一阶偏导和二阶偏导公式
二阶偏导的数值公式
二阶偏导的数值公式二阶偏导的数值公式是指在多元函数中，对同一个变量连续求导两次的结果。
它可以用来描述函数在某一点的曲率和变化率等信息。
下面我们将详细介绍二阶偏导的数值计算方法。
我们先回顾一下一阶偏导的数值计算方法。
一阶偏导表示对函数在某一点的某个变量求导，可以通过有限差分法来计算。
有限差分法基于函数在一点附近的两个点之间的差值来逼近导数的定义，即：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h其中，h表示两个点之间的间隔。
同理，对于二阶偏导，我们可以使用类似的方法来计算。
假设我们要计算函数f(x,y)对x的二阶偏导数，首先我们可以通过一阶偏导数的定义来计算一阶偏导数值：fx = (f(x+h,y) - f(x-h,y)) / (2*h)其中，h表示x方向上的间隔。
然后，我们再对一阶偏导数fx关于x再次求导，得到二阶偏导数的近似值：fxx = (fx(x+h,y) - fx(x-h,y)) / (2*h)同样的，我们也可以计算函数f(x,y)对y的二阶偏导数fyy。
通过以上的方法，我们可以计算出函数f(x,y)在某一点的二阶偏导数值。
需要注意的是，选择合适的间隔h对结果的精度和稳定性有很大影响，一般来说，h越小，结果越精确，但同时计算量也增加。
还有一种常用的计算二阶偏导数的方法是使用中心差分公式。
中心差分公式的思想是通过函数在某一点附近的三个点来逼近二阶偏导数的定义。
具体计算公式为：fxx = (f(x+h,y) - 2*f(x,y) + f(x-h,y)) / (h^2)同理，我们也可以计算函数f(x,y)对y的二阶偏导数fyy。
总结一下，二阶偏导的数值计算方法包括有限差分法和中心差分法。
通过这两种方法，我们可以计算出函数在某一点的二阶偏导数值，从而得到函数的曲率和变化率等重要信息。
这些信息对于研究函数的性质和优化问题都具有重要意义。
然而，在实际计算中，我们需要选择合适的间隔h以及合适的计算方法，以保证结果的精确性和稳定性。
偏导数和微分的概念和计算
梯度的方向垂直于函数在该点的等值线（或等值面），且指向函数增长的方向。梯度的 大小等于函数在该点沿梯度方向的方向导数的最大值。
方向导数定义及计算方法
方向导数的定义
设函数$z = f(x, y)$在点$P(x_0, y_0)$的 某邻域$U(P)$内有定义。自点$P$引射线 $l$，设$x$轴正向到射线$l$的转角为 $alpha (alpha in [0, 2pi))$。若极限 $lim_{rho to 0^+} frac{f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) - f(x_0, y_0)}{rho}$存 在，则称此极限为函数$f(x, y)$在点$P$ 沿方向$l$的方向导数，记作 $frac{partial f}{partial l} |_{(x_0, y_0)}$ 。
隐函数偏导数求解
隐函数求导法则
对于形如F(x, y, z) = 0的隐函数，可以使用链式法则和多元函数求导法则，求出z对x和y的偏导数。
公式法
对于某些特定的隐函数形式，可以直接套用公式求出偏导数。例如，对于形如z = f(x, y)的隐函数，可 以使用公式dz = f'x dx + f'y dy求出z的全微分，进而求出偏导数。
04
梯度、方向导数与偏导数 关系
梯度概念及其与偏导数关系
梯度的定义
梯度是一个向量，其方向是函数在该点处增长最快的方向，大小等于该方向上的方向导 数。
梯度与偏导数的关系
对于二元函数$z = f(x, y)$，其在点$(x_0, y_0)$处的梯度为$nabla f(x_0, y_0) = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0))$，其中$f_x$和$f_y$分别是函数$f$对$x$和$y$的偏导数 。
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数一、二元函数的一阶偏导数1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定义，若一元函数zf(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作f x (x 0，y 0) ，或z x |xx 0，或y y 0 f(x 0，y 0)z；，或 |x x xx yy若一元函数zf(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函数z f (x ，y)在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |xx 0，或f(x 0，y 0)，或 y y y 0z x 0。
|x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。
3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数zf(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z。
x x yy 二、二阶偏导数1、定义——二元函数 zf(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数z f (x ，y)的二阶偏导数，共有四个，分别记作f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2(x ，y)2zx 2 ，或x 22，2f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或f(x y)，或 z y x x y2 ，2f yx(x，y) (f y(x，y))x，或z yx，或f(x y)，或zy xx yf yy(x，y) (f y(x，y))y，或z yy，或f2(x，y)，或2z。
二阶偏导数
例2. 设u = u ( x, y )在任何点 ( x, y )处的全微分
du = ( x + ay )dx + ( x + y + b sin x )dy. 求常数 a, b.
2
u ′ = x 2 + ay, u ′y = x + y + b sin x. 解: x
知u ′ , u ′y 均可导, 有 x ′ u ′′ = a, (连续), u ′yx = 1 + b sin x, (连续). xy
g ( x , y + ∆y ) − g ( x , y ) g ′y ( x, y ) = lim , ∆y → 0 ∆y
′′ f xy ( x , y ) = [ f x′ ( x , y )
′ ]
y
f x′ ( x, y + ∆y ) − f x′ ( x, y ) = lim , ∆y →0 ∆y
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)∈Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)∈Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都 可写成
∂ f , 或, f x(mky)k −m ∂x m ∂y k −m
2222yxyxyx?????????2yxabybxa????????????????????2222222axxaxa???????????????????????????22222222ddd2dzd则yyzyxyxzxxzzyyxx2dd??????????zyyyxyxxx???????????????2222222ddd2d
(x 0 +∆x , y0)及 (x0 , y0 +∆y)均在U(X0)内. 记 A = [ f (x0 +∆x , y0 +∆y) – f (x0 +∆x , y0)] – [ f (x0, y0 +∆y) – f (x0 , y0)]
二阶偏导几何意义
二阶偏导几何意义
二阶偏导数是函数在某一点处的二阶导数，也就是对函数的某一变量求导两次，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在几何上，二阶偏导数可以用来描述函数的局部曲率和曲率变化率。
具体来说，设函数f(x,y)具有两个连续偏导数，即f(x,y)、
fx(x,y)和fy(x,y)均连续。
则在(x0,y0)处，f的二阶偏导数可以表示为以下形式：
f''(x0,y0)=[2f/x2](x0,y0) [2f/yx](x0,y0)
[2f/xy](x0,y0) [2f/y2](x0,y0)
其中，[2f/x2](x0,y0)表示f在x0处沿x轴方向的曲率，
[2f/y2](x0,y0)表示f在y0处沿y轴方向的曲率，[2f/xy](x0,y0)和[2f/yx](x0,y0)分别表示f在(x0,y0)点处的曲率变化率。
几何上，可以把f(x,y)看成是一个曲面，而(x0,y0,f(x0,y0))则是该曲面上的一个点。
在这个点处，[2f/x2](x0,y0)和
[2f/y2](x0,y0)分别描述该曲面沿x轴和y轴方向的曲率，即曲面在该点处向该方向弯曲的程度。
而[2f/xy](x0,y0)和[2f/yx](x0,y0)则表示曲面在该点处沿着斜线方向进行弯曲的程度。
因此，通过对二阶偏导数的分析，可以深入了解曲面的特性，进而更好地理解和掌握函数的本质。
- 1 -。
偏导数公式大全
以下是常见的偏导数公式大全：
1. 一阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-∂f/∂x：对x 求偏导数
-∂f/∂y：对y 求偏导数
2. 高阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-二阶偏导数：
-∂²f/∂x²：对x 求二阶偏导数
-∂²f/∂y²：对y 求二阶偏导数
-∂²f/∂x∂y：先对x 求偏导数，再对y 求偏导数
-∂²f/∂y∂x：先对y 求偏导数，再对x 求偏导数
-更高阶的偏导数类似地进行推导
3. 链式法则：
-对于复合函数z = f(g(x, y))：
-∂z/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
-∂z/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y)
4. 常见函数的偏导数：
-对于指数函数e^x：
-∂(e^x)/∂x = e^x
-对于对数函数ln(x)：
-∂(ln(x))/∂x = 1/x
-对于三角函数sin(x) 和cos(x)：
-∂(sin(x))/∂x = cos(x)
-∂(cos(x))/∂x = -sin(x)
以上是一些常见的偏导数公式，但并不是完整的列表。
在实际应用中，还会涉及更复杂的函数和多元变量的情况，需要根据具体问题进行推导和计算。
偏导数
xy) y1 , z y
(1
xy) y ln(1
xy)
xy 1 xy ;
2、u z( x y)z1
,
u
z(x
y ) z 1 ,
x 1 ( x y)2z y 1 ( x y)2z
u ( x y) ln( x y) . z 1 ( x y)2z
a
2e ax
cos
by,
u beax sin by; y
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
| y|
( x2 y2 )3
Βιβλιοθήκη x2x y2
sgn
1 y
( y 0)
z 不存在． y x0
y0
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证： p V T 1.
V T p
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V RT V R; T pV T V ;
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
8.2 偏导数
y0 ) 就是曲面被平面 x = x0 所截得 偏导数 f y ( x0 ， 的曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
二、高阶偏导数
函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f xx ( x ， y )， 2 f yy ( x ， y )， x x x y y y
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) lim x 0 x
存在，则称此极限值为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 对 x 的偏导数，记为
z x
x x0 y y0
，
f x
x x0 y y0
，
zx
x x0 y y0
原结论成立.
z z 和 . 例4 设 z arcsin ，求 x y x2 y2
x
解
z x
1 x2 1 2 x y2
x x2 y2 x
x2 y2 y2 | y| 2 ， 2 | y| ( x 2 y 2 )3 x y
x x2 y2 z2 y x y z
2 2 2
，
，
z x2 y2 z2
.
有关偏导数的几点说明：
z 1、偏导数 是一个整体记号，不能拆分； x
（在例 5 中说明的问题）
2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.
xy ， ( x， y ) (0， 0)， 2 2 例7 设 f ( x ， y) x y 0， ( x， y ) (0， 0) ， 求 f ( x， y ) 的偏导数 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一阶偏导和二阶偏导公式
一阶偏导和二阶偏导是微积分中的重要概念，用于描述多变量函数的变化率和曲率。
在实际问题中，一阶偏导和二阶偏导经常被用来求解最优化问题、描述曲线和曲面的性质等。
本文将介绍一阶偏导和二阶偏导的概念及其计算方法，并通过实例加深理解。
一、一阶偏导的概念与计算方法
1.概念
对于多变量函数，我们可以将其中的一个变量视为常数，而对其他变量求导，这就是偏导数的概念。
一阶偏导数描述了函数在某一点沿着某个坐标轴方向的变化率。
2.计算方法
假设有一个二元函数f(x, y)，要计算其关于x的偏导数，可以将y 视为常数，然后对x求导。
偏导数的计算方法与普通的导数计算类似，只需将其他变量视为常数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们要计算其关于x的偏导数。
将y视为常数，对x求导，得到f对x的偏导数为：∂f/∂x = 2x。
二、二阶偏导的概念与计算方法
1.概念
二阶偏导数是对一阶偏导数再求导，描述了函数在某一点的曲率和变化率的变化率。
2.计算方法
对于二元函数f(x, y)，我们可以先计算一阶偏导数，再对一阶偏导数进行求导，得到二阶偏导数。
二阶偏导数的计算方法与一阶偏导数类似。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们已经计算了其关于x的一阶偏导数为∂f/∂x = 2x。
再对一阶偏导数∂f/∂x进行求导，得到二阶偏导数∂^2f/∂x^2 = 2。
三、一阶偏导和二阶偏导的应用实例
1.最优化问题
一阶偏导和二阶偏导在最优化问题中有广泛应用。
通过求解一阶偏导和二阶偏导，可以得到函数的驻点、极值点和拐点等信息，从而帮助我们找到函数的最优解。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以通过求解f的一阶偏导数和二阶偏导数来确定函数的极值点。
首先求解一阶偏导数：f'(x) = 2x - 2，然后求解二阶偏导数：f''(x) = 2。
当二阶偏导数大于0时，函数的极值点为最小值点；当二阶偏导数小于0时，函数
的极值点为最大值点。
2.曲线和曲面的性质
一阶偏导和二阶偏导还可以用来描述曲线和曲面的性质。
一阶偏导数描述了曲面的切线斜率和曲线的斜率变化率，二阶偏导数描述了曲面的曲率和曲线的弯曲程度。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们已经计算了其关于x的一阶偏导数为∂f/∂x = 2x，关于y的一阶偏导数为∂f/∂y = 2y。
通过一阶偏导数，我们可以计算曲面在某一点的切线斜率。
再通过二阶偏导数，我们可以计算曲面在某一点的曲率，描述曲线的弯曲程度。
一阶偏导和二阶偏导是微积分中重要的概念，用于描述多变量函数的变化率和曲率。
通过求解一阶偏导和二阶偏导，我们可以解决最优化问题、描述曲线和曲面的性质等。
对于深入理解这些概念，通过实例进行计算和分析是非常有帮助的。