考点17 解三角形应用举例
高考数学 《解三角形应用举例》
解三角形应用举例主标题：解三角形应用举例副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角难度：3重要程度：5考点剖析：能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．命题方向：1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：(1)测量问题；(2)行程问题．规律总结：1个步骤——解三角形应用题的一般步骤2种情形——解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2个注意点——解三角形应用题应注意的问题(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．知识梳理1．距离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，α求AB：AB＝a2＋b2－2ab cos α只有一点可到达b，α，β求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)ABsin β＝bsin B两点都不可到达a，α，β，γ，θ求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；(2)△BCD中，用正弦定理求BC；(3)△ABC中，用余弦定理求AB2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达a，α求AB：AB＝a tan_α底部不可到达a，α，β求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝AD sin_β3.实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．。
解直角三角形应用举例
海洋100海里以内的区域，如图，设A、B
是我们的观察站，A和B 之间的距离为
157.73海里，海岸线是过A、B的一条直
线，一外国船只在P点，在A点测得
∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，
问此时是否要向外国船只发出警告，令
其退出我国海域.
P
A
B
——坡度、坡角
学习目标
1、知道坡角、坡比（坡度）的意义。 2、能将h、l、c、i各量的计算问题转化 为解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
Ex
x
100 2xD
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知 相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角 形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某 边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实 际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实 际问题化归为直角三角形中的边角关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联 系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直 角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问 题时合理运用。
65° P
C 34°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内 有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测 得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达 D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如 果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁 的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
3.国外船只，除特许外，不得进入我国
___1 :__3__。
h
α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
《解三角形的实际应用举例》 知识清单
《解三角形的实际应用举例》知识清单一、解三角形的基本概念解三角形是指通过已知三角形的某些元素（如边、角），求出其余元素的过程。
在实际应用中，我们通常会利用正弦定理、余弦定理以及三角形的内角和定理来解决问题。
正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（＼（R\）为三角形外接圆的半径）。
余弦定理：对于任意三角形，有\（a^2 ＝b^2 ＋c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cosC\）。
三角形内角和定理：三角形的内角和为\（180^｛＼circ}＼），即\（A ＋ B ＋ C ＝ 180^｛＼circ}＼）。
二、解三角形的实际应用类型1、测量距离问题（1）两点间不可到达的距离例如，要测量河两岸两点\（A\）、＼（B\）之间的距离，在河岸一侧选取一点\（C\），测出\（AC\）、＼（BC\）的长度以及\（＼angle ACB\）的大小。
利用余弦定理可以求出\（AB\）的长度。
假设\（AC ＝ m\），＼（BC ＝ n\），＼（＼angle ACB ＝＼theta\），则\（AB^2 ＝ m^2 ＋ n^2 2mn\cos\theta\），从而求出\（AB\）。
（2）两点间可到达但有障碍的距离比如，要测量两个山峰之间的距离，但是中间有山谷等障碍物阻隔。
可以在合适的地点选取观测点，测量出相关的边和角，然后通过解三角形计算出两点之间的距离。
2、测量高度问题（1）底部可到达的物体高度要测量底部可以到达的建筑物的高度，如塔高。
在塔底合适的位置测量出仰角，以及到塔底的距离，然后利用正切函数求出塔高。
假设在点\（C\）测得塔\（AB\）顶部\（A\）的仰角为\（＼alpha\），＼（BC\）的距离为\（d\），则塔高\（AB ＝ d\tan\alpha\）。
解三角形的实际应用举例
第二章 解三角形
(2)由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4575°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4455°°＝20(米)．
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第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
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第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶
解三角形的实际应用举例ppt
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
BCຫໍສະໝຸດ (2) 已知两边和它们的夹角,
(2) 已知两边和一边对角, 求其它元素。
A C
求其它元素。
A C
B
B
补充：我军有A、B两个小岛相距10海里， 敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视 角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为 提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距 离，请你算算看。
0
A
6 2 0
0
D B
0
1 . 95 m
1 . 95
1 . 40
2
2 1 . 95 1 . 40 cos 66 2 0
=3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．
练1.如图,一艘船以32海里/时的 速度向正北航行,在A处看灯塔S 在船的北偏东200, 30分钟后航行 到B处,在B处看灯塔S在船的北 偏东650方向上,求灯塔S和B处的 距离.（保留到0.1） 解：AB=16，由正弦定理知：
数学结论 解三角形问题
谢谢
再见！
解三角形问题是三角学的基本问题之一。什 我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形的方法在度量工件、测量距离和高 么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， “测量”。最初的理解是解三角形的计算，后 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 形的方法。 两部分内容的一门数学分学科。 已经取得了某些特殊角的正弦……
解三角形的应用举例
方位角 60度
目标方向线
视 线
仰角
水平线
俯角
视 线
4
三角形中的计算问题
• • • • 面积计算公式： S=1/2ah S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB 海伦-秦九韶公式：
S=abc/4R
5
定理应用
P18例1 如图, 为了测量河对岸两点 A, B之间的距离, 在河岸这 边取点C , D, 测得ADC 85, BDC 60, ACD 47, BCD 72, CD 100m , 设A, B , C , D在同一平面内, 试求A, B B之间的距离(精确到1m) A
例5、锐角三角形中，边a、b是方程x 2 2 3 x 2 0
的度数，边 c的长度及 ABC的面积。 3
2 sin （ A B） 3 0， sin （ A B） 解：
ABC为锐角三角形
的两根，角 A、B满足2 sin （A B） 3 0，求角 C
2
A B 120o C 60o 边a、b是方程 x 2 2 3 x 2 0的两根
c a b 2ab cos C 2 （a b） 3ab 12 6 6 c 6
2 2 2
a b 2 3，ab 2
S ABC
所以F3和F 在同一条直线上, 并且大小相等, 方向相反.
如图在OF1 F中,由余弦定理, 得
F 302 502 2 30 50cos120 70( N ).
再由正弦定理, 得
P20练习2 50sin120 5 3 sin F1OF , 70 14 sin F1OF 38.2 , F1OF3 141.8 .
解直角三角形的应用举例课件[原创]
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（2）示意图如右图
（3）BD=a , ∠ACE=ą （4）AB = a tgą+ 1.5
M
C D ą N E B
例
3 校数学兴趣小组同学打算去测量始丰溪岸一铁塔的
高度，他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度 为1.5米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器）一架。 若测量的铁塔位于始丰溪的对岸，假如人又无法直接到达 对岸，该如何设计测量方案？ 方案1 （1）测量工具 （2）示意图如右图 A
（3）CD=1.5 ,DF=a a （4） AB= + 1.5
ctgą- ctgβ
C ą D F
β
Ｅ Ｂ
例
3 校数学兴趣小组同学打算去测量始某铁塔的高度，
他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度为1.5 米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器）一架。 若测量的铁塔位于始一河流的对岸，假如人又无法直接到 达对岸，该如何设计测量方案？ 方案2 （1）测量工具 （2）示意图如右图 A
h α
l
（2）仰角和俯角
铅 直 线 仰角
视线
水平线 俯角
北
30° 东
视线
A
（3）方向角 如图：点A在O的北偏东30°
西
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
B
O 45° 南
例
1
如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得∠A=30°, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积? 解：过点C作CD⊥AB于D C 在Rt△ADC中， ∠A=30°, AC=40, ∴CD=20,AD=AC•cos30° =20√ 3 B D 在Rt△CDB中， CD=20 , CB=25, A √CB2 – CD2 = 15 ∴DB= 思考1、在上述条件不改 ∴S△ABC= 1 AB•CD= 1 (AD+DB)•CD 变的情况下，如果没有 2 2 给出图形，那么上述的 √3 +150)(m2) =(200 解法是否正确？ 思考2、若例题中已知条件为∠A=30°, AC=40m,BC=25m,如何计算花圃面积？
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考点17 解三角形应用举例
一、选择题
1.（2011.天津高考理科.T6）如图，在△A B C 中，D 是边A C 上的点，
且
,2
3
,2A B C D B D B C B
D =
=，则sin C 的值为 （ ） A
．
3 B
6
C
．3
D
6
【思路点拨】在等腰三角形ABD
中求出
c o s ,s i n A D B B D C
行从而求出
，再利用正弦定理解B D C 。
【精讲精析】选D 。
由题意可知△ABD 是等腰三角形，
故1
2cos sin 33
∠==⇒∠=
BD
AD B BD C AD ，在△B D C 中，由正弦定理知
s i n s i n s i n
6
=
⇒=∠∠BC BD
C B
D C
C .
2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别
为
2
a ,b,c,a sin A sin B
b cos A +=
,则
b a
=
(A)
【思路点拨】依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得.
【精讲精析】选D ，利用正弦定理，将已知等式化为22sin sin sin cos A B B A +=
A
，整理得，sin B A =
，再利用正弦定理得，b =
，所以
b a
=
．
二、解答题
3.（2011·江苏高考·Ｔ15）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,
（1）若,cos 2)6sin(A A =+π
求A 的值； （2）若c b A 3,3
1cos ==
，求C sin 的值.
【思路点拨】本题考查的是解三角形的问题，解决本题的关键是正确运用两角和的正弦公式和正余弦定理进行化简整理求解。
【精讲精析】（1）由题意知A A A cos 26
sin
cos 6
cos
sin =+π
π
,从而A A c o s 3s i n =,所以
3t a n ,0c o s =
≠A A ，因为π<<A 0，所以3
π
=
A 。
（2）由c b A 3,3
1cos ==，及A bc c b a
cos 22
22
-+=，得2
2
2
c a b +=，所以ABC ∆是直角三
角形，且2
π
=
B ,所以3
1cos sin =
=A C 。
4.（2011·湖南高考文科T17）（满分12分）在中，ABC ∆角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC. （I ）求角C 的大小； （II
）求A cos(B )4
π-+
的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.
【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的应用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次常用正弦定理，如果是边的二次常常考查余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用. 【精讲精析】
（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==从而又所以则
（II ）由（I ）知3.4
B A π=
-于是
cos()cos()
4
cos 2sin().
6
3110,,,,
46
6
12
6
2
3
A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+
=--=+=+
<<
∴
<+
<
+
=
=
从而当即时
2sin()6
A π
+
取最大值2．
cos()4
A B π
-+
的最大值为2，此时5,.
3
12A B π
π
=
=
5.（2011·江西高考文科·Ｔ17）在∆A B C 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知
3c o s c o s
c o a A c B b
C
=+. （1）求cos A 的值
（2）若
a=1,cos cos 3
B C +=,求边c 的值.
【思路点拨】（1）首先根据余弦定理得到c.cosB+bcosC=a,然后解得cosA.
(2)先根据和角公式求出cosB ，代入已知条件式，再利用辅助角公式求出sinC,最后利用正弦定理解出c. 【精讲精析】解：（1）
2
2
2
2
2
2
2cos ,2cos ,1cos cos ,3cos ,cos 3
11(2)cos sin cos cos()cos 3
3
3,cos cos cos 3
3sin()1,sin cos 0.3
3
2
b a
c ac B c a b ab C c B b C a a A a A A A B A C C C C B C C C =+-=+-+=====
=-+=-++=+=π+ϕ=ϕ=ϕ=
<ϕ<由余弦定理有代入已知条件得即由得则代入，从而得其
中sin ,sin 2
3
sin 2
a C C C c A
π+ϕ=
=
=
=则于是由正弦定理得。