八年级数学上册一次函数讲义
八年级上册一次函数复习讲义
科目： 数学 年级： 八年级 教师： 占老师一次函数复习讲义知识点1 一次函数和正比例函数的概念（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四2象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．知识点3 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质（1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；（3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小． 知识点4 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ；（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上．例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件知识点6 待定系数法知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．（2）数形结合法．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-kb ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；优尚教育个性化复习讲义一次函数复习讲义第12-3页当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．（3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合. 典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件． 例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数？ 基础知识应用题例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞04C ．m ﹤21D ．m ＞M．学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例10 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值；（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且优尚教育个性化复习讲义S△ABP=4，求P点的坐标．例14 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .中考试题预测例1 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？例3 如图11－27所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？一次函数复习讲义第12-5页例7 某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．例10 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．6优尚教育个性化复习讲义课内课外作业:一、选择题：1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）164．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定5．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限6．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）一次函数复习讲义第12-7页（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限7．要得到y =32x-4的图像，可把直线y =32x （）．（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位8．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．（A）k<13（B）13<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<139．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条10．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题1．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________． 2．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．3．某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________．4．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________． 5．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________．6．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．7．y=23x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．10．（湖州市南浔区2005年初三数学竞赛试）设直线kx+（k+1）y-1=0（为8优尚教育个性化复习讲义正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008=_______．三、解答题1．已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内．2．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．3（2013•衡阳）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；（1）档用地阿亮是180千瓦时时，电费是元；（2）第二档的用电量范围是；一次函数复习讲义第12-9页（3）“基本电价”是元/千瓦时；（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？4（2013•内江）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所示．X 50 60 90 120y 40 38 32 26（1）求y关于x的函数解析式；（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．5．某省夏天由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11－29是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题．（1）该水库原蓄水量为多少万米2？持续干旱10天后．水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？10优尚教育个性化复习讲义义第6．（2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A 、B 两地收割小麦，其中30•台派往A 地，20台派往B 地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：（1）设派往A 地x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y （元），请用x 表示y ，并注明x 的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．9． （2013•黄石）一辆客车从甲地开)12 往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、2y 关于x 的函数图像如右图所示：（1）根据图像，直接写出1y 、2y 关于x 的函数关系式；（2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式；（3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离.10．A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，•现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10．已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元．（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数关系式，并求W 的最大值和最小值．（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最大值和最小值．。
(完整)新北师大版八年级上第四章一次函数讲义绝对经典
第四章一次函数1、函数的观点一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和 y，而且关于 x 每一个确立的值，y 都有独一的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数。
对函数观点的理解：（1）有两个变量（2）一个变量的数值跟着另一个变量的变化而变化（3）自变量每确立一个值，函数有一个而且只有一个值与之对应（或多个x 的值能够对应一个 y 值但不可以一个 x 值对应多个 y 值，如 y=x2和 x2 =y）2、自变量的取值范围自变量的取值一定使含自变量的代数式都存心义。
（1）关系式为整式时，自变量的取值为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实质问题中，自变量的取值还要和实质状况相切合，使之存心义。
如： S r 2中，r表示圆的半径时，r>03、一次函数和正比率函数一次函数 y=kx+b特点：k0x 的次数是 1常数项 b 是随意实数正比率函数： y=kx特点：k0x 的次数是 1常数项 b=0正比率函数是一种特别的一次函数。
4、一次函数图像性质一次函数 y=kx＋ b 的图象的画法 .依据几何知识：经过两点能画出一条直线，而且只好画出一条直线，即两点确立一条直线，因此画一次函数的图象时，只需先描出两点，再连成直线即可 .一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（ 0 ， b ），.即横坐标或纵坐标为 0的点 .k 表示直线y=kx+b(k 0) 向上的方向与x 轴正方向夹角的大小，即直线倾斜的程度；b 表示直线 y=kx+b（k 0）与 y 轴交点的纵坐标一次函数 Y=kx+b k 0 的图象，当 b>0 时，图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方；当b<0 时，图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方；2两直线 y= k 1 x+ b 1 （k 0）的图象与 y= k 2 x+ b 2 （k 0）的地点关系：（ 1） 当 k 1 = k 2 时，且 b 1 b 2 时，两直线平行（ 2） 当 k 1 = k 2 时，且 b 1 =b 2 时，两直线重合（ 3） 当 k 1 k 2 时，两直线订交（ 4） 当 k 1 k 2 时，且 b 1 =b 2 时，两直线交于 y 轴上一点（ 0，b 1 ）或（ 0，b 2 ）【稳固训练】 一、选择题1 、 下 列 各 图 给 出 了 变 量 x 与 y 之 间 的 函 数 是 ：（ ）yyyyo xoxoxo xABCD2、已知油箱中有油 25 升，每小时耗油 5 升，则剩油量 P(升)与耗油时间 t(小时 ) 之间的函数关系式为 ( ) A ． P=25+5tB ． P=25－5tC ．P=25D ． P=5t － 255t3、函数 y ＝3x ＋ 1 的图象必定经过点 ()．A ．(3,5)B ．(－2,3)C ．(2,7)D ． (4,10)4、以下函数关系式 : ① yx ;② y2x11;③ yx 2x 1; ④ y1 .此中一次函数的个数是 ( )xA. 1 个B.2 个C.3 个D.4个 5、假如 y=x －2a ＋1 是正比率函数，则 a 的值是（ ）(A)1(B)0(C)－1(D)－ 2226. 一次函数 y=kx+b 图象如图，正确的是（）（A ）k>0，b >0 （ B ） k>0，b <0 （ C ） k<0，b>0（D ）k<0， b <07．已知一次函数的图象与直线 y=-x+1 平行，且过点（ 8，2），那么此一次函数 的分析式为（ ）A ．y=-x-2B ． y=-x-6C ． y=-x+10D ．y=-x-1 8、若直线 yx n不经过第四象限，则（ ）mA.m ＞0，n ＜0B.m ＜0，n ＜0C.m ＜0，n ＞ 0D.m ＞0，n ≤09、函数 y=kx+b(k ＜ 0， b ＞ 0)的图象可能是以下图形中的（ ）y y yyo xo xo xox[A.B.C.D.10、若函数 y=2x+3 与 y=3x －2b 的图象交 x 轴于同一点，则 b 的值为 ( )A ．－ 3B ．－3C ． 9D ．－92 411 一次函数 y=kx+6，y 随 x 的增大而减小，则这个一次函数的图象不经过 （）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限12 如图 , 直线 y kx b 经过 A(0,2) 和 B(3,0) 两点 , 那么这个一次函数关系式是 ( ) A. y 2x 3 B. y2x 2 C. y 3x 2 D. y x 1313．李老师骑自行车上班，最先以某一速度匀速前进， ?半途因为自行车发生故障，停下修车耽搁了几分钟，为了准时到校，李老师加速了速度，仍保持匀速前进，假如准时到校． 在讲堂上，李老师请学生画出他前进的行程 y?（千 米）与前进时间 t （小时）的函数图象的表示图，同学们画出的图象如图所 示，你以为正确的选项是（ ）14、一次函数 y=ax+b ，若 a+b=1，则它的图象必经过点（）A 、(-1,-1)B、(-1, 1)C、(1, -1)D、 (1, 1)115、已知点（ -4，y 1），（2，y 2）都在直线 y=- 2 x+2 上，则 y 1 y 2 大小关系是 ()（A ）y 1 >y 2 （B ） y 1 =y 2（C ） y 1 <y 216．如图一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A 和点 B ．(1)写出点 A 和点 B 的坐标并求出 k 、 b 的值； (2)求出当 x= 3时的函数值．217、已知，函数 y 1 3k x 2k 1 ，试回答：（1） k 为什么值时，图象交 x 轴于点（3，0）？4（2）k 为什么值时， y 随 x 增大而增大？18、如图，是某汽车行驶的行程 S(km)与时间 t(min)的函数关系图.察看图中所供给的信息，解答以下问题：（ 1）汽车在前 9 分钟内的均匀速度是（2）汽车在半途停了多长时间？S/km（3）当 16≤t≤30 时，求 S 与 t 的函数关系式.40129 1630t/min19、某自来水企业为了鼓舞市民节俭用水，采纳分段收费标准，若某用户居民每个月应交水费y（元）是用户量x（方）的函数，其图象如下图，依据图象回答以下问题：（ 1）分别求出 x≤5 和 x>5 时， y 与 x 的函数关系式；（ 2）自来水企业的收费标准是什么？y(元)（ 3）若某户居民交水费9 元，该月用水多少方6.6320.如图信息， l 1为走私船， l 2为我公安快艇，航行时行程与时间的函数图象，问：（ 1）在刚出发时我公安快艇距走私船多少㎞？（2）计算走私船与公安快艇的速度分别是多少？（ 3）写出 l 1 , l 2的分析式 .（ 4）问 6 分钟时两艇相距几千米。
八年级上 讲义：一次函数
讲义：一次函数内容讲解：一次函数1、若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)。
特别地,当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b2、正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线。
3、在一次函数y=kx+b 中:当k>0时,y 随x 的增大而增大; 当k<0时,y 随x 的增大而减小。
4、两直线的位置关系：直线111b x k l +=和直线222b x k l +=⎩⎨⎧≠=相交与则则21212121,//,l l k k l l k k 5、正比例函数图像与一次函数图像的关系一次函数b kx +=y 的图像是一条直线，它可以看作是由直线kx =y 沿y 轴平移b 个单位长度得到（当b >0时，向上平移；当b<0时，向下平移）典型例题例1．（1）若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ）()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b bbA ．(1，2)B ．(－1，－2)C ．(2，－1)D ．(1，－2)（2）一次函数y =2x －2的图象不经过．．．的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （3）已知一次函数21y x =+，则y 随x 的增大而_______________（填“增大”或“减小”）．例2．已知y 与x+1成正比例，且当x=5时，y=12，写出y 与x 之间的函数解析式.例3．根据所给的问题，写出y 与x 的函数关系式，并判断这个函数是否为一次函数？（1）矩形的周长是28cm ，它的长为y 厘米，宽是x 厘米；（2）比y 的25%大9的数是x ．例4．已知y +b 与x +a (a ，b 是常数)成正比例．求证：y 是x 的一次函数．巩固训练1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222-=x y B.11+=x y C.2x y = D.221+-=x y 2.下列各点在直线13-=x y 上的是（ ）A.)0,1(-B. )0,1(C. )1,0(-D. )1,0( 3. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ）A.14+-=x yB. 6)3(2+-=x yC. 6)2(3+-=x yD. 2xy -= 4.已知长方形的周长为25，设它的长为x ，宽为y ，则y 与x 的函数关系为（ ） A.x y -=25 B. x y +=25 C. x y -=225D. x y +=225 5.点A ),3(1y 和点B ),2(2y -都在直线32+-=x y 上，则1y 和2y 的大小关系是（ ） A. 1y 2y B. 1y 2y C. 1y =2y D.不能确定 6.对于函数63-=x y ，当x ＝2-时，y ＝_______,当y ＝6时，x ＝_________. 7.若y 是x 的一次函数，且当x ＝2时y ＝7，当x ＝3时y ＝9，则这个一次函数的关系式是_______.8.已知正比例函数x k y )21(-=的函数值y 随x 增大而增大，则k ____________________. 9.某公司现在年产值为150万元，计划今后每年增加20万元，年产值y （万元）与年数x 的函数关系式是__________________.10.直线2-=kx y 经过点),4(1y ，且平行于直线12+=x y ,则1y ＝___________，k ＝______.一次函数的图象与性质例1．已知一次函数y=－2x－2(1)画出函数的图象．(2)求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标．(3)求A、B两点间的距离．(4)求△AOB的面积．(5)利用图象求当x为何值时，y≥0．例2．若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？例3．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米/秒．⑴求小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式；⑵求3．5秒时小球的速度．⑶经过几秒小球的速度达到10米/秒．巩固训练：1. 一次函数b kx y +=的图象与两坐标轴的交点坐标分别为)0,3(和)2,0(-，则=k ____，=b ____.2.若函数32+=x y 与b x y 23-=的图象交于x 轴于同一点，则b =_____________.3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A.4B.5C.6D.7 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 2b B. 1b 2b C. 1b =2b D.不能确定5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为（ ）6.平分坐标轴夹角的直线是（ ）A.1+=x yB.1+-=x yC.1-=x yD.x y -= 7.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，可知不挂物体时弹簧的长度为（ ）A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm8.如图是一次函数b kx y +=的大致图像，由图可知：k _________，b _______ （填“ ”、“ ”或“＝”）.9.已知直线4+=kx y 与两坐标围成的三角形面积为8，求k 的值.10.一次函数的图像过点)6,1(),2,3(--N M 两点.（1）求该函数的表达式；（2）画出该函数的图像.11. 石家庄至北京300千米，火车从距石家庄站15千米的正定站出发，以每小时90千米／小时的速度向北京方向行驶，求火车与石家庄站间路程s （千米）和时间t （小时）的函数关系式，并指出自变量的取值范围.( 正定站位于北京与石家庄之间)12、南方的A 城有化肥200吨，B 城有化肥300吨，现要把化肥运往甲、乙两个农场，若从A 城运往甲、乙两个农场的运费分别为20元／吨和25元／吨，从B 城运往甲、乙两个农场的运费分别为15元／吨和22元／吨，现已知甲农场需要220吨，乙农场需要280吨，如果你承包了这项运输任务，怎样调运花钱最少？13、在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上有一点P ，从B 点运动到C 点，设PB=x ，梯形APCD 的面积S.（1）写出S 与x 的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围；（3）画出函数图象。
最新八年级上册数学一次函数讲义
S A ．B ．C ．D ．课堂检测一、选择题或填空题：（每小题15分，共60分） 1．直线y=x －1的图像经过象限是( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法（ ）A. 1 个B. 2 个C.3 个D. 4个3．我国铁路进行了第六次大提速，一列火车由甲市匀速驶往相距600千米的乙市，火车的速度是200千米/小时，火车离乙市的距离S （单位：千米）随行驶时间t （单位：小时）变化的函数关系用图象表示正确的是（ ）4．为了增强公民的节水意识，某制定了如下用水收费标准：每户每月的用水超过10吨时，水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x 吨（x ＞10），应交水费y 元，则y 关于x 的函数关系式是 二、解答题：本题满分40分5．小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已 知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才 乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m．图中的 折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系． ⑴小亮行走的总路程是____，他途中休息了________min ． ⑵①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点路程是多少？第五讲：一次函数的图象的性质【考纲要求】本讲包括以下主要内容：（1）函数的概念、（2）一次函数的概念及一次函数与正比例函数的关系、（3）一次函数，正比例函数的图象各有什么特征、（4）确定一次函数表达式．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数中的建模思想．具体内容如下：1．定义：形如的函数叫做关于x的一次函数，自变量x的取值范围是一切实数。
第5章一次函数综合 讲义-浙教版八年级数学上册
一次函数综合责编：审核：辅导科目数学学生姓名授课老师上课课次授课日期班型教学目标1.掌握一次函数的变换规律.2.能通过函数图像解方程和不等式.3.掌握一次函数与三角形的综合问题.知识梳理一、一次函数的几何变换1.平移【回顾】平移具有什么性质？【探究】一次函数的平移在下图中画出一次函数y=2x的图像，再将图像分别向上下左右四个方向进行平移，并分别求出平移后的一次函数的解析式.【结论】 （1）当两个一次函数图像平行时，那么这两个一次函数解析式中的k 值相等.（2）一次函数平移口诀：上加下减，左加右减.【注】注意“左加右减”要在解析式中的每一个x 后都要进行加减，平移后的解析式一般要去括号化简为一般式.1.将直线y=5x 向左平移三个单位后得到的直线解析式为___y=5x+15_______.2.若一次函数y=kx+3（k ≠0）的图像向左平移4个单位后经过原点，则k=__43-______.3.若一次函数y=kx+3的图像与y=3x 的图像平行，则k=__3______. 2.对称画出y=x+1的图像，并将之分别关于x 轴，y 轴以及原点进行对称，并分别求出对称后的解析式.【结论】一次函数对称口诀：关于谁，谁不变，另一个变为相反数；关于原点都要变.4.将直线2x 21y +=的图像先向右平移2个单位，再关于y 轴对称后的直线解析式为_1x 21-y +=_.二、与方程不等式综合 1. 与一元一次方程综合一般地，因为任何一个以x 为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a ≠0）的形式，所以解一元一次方程相当于求与之对应的一次函数y=ax+b （a ≠0）的函数值为0时，自变量x 的值.【提示】求直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴的交点，可令y=0得方程kx+b=0，解方程得k b -k =，k b-是直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴交点的横坐标.反之，由一次函数的图像也能求出与之对应的一元一次方程的解.5.若一次函数y=kx+b 的图像经过经过点经过点（2,1）和点（3，-2），则方程kx+b=-2的解为__x=3______.2. 与二元一次方程（组）综合一般地，因为每个含有未知数x 和y 的二元一次方程，都可以变形为y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x ，y ）都是这个二元一次方程的解.【总结】求两条直线的交点坐标就是联立两个函数解析式成一个二元一次方程组，解得的二元一次方程组的解即是两条直线交点的纵横坐标.6.如图，一次函数11b x k y +=的图像1ｌ与一次函数22b x k y +=的图像2l 相交于点P ，则关于x ，y 的方程组 的解是（ A ）.3. 与不等式综合一般地，因为任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变为ax+b ＞0或ax+b ＜0（a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于求与之对应的一次函数y=ax+b （a ≠0）的函数值大于0或小于0时，自变量x 的取值范围.图像法解一元一次不等式kx+b ＞ax+c ，即是确定函数y=kx+b 在y=ax+c 上方时所对应自变量x 的取值全体.7.已知函数111b x k y +=与函数222b x k y +=的图象如图所示，则不等式2211b x k b x k ++＞的解集是__x ＞1________.8.如图，直线y=kx ＋b 经过点A （-5，0），B （-1，4）. （1）求直线AB 的表达式.（2）若直线y=-2x-4与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标. （3）根据图象，写出关于x 的不等式kx ＋b>-2x-4的解集. 【答案】（1）y=x+5 （2）（-3,2） （3）x ＞-3 三、与三角形的面积综合 1.三角形底边在坐标轴上|y ||x |2121A C COA CH OA S ••=••=△ |x ||y |2121B C BOC CH OB S ••=••=△2.三角形底边与坐标轴平行底边平行于x 轴：|y -y ||x -x |2121H C B A ABC CH AB S ••=••=△底边平行于y 轴：|x -x ||y -y |2121H C B A ABC CH AB S ••=••=△3.无重合无平行：割补法 【探究】求△AOB 的面积.9.已知-次函数的图象过点（0，3），且与正比例函数x21-y =的图象交于点A （2，a ）．（1）求一次函数表达式.（2）这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积.【答案】（1）y=-2x+3 （2）4310.如图，过点A （2，0）的两条直线1l ，2l 分别交y 轴于点B ，C ，其中点B 在原点上方，点C 在原点下方，已知AB=13. （1）求点 B 的坐标.（2）若△ABC 的面积为4，求直线2l 的解析式.【答案】（1）(0,3) (2)1-x 21y。
初中数学一次函数讲义
初中数学一次函数讲义1.基本概念形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，又称线性函数，其中x为自变量，y为因变量。
当b=0时，即y=kx，被称为正比例函数，是一种特殊的一次函数。
函数特征：（1）k是常数，且k≠0，当k=0时y=b不是一次函数，是偶函数的一种；（2）自变量x和因变量y的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数，当b=0时，一次函数为奇函数；（4）一般情况，自变量x和函数值y的取值范围为全体实数R，实际情况应注意取值范围；（5）k决定函数变化趋势，k绝对值越大，函数越接近y轴，反之越接近x 轴，b为直线与y轴的交点，b又被称为截距；（6）一次函数斜率k=tan(α)，其中α为函数图像与x轴正方向夹角，α≠0或90°。
表示方法：（1）解析式法：用含有自变量x的式子表示函数的方法；（2）列表法：把一系列x的值对应的函数值y列成表来表示函数关系；（3）图像法：用图像表示函数关系。
2.一次函数图像及其性质2.1图像一次函数图像为xy平面坐标系中不与坐标轴垂直/平行的一条直线。
与x和，0）和（0，b）两点。
对于常数k，b数值的不同引起图像的y轴分别交于（- bk性质变化如下图所示。
一次函数画法：，0）和（0，b）两点，即函数与两点确定一条直线，一般而言，可取（- bkxy坐标轴的交点，连接两点，确定直线。
例题1：证明一次函数图像是一条直线。
解题思路：一次函数满足y=kx+b函数解析式方程，通过验证满足函数任意三点在一条直线上，即可证明一次函数图像为一条直线。
证明：在一次函数图像中取任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1≠x2≠x3，则满足：A点：y1=kx1+bB点：y2=kx2+bC点：y3=kx3+bAB两点确定的直线斜率为k AB= y2−y1x2−x1= kx2+b−(kx1+b)x2−x1= k；BC两点确定的直线斜率为k BC= y3−y2x3−x2= kx3+b−(kx2+b)x3−x2= k；由上可知，AB和BC确定的直线斜率相同，表明A B C三点在一条直线上，由任意满足函数关系的三点在一条直线上，可证明一次函数图像是一条直线。
初二数学(秋季)讲义第10讲一次函数
无★代表普通高中、★代表重点高中、★★代表四大名校y=kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）叫做x 的一次函数,其中x 是自变量，y 是因变量。
正比例函数： 函数y=kx （k 为常数，且（k ≠0）），此时b=0， y 叫做x 的正比例函数。
2.函数的三种表示方法：列表法 图像法 解析式法 3.作一次函数的图像：列表，描点，连线（1）作正比例函数y ＝kx 的图像常取点（0，0）和（1，k ）；（2）作一次函数)0(≠+=b b kx y 的图像常取（b ,0）和（0,k b-）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。
4.一次函数y=kx+b 的图像和性质： y 随增大而_________随x 增大而_________例1．（1）下列函数关系中表示一次函数的有（ ）①12+=x y ②xy 1=③x x y -+=21④t s 60=⑤x y 25100-=A.1个B.2个C.3个D.4个 （2）已知3m22x )2m m (y -+=，如果y 是x 的正比例函数,则m 的值为( )A.2B.-2 C 2,-2 D.0初二数学（秋季）讲义 第十讲 一次函数变式练习1-1. 已知函数(1)3my m x =-+是一次函数，则m=＿＿＿变式练习1-2. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时， ①这个函数是一次函数？ ②这个函数为正比例函数？例2. 已知y 与x-3成正比例，且x=2时，y=7。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式 （2）当x=4时，求y 的值 （3）当y=4时，求x 的值变式练习2. 已知y-2与4x 成正比例，且当x=3时，y=6，写出y 与x 的函数关系式 。
例3．已知等腰三角形的周长为6，底边为y 表示，腰长为x（1）写出用x 表示y 的函数关系式 （2）在坐标系中画出函数图像(3)求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积;变式练习3. 在同一坐标系中作出， y=2x+1，x y 3=，的图像例4. 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
八年级数学上册一次函数讲义
八年级数学上册一次函数讲义学习要点分类：一、了解类：常量，变量，函数，一次函数解析式，正比例函数，比例系数k。
二、理解类：性质，图像，k,b取值对图像的影响，待定系数法求解析式，描点法画图，数形结合思想。
三、附加类：各个知识点的联系能力讲解--坐标，解析式，图像，性质；特殊三角形与一次函数的关联。
函数部分1、已知y1=x+1，y2=-2x+4，对任意一个x，取y1，y2中的较大的值为m，则m的最小值是___________．2、下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．3．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，CD，则AF= ．若64、某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某市居民每月交水费y（元）与水量x（吨）的函数关系如图所示，请你通过观察函数图象，回答自来水公司收费标准：若用水不超过5吨，水费为元/吨；若用水超过5吨，超过部分的水费为元/吨。
5、如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x第6题(第5题)轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（0≤x ≤5）,则以下结论不正确．．．的是( ) A 、OB =3 B 、OA ＝5 C 、AF =2 D 、BF ＝56. 如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 。
7、一艘轮船自西向东航行，在A 处测得北偏东45°方向有一座小岛C ，继续向东航行30海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的北偏东60o 方向上.请问: 轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近?8．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有（ ）①DC ′平分∠BDE ； ②BC 长为a )22(+； ③△B C ′D 是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长。
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八年级数学上册一次函数讲义
学习要点分类：
一、了解类：常量，变量，函数，一次函数解析式，正比例函数，比例系数k。
二、理解类：性质，图像，k,b取值对图像的影响，待定系数法求解析式，描点法画图，数形结合思想。
三、附加类：各个知识点的联系能力讲解--坐标，解析式，图像，性质；特殊三角形与一次函数的关联。
函数部分
1、已知y1=x+1，y2=-2x+4，对任意一个x，取y1，y2中的较大的值为m，则m的最
小值是___________．
2、下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）
A． B． C． D．
3．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，CD，则AF= ．
若6
4、某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某市居
民每月交水费y（元）与水量x（吨）的函数关系如图所示，请你通过观
察函数图象，回答自来水公司收费标准：若用水不超过5吨，水费为
元/吨；若用水超过5吨，超过部分的水费为元/吨。
5、如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x
第6题
(第5题)
轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：3
55
d x =-
（0≤x ≤5）,则以下结论不正确．．．的是( ) A 、OB =3 B 、OA ＝5 C 、AF =2 D 、BF ＝5
6. 如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 。
7、一艘轮船自西向东航行，在A 处测得北偏东45°方向有一座小岛C ，继续向东航行30海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的北偏东60o 方向上.请问: 轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近?
8．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有（ ）
①DC ′平分∠BDE ； ②BC 长为a )22(+； ③△B C
′
D 是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长。
E
D C
（第3题）
A ． 1个；
B ．2个；
C ．3个
D ．4个。
数形结合思想
9、如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽。
水槽中水面上升高度h 与注水时间的关系大致是下列图像中的（ ）
10、如图OA 、AB 分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB 表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（ ） A ．①② B ．②③④ C ．②③ D ．①③④
11、如图，直线6y kx =+与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；
（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为27
8
，并说明理由。
（4）是否存在点P ，使△POE 为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（A ）
（B ）
（C ）
（D
）
8．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有（ ）
①DC ′平分∠BDE ； ②BC 长为a )22(+； ③△B C ′D 是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长。
A ． 1个；
B ．2个；
C ．3个
D ．4个。
数形结合思想
9、如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽。
水槽中水面上升高度h 与注水时间的关系大致是下列图像中的（ ）
10、如图OA 、AB 分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB 表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（ ） A ．①② B ．②③④ C ．②③ D ．①③④
11、如图，直线6y kx =+与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；
（A ）
（B ）
（C ）
（D
）
（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为27
8
，并说明理由。
（4）是否存在点P ，使△POE 为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 应用
18．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．
(1) 现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，设做竖式
纸盒x 个．
①根据题意，完成以下表格：
(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290<a<306．则a的值是．(写出一个即可)
19．青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若共买进100件商品，设买进甲种商品x件，总利润（利润＝售价进价）为y元，则求y关于x的函数解析式；（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“十·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）。