初中数学函数家教讲义
(完整)初二数学一次函数讲义
课题名称：一次函数 授课时间： 月 日 教学目标：了解一次函数与正比例函数的区别和联系；掌握一次函数的图象和性质教学重难点：掌握一次函数的图象和性质 知识点1、一次函数与正比例函数的概念一般地，形如 的函数，叫做正比例函数。
一般地，形如 的函数，叫做一次函数。
知识点2、一次函数与正比例函数的关系正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
一次函数当k 0,b 0时是正比例函数。
[例1]下列函数中是一次函数的是（ ）A.122-=x y B.x y 1-= C.31+=x yD.1232-+=x x y [例2]在函数y ＝3x －2，y ＝1x ＋3，y ＝－2x ，y ＝－x 2＋7是正比例函数的（ ）A 、0 个B 、1 个C 、2 个D 、3 个[例3]若函数23(m y m x -=＋m 是一次函数，则m 的值[例4]函数y =(m -2)1n x-+n 是正比例函数,m,n 应满足的条件是 ( ).A . m ≠2且n =0B . m =2且n =2C . m ≠2且n =2D . m =2且n =0针对练习：1.已知y ＝（k －3）2k x -＋2是一次函数，那么k 得值为（ ）A .±3B .3C .－3D .无法确定 2.若y ＝228m x -＋m －3是一次函数，则m 的值为（ ）A .±3B .3C .－3D .无法确定 知识点3、一次函数的图象和性质 1 形状一次函数的图象是一条 2 画法确定 个点就可以画一次函数图像。
一次函数与x 轴的交点坐标（ ,0），与y 轴的交点坐标(0, )，正比例函数的图象必经过两点分别是(0, )、(1, )。
3 性质（1）一次函数)0(≠+=k b kx y ，当k 0时，y 的值随x 值得增大而增大；当k 0时，y 的值随x 值得增大而减小。
一次函数 表达式 y=kx ＋b （k ≠0）k ＞0k ＜0图 象性 质b>0 b<0 b>0 b<0（2）正比例函数，当k 0时，图象经过一、三象限；当k 0时，图象经过二、四象限。
初二数学 家教资料 一次函数
一、函数定义一次函数：若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x 的一次函数。
其中x是自变量，y是因变量。
例题：（1）汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为s km，行驶的时间为t h，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示st/m 1 2 3 4 5s/km.（2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?(3)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位:kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位:cm）？习题：1. 一辆汽车的油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L)随行驶里程 x （km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．（1）写出表示 y 与 x 的函数的函数关系的式子，这样的式子叫做函数解析式．（2）汽车行驶200 km 时，油桶中还有多少汽油？2.一个三角形的底边长为 5 ，高 h 可以任意伸缩．写出面积Ｓ随 h•变化的解析式，并指出其中常量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值范围二、一次函数的表示方法1列表法 2解析式法： 3图象法：三、一次函数的图像画法①列表②描点③连线例题1：画出y=2x的图像例题2：画出一次函数y=2x+4的图象四、正比例函数1）解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） 2）必过点：（0，0）、（1，k ）3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.五．一次函数的性质1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)2）必过点：（0，b ）和（-k b，0）3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.练习题：1、判断正误:（1）一次函数是正比例函数； （ ） (2)正比例函数是一次函数； （ ）(3)x ＋2y ＝5是一次函数；（ ） (4)2y －x=0是正比例函数． （ ）（5）一次函数不一定是正比例函数。
九年级数学精讲班讲义
九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。
1. 定义。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。
- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。
- 配方法。
- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。
- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。
- 公式法。
- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。
- 因式分解法。
- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。
- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。
启航爱心家教其数学讲义
启航爱心家教数学讲义（七）第八课函数及其表示主要内容：⑴了解什么是函数，（2）学会用正确的方法表示函数。
【探究一】什么是函数？初中函数的定义：知识点一函数的定义：1.传统定义：设在某个变化过程中，由两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应的有唯一的y值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，他们描述的是变量之间的依赖关系2．近代定义：一般的，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，是对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.【探究二】观察下面3个函数，他们是相同的函数吗？（1）f（x）=x （2）f（x)=x²/x （3）f（x）=（√x）²知识点二函数三要素：从函数定义来看，一个函数涉及定义域，对应法则，值域三个要素.①定义域：自变量x的取值范围A②值域：函数值的集合｛f（x）|x∈A｝③对应法则：数集A与数集B之间确定的对应关系f.*注意：只有两个函数的定义域，对应法则都相同，这两个函数才是相同的函数【延伸训练】1.求函数的定义域（1）y=√（x-1）×√1-x （2）y=3÷[1-√（1-x）]2.求函数的值域(1)y=√x-1 (2)y=(5x-1)÷(4x+2)【探究三】初中我们接触过函数的三种表示方法：解析法，图像法和列表法。
我们一起来探究下面一道例题【例】某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）解答：解析法：列表法：笔记本数x钱数y图像法：（七）好的心态是成功的关键！。
初中数学函数家教讲义
初中数学函数家教讲义一、函数的基本概念及性质1.1 函数的定义我们先来了解函数的定义。
在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
简而言之，函数是一种规则，它将自变量的取值映射到因变量的取值上。
1.2 函数的符号表示函数通常用字母表示，常见的表示方法有f(x)、g(x)等。
其中，f代表函数的名称，x代表自变量，而f(x)则表示函数f对自变量x的取值。
1.3 定义域和值域接下来我们来介绍函数的定义域和值域。
定义域是指函数所有自变量的取值范围，它决定了函数的有效输入。
值域是指函数所有因变量的取值范围，它是函数的有效输出。
1.4 三种基本函数初中数学中常见的函数有三种：线性函数、二次函数和反比例函数。
二、线性函数2.1 线性函数的定义线性函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条直线。
线性函数的一般形式可以表示为：y = kx + b，其中k和b为常数，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。
2.2 线性函数的图像特点线性函数的图像具有以下特点：- 斜率k决定了直线的倾斜程度，k越大直线越陡峭，k越小直线越平缓。
- 截距b决定了直线与y轴的交点位置，当b为正数时，直线在y 轴上方交点；当b为负数时，直线在y轴下方交点。
三、二次函数3.1 二次函数的定义二次函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条抛物线。
二次函数的一般形式可以表示为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
3.2 二次函数的图像特点二次函数的图像具有以下特点：- 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)表示函数在顶点的取值。
四、反比例函数4.1 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条曲线。
反比例函数的一般形式可以表示为：y = k/x，其中k为常数。
4.2 反比例函数的图像特点反比例函数的图像具有以下特点：- 曲线与坐标轴不相交，称为渐近线。
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读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思
(1) 反比例函数及其图象 如果 y k (k是常数 , k 0) , 那么， y 是 x 的反比例函数。
x 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质 当 K>0 时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小； 当 K<0 时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大。 3. 待定系数法 先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法可 用待定系数法求一次函数、二次函数和反比例函数的解析式 考查重点与常见题型： 1. 考查正比例函数、反比例函数、一次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数 的图像，试题类型为选择题 3. 考查用待定系数法求正比例、反比例、一次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类 型有中档解答题和选拔性的综合题 4. 利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。
重要解题方法
1．用待定系数法求解析式（列方程 [ 组 ] 求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式
或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的 特点，寻找新的点的坐标。如下图： 2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次 k、 b;a 、b、c 的符号。
y X=2
(-1,5)
函数中的
o
x
1）二次函数及其图象 如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数， a≠0),那么， y 叫做 x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向
初二数学(秋季)讲义第10讲一次函数
无★代表普通高中、★代表重点高中、★★代表四大名校y=kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）叫做x 的一次函数,其中x 是自变量，y 是因变量。
正比例函数： 函数y=kx （k 为常数，且（k ≠0）），此时b=0， y 叫做x 的正比例函数。
2.函数的三种表示方法：列表法 图像法 解析式法 3.作一次函数的图像：列表，描点，连线（1）作正比例函数y ＝kx 的图像常取点（0，0）和（1，k ）；（2）作一次函数)0(≠+=b b kx y 的图像常取（b ,0）和（0,k b-）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。
4.一次函数y=kx+b 的图像和性质： y 随增大而_________随x 增大而_________例1．（1）下列函数关系中表示一次函数的有（ ）①12+=x y ②xy 1=③x x y -+=21④t s 60=⑤x y 25100-=A.1个B.2个C.3个D.4个 （2）已知3m22x )2m m (y -+=，如果y 是x 的正比例函数,则m 的值为( )A.2B.-2 C 2,-2 D.0初二数学（秋季）讲义 第十讲 一次函数变式练习1-1. 已知函数(1)3my m x =-+是一次函数，则m=＿＿＿变式练习1-2. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时， ①这个函数是一次函数？ ②这个函数为正比例函数？例2. 已知y 与x-3成正比例，且x=2时，y=7。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式 （2）当x=4时，求y 的值 （3）当y=4时，求x 的值变式练习2. 已知y-2与4x 成正比例，且当x=3时，y=6，写出y 与x 的函数关系式 。
例3．已知等腰三角形的周长为6，底边为y 表示，腰长为x（1）写出用x 表示y 的函数关系式 （2）在坐标系中画出函数图像(3)求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积;变式练习3. 在同一坐标系中作出， y=2x+1，x y 3=，的图像例4. 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
九年级数学专题讲座
九年级数学专题讲座一、函数专题1. 一次函数知识点回顾一次函数的表达式为公式（公式，公式为常数，公式）。
当公式时，函数为正比例函数公式。
一次函数的图象是一条直线，公式决定直线的倾斜程度（公式，直线从左到右上升；公式，直线从左到右下降），公式决定直线与公式轴的交点（公式）。
题目解析例：已知一次函数公式，求它的图象与公式轴、公式轴的交点坐标。
解：当公式时，公式，解得公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
当公式时，公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
2. 二次函数知识点回顾二次函数的表达式一般式为公式（公式，公式，公式为常数，公式）。
顶点式为公式（公式为顶点坐标）。
二次函数图象是抛物线，公式决定抛物线的开口方向（公式开口向上；公式开口向下），对称轴为公式（一般式）或公式（顶点式）。
题目解析例：求二次函数公式的顶点坐标和对称轴。
解：对于二次函数公式，其中公式，公式，公式。
对称轴公式。
把公式代入函数得公式，所以顶点坐标为公式。
3. 反比例函数知识点回顾反比例函数表达式为公式（公式为常数，公式）。
图象是双曲线。
当公式时，双曲线在一、三象限；当公式时，双曲线在二、四象限。
题目解析例：已知反比例函数公式，求当公式时公式的值，以及当公式时公式的值。
解：当公式时，公式。
当公式时，公式，解得公式。
二、几何专题1. 三角形知识点回顾三角形内角和为公式。
三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
题目解析例：在公式中，公式，公式，求公式的度数。
解：因为三角形内角和为公式，所以公式。
例：已知公式和公式，公式，公式，判断这两个三角形是否相似。
解：因为在公式和公式中，公式，公式，两角分别相等，所以公式。
2. 四边形知识点回顾平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
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初中数学函数辅导讲义
一次函数图象和性质
1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).
2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（k b
-，0）和（0，b ）两点的一条直线.
3. 一次函数y kx b =+的图象与性质
二次函数
⑴定义：))(0(2一般式≠++=a c bx ax y ))(0()(2顶点式≠+-=a k h x a y
特殊地，)0(),0(22≠+=≠=a k ax y a ax y 都是二次函数。
⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。
)0(2≠++=a c bx ax y 用配方法变为)0()(2≠+-=a k h x a y ，则顶点为（h,k ）;对称轴为直线
x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。
1）二次函数及其图象
如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,
2(2a b ac a b --，对称轴是a
b
x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h.
反比例函数
1、⑴定义：三种形式：1-==kx x
k
y 或xy=k(k ≠0)。
⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。
⑶性质：①k>0时，图象位于…，y 随x …;②k<0时，图象位于…，y 随x …;③两支曲线无限
k 、b 的符
号
k ＞0，b ＞0
k ＞0，b ＜0 k ＜0，b ＞0 k ＜0，b ＜0
图像的大致位置
经过象限
第 象限 第 象限 第 象限
第 象限 性质 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大而而 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大 而
1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，则m的值是
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝5
3
，求这条抛物线的解析式。
1.已知样本x1、x2、x3、x4的平均数是2，则x1+3、x2+3、x3+3、x4+3的平均
数为; .已知样本x1，x2，x3，…，x n的方差是1，那么样本2x1+3，
2x2+3，2x3+3，…，2x n+3的方差是，标准差是.
2.刘翔为了备战2008年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否稳定，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的（）
A．众数B．方差C．平均数D．频数
五、课后作业
1.点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（）
A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4)
2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y为整数，写出一个
．．符合上述条件的点P的坐标：．
3.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示.
⑴月用电量为100度时，应交电费元；
⑵当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
⑶月用电量为260度时，应交电费多少元？
4. (2008年广东)如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为( )
A.y ＝
1x (x>0) B.y ＝－1
x (x>0) C.y ＝1x (x<0) D.y ＝－1
x
(x<0)
5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A ．不小于54m 3
B ．小于5
4m 3
C ．不小于45m 3
D ．小于4
5
m 3
6.已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32 （1）
确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
7小明上学期六门科目的期末考试成绩(单位：分)分别是：120，115，
x ，60，85,80．若平均分是93分，则x=_________，一组数据2，4，x ，2， 3，4的众数是2，则x ＝ ．
课堂检测 听课及知识掌握情况反馈： 测试题(累计不超过20分钟) 道;成绩 ； 教学需要:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后作业
作业 道；巩固复习；预习布置 。
六、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字： 七、教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
第5题图
家长签字：___________。