初中数学-八年级数学-一次函数的概念及图像专题讲义

一次函数的图像及性质

一：一次函数的概念

1、一次函数的概念

（1）一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；

（2）一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；

（3）当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正

比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；

（4）一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确

定．

【例1】下列函数中，哪些是一次函数?

（1）232y x =-；

（2）12y x -=；（3）(5)(0)y m x m =-≠；（4）1(0)y ax a a =+≠；（5）(0)k y kx k x =+≠；（6）(3)(3)y k x k =-+≠-．

【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________；

（2）当m =________时，函数215(4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．

【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个

函数的解析式．

【例4】已知一次函数()23317k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．

【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式．

二：一次函数的图像

1、一次函数的图像：

一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．

画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．

2、一次函数的截距：

一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，

一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．

3、一次函数图像的平移：

一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移

得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．

（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）

4、直线位置关系：

如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．

反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．

【例7】若一次函数2(3)(9)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的

图像．

【例8】若一次函数y kx b =+，当x =2时，y =-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．

【例9】若一次函数y =-x +b 的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解

析式．

【例10】将直线y =x +1向右平移1个单位，相当于将直线y =x +1向上平移了多少个单

位?

【例11】已知一次函数的图像平行于直线y =

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x ，且当3x =-时，函数y 的值是1，求这个函数解析式．【例12】若直线2(3)(21)y m x m =-++与直线23y x =-+平行，求m 的值．

【例13】根据下列条件，求解相应的直线表达式．

（1）直线经过（3，2）以及（1，1）；

（2）直线经过（7，0）以及截距是14；

（3）直线经过(30)-，以及截距是【例14】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．

【例15】设点P (3，m )，Q (n ，2)都在函数y =x +b 的图象上，求m +n 的值．

【例16】已知一次函数21544m y x +=

-与233

m y x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．【例17】已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a

=+；（1）a 、b 为何值时，两函数的图像重合?

（2）a 、b 满足什么关系时，两函数的图像相互平行?

（3）a 、b 取何值时，两函数图像交于x 轴上同一点，并求这一点的坐标．

【例18】（1）一次函数3y x b =+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b 的值；

（2）一次函数y kx b =+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，截距是，求一次函数的解析式．

【例19】（1）求直线14222

y x y x =-=+和与y 轴所围成的三角形的面积；（2）求直线24y x =-与直线31y x =-+与x 轴所围成的三角形的面积．

【例20】如图，已知由x 轴、一次函数4(0)y kx k =+<的图像及分别过点C （1，0）、D （4，0）

两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式．

三：一次函数的性质

1、一次函数的增减性：

一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：

当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升；

当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．

2、一次函数图像的位置情况：

直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）

当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限；

当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限；

当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限；

当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．

【例22】如果一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（

）

A ．0k >，0b >

B ．0k >，b <0

C ．0k <，b >0

D ．0k <，0b <【例23】一次函数y =－2x +3的图象不经过的象限是

（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限【例24】根据下列条件填空：

（1）已知函数245(1)(3)m m y m x m -+=-+-，当m 等于______时，它是一次函数，此时它的图象经过__________象限，y 随x 的增大而_____________；

（2）如果一次函数2y x =和y x k =+的图象的交点在第一象限，则k 的取值范围是_________；

（3）已知关于x 的一次函数(27)2y a x a =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________________．