双变量函数求导公式
高中数学导数公式及运算法则
高中数学导数公式及运算法则高中数学知识点众多，那么高中数学的导数公式及运算法则同学们总结过吗?下面是由小编为大家整理的“高中数学导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
高中数学导数公式及运算法则1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加(减)法则:[f(x) g(x)]'=f(x)' g(x)'乘法法则:[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x) g(x)'*f(x)除法法则:[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下:1、求导的线性:对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。
2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二一乘二导(即②式)。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算方法函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
导数中的双变量问题解题策略(史上最全题型)
令h(t)
ln t
(1 )(t 1) ,(0 t
t
1)
h '(t)
1 t
(1 )2 (t )2
(t
1)(t 2 ) t(t )2
当 2 1时, h '(t) 0 h(t)在(0,1)内单调递增 h(t) h(1) 0,合题;
当 2 1时,易知h(t)在(0, 2 ) 内单调递增,在( 2,1) 内单调递减, h(1) 0,h(t) 0不恒成立,不合题。
1
ax1
ax2
a( x1
x2 )
a
1 x1 x2
ln x1 x1
ln x2
x2
1 x1 x2
(1 )( x1 1)
ln
x1
ln
x2
(1 )(x1 x1 x2
x2 )
ln
x1 x2
x2
x1
,令 x1 t,t (0,1) x2
x2
ln t (1 )(t 1) 在(0,1)上恒成立, t
x12
x1 x22
ln
x1 x1
ln x2 x2
1, 从而原不等式即证
x1(x1 x2 ) x12 x22
(ln
x1
ln
x2 )
0
( x1 )2 x1
x2
x2
( x1 )2 1
ln
x1 x2
0,令t
x1 x2
,t
1,设g(t)
t2 t2
t ln t(t 1
1),
x2
g '(t) (2t 1)(t2 1) (t2 t) 2t 1 t4 t3 t 1 t3(1 t) (t 1) 0
导数双变量问题
导数双变量问题导数的概念一元函数的导数在数学中，导数是描述函数局部变化率的概念。
对于一元函数，导数表示函数在某一点的切线斜率。
它可以通过极限的定义来求解，即函数在该点的变化量与自变量变化量的比值。
多元函数的导数对于多元函数，导数的概念稍微复杂一些。
我们先来看双变量函数的导数。
双变量函数的导数可以看作是函数在某一点沿着某个方向的变化率。
和一元函数类似，双变量函数在该点处的导数也可以通过极限的定义来求解。
部分偏导数定义双变量函数的导数中，最常见的是部分偏导数。
部分偏导数是指在函数中固定一个变量，把其他变量视为常量，然后对所选择的变量求导。
示例假设有双变量函数f(x, y)，我们想要求f对x的偏导数。
为了求解，我们保持y 不变，然后对x求导。
这样就得到了关于x的偏导数。
方向导数定义方向导数是双变量函数在某一点沿着某个方向的变化率。
在二维平面上，方向导数可以通过求得偏导数的方式来计算。
方向导数的公式可以表示为：Df(x, y) = ∇f(x, y) · u，其中∇f(x, y)是双变量函数的梯度向量，u是单位向量。
梯度向量定义梯度向量是双变量函数在某一点的导数。
梯度向量的方向是函数在该点变化最快的方向，而梯度向量的模是函数在该点变化的速率。
公式梯度向量的公式可以表示为：∇f(x, y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，其中∂f/∂x和∂f/∂y分别是函数对x和y的偏导数。
高阶偏导数除了一阶偏导数，我们还可以求解双变量函数的高阶偏导数。
高阶偏导数是指对函数的偏导数再次求导的过程。
应用领域经济学导数在经济学中有广泛的应用。
例如，在微观经济学中，导数可以表示边际效应，帮助我们理解市场供需关系和消费者行为。
物理学导数在物理学中也有重要的应用。
例如，在运动学中，速度和加速度可以表示为位置函数的导数。
工程学中的许多问题也可以通过导数来求解。
例如，在电路设计中，电流和电压之间的关系可以通过求解导数来获得。
高中数学知识点灵活运用130讲之9-导数双变量问题函数构造
双变量问题之函数构造核心知识点：形如，构造新的函数★如果题目中没有的大小关系，要在步骤中假设经典例题：1.已知函数，，设，若对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 解题思路：假设，，；设，此时说明是单调递增函数；设，，2.若对任意的恒成立，则的最小值为？解题思路：，，两边同时除以，得到；设，此时说明在上是单调递减；，，设在单调递减，，()()m x x x f x f >--2121()()()212211x x mx x f mx x f >->-21,x x 21x x >()221x x f =()x a x g ln =()()()x g x f x h +=21,x x ()()22121>--x x x h x h a 21x x >()()()21212x x x h x h ->-∴()()221122x x h x x h ->-∴()()x x a x x x h x g 2ln 2122-+=-=()x g ()0222'≥+-=-+=∴xax x x a x x g ()022≥+-=a x x x ϕx x a 22+-≥∴1≥∴a [)a x x e x e x x x x x x x <--<-∈2112212121,,0,2,a 21x x < ()211221x x a ex e x x x->-∴21x x ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-∴12211121x x a x e x e x x 22111121x a x e x a x e x x +>+∴()xax e x g x +=()x g [)0,2-∈x ()02'≤--=∴xae xe x g x x ()x e x a 1-≥()()x e x x 1-=ϕ[)0,2-()()2max 32e x -=-=∴ϕϕ23e a -≥∴双变量问题之与替换核心知识点：题目中和有等式关系，可以用表示，或者用表示；如果和无法互相表示，则引入第三变量，用分别表示，☆找出变量范围小题篇经典例题：1.（2019·江西高三月考（文））设函数，若函数存在两个零点，(<)，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．解题思路：核心要知道：，，此时；设，恒成立，在上单调递增；，所以选择2.（2019·河南高三月考（文））已知函数若成立，则的最小值为（） A ． B ．C ．D ．解题思路：1x 2x 1x 2x 1x 2x 2x 1x 1x 2x t t 1x 2x [)[),0,1()1,1,x e x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩()y f x k =-1x 2x 1x 2x 211()()x x f x -⋅)22,e⎡⎣)21,e⎡⎣)2,e e⎡⎣21,e ⎡⎤⎣⎦121-=x ex 112+=∴x e x [)1,01∈x ()()()1111121x xe x e xf x x ⋅-+=⋅-()()xxe x e x g ⋅-+=1()()02'>⋅-=xxe x e x g ()x g ∴[)1,0∈x ()()()()2max min 1,20e g x g g x g ====∴A 21()ln ,(),22x x f x g x e -=+=()()g m f n =n m -1ln 2-ln2323e -由题意可知，，即，（互相表示非常困难，所以引入第三变量）设，，设，在单调递减，单调递增，所以选择练习题：1.（2019·黑龙江高三月考（文））设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解题思路：核心要知道：，此时()()n f m g =212ln2+=-n em t n em =+=-212ln 2212,2ln -=+=∴t e n t m 2ln 221--=-∴-t em n t ()2ln 221--=-t et h t ()tet h t 1221'-=-()t h ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21()2ln 21ln 21min =-=⎪⎭⎫⎝⎛=∴h t h B()21,25,2xx f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩…,,a b c ()()()f a f b f c ==222a b c ++()16,32()18,34()17,35()6,711221+-=-=-c ba()5,4∈c ()34,1822222∈+=++c c b a2.已如函数f （x ）={1+lnx ，x ≥112x +12，x ＜1，若x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）＝2，则x 1+x 2的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．[e ﹣1，+∞）C ．[3﹣2ln 2，+∞）D ．[3﹣2ln 3，+∞）解题思路：假设时，，，，此时设，，在上单调递减，上单调递增，所以选择3.已如函数f （x ）={1+lnx ，x ≥13x−2，x ＜1，若x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）＝2，则x 1+x 2的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，2）解题思路：假设时，，，，此时设，，在上单调递增，所以选择大题篇：核心知识点：题目中和有等式关系，用分别表示和，或者用分别表示和21x x >()()221=+x f x f 22121ln 121=+++∴x x 1ln 212+-=∴x x ()∞+∈，11x 1ln 21121+-=+∴x x x x ()1ln 2+-=x x x g ()xx g 21'-=∴()x g ∴()2,1()+∞,2()()2ln 32min -==∴g x g C21x x >()()221=+x f x f 223ln 121=-++∴x x 3ln 13ln 3112x x x -=-=∴()∞+∈，11x 1ln 311121+-=+∴x x x x ()1ln 31+-=x x x g ()x x g 311'-=∴()x g ∴()+∞,1()()21min =>∴g x g C1x 2x 1x 2x a 2x 1x a经典例题：1.已知函数A f (x = )ln x +x 2−ax (a ∈R )⑴求函数的单调区间；⑵设存在两个极值点，且，若，求证解题思路：由题意可知，设当，即时，恒成立，所以在是单调递增；当，即或时，当时，，在，上单调递增，上单调递减当时，，在上单调递增⑵由题意可得，是的两个根，则（用分别表示出和），整理，得，此时 设，求导得恒成立，()x f ()x f 21,x x 21x x <2101<<x ()()2ln 4321->-x f x f ()xax x a x x x f 12212'+-=-+=()122+-=ax x x ϕ082≤-=∆a 2222≤≤-x ()0≥x ϕ()x f ()+∞,0082>-=∆a 22-<a 22>a ()10=ϕ22>a ()10=ϕ()x f ∴()10x ，()+∞,2x ()21,x x 22-<a ()10=ϕ()x f ∴()+∞,021,x x ()0122=+-=ax x x ϕ21,22121==+x x a x x 111212,21x x a x x +==∴1x 2x a ()()()2222121121ln ln ax x x ax x x x f x f -+--+=-∴()()2121121412ln ln 2x x x x f x f -++=-∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,01x ()22412ln ln 2x xx x h -++=()()01214422123223243'<--=-+-=--=x x x x x x x x x h在上单调递减，2.已知对数函数过定点（其中…）函数（其中为的导函数，为常数）.（1）讨论的单调性（2）若对有恒成立，且在，处的导数相等，求证：. 解题思路：由题意可知，则求导，得，当时，恒成立，在上单调递减；当时，在上单调递增，上单调递减⑵由题意，即，即，设，则，由（1）可知，时，又，，求导得，，由题意可知，即设，由利用均值不等式，可得设，，在上为单调递增，()x h ∴⎪⎭⎫⎝⎛21,0()2ln 4321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛>∴h x h ()fx 12P ⎫⎪⎭2.71828e ≈()()()g x n mf x f x '=--()f x '()f x ,n m ()g x (0,)x ∀∈+∞()m n x g -≤()()2h x g x x n =+-1x x =()212x x x ≠()()1272ln 2h x h x +>-()x x f ln =()x xmn x g ln --=()22'1xx m x x m x g -=-=0≤m ()0'<x g ()x g ∴()+∞,00>m ()x g ∴()m ,0()∞+，m ()m n x g -≤m n x x m n -≤--ln 0ln ≤--x xmm ()x x m m x ln --=ϕ()xx m x 1'2-=ϕ0>m ()()0ln 1max ≤--==m m m x ϕϕm m ln 1≥- 0ln 1=--∴m m 1=∴m ()x x x x h ln 12--=∴()xx x h 1122'-+=()()2'1'x h x h =11121=+∴x x 2121x x x x ⋅=+()()()()()()2121212122211121ln 12ln 12ln 12ln 12x x x x x x x x x x x x x x x h x h --=--+=--+--=+∴21x x t =2121x x x x ⋅=+4>t ∴()t t t ln 12--=ρ()tt 12'-=ρ()t ρ∴()+∞,4()()2ln 274-=>∴ρρt。
导数压轴-双变量问题的探讨
引言导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m 和n 、a 和b 、1x 和2x 。
显然涉及两个变量的问题我们是不会处理的，如何把两个变量转化为一个变量就成了我们问题解决的关键。
方法点睛方法一：也是最核心、最常见的方法。
就是进行式子齐次化，进行了齐次化后可以将12x x 或者12x x -作为单元，这样就达到了减元的目的。
方法二：一般可以通过联立12,x x 的等式，通过对两式进行相加（相减）等操作，对所求式等进行化简。
方法三：对于等价双变量不等式问题，我们先令如12x x >，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为()g x ，问题也许就转化成了()g x 的单调性问题。
还有其他的一些方法技巧性较强，我们在后面的题目中进行详细剖析。
例题讲解【例题1】已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+. （Ⅰ）若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围 （Ⅱ）设m ，n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<- 对话与解答：（Ⅰ）2a ≤（Ⅱ）不妨设m n >，证明原不等式成立等价于证明()2ln m n mm n n-<+成立，也就是证明第六课：关于导数中双变量问题的探讨21ln 1m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭<+成立。
令,1m t t n =>，即证()()21ln 01t g t t t -=->+。
运用（Ⅰ）的结论，()g t 在()0+∞，上单调递增，故()()10g t g >=，不等式得证。
本题我们用到方法一。
看到解答，你可能会觉得将()2m n m n -+处理成211m n m n⎛⎫- ⎪⎝⎭+真是神来之笔，也是解决整个问题的关键。
那么这个处理究竟有没有思路可循呢？当然是有的，不难发现()2ln m n mm n n-<+的右边已经出现了m n 的形式，同时右边分子分母都死其次式，如果一开始就有“转化成一个变量”的思想，就会迅速锁定mn整体换元。
导数基本公式和运算法则
导数基本公式和运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面我们来详细介绍一下。
一、导数的定义设函数y=f(x)，在点x0处有极限lim (x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)如果该极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)=lim (x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)二、导数的基本公式1. 常数函数的导数为0(d/dx) c = 02. 幂函数的导数(d/dx) x^n = nx^(n-1)3. 指数函数的导数(d/dx) e^x = e^x4. 对数函数的导数(d/dx) ln x = 1/x5. 三角函数的导数(d/dx) sin x = cos x(d/dx) cos x = -sin x(d/dx) tan x = sec^2 x(d/dx) cot x = -csc^2 x三、导数的运算法则1. 常数倍法则如果f(x)在点x0处可导，则kf(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (kf(x))]x=x0 = k[d/dx f(x)]x=x02. 和差法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，则f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)+g(x))]x=x0 = [d/dx f(x)]x=x0 + [d/dx g(x)]x=x0[d/dx (f(x)-g(x))]x=x0 = [d/dx f(x)]x=x0 - [d/dx g(x)]x=x03. 乘积法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，则f(x)g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)g(x))]x=x0 = f(x0)[d/dx g(x)]x=x0 + g(x0)[d/dx f(x)]x=x04. 商法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，且g(x0)≠0，则f(x)/g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)/g(x))]x=x0 = [g(x0)[d/dx f(x)]x=x0 - f(x0)[d/dx g(x)]x=x0]/[g(x0)]^2以上就是导数的基本公式和运算法则，它们是微积分学习的基础，掌握好这些公式和法则，可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
常用导数公式及运算法则
常用导数公式及运算法则导数的概念导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
在数学中，导数表示函数在无限小的变化量情况下的变化率，通常表示为函数的斜率或切线的倾斜程度。
导数在许多领域中都有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域都扮演着重要的角色。
常用导数公式下面列出了一些常用的导数公式：1.常数函数的导数–若f(f)=f，其中f为常数，则f′(f)=0。
2.幂函数的导数–若f(f)=f f，其中f为常数，则f′(f)= ff f−1。
3.指数函数的导数–若f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则$f'(x)=a^x\\ln(a)$。
4.对数函数的导数–若$f(x) = \\log_a(x)$，其中f为常数且f>0且f ff1，则$f'(x)=\\frac{1}{x\\ln(a)}$。
5.三角函数的导数–若$f(x) = \\sin(x)$，则$f'(x)=\\cos(x)$。
–若$f(x) = \\cos(x)$，则$f'(x)=-\\sin(x)$。
–若$f(x) = \\tan(x)$，则$f'(x)=\\sec^2(x)$。
导数运算法则在求导数时，有一些常用的导数运算法则可以帮助简化计算：1.和差法则–$(f(x) \\pm g(x))' = f'(x) \\pm g'(x)$2.常数倍法则–(ff(f))′=ff′(f)，其中f为常数。
3.乘法法则–$(f(x) \\cdot g(x))' = f'(x) \\cdot g(x) + f(x) \\cdot g'(x)$4.商法则–$\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)' = \\frac{f'(x) \\cdot g(x) - f(x) \\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$5.复合函数求导–若有函数f(f)=f(f(f))，则$F'(x) = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$总结通过对常用导数公式和运算法则的了解，可以帮助我们更快更准确地计算函数的导数。
求导的四则运算法则公式
求导的四则运算法则公式求导是微积分中的一个重要概念，而求导的四则运算法则公式更是我们解决导数问题的有力工具。
先来说说加法法则。
假设我们有两个函数 f(x) 和 g(x) ，它们的导数分别为 f'(x) 和 g'(x) ，那么 (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) 。
这就好比你有两堆苹果，一堆每天增加的数量是按照 f'(x) 的规律，另一堆按照 g'(x) 的规律增加，那么把这两堆合在一起每天增加的总数，就是这两个规律相加。
举个例子吧，比如说 f(x) = x²，它的导数 f'(x) = 2x ； g(x) = 3x ，它的导数 g'(x) = 3 。
那么 (f(x) + g(x)) 就是 x² + 3x ，它的导数就是 (f(x) + g(x))' = 2x + 3 ，正好就是 f'(x) + g'(x) 。
再看减法法则，(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) 。
这就像你有两群羊，一群每天减少的数量按 f'(x) 的规律，另一群按 g'(x) 的规律减少，那么两群羊合在一起每天减少的总数就是这两个规律相减。
比如说 f(x) = 5x²，导数 f'(x) = 10x ； g(x) = 2x ，导数 g'(x) = 2 。
那么 (f(x) - g(x)) 就是 5x² - 2x ，它的导数就是 (f(x) - g(x))' = 10x - 2 ，正是 f'(x) - g'(x) 。
乘法法则稍微复杂点，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 。
这有点像两个人合作完成一项任务，一个人的效率变化规律是 f'(x) ，另一个人的工作总量是 g(x) ；反过来，另一个人的效率变化规律是 g'(x) ，这个人的工作总量是 f(x) ，那么他们合作的成果增加的速度就是这两部分相加。
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双变量函数求导公式
首先，我们要了解偏导数的定义。
对于函数f(x,y)，我们可以对其
中的一个自变量求导，而将另一个自变量视为常数。
这样得到的导数称为
偏导数。
记作∂f/∂x或∂f/∂y，表示对函数f求x或y的偏导数。
对于一个函数f(x,y)，我们可以分别对x和y求偏导数。
这意味着
我们将其中一个自变量视为常数，而将另一个自变量视为变量。
因此，我
们可以得到以下公式：
1. 如果 f(x, y) = x^n，则∂f/∂x = nx^(n-1) 和∂f/∂y = 0。
这是
因为当我们对 x 求偏导数时，视 y 为常数，而常数的导数为 0。
同样地，当我们对 y 求偏导数时，视 x 为常数，而常数的导数为 0。
2. 如果 f(x, y) = y^n，则∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = ny^(n-1)。
这是
与上述情况类似的。
3. 如果 f(x, y) = x^m*y^n，则∂f/∂x = mx^(m-1)*y^n 和∂f/∂y = nx^m*y^(n-1)。
在这种情况下，我们对 x 求偏导数时，y 被视为常数，
并且同样地，对 y 求偏导数时，x 被视为常数。
以上是针对特定形式的函数的偏导数公式。
然而，在实际问题中，我
们经常遇到更复杂的函数形式。
在这种情况下，我们可以使用链式法则来
计算偏导数。
对于一个复合函数f(g(x,y))，其中g(x,y)是一个双变量函数，我们
要求f对x和y的偏导数，可以使用以下公式：
∂f/∂x=(∂f/∂g)*(∂g/∂x)
∂f/∂y=(∂f/∂g)*(∂g/∂y)
其中(∂f/∂g)表示f对g的偏导数，(∂g/∂x)和(∂g/∂y)分别表示g对x
和y的偏导数。
通过这些公式，我们可以求解各种形式的双变量函数的偏导数。
然而，需要注意的是，有些函数的偏导数可能不存在或者不唯一、在这种情况下，我们需要使用其他的方法来求解。
另外，对于涉及双变量函数的求导问题，我们可以将其看作是多元函
数的一种特殊情况。
在多元函数中，我们可以使用偏导数的梯度来表示函
数在特定点的导数向量。
这个概念在双变量函数的求导中同样适用。
在实际应用中，双变量函数的求导广泛应用于物理、经济学等学科中
的模型建立和分析中。
通过计算偏导数，我们可以研究函数的变化趋势和
最优解等问题。
综上所述，双变量函数的求导公式主要包括基本函数的偏导数公式和
链式法则。
这些公式可以帮助我们求解各种形式的双变量函数的偏导数。
然而，在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解。