一次函数(专题精讲)讲义

【教学过程】
【知识点梳理】
1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=
21x 等都是一次函数，y=2
1x ，y=-x 都是正比例函数.
【说明】
（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.
（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 2 函数的图象
把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-
k
b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.
4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质
（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；
①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；
②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；
①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；
②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．
【例题解析】
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-
21x ； （2）y=-x
2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x
32 m +（m-4）是一次函数？
【小结】某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．
例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．
例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．
例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y 的值；
（3）当y=4时，求x 的值．
跟踪练习：已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .
【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.
例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ﹤O
B ．m ＞0
C ．m ﹤21
D ．m ＞M
例7 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
例8 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．
（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由；
（2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？
例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．
（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；
（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？
例10已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．
例11已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.
（1）k为何值时，它的图象经过原点？
（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?
（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？
（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？
（5）k为何值时，y随x的增大而减小？
例12 判断三点A （3，1），B （0，-2），C （4，2）是否在同一条直线上．
[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．
【课后习题】
1. 如图，你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由.
（1）12+-=x y ； （2）13-=x y ； （3）x y = ； （4）x y 32-
=．
2.（1）判断下列各组直线的位置关系：
①x y =与1-=x y ； ②213-
=x y 与2131--=x y ． （2）已知直线53
2+=x y 与一条经过原点的直线l 平行，则这条直线l 的函数关系______ ；若直线a 与直线l 垂直且过点（0，-2），则直线a 的函数关系式为 ．
3.（1）一次函数x y 3-=的图象经过_ 象限，y 随x 的增大而__________；
（2）一次函数n mx y +=
A ．0,0<<
n m
B ．0,0><n m
C ．0,0>>n m
D ．0,0<>n m
4．在下列四个函数中，y 值随x 值的增大而减小的是（ ）． A ．x y 2= B ．63-=x y C ．52+-=x y D ．73+=x y
5．如图，已知一次函数k kx y +=的图象大致是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
6．直线32+=x y 与x 轴正方向所成的锐角为α，直线13--=x y 与x 轴正方向所成的锐角为β，则α与β的关系为（ ）．
A ．α＞β
B ．α＝β
C ．α＜β
D ．无法确定 7．已知一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）．
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
8．如图，某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后，停止放水并立即按同样速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按同样的速度放完水池的水．若水池的存水量为v （3
m ），放水或注水的时间为t （min ），则v 与t 的关系的大致图象只能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 9．函数3)2(1+-=-m x m y 的图象是一条直线，则=m ．
10．如果直线2+=kx y ，y 随x 的增大而增大，则直线2--=kx y 不经过第 象限．
11．如果直线x m y )2(-=与直线23+=x y 平行，则=m
12．已知直线b kx y +=过点A （1-，5）且平行于直线x y -=．
（1）求这条直线b kx y +=的解析式；
（2）若点B （m ，5-）在这条直线b kx y +=上，O 为坐标原点，求m 及AOB ∆的面积．
13．如图，直线AB 的解析式为434+-
=x y ，直线AB OC ⊥于C ． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求直线OC 的解析式；。