．【详解】由2sin 2sin θθ=，可得tan 2θ=，故()222222sin 1cos 2tan 4sin 4tan 162sin sin cos tan 13sin cos 3tan 115θθθθθθθθθθθθ-=⋅=⋅=⋅=++++. 故答案为：1615．14．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______. 【答案】30【分析】25()x x y ++ 表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，即可算出答案.【详解】25()x x y ++ 表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，故含52x y 的项系数是21253230C C C ⋅⋅=故答案为：30【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.15．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心.若△ABC 为等边三角形，则a 的值为________.【答案】【解析】将圆的一般方程化为标准方程，然后根据△ABC 的形状，得到圆心到直线的距离，然后根据点到直线的距离公式求解出a 的可取值.【详解】根据题意，圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0即x 2＋(y －3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离3cos302d r =︒=，则有32=，解得a =故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过三角形的形状确定出圆心到直线的距离，从而根据点到直线的距离公式完成求解.16．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】法一：依题可知，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x -∞()2,x +∞，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，()0f x '>，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln xy a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e x f x a a x '=⋅-=0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex '==-，则()()2g 2ln 2x x a a e '=-，若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0-,x ∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，令()0g 0x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln x e f x a a ex ex a ⎛⎫'=-=-> ⎪⎝⎭，即001ln 1ln x x a a <>，故()002ln ln ln1ln x ea x a a ==>，所以11ea <<.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．四、解答题17．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分別为a 、b 、c ，且)()cos cos bA C c aB -=-.(1)求B ；(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题. 若5a =，3c =，O 为ABC 的___________，求OAC 的面积. 注：如果选择多个条件分別解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)2π3(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出1sin 62πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）选①，分析可得13OAC ABC S S =△△，结合三角形的面积公式可求得结果；选②，利用余弦定理求出b ，利用等面积法求出ABC 的内切圆半径，再利用三角形的面积公式可求得结果；选③，利用余弦定理求出b 的值，由正弦定理求出ABC 的外接圆半径，求出AOC ∠，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】(1)解：()()3sin cos cos b A C c a B -=-，)()sin cos sin sin cos BA C C AB ∴-=-，()sin sin sin cos A B B C A B =+-sin sin sin cos A B A A B =-， ()0,πA ∈，则sin 0A >，cos 1B B +=，即有2sin 16πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin 62πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πB <<，则ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π5π66B ∴+=，解得2π3B =. (2)解：若选①，连接BO 并延长交AC 边于点D ，因为O 为ABC 的重心，所以，D 为AC 的中点，且13OD BD =，所以点O 到AC 的距离等于点B 到AC 的距离的13，所以，111353sin 5336624OAC ABC S S ac B ===⨯⨯⨯=△△；若选②，由余弦定理可得222π2cos73b ac ac =+-=，若O 为ABC 的内心，设ABC 的内切圆的半径为r ，则()11sin 22ABC S ac B r a b c ==++△，则sin 32ac B r a b c ==++，因此，17324OAC S br ==△；若选③，若O 为ABC 的外心，设ABC 的外接圆半径为R ，由余弦定理可得222π2cos 73b ac ac =+-=，则732π32sin 3b R ==，在优弧AD 上任取一点E ，则2πππ33AEC ∠=-=，则2π23AOC AEC ∠=∠=，因此，212π493sin 23OACS R ==△18．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，111n n n n na S S S S --==*N n ∈且2n ≥）. (1)求证：数列{}n S 是等差数列，并求{}n a 的通项公式： (2)当,2n n ∈≥*N 时，求证：2222311111114n a a a +++<---. 【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）利用n S 和n a 的关系即可得到结果；（2）利用裂项相消法，即可证明不等式. 【详解】(1)=（*N n ∈且2n ≥），n a ∴∴当2n ≥时，1n n S S --∴=又0n a >0>，()12n ≥，∴数列1=为首项，公差为1的等差数列，()111n n =+-⨯=，所以2n S n =.∴当2n ≥时，121n a n n n =+-=-，又11a =满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(2)当2n ≥时，221111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭，故22211111111111111141223144n a a n n n ⎛⎫⎛⎫++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 所以对*N ,2n n ∈≥，都有222111114n a a ++<--. 19．如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O AB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC .(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 230【分析】（1）取AC 中点M ，四边形12PO O M 为平行四边形，从而得到12//PM O O ，根据12O O ⊥平面ABC 可得PM ⊥平面ABC ，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO 及平面PBC 的法向量后可求线面角的正弦值.【详解】(1)取AC 中点M ，由题意，121,2PO BC AB ===，又1//PO BC ，故1111//,22PO BC PO BC =.又2211//,22O M BC O M BC =，故1212//,PO O M PO O M =，所以四边形12PO O M 为平行四边形，则12//PM O O . 由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC .(2)以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：())()()1222,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,2A BC P O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故()12,0,2.AO =设平面PBC 的法向量(),,n x y z =而()222,2,0,22BC CP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故220222022n BC x y n CP x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得()2,2,1.n =设所求角的大小为θ，则11122230sin cos ,1565AO n AO n AO nθ⋅+====⋅⋅. 所以直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.20．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：大学A 大学B 大学C 大学D 大学 2022年毕业人数x （千人） 7 6 5 4 2022年考研人数y （千人） 0.50.40.30.2(1)已知y 与x 具有较强的线性相关关系，求：y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； (2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额： ②若A 大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分別为p ，31p -，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p 的取值范围．参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】(1)0.10.2y x =-(2)① 300（万元）；②15,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用参考公式分别求出ˆb与ˆa ，代入即可求得y bx a =+；（2）对于①，利用（1）中的y bx a =+代入估计得选择考研的人数，即可求得结果；对于②，先设小浙与小江两人中选择考研的的人数为X ，求出其数学期望()E X ，进而求得考研补贴的数学期望()0.5E X ，计算()0.50.75E X ≤，结合0311p ≤-≤即可求得结果. 【详解】(1)由题意得45675.54x +++==，0.20.30.40.50.354y +++==，又4170.560.450.340.28.2i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，∴4148.24 5.50.350.5i i i x y x y =-=-⨯⨯=∑∵42222217654126ii x ==+++=∑，∴4222141264 5.55i i x x =-=-⨯=∑，∴41422140.5ˆ0.154i ii ii x yx y bxx==-===-∑∑，所以ˆˆ0.350.1 5.50.2a y bx =-=-⨯=-，故得y 关于x 的线性回归方程为0.10.2y x =-． (2)①将8x =代入0.10.20.180.20.6y x =-=⨯-=，估计该省要发放补贴的总金额为0.610000.5300⨯⨯＝（万元） ②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X ，则X 的所有可能值为0，1，2；()()()20123352P X p p p p ==--=-+，()()()()2113123661P X p p p p p p ==--+-=-+-， ()()22313P X p p p p ==-=-，∴()()()()222035266113241E X p p p p p p p =⨯-++-+-⨯+-⨯=-， ∴()()0.50.5410.75E X p =⨯-≤，解得58p ≤，又0311p ≤-≤，∴1233p ≤≤，∴1538p ≤≤，故p 的取值范围为15,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF F B λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=；（2）6.【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值.【详解】解析：（1）由题意，得222221149141b e a a b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=，12122269,3434my y y y m m +==-++，因为11AF F B QA QB λλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m ==-+．于是1F Q = 直线2l 的方程为：11x y m=-- 联立111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，，所以1PF = 所以()12113111362PQF m SFQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1m =±时，()1min6PQF S=．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题.22．已知函数()()223xf x x x e =-，()lng x a x =，其中a e ≤．(1)求()f x 的最小值；(2)记()f x '为()f x 的导函数，设函数()()()23f x h xg x x '=-+有且只有一个零点，求a 的取值范围．【答案】(1)min ()e f x =- (2){0}{e}aa ≤⋃∣【分析】（1）求导，分析导函数正负，结合极值和单调性分析即得解；（2）求导，分0a ≤，0e a <<，a e =分析单调性，结合极值点，边界情况，分析即得解【详解】(1)由题得()()3212xf x x x e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，令()0f x '=，得123,12x x =-=，所以，当3,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数f (x )单调递增，当3,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数f (x )单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，，函数f (x )单调递增，所以1x =是f (x )的极小值点；又当0x <时，()0f x >，当302x <<时，()0f x <，当32x >时，()0f x >，所以f (x )只能在30,2⎛⎫⎪⎝⎭内取得最小值，因为1x =是f (x )在（0，32）内的极小值点，也是最小值点，所以min ()(1)e f x f ==-．(2)由题得()(1)e ln ,0x h x x a x x =-->，因为(1)0h =且函数h (x )有且仅有1个零点，故这个零点为1，且2e ()e x xa x ah x x x x-=-='；①当0a ≤时，()0h x '>，函数h (x )在（0，＋∞）上单调递增，且(1)0h =，所以符合函数h (x )有且仅有1个零点，且这个零点为1； ②当0e a <<时，令2()e ,(0)x m x x a x =->， ()22()2e e 2e 0x x x m x x x x x ='+=+>，所以在（0，＋∞）上，函数m (x )单调递增，因为(0)0,(1)e 0m a m a =-=-><，所以0(0,1)x ∃∈，使得()00m x =，即020e xx a =所以在()00,x 上()0m x <，即()0h x '<，所以h (x )单调递减；在()0,1x 上()0m x >，因为0e a <<，所以在[1，＋∞）上也有()0m x >，所以在()0,x +∞上()0m x >，即()0h x '>，所以h (x )单调递增，所以()()00022min 00000020011()1e e ln e ln x x x h x h x x x x x x x x ⎛⎫==--=-+- ⎪⎝⎭令211()ln (01)t x x x x x=+-<<，则32121121()110t x x x x x x x '⎛⎫⎛⎫=-+=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以t (x )在区间（0，1）上单调递减，所以()(1)0t x t >=，第 21 页共 21 页所以020011ln 0x x x +->，即()00h x <，因为0e a <<且a 为常数，显然当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以函数h (x )在区间()00,x 和()0,x +∞上各有一个零点；③当a e =时，()(1)e eln ,0x h x x x x =-->，所以2e e e ()e x xx h x x x x -=-='，令2()e e,(0)x n x x x =->，所以()22()2e e 2e 0x x x n x x x x x ='+=+>，所以在(0,)+∞上，()n x 单调递增，因为(1)e e 0n =-=，故在(0,1)上()0n x <，即()0h x '<，所以在区间（0，1）上h (x )单调递减，在(1,)+∞上()0n x >，即()0h x '>，所以在区间（1，＋∞）上h (x )单调递增，所以min ()(1)0h x h ==，符合题意，故所求a 的取值范围是{0}{e}aa ≤⋃∣．。

高中三角函数专题练习题附答案

高中三角函数专题练习题附答案一、填空题1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.3．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________4．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解； ④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．5．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1C B c b a+=，则A 的取值范围是___________. 6．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.7．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin 7θ=，||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.8．已知平面四边形ABCD 的面积为36，4AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则cos()A C +=___________.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.10．△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++++的值为_____________.二、单选题11．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，则cos A 的最小值为（）A 2B 7C 7D ．3412．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．其中所有正确结论的序号是（） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（）A ．3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．30,2⎛⎤⎥ ⎝⎦ C ．12,22⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭14．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（）A ．13B ．12C ．32D ．3315．已知02πθ<<，()()cos 1sin 110sin cos f m m m θθθθθ--⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,3D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．已知函数()()()sin 010f x x ωϕω=+<<，若存在实数1x 、2x ，使得()()122f x f x -=，且12x x π-=，则ω的最大值为（） A ．9B ．8C ．7D ．517．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大18．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,33A a π=2b 2c bc ++的取值范围为（） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9]D ．(7，9]19．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π20．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.22．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.23．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若32PC =，求PA ；（2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S .24．将函数()sin 2g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），再向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.25．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合. 26．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .27．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．28．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.29．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-．（1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围． 30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示（1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间；（3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．7 21282π3．12(,)369-4．①②④．5．(0,]3π6．4242[ 7．25 8．710##0.7 9．71a 或4a10．4 二、单选题 11．C 12．B 13．A14．C 15．A 16．A 17．C 18．D 19．C 20．C 三、解答题21．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为在区间0上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述：当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.22．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】【分析】（1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.23．（12 【解析】【分析】（1）求出12BP ==，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得tan α=，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP =，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==；（2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭，在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α，在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan α=sin PB α==ABP ∆的面积11sin 22S AB PB α=⋅==.【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.24．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x = ③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题.25．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；（3）运用正弦函数图像，即可求解. 【详解】解：()sin cos cos sincoscos sinsin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++11cos cos cos 22x x x x x a =-+++cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-. （2）由22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得222,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以722,666k x k k Z πππππ-+<+<+∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈，所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题. 26．见解析【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长；【详解】解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC == 选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=，又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ== 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力. 27．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+-()2sin(2)36f x x π∴=+-由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+-1sin(2)16x π-≤+≤当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤-则有234a --=- 解得12a =当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤--则有234a -=-解得12a =-综上 12a ∴=或12a =-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．28．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围. 29．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可．【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数，2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2Tπω，求出ω，然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π，得T =π，即22πω=2，得ω=1，又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2，得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2k π，即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π，∴当k =0时，φ=6π，即A =2，ω=1，φ=6π；（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin 6π=2×12=1，∵f （x ）=2sin （2x +6π），∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π，∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住：两对称轴之间的距离为半个周期；相邻对称轴心之间的距离为半个周期；相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期．关于正弦函数单调区间要掌握：当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。

高三数学三角函数试题答案及解析

高三数学三角函数试题答案及解析1.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值2.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.3.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性4.在锐角中，，，则的值等于；的取值范围为 .【答案】；【解析】，所以，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，则，且，即，则有，且有，所以，故有，，所以，即，故的取值范围为.【考点】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围5.已知是第二象限角,，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知是第二象限角,，所以，故选B.【考点】同角三角函数基本关系式.6.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．7.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，，而，，所以坐标变换公式为，. 故选D.【考点】均匀随机数的意义与简单应用.8.已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的最大值为C．函数在区间上是增函数D．函数的最小正周期为【答案】C【解析】令得错误；函数的最大值为，故错误；函数的最小正周期为，故错误；当时，，故函数在区间上是增函数，所以选．【考点】考查三角函数的图像及其性质．9.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(三角函数)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，则sin α等于( )A.66xB.66C.306x D ．－66 解析：r ＝x 2＋2，∵cos α＝36x ，∴x x 2＋2＝3x6，∴x 2＋2＝12， ∴sin α＝y r ＝－212＝－66.答案：D2．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A >0，tan A －sin A <0，则角A 的取值范围是( )A ．(0，π4)B ．(π4，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)解析：由tan A <sin A 可知A 为钝角，又sin A ＋cos A >0，结合单位圆可知A ∈(π2，3π4)．答案：C3．已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.12 B ．－12 C ．－14 D ．±12解析：∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α，即cos α－sin α<0，∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴cos α－sin α＝－12.答案：B4．已知2sin 2α－sin αcos α＋5cos 2α＝3，则tan α的值是( ) A ．1 B ．－2 C ．1或－2 D ．－1或2解析：由2sin 2α－sin αcos α＋5cos 2α＝3，得sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，即tan 2α＋tan α－2＝0，解之得tan α＝1或tan α＝－2. 答案：C5．将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数为y ＝cos x ，则f (x )为( )A ．y ＝cos(2x ＋π3)B ．y ＝cos(2x －π3)C ．y ＝cos(2x ＋23π)D ．y ＝cos(2x －23π)解析：y ＝cos xy ＝cos2xy ＝cos2(x ＋π3)．答案：C6．若α∈[52π，72π]，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：原式＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2＝|sin α2＋cos α2|＋|sin α2－cos α2|.∵α∈[5π2，7π2]，∴α2∈[5π4，7π4]，当α2∈[5π4，3π2]时，sin α2≤cos α2≤0，原式＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2，当α2∈[3π2，7π4]时，sin α2<0，cos α2≥0. 且|sin α2|≥|cos α2|，∴原式＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.综上，原式＝－2sin α2.答案：D7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ≤π2)，且此函数的图象如图1所示，由点P (ω，φ)的坐标是( )A ．(2，π2)B ．(2，π4)C ．(4，π2)D ．(4，π4)解析：由图象可得函数的周期T ＝2×(7π8－3π8)＝π＝2πω，得ω＝2，将(3π8，0)代入y ＝sin(2x＋φ)可得sin(3π4＋φ)＝0，由0<φ≤π2可得φ＝π4，∴点(ω，φ)的坐标是(2，π4)，故选B.答案：B8．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)．∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3.∴12≤sin(x ＋π6)≤1.∴1≤f (x )≤2. 答案：B9．若定义在R 上的函数f (x )满足f (π3＋x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝2sin 13xB ．f (x )＝2sin3xC ．f (x )＝2cos 13x D ．f (x )＝2cos3x解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴排除A 、B.又∵f (π3＋x )＝－f (x )，∴f (x )是周期为23π的函数，∴选D. 答案：D10．(2010·黄冈质检)已知函数f (x )＝πsin x4，如果存在实数x 1、x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．π解析：由题意得函数f (x )在x ＝x 1、x ＝x 2处取得最小值与最大值，结合图象可知|x 1－x 2|的最小值恰好等于该函数的半个周期，即等于12×2π14＝4π，选B.答案：B11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点(0，12)B ．f (x )的图象在[512π，23π]上是减函数C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(512π，0)解析：∵T ＝π，∴ω＝2，又2·23π＋φ＝kπ＋π2∴φ＝kπ＋π2－4π3当k ＝1时，φ＝π6，验证知选D.答案：D12．若在x ∈[0，π2]内有两个不同的实数值满足等式cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则k 的取值范围是( )A ．－2≤k ≤1B ．－2≤k <1C ．0≤k ≤1D ．0≤k <1解析：原方程即2sin(2x ＋π6)＝k ＋1，sin(2x ＋π6)＝k ＋12.由0≤x ≤π2，得π6≤2x ＋π6≤7π6， y ＝sin(2x ＋π6)在x ∈[0，π2]上的图象形状如图2.故当12≤k ＋12<1时，方程有两个不同的根，即0≤k <1. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分) 13．sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是__________．解析：解法1：sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin30°＝12.解法2：sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12.答案：1214．设x ∈(0，π2)，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin2x的最小值为________．解析：∵y ＝2sin 2x ＋1sin2x ＝2－cos2xsin2x＝k ，取A (0,2)，B (－sin2x ，cos2x )，则k 表示过A 、B两点直线的斜率，而B 在方程x 2＋y 2＝1的左半圆上，作图(略)，易知k min ＝tan60°＝ 3.答案： 315．已知函数f (x )＝sin(x －π3)＋3cos(x －π3)，g (x )＝3f (π2－x )，直线x ＝m 与f (x )和g (x )的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为__________．解析：f (x )＝2sin(x －π3＋π3)＝2sin x ，g (x )＝3f (π2－x )＝3·2sin(π2－x )＝23cos x ，f (x )－g (x )＝2sin x －23cos x ＝4sin(x －π3)故|MN |的最大值为4. 答案：416．给出下列命题：①若{a n }成等比数列，S n 是前n 项和，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列；②已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为π2；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④函数y ＝2sin(2x －π6)的图象的一个对称点是(π12，0)；其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：当q ＝－1时，S 4＝S 8＝S 12＝0，∴①错． ∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴2sin(－ωx ＋θ)＝2sin(ωx ＋θ)，∴cos θ＝0.∴θ＝π2.∵|x 2－x 1|的最小值为π，周期为2π，ω＝±1.∴②错．答案：③④三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)求2cos5°－sin25°cos25°的值．解：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos5°－sin(30°－5°)cos25°＝2cos5°－12cos5°＋32sin5°cos25°＝32cos5°＋32sin5°cos25°＝3(32cos5°＋12sin5°)cos25°＝3cos(30°－5°)cos25°＝ 3.18．(12分)(2009·广西南宁模拟)已知函数f (x )＝3sin4x cos2x ＋a sin 2x 在x ＝π6时取得最大值．(1)求函数f (x )的定义域； (2)求实数a 的值．解：(1)∵cos2x ≠0，∴2x ≠kπ＋π2(k ∈Z )，∴f (x )的定义域为{x |x ≠12kπ＋π4，k ∈Z }．(2)∵f (x )＝3sin4x cos2x ＋a sin 2x ＝23sin2x ＋a2(1－cos2x )，∴f (x )＝23sin2x －a 2cos2x ＋a 2≤(23)2＋(a 2)2＋a2.∵在x ＝π6时，f (x )取得最大值，则23sin π3－a 2cos π3＝12＋(a 2)2，∴3－a 4＝12＋a 24，求得a ＝－4.19．(12分)已知向量m ＝(cos x 2，cos x 2)，n ＝(cos x 2，sin x2)，且x ∈[0，π]，令函数f (x )＝2a m ·n ＋b .(1)当a ＝1时，求f (x )的递增区间；(2)当a <0时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b .解：(1)m ·n ＝cos 2x 2＋sin x 2cos x 2＝1＋cos x 2＋12sin x .∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＋a ＋b ＝2a sin(x ＋π4)＋a ＋b .当a ＝1时，f (x )＝2sin(x ＋π4)＋b ＋1.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π4∈[π4，54π]，由π4≤x ＋π4≤π2，得0≤x ≤π4.∴f (x )的递增区间是[0，π4]．(2)当a <0时，f (x )＝2a sin(x ＋π4)＋a ＋b .易知sin(x ＋π4)∈[－22，1]，∴f (x )∈[(2＋1)a ＋b ，b ]．则⎩⎨⎧ (2＋1)a ＋b ＝3b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝1－2b ＝4.20．(12分)(2009·江苏南京模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x .(1)求函数f (x )在[－π6，π3]上的值域；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1，∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin(2x ＋π6)≤1.∴0≤2sin(2x ＋π6)＋1≤3.∴f (x )在区间[－π6，π3]上的值域为[0,3]．(2)f (C )＝2sin(2C ＋π6)＋1＝2，sin(2C ＋π6)＝12，∵0<C <π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6.∴2C ＋π6＝5π6，即C ＝π3.∵2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，tan A ＝sin Csin C －cos C＝sin π3sin π3－cos π3＝3＋32.21．(12分)(2009·江西九校联考)已知函数f (x )＝m ·n ，其中m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，若f (x )相邻两对称轴间的距离不小于π2.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝3，b ＋c ＝3，当ω最大时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin(2ωx ＋π6)．∵ω>0，∴函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝πω，由题意可知T 2≥π2，即T ≥π，解得0<ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}． (2)由(1)可知ω的最大值为1，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12.而π6<2A ＋π6<136π， ∴2A ＋π6＝56π，∴A ＝π3.由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－bc ＝3，又b ＋c ＝3，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝2，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32.22．(14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,0<ω<2，|φ|<π)的一系列对应值如下表：(1)(2)若对任意的实数a ，函数y ＝f (kx )(k >0)，x ∈(a ，a ＋2π3]的图象与直线y ＝1有且仅有两个不同的交点，又当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)依题意，T ＝2πω＝2[5π6－(－π6)]，∴ω＝1.又{ B ＋A ＝B －A ＝－1，解得{ A ＝B ＝1 f (5π6)＝2sin(5π6＋φ)＋1＝3，|φ|<π2，解得φ＝－π3∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1为所求．(2)由已知条件可知，函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ＝3x －π3∈[－π3，2π3]而y ＝sin t 在[－π3，π2]上单调递增，在[π2，2π3]上单调递减，且sin π3＝sin 2π3＝32(如图3)，∴sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，方程f (x )＝m 恰有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)．。