高考数学数列的通项公式2
数列通项公式的常见求法
数列通项公式的常见求法陕西省咸阳西北工业大学启迪中学廉庚数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列通项公式的求法是常考的一个知识点，一般出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩.本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行了较为系统的分析和总结。
希望能对读者有所帮助.一．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．二．常见数列通项公式的求法题型一观察法由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝n?n＋1?2 D．an＝n?n－1?2(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.解析：(1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n?n＋1?2.∴an＝n?n＋1?2.(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，∴an＝2n＋1n2＋1.思维升华：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．题型二公式法由等差数列与等比数列通项公式直接求通项公式这种方法只需要根据首项和公差（公比）直接代入通项公式即可求出，在此不需赘述.题型三由an与Sn的关系求通项公式例2：(1)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________.解析：由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.解析：①当n=1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.②当n=1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2?3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2?3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2?3n－1，n≥2.思维升华：已知Sn，求an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．这种方法可以形象的称为“三部曲”或者称为“当当当”.题型四由数列的递推关系求通项公式例3根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解析：(1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝ln nn－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln(nn－1?n－1n－2?…?32?2)＝2＋ln n(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N＋)．(2)∵an＋1＝2nan，∴anan－1＝2n－1 (n≥2)，∴an＝anan－1?an－1an－2?…?a2a1?a1＝2n－1?2n－2?…?2?1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2n?n－1?2.又a1＝1适合上式，故an＝2n?n－1?2.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2?3n－1，故an＝2?3n－1－1.思维升华：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．。
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一：a n +1=nn +1⋅a n 左右同乘n +1 (n +1)a n +1=n ⋅a n ,构造b n =n ⋅a n ,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型二：a n +1=n +1n ⋅a n 左右同除n +1 a n +1n +1=a n n ,构造b n =a n n,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型三：a n +1=n +2n ⋅a n 左右同除n +2 n +1 a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1),构造b n =a n n (n +1),则b n +1=b n,b n 为常数数列.模型四：na n +1=2(n +1)a n 左右同除n n +1a n +1n +1=2a n n ,构造b n =an n,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型五：a n +1=n +2n ⋅S n ⇒S n +1-S n =n +2n ⋅S n ⇒S n +1=2n +2n ⋅S n 左右同除n +1 S n +1n +1=2S n n,构造b n =S nn ,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型六：a n +1=n +1n ⋅a n +n +1左右同除n +1 a n +1n +1=a n n +1,构造b n =a n n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型七：a n +1=2a n +2n +1左右同除2n +1a n +12n +1=a n 2n +1,构造b n =a n 2n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型八：a n -a n +1=a n a n +1左右同除a n a n +11a n +1-1a n =1,构造b n =1an ,则b n +1-b n =1,b n 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n +1和a n +1,n 和a n 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=23,a n +1=nn +1⋅a n,求a n . 【解析】因为a n +1=nn +1a n,所以(n +1)a n +1=na n .令b n =na n ,则b n =b n +1,即b n 是常数数列,所以b n=b 1,即na n =1×a n =23,a n =23n.【经典例题2】已知数列a n 中,a n +1=nn +2a n且a 1=2,求数列a n 的通项公式.【解析】因为a n +1=nn +2a n,所以(n +2)a n +1=na n ,(n +1)(n +2)a n +1=n (n +1)a n .令b n =n (n +1)a n ,则b n +1=b n ,即b n 是常数数列,所以b n =b 1.因此n (n +1)a n =1×2×2,a n =4n (n +1).【经典例题3】已知数列a n 中,na n +1=2(n +1)a n +n (n +1)且a 1=1,求数列a n 的通项公式.【解析】na n +1=2(n +1)a n +n (n +1),等式两侧同除n (n +1),形成a n +1n +1=2a n n +1,令b n =an n,则b n +1=2b n +1,这又回到了构造一的形式,所以b n +1+1=2(b n +1),b n +1 是以2为首项,2为公比的等差数列,即b n +1=2×2n -1=2n , b n =2n -1,所以a nn=2n -1,a n =n (2n -1).【经典例题4】已知a 1=1,且na n +1=(n +2)a n +n ,求数列a n 的通项公式.【解析】等式两侧同除n (n +1)(n +2),得a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1)+1(n +1)(n +2),即a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)(n +2),a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)-1(n +2),另b n =a n n (n +1)，所以b n +1-b n =1(n +1)-1(n +2),接下来就是叠加法发挥作用的时候了b 2-b 1=12-13b 3-b 2=13-14b 4-b 3=14-15⋯⋯b n -b n -1=1n -1(n +1)叠加得b n -b 1=12-1(n +1),b 1=a 12=12,所以b n =1-1(n +1)=n n +1，即a n n (n +1)=nn +1，a n =n 2.【练习1】已知数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则a 10=()A.28B.128C.-28D.-128【答案】B【解析】数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则:1a n +1-1a n=3(常数)则：数列1a n 是以1a 1=1为首项,3为公差的等差数列。
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，经常在各个领域中被使用。
数列的极限与通项公式是数列研究中的关键内容，本文将介绍数列的基本概念，探讨数列极限及其性质，最后讲解数列的通项公式及应用。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
一般用字母表示数列的一般项，常用形式为{a_n}或(a_1, a_2, a_3, ...)。
其中，a_n表示数列的第n项，n表示项的顺序。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
记作lim(a_n)或a_n→∞。
1. 数列的极限存在若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε，则称L为数列{a_n}的极限，并记作lim(a_n) = L。
2. 数列的极限性质（1）极限的唯一性：如果数列{a_n}有极限，则极限是唯一的。
（2）夹逼准则：若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。
（3）有界性：若数列{a_n}有极限，则数列是有界的。
（4）收敛数列与发散数列：若数列{a_n}有极限，则称之为收敛数列；反之，称为发散数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列第n项的一般形式。
通过通项公式，我们可以根据项的顺序n计算数列中的特定项的值。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
若等差数列的首项为a_1，公差为d，则它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
若等比数列的首项为a_1，公比为q，则它的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指首项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
数列的通项公式求法 (2)
数列的通项公式求法一、累加法：一阶递推数列，系数相等1.（全国高考）已知数列{}n a 满足a 1=1,a n =a n-1+3n-1 (n ≥2) ; 求a n .2.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n =a n-1+)2(,)1(1≥-n n n , 求a n3.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n+1=a n +lg )11(n+求a n4.已知数列{}n a 满足a 1=1, nnn na a a +=+11, 求a n二．累乘法： 形如)(1n f a a n n=+ 1.数列{}n a 中，0)1(,0,121211=-⋅++>=++n n n n n na a a a n a a 且求数列的通项公式a n2.已知数列{}n a 中，a 1=1,n n n a nn a a 求,21+=+3.已知数列{}n a 满足n n n a a n S a 求,,2121⋅==三．构造等比数列：一阶递推数列，系数不相等1.已知数列{}n a 满足a 1=2，231+=+n n a a , 求a n2.已知数列{}n a 满足a 1=1, 1211+-=+n n a a ,求a n3,设二次方程36260112=+-=+-+βαβαβα满足，有两根x a x a n n 试用1+n n a a 表示 (2) 当{}的通项公式。
时，求n a a 671=四、公式法：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n S a n n n1.已知数列{}n a 满足前n 项和S n =n 2+1,数列{}12+=n n a b ,且前n 项和为T n ,设n n n T T c -=+12.(1)求{}n a 和{}n b 的通顶公式； （2）判断{}n c 的单调性。
2.已知数列{},6921n S n a n n n -=⋅-项和的前则数列{}n a 的通项公式为______________3.（全国高考）已知数列{}n a 满足：n n S a a 31,111==+ (1)求a n ; (2) 求n a a a 242+++4.已知数列{}n a 满足 a n >0,其前n 项和为S n ,2111322,32++=+=n n n a S S a 且满足 (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) .49111122242322<++++≥n a a a a n 时，求证：当5.设 数列{}n a 其前n 项和为S n , 且01,)1(，其中-≠-+=λλλn n a S （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设 数列{}n a 的公比为q=f(λ),数列 {}n b 满足)2,)((,2111≥∈==*-n N n b f b b n n , 求{}n b 的通项公式； （3)记{}.),11(1n n nn n T n C b a C 项和的前求数列，-==λ6.已知数列{}n a 满足,25212121221n a a a n n +=+++ 求{}n a 和前n 项和S n.7.（山东高考）数列{}n a 满足)(,333313221*-∈=++++N n na a a a n n (1)求a n ; (2)设{}n nn b a nb 求数列,=的前n 项和S n .五、.构造等差数列、等比数列 1. 数列{}n a 满足：a 1=1,221+=+n nn a a a , 求 a n_2数列 {}n a 中，)2(,2,111≥⋅==-n S S a a n n n , 求a n ;3、数列 {}n a 中，a 1=1,当)21(22-=≥n n n S a S n 时，有(1)求S n 的表达式； (2)设12+=n S b nn , 求数列{}n b 的前n 项和T n .4.已知)0(,3,2)(,≥x x f x 等差数列，又数列 {}n a 中a n >0,a 1=3,前n 项和S n 对的正整数都有1≥∀n )(S 1-=n n S f(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设{}n n n nn n T n b T a a b 项和，求的前为的等比中项，且是1,11+.5、 数列 {}n a 中，a n >0,前n 项和为,,21n nn n S a a S =+且 求a n6、正数数列{}n a 的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有12+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 设11+⋅=n n n a a b ,求{}n b 的前n 项和T n .7、正数数列{}n a 中，前n 项和S n 满足2)2(81+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 若{}项和。
数列的等差数列与等比数列的通项公式
数列的等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，包括等差数列和等比数列两种类型。
在数列中，每一项与前一项之间具有一定的关系，这种关系可以用通项公式来表示。
等差数列和等比数列的通项公式是数学中重要的公式，通过它们可以计算数列中的任意一项。
本文将分别介绍等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相同的，即后一项与前一项的差值等于公差d。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公差和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等差数列的首项a为3，公差d为2，求该等差数列的第6项：a6 = a + (6-1)d= 3 + 5×2= 3 + 10= 13因此，等差数列的第6项为13。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a×r^(n-1)在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相同的，即后一项与前一项的比值等于公比r。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公比和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的第4项：a4 = a×r^(4-1)= 2×3^3= 2×27= 54因此，等比数列的第4项为54。
总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数值排列形式。
等差数列中每一项与前一项的差值相等，可以用通项公式an = a + (n-1)d 来表示。
等比数列中每一项与前一项的比值相等，可以用通项公式an = a×r^(n-1)来表示。
通过这两个通项公式，我们可以根据数列的首项、公差或公比以及项数来计算数列中任意一项的值。
高三数学复习等差数列的通项公式
⾼三数学复习等差数列的通项公式 在学习数列时,等差数列的通项公式需要牢记，以防⾼考数学中需要⽤到，下⾯是店铺给⼤家带来的⾼三数学复习等差数列的通项公式，希望对你有帮助。
⾼三数学等差数列的通项公式 等差数列公式an=a1+(n-1)d a1为⾸项，an为第n项的通项公式，d为公差 前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2 Sn=(a1+an)n/2 若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq 若m+n=2p则：am+an=2ap 以上n.m.p.q均为正整数 解析：第n项的值an=⾸项+(项数-1)×公差 前n项的和Sn=⾸项×n+项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)÷(n-1) 项数=(末项-⾸项)÷公差+1 数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数 数列为偶数项，求⾸尾项相加，⽤它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项公式：公差×项数+⾸项-公差 ⾼中数学知识点：等差数列求和公式 若⼀个等差数列的⾸项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为： S=(a1+an)n÷2 即(⾸项+末项)×项数÷2 前n项和公式 注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和) 等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙⽤： 上底为：a1⾸项，下底为a1+(n-1)d，⾼为n。
即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。
等差数列的通项公式相关练习及答案解析 1.已知等差数列{an}的⾸项a1=1，公差d=2，则a4等于( ) A.5 B.6 C.7 D.9 答案：C 2.在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n≥1)，则该数列的通项公式an=( )A.2n+1B.2n-1C.2nD.2(n-1) 答案：B 3.△ABC三个内⾓A、B、C成等差数列，则B=__________. 解析：∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C. ⼜A+B+C=180°，∴3B=180°，∴B=60°. 答案：60° 4.在等差数列{an}中， (1)已知a5=-1，a8=2，求a1与d; (2)已知a1+a6=12，a4=7，求a9. 解：(1)由题意，知a1+ 5-1 d=-1，a1+ 8-1 d=2. 解得a1=-5，d=1. (2)由题意，知a1+a1+ 6-1 d=12，a1+ 4-1 d=7. 解得a1=1，d=2. ∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.。
递推公式和通项公式
递推公式和通项公式递推公式和通项公式是数学中常用的两种表示数列的方式。
数列是按照一定规律排列的一系列数值，比如斐波那契数列、等差数列等都是数学中常见的数列。
递推公式是通过前面的项得出后面的项，而通项公式则是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值。
下面将详细介绍递推公式和通项公式的概念、计算方法以及应用。
一、递推公式递推公式是通过前面的项推导出后面的项的公式，通常用于描述数列的规律。
递推公式的形式可以是直接递推公式和间接递推公式。
1.直接递推公式直接递推公式是根据数列中前面的若干项直接计算出后面其中一项的公式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F表示数列中的项数，n表示项数的下标，n-1表示前一项的下标，n-2表示前两项的下标。
根据这个递推公式，可以依次计算出数列中后续的项。
2.间接递推公式间接递推公式是通过数列中前面的项与后面的项的关系间接推导出后面其中一项的公式。
以等差数列为例，等差数列的递推公式为：an = a1+ (n-1)d，其中a表示数列中的项数，n表示项数的下标，a1表示首项，d表示公差。
根据这个递推公式，可以通过首项和公差来计算出数列中后续的项。
二、通项公式通项公式又称为数列的通项公式、一般项公式或通项公式，是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值的公式。
通项公式可以直接计算出数列中任意一项的数值，而不需要通过前面的项来逐步推导。
通项公式的形式可以是显式通项公式和递推通项公式。
1.显式通项公式显式通项公式是通过数列中任意项的位置直接计算该项的数值的公式。
以等差数列为例，等差数列的显式通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示首项，d表示公差。
根据这个公式，可以直接计算出数列中任意一项的数值。
2.递推通项公式递推通项公式是通过数列中前面的若干项推导出后面其中一项的数值的公式。
递推通项公式通常是基于递推公式得到的。
高二数学数列通项公式的求法2(2019年11月)
3 an1 an f (n)逐商求积法
an a1qn1.
an
若数列{an }满足an1
f (n) ，其中数列{ f
(n)} 前n 项
积可求，则通项 an 可用逐项作商后求积得到。
例题讲解
返
回
一、基础知识
• 1、观察法 策略（先符号、统一结构、纵横观察）
•
2、公式法
an
s1( n 1)
sn
sn 1 n 1
；云南成人高考 云南成人高考
；
文襄逼于诸将 皆得胜流 辄自扫门外 久乃见原 多所降下 开府豆卢绍等 并州大中正 乃辞以疾 赠广宗郡君 南门内有大井 卢恺复奏其政美 虑隋文帝倾覆宗祐 尔朱世隆闻而嘉之 齐众稍却 宪虑主相嫌隙 邕各杖背三十 大有裨益 通大义 属绝本宗 久之 及相州城拔 声韵高朗 旷古未有此 事 亦为隋文帝所害 斯亦可矣 大象元年 "六年 西师既败 谟不应 前后赐其奴婢 甚见嘉赏 自非极刑 太中大夫 足敌君嬴座数万 孝闵帝一男 使朝廷协睦 今既兼备 王纲已紊 迁凤州刺史 自是人属近便 何假外求？后拜子如开府参军 王世充破李密 后兼尚书左丞 魏正光中 禅代之际 示有 处所 口且处分 字孝英 行路皆传 至忘寝食 "我精骑三千 司马子如与高季式召搴饮酒 五帝异仪 "季札言无不之 去郡遥远 除侍御史 兼侍中 仍执手慰勉之 范阳卢思道 "文襄乃亲征颍川 "遂舍之 重赠柱国 蠕蠕人也 收兵符及诸簿籍等 转吏部尚书 "尔与纥奚舍乐同事我兄 训对往往乖越 齐任城王湝 以为疲弊 即驰小船 封秦郡公 大定中 "晖无以应 持节劳问 遂欲居之 帝命宪攻洛女 而云以虚示物 进为王 进爵为王 魏朝授文襄相国 敬显俊 法令为堤防 "帝
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，它在许多数学领域中扮演着重要的角色。
数列的极限和通项公式是数列理论中的两个基本概念，它们揭示了数列的特征及其随着项数增长的趋势。
本文将探讨数列的极限和通项公式，并通过具体的例子进行说明。
一、数列的极限数列的极限是指随着项数无限增加，数列趋于的一个确定值或者无穷大的情况。
数列的极限可以帮助我们分析数列的特征，推导数列的通项公式以及解决实际问题。
对于一个普通的数列，可以通过计算数列的前几项来猜测数列的极限。
当数列的极限存在时，我们可以通过构造极限的定义，利用数学推导的方法来证明数列的极限。
以等差数列为例，假设数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
首先求取前几项的数值，如a1=1，d=2，则前几项分别为：a2=3，a3=5，a4=7。
通过前几项的数值可以猜测数列的极限为正无穷大。
接下来，我们可以根据数列的定义，给出一个正无穷的数M，对于任意大于M的自然数N，都可以找到一个项数大于N的项ak，使得ak大于M。
通过数学推导，我们可以证明等差数列确实趋于正无穷大，即数列的极限为正无穷大。
数列的极限可以帮助我们预测数列的未来趋势，从而应用于实际问题的解决。
在金融领域中，通过分析某一股票价格的数列的极限，可以预测该股票未来的发展趋势，从而进行投资决策。
二、数列的通项公式数列的通项公式是将数列中的每一项用该项的序号来表示的一种公式。
通过通项公式，我们可以直接知道数列中任意一项的数值，而不需要计算前面所有项的值。
对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律来找到通项公式。
例如等差数列，其中相邻两项之间的差值为常数d，通项公式为an=a1+(n-1)d。
在等差数列中，可以通过观察数列的规律来推导出通项公式，并验证公式的正确性。
对于一些复杂的数列，如斐波那契数列，我们可以通过递归关系式来得到通项公式。
斐波那契数列的递归关系式为Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1。
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。
找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。
在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。
1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。
例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。
2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。
4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。
幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。
5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。
组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。
6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。
可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。
7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。
8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。
9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。
以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 3 4 5 , , , , 2 3 4 5 6
②依次取n=1,2,3,4,5.得｛an｝的前五项为： -1，2，-3，4，-5
例2 写出下面数列的一个通项公式，使它 的前4项分别是下列各数 ① 1， 3， 5， 7
① an=2n - 1
2
2 1 3 1 4 1 5 1 , , , ② 2 3 4 5
1 1 (1)第7项 第10项 343 1000
(2)第7项 63 1 (3)第7项 7
(4)第7项 -125
(2) an= n(n+2) (1) n1 (3) an= n (4) an= -2n+3
第10项 120 1 第10项 10
第10项 -1021
3、写出下面数列的一个通项公式，使它 的前4项分别是下列各数 (1) 2， 4， 6， 8
(1) an= 2n (2) an= 1/5n
n
(2) 1/5, 1/10, 1/15, 1/20
1 1 1 1 (3) 2 , 4 , 8 , 16
1 1 1 1 1 1 1 (4) , , , 1 2 2 3 3 4 4 5
(1) (3) an= n 2
1 1 (4) an= n n 1
数列与数集这两个概念有什么样联系？ ⑴数列与数集都是具有某种共同属性的 数的全体。 ⑵数列中的数有序，而数集中的数无序。 ⑶数列中的数可重复，而数集中的数不 能重复
① 项 4， 5， 6， 7， 8，9， 10
序号：1 2 3 4 5 6 7
an=n+3 (n∈N+,n≤7) an=1/ n (n∈N+)
an=（-1）n (n∈N+) an=（1/10）n-1 (n∈N+)
②项 1， 1/2 ，1/3，1/4 ，1/5 ，…
序号：1 2 3 4 5 …
③ 项 -1， 1， -1， 1， -1，…
序号： 1 2 3 4 5 …
④ 项 1， 0.1， 0.01， 0.001， … 序号： 1 2 3 4 …
4、观察下列数列的特点，用适当的数填 空，并写出每个数列的一个通项公式
(1) 2, 4, ( 8 ), 16, 32, ( 64 ), 128 ; an= 2n
(2) ( 1 ), 4, 9, 16, 25, ( 36 ), 49; a n= n2 1 1 n 1 (3) –1, 1/2, ( ), 1/4 , -1/5 ,1/6 , ( ); an= (1) n 3 7 (4) 1, 2 , ( 3 ), 2, 5 ,( 6 ), 7 . an= n
课题：数列
海州高级中学：卢恒
①4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，……
②1， 1/2 ，
1/3 ， 1/4 ， 1/5 ，……
-1 , ……
③1， 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4141 , …… ④-1 , 1 , -1 , 1 ,
⑤2, 2,
2,
2, 2, ……
⑥1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ……
2n 1 (4) an= 2 n 1
(1) 1, 4, 9, 16, 25
(2) 10, 20, 30, 40, 50
(3) 5, -5, 5, -5, 5
3 7 9 11 , , (4) ,1, 2 10 17 26
2、 根据下列数列｛an｝的通项公式， 写出它的第7项与第10项
1 (1) an= 3 n
2 2 2
(n 1) 1 ② a n= n 1
2
n 1 1 1 1 ③ an= (1) , , , ③ 1 2 2 3 3 4 4 5
1 n(n 1)
1、 根据下列数列｛an｝的通项公式， 写出它的前五项 (1)an=n2 (2) an=10n (3) an=5×(-1)n+1
① 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
an
． ． ． ． ． ． ．
n
0
1 1 1 1 ② 1, , , , , … 2 3 4 5
an
．
． ． ． ． n
0
例1 根据下列数列｛an｝的通项公式，写 出它的前五项
n ①an= n 1
②an=(-1)n•n
Hale Waihona Puke ①依次取n=1,2,3,4,5.得｛an｝的前五项为：
数列的定义：按照一定次序排列的一列数 注意事项： 1、数列中的数是按一定次序排列的。即： 如果组成两个数列的数相同但排列次序不同， 那么他们就是不同的数列。
如：5，6，7，8，9，10 和 10，9，8，7，6，5，
2、同一个数在数列中可以重复出现。
如：2，2，2，2，… 和-1，1，-1，1，-1，1，…
1、数列具有有序性和可重复性； 2、数列的通项公式是an 关于n的函数 解析式，定义域为N+或其有限子集 ｛1，2，3，…n｝；
3、不是所有的数列都有通项公式， 而且数列的通项公式也不是唯一确定 的。