凸壳问题的计算时间下界
凸包convexhullppt课件
Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长 我们先来看一个问题，POJ 1113。 题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。 解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远 点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。 个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简 单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法： 这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法 就像一对卡壳卡住凸包 旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对 踵点的个数不超过3N/2个 也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问 题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;
凸包算法
长 江 大 学 地 球 科 学 学 院
遗留有一个问题 就是处理共线的问题 有时候我们需要凸包边上的点也考虑到 有时候却需要去掉这些点 我们通常称在凸包顶点处的点为极点 如果我们只要求保留极点而去除在边上的点 我们只需在取外侧的点的时候 碰到共线的点取最远的 相反 如果我们要保留所有在边上的点我们只需要在共线的点中取最近的 同样由于参考点的性质 所有向量之间的到角都是在180度以内 不会产生错误
我们经常关注一个点集的凸包 这也是计算几何学的一个基本问题，现在 已经有成熟的算法可以求出平面点集的凸包，凸包有着优美而实用的 性质 我们可以利用凸包把一个杂乱的点集所包含的信息进行有效的 概括、梳理。
2 Graham扫描算法(Graham Scan Algorithm)
Graham扫描算法维护一个凸壳 通过不断在凸壳中加入新的点和去除影响 凸性的点 最后形成凸包 算法主体由两部分组成 先是排序 后是扫描 分块讲解一下
void Graham(int n) { int i,top=2; Pt[n]=Pt[0]; Stack[0]=Pt[0]; Stack[1]=Pt[1]; Stack[2]=Pt[2]; for(i=3;i<=n;i++) { while(Cross(Stack[top1],Stack[top],Pt[i])<=0&&top>1) top--; Stack[++top]=Pt[i]; } }
有了向量 我们就可以选取一个最外侧的点了
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利用向量 我们可以比较哪个点"更外侧" 比如点K和点I 我们利用向量JK乘以向量JI得到一个数 这 个数应该是负数 说明I比K更外侧 两个向量的比较具有传递性 所以我们可以像N个数里取 最大的数一样取出最外侧的 遍历所有点 每个点都和现有最外侧的点比较 得到新的最 外侧的点
凸包——精选推荐
凸包算法模型想象在⼀个平⾯上钉下了n个钉⼦。
现在有⼀根橡⽪筋，我们把它撑开，期望在松⼿之后橡⽪筋可以收缩，包住所有的n个钉⼦。
事实上，这正是⼀个凸包。
如下图：引⼊凸包的概念：凸包，定义为周长最⼩的包含点集中所有点的凸多边形。
即使存在某个凹多边形的周长与凸包相等且可以包含所有点，这个凹多边形也⼀定不是凸包。
如下图，这个凹多边形不是该点集的凸包：凸包问题属于计算⼏何，通常可以使⽤Andrew,Graham,Jarvis，斜率逼近等算法求解。
本⽂将着重介绍其中思想通俗、代码简单的Andrew算法。
由于求解凸包需要⼀些前置的计算⼏何知识，本⽂将会介绍⼀些基础计算⼏何知识。
前置知识引进向量的概念。
在数学中，向量指同时具有⼤⼩和⽅向的量，与之相对的量称为数量。
数量只有⼤⼩，没有⽅向。
向量可以⽤⼀条带箭头的线段来形象地表⽰：箭头代表⽅向，线段的长度代表向量的⼤⼩。
如果向量的起点为A，终点为B，则这个向量可以记作→ab。
两个向量→x1,y1和→x2,y2的外积称之为叉积，它的结果是⼀个向量。
叉积的计算⽅法是 (x1y2)−(x2y1) ，记为→x1,y1×→x2,y2。
对于两个向量→ab,→bc，如果它们的叉积>0 ，说明→ab在→bc的顺时针⽅向；如果它们的叉积=0，说明→ab和→bc共线；如果它们的叉积<0，说明→ab在→bc的逆时针⽅向。
算法思想凸包Andrew算法的思想⾮常简单。
我们⾸先把点集按照以x坐标为第⼀关键字，以y坐标为第⼆关键字的⽅式进⾏双关键字从⼩到⼤排序，排序后的第⼀个点就是我们选出的极点。
两个关键字的顺序可以调换。
如下图，点 1 就是该点集的极点。
接着，我们从极点开始逆时针考虑将每⼀个点都加⼊凸包。
显然我们排序后的第⼀个点和最后⼀个点⼀定在凸包上。
从第⼆个点开始，我们假设当前点可以加⼊凸包。
设凸包上此时有m个点，第m−1 个点和第m个点分别是a,b，当前要加⼊凸包的点为c。
求平面点集凸壳算法
如 图像 处理 、 式识 别等 中应用较 多． 模 传统 求 平 面 点集 凸壳 的算 法 较 多 ， 主要 有 卷 包裹 法 、 雷厄姆算 法 、 治 算法 、 增 量算 法 、 格 分 求 实
时算法 等 ． 由于 在计 算 几何 学 中 凸壳 问题 有 着 基
础作 用和 重 要地 位 ， 家 都在 不 断 的研 究 较 快 的 大 平 面点集 凸壳算 法． 通过 对 传 统 的平 面点 集 凸壳 算 法 的分 析 ， 本 文 给出 了一 种新 的平 面点 集 凸壳 算 法 ． 实 验 验 经 证求 平面海 量散 乱点 集 的凸 壳应 用此 算 法 效果 非
求 平面 点 集 凸壳算 法
李旭朝
（ 兰州交通大学 数理与软件工程学院 ， 甘肃 ７ ０７ ） ３ ０ ０
摘 要 ： 分析传 统平 面点集 凸壳算 法的基 础上 ， 出了一种 新的平 面点 集凸 壳算法 ， 在 给 对算 法步骤 进
行 了详 细说 明， 并对此 算法 可行 性进行 了验证 ， 最后 对算 法时 间复 杂度进行 了分析 探 讨 ， 到 了很 得
面点集 凸壳 生成算法 ．
第 ２期
李旭朝 ： 求平面点集凸壳算法
・ｌ ７・
定 义 ５ 平 面点集 Ｓ＝｛ ， Ｉ ≤ｉ Ｚ Ｐ（ Ｙ） ≤／ １ ，
Ｐ ． Ｙ ＜Ｙ ｝ 子 区 间 ３中 的点 Ｍ ＝｛ ， Ｙ＜ ｍ ； ｍ（
Ｙ） Ｘ ｉ ＜ ｉ Ｙ ｉ＜Ｙ ＜Ｐ ． ｝ 子 区间 ４ ｌ ＜ Ｐ ． ｍ ， Ｙ ；
ｎ ｝ ≥３ 中
，
， ｉ ｉ 应 的点 叫做 平 面点 ｍ ， 对
集 ．的极值点 ． ｓ
２ 平面 点 集 的 凸 壳 生成 算 法
halcon 凸壳运算 -回复
halcon 凸壳运算-回复什么是凸壳运算？凸壳运算（Convex Hull Operation）是一种在计算机视觉和图像处理领域中常用的几何变换方法。
它通常用于提取二维图像或点云数据中的凸多边形边界，无论是在形状分析、目标检测还是场景重建中，凸壳运算都有广泛的应用。
在凸壳运算中，我们所关注的是一个包围一组点的最小凸多边形，也就是将给定的点集合的外围轮廓封闭起来的最小凸包。
这个凸多边形的顶点是给定点集的子集，且连接这些顶点的线段不会超出其他点。
在图像处理中，凸壳运算可以用来求解物体的边界以及计算物体的面积、周长等特征。
在计算机视觉中，使用凸壳运算可以帮助我们进行目标的形状分析、目标检测以及图像的分割等任务。
此外，在计算机图形学中，凸壳运算还可以用于场景重建、虚拟现实等应用。
凸壳运算的三种方法：在凸壳运算中，存在三种常用的算法，它们分别是：Graham扫描算法、快速增量算法和欧几里得算法。
下面我将分别介绍这三种算法的原理和步骤。
1. Graham扫描算法Graham扫描算法是一种经典的凸壳求解算法。
它的基本原理是选取一个点作为起点（通常是给定点集中最下方的点），然后按照顺时针或逆时针的方式对点进行排序。
接下来，算法使用一个栈来存储凸壳的边界点，栈的初始状态为空。
然后依次处理排序后的点集，对于每个点，依次与栈中的点进行相互连线，并判断当前连线与栈顶元素与栈次顶元素构成的连线之间的夹角。
如果连线的方向和夹角满足逆时针旋转，则将当前点入栈；否则，将栈顶元素出栈。
最后，栈中剩余的点即为凸壳的顶点。
2. 快速增量算法快速增量算法是解决凸壳问题的另一种高效算法。
它的基本思想是从上下左右四个方向选择凸壳的点，分别称为上壳、下壳、左壳和右壳。
首先，将给定点集按照x坐标从小到大进行排序，并将最左边的点设定为第一个凸壳点，将最右边的点设定为第一个凸壳点。
接下来，分别从上述四个方向开始，依次找到凸壳的点。
以从左到右的上壳为例，从左侧的第一个点开始，通过比较两个点之间的斜率来确定是否为凸壳的点。
一种平面点集凸壳的快速算法
能使得计算凸壳的时间复杂度为 ０ ｎ ｇ ） （ｌ ｎ 。由于计算 ｏ 平 面 上 ｎ个 点 的凸壳 的 时 间复 杂 度 的下 界 为 Ｑ
（ｌ ｎ ， ｎ ｇ ）这种凸壳技术可以称为最优 凸壳技术。本文 ｏ
１ 基本概念
定义 １ 对一个给定的平面点集 Ｓ ，包含 Ｓ Ｐ Ｐ的 最小凸多边形称为 Ｊ 的凸壳 。 ｓ Ｊ ｐ 本文规定这个凸多边形
ｓ ｒｅ ｎ ｓａ ｎ ｅ ，ｃ ｎ ｔ ｃ ｅ ｉ ｉ ａ ｃ ｎ ｅ ｕｌ ｈ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｈ ｉ ｒ ｔ ｏ ｎ ｏ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｕｌ ｗｈ ｃ ｏ ｔｄ ｉ ｃ ｎ ｍａ ｎ ｒ ｏ ｓ ｕ ｔｔ ｎｔ ｌ ｏ ｖ ｘ ｈ ｌ ｒ ｈ ｉ ，ｔ ｅ ｄ ｈ ｅ ｔ ｆ ｔ ｅ ｄｓ ｅｅ ｐ ｉ ｔ ｔ ｈ ｏ ｖ ｘ ｈ ｌ ｃ ｓ ｉｈ
的算法基本思想是 ： 首先对所有 Ｊ 中的点按照扫描线 ｓ Ｊ ｐ 方式排序为 Ｐ 然后 ｛ ， ， ） ， ｐ Ｐ …ｐ。 。： 生成第一个 凸壳（ 凸
ｈ ｓ ｂ ｅ ｃｅ ｔｄ ａ ｄ ｇ ｎ ｒ ｔ ｗ ｏｎ ｘ ｕ１ ａ ｅ ｎ ｒ ａｅ ｎ ｅ ｅ ａｅ ａ ｎｅ ｃ ｖｅ ｈ ｌ．Ｅｘ ｒｍ ｅ ｔ ｈ ｐｅ ｉ ｎ ｓ ｏｗ ｈ ｔｔ ｌｏｒｔｍ ａ ｇ ｏｄ ｅ ｉｉｎｃ ． ｓ ｔ ａ ｈｅ ａｇ ｉ ｈ ｈ ａ ｏ ｆ ｃｅ ｙ ｓ Ｋｅ ｒ ：ｃ ｎ ｘｈｕｌ ｃ ｐ ａｉ ａ ｅ ｙ ｗｏ ｄｓ ｏ ｖｅ ｌ； ｏｍ ｕｔｔ ｏｎ ｌ ｏｍ ｅｒ ；ｕｉｋｓ ｒ ｇ ｔｙｇ ｃ ｏ ｔ
维普资讯
第 １ 第 ３期 ６卷
２ ０ ０ ８年 ６月
电
脑
与
信
息
技
术
算法——蛮力法之最近对问题和凸包问题
算法——蛮⼒法之最近对问题和凸包问题 上次的博客写到⼀半宿舍停电了。
然⽽今天想起来补充完的时候发现博客园并没有⾃动保存哦，微笑。
最近对问题 ⾸先来看最近对问题，最近对问题描述的就是在包含n个端的集合中找到距离最近的两个点，当然问题也可以定义在多维空间中，但是这⾥只是跟随书上的思路实现了⼆维情况下的最近对问题。
假设所有讨论的点是以标准的笛卡尔坐标形式（x，y）给出的，那么在两个点P i=(X i，Y i)和P j=（X j，Y j）之间的距离是标准的欧⼏⾥得距离： d(P i,P j)=sqrt( (X1-X2)2+(Y1-Y2)2 )蛮⼒法的思路就是计算出所有的点之间的距离，然后找出距离最⼩的那⼀对，在这⾥增加效率的⼀种⽅式是只计算点下标 i<j 的那些对点之间的距离，这样就避免了重复计算同⼀对点间距离。
下⾯是蛮⼒法解决最近对问题的算法：使⽤蛮⼒法求平⾯中距离最近的两点BruteForceClosetPoints（P）//输⼊：⼀个n（n≥2）的点的列表P，P i=(X i，Y i)//输出：距离最近的两个点的下标index1和index2dmin <— ∞for i <— 1 to n-1 do for j <— i+1 to n do d <— sqrt( (X i-X i)2+(Y j-Y j)2 ) if d<dmin dmin=d; index1=i; index2=j;return index1,index2 该算法的关键步骤是基本操作虽然是计算两个点之间的欧⼏⾥得距离，但是求平⽅根并不是像加法乘法那么简单。
上⾯算法中，开平⽅函数导数恒⼤于0，它是严格递增的，因此我们可以直接只计算(X i-X i)2+(Y j-Y j)2，⽐较d2的⼤⼩关系，这样基本操作就变成了求平⽅。
平⽅操作的执⾏次数是： n（n-1）∈Θ（n2）因此，蛮⼒法解决最近对问题的平均时间复杂度是Θ（n2） 下⾯是该算法的c++代码实现部分，在实现这个算法时，我碰到了三个问题： ⼀是：怎么表⽰⼀个点集，因为最终返回的下标是集合中点的下标，要⽤的数据结构就是⼀维数组，但是点的xy坐标⼜要怎么表⽰呢，这⾥我在头⽂件中创建了struct类型的点结构，该结构拥有的成员变量就是x代表的横坐标和y代表的纵坐标，这样就可以直接创建该结构的⼀位数组进⾏计算了。
算法设计与分析学习提纲,第十四章下界
第十四章下界14.1 平凡下界平凡下界：用直观的方法就可以推导出来。
例14.1检查n个元素的整数数组中，其值为偶数的元素个数。
需要对数组中的每一个元素进行判断和累计。
对每一个元素进行判断需要)1(Ω时间，对n个元素进行判断，就需要)Ω时间。
(n因此，)Ω是求解这个问题的所有算法的下界。
(n例14.2检查具有n个顶点的有向图的可达性矩阵问题。
n⨯的矩阵，n个顶点的有向图的可达性矩阵是一个n需要检查2n个元素，每检查一个元素至少需要)1(Ω时间，则检查2n个元素，至少需要)Ω时间。
(2n因此，)Ω是求解这个问题的所有算法的下界。
(2n1.4.2 判定树模型一、判定树模型判定树是一棵二叉树：内部结点，相应于形式为yx≤的比较。
如果关系成立，则控制转移到左儿子结点；否则，控制转移到右儿子结点。
叶子结点，表示问题的一个结果。
二、用判定树模型建立问题的下界从根结点开始执行，根据比较操作的结果，将控制转移到它的儿子结点。
上述过程一直进行，直到叶子结点为止判定树的高度与问题的时间复杂性有关忽略解题时的所有算术运算，只集中考虑分支执行时的转移次数。
14.2.1 检索问题一、检索问题：数组A是一个具有n个元素的有序数组，给定元素x，确定x是否在数组A中。
12二、用判定树模型来确定基于比较的检索问题的下界用二叉树表示数组的检索过程，树中的每个结点表示元素x 和数组中某个元素][i A 的一次比较。
每次比较有三种可能的结果：][i A x <、][i A x =、及][i A x >。
假定，如果][i A x =，则算法检索成功而终止；如果][i A x <，则算法的执行转移到二叉树的左分支；如果][i A x >，则算法的执行转移到二叉树的右分支。
算法的执行沿左右分支推进，直到叶子结点，若都找不到使][i A x =的i ，，则算法检索失败而终止。
因为检索过程是从根结点开始，直到叶结点为止的。
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凸壳问题的计算时间下界
王晓东
【期刊名称】《软件学报》
【年(卷),期】1994(005)012
【摘要】Ａｇｇａｒｗａｌ指出Ｓｔｅｅｌｅ和Ｙａｏ的关于凸壳问题计算间下界的证明仅当点集是非退化时是有效的。
至今还不清楚他们的证明是否可以经过修改后处理对凸壳问题的解集无任何约束的情形。
在固定阶代数判定树模型下，本文彻底解决了这个问题。
【总页数】6页(P38-43)
【作者】王晓东
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.用归约原理求解凸壳问题的计算复杂性的研究 [J], 曾纯强
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4.带有延迟时间下界的k-(n_1,1,…,1)-排序问题的拟多项式时间算法 [J], 殷志文;沈靓
5.带有延迟时间下界的k-(n_1,1,…,1)-排序问题的拟多项式时间算法 [J], 殷志文;沈靓
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