线性代数公式

线性代数第一章 矩阵1.几种特殊的矩阵零矩阵 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵 三角矩阵 行阶梯矩阵 行最简形矩阵 2.矩阵乘法的运算规律 →(AB)C =A(BC) 结合律→ A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA 分配律 → k(AB)=(kA)B=A(kB)其由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1) A n A m = A n+m (2) ( A n )m = A n m(3) ( AB ) k ≠ A k B k 中k 为任意数 注：1.矩阵乘法不满足交换率，即：AB ＝BA 不一定成立，反例见书P62.n 阶数量矩阵kE 与任意n 阶方阵A 可交换，即（kE ）A ＝A （kE ）＝kA ，特别的， AE ＝EA ＝A3.如果记f （x ）＝a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0是x 的m 次多项式，A 是n 阶方阵，称 f （A ）＝a m A m +a m-1A m-1+…+a 1A+a 0E 为A 的m 次多项式 3.矩阵的转置，叫做 A 的转置矩阵，记作A T 。

m 阶矩阵。

且 A 的行一定就是 A T 中T 4.(AB)T =B T A T对称矩阵的和，设 A 为 n 阶方为对称矩阵； 阵 A 为反对称矩阵。

为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵 ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立，即A -1=A *⁄|A|3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== (kA)-1=k -1A -1***111()()()TT TAB B A AB B A AB B A ---===(A -1)-1=A4.方阵A 为可逆矩阵的充要条件是A 可以写成初等矩阵的乘积 6.方阵的行列式1。

交换行列式的任意两行或两列，行列式值反好。

2。

若行列式有两行或两列的元素相同，则此行列式的值为零 3。

若行列式有两行或两列的元素成比例，则此行列式的值为零4。

行列式的某一行或一列中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式5。

行列式的某一行或一列中的元素都是两数之和，则此行列式关于该行或该列可表示为两个行列式之和6。

如果将行列式的某一行或某一列的k 倍加到另一行或一列去（称为倍加运算），则其值不变7。

N 阶方阵A 与其转置矩阵A T 有相同的行列式，即|A|=|A T | 7.矩阵的秩定义：设A 为m ＊ n 矩阵，在矩阵A 中任取k 行k 列（k<=m 和n 的最小值），位于这些行列相交处的元素按原来的顺序所组成的k 阶行列式，称为A 的k 阶子式。

A 中所有不为零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作r （A ）矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若矩阵A 与矩阵B 等价，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-第二章 n 维向量一. 3.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；4. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）5. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)6. ()()T r A A r A =；(101P 例15)7.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；8. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；9. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）二．1。

n 维向量组a 1a 2,…，a s 是线性相关的充要条件是存在不全为零的数k 1k 2,…，k s ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k s a s =02.如果向量组的某个部分组是线性相关的，则整个向量组是线性相关的3。

向量组a 1,a 2,…,a s 是线性相关的当且仅当在a 1,a 2,…,a s 中存在一个向量a j ，使得a j ，使得a j 可以由其余s -1个向量线性表示4.如果向量组a 1,a 2,…,a s 的秩小于s ，则称向量组a 1,a 2,…,a s 是线性相关的。

否则，就称这个向量组是线性无关的。

推出：向量组a 1,a 2,…,a s 是线性相关的当且仅当A 1T ,A 2T ,…,A S T 是线性相关的； 含一个向量的向量组是线性相关的当且仅当这个向量为零向量； 含两个向量的向量组是线性相关的当且仅当着两个向量的分量成比例； 当s > n 时，任意s 个n 维向量一定线性相关。

5。

如果向量组β1，β2，…，βt 可以由α1，α2，…，αs 线性表示，则r ｛β1，β2，…，βt ｝≤ r ｛α1，α2，…，αs ｝三．N 维向量的内积———称n 维向量α，β的对应的分量的乘积之和为这两个向量的内积，记为［α，β］＝αT β，若α＝（x 1,x 2,…,x n )T , β=(y 1,y 2,…,y n )T ,则 ［α，β］=x 1y 1+x2y2+…+x n y n n 维向量内积满足下列性质：（1）［α，β］＝［β，α］； （2）［k α，β］＝k ［α，β］（2）［α＋β，γ］＝［α，γ］＋［β，γ］ （4）［α，α］≥0，且［α，α］当且仅当α＝0 四．正交矩阵定义：如果n 阶实矩阵A 满足A T A ＝E ，则称A 是正交矩阵，简称正交阵第三章线性方程组的解一．齐次线性方程组1.定义：如果将系数矩阵用其列向量表示为A=(a1,a2,…,an),则齐次线性方程组可以写成与之等价的向量方程的形式——x1a1+x2a2+…+xnan=02.有非零解的条件：齐次线性方程组有非零解当且仅当系数矩阵A的秩小于未知量的个数n即，如果s<n，则任意含n个未知量的、由s个方程组成的齐次线性方程组一定由非零解。

3。

推论：如果A是方阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是行列式｜A｜＝04。

设含n个未知量的齐次线性方程组Ax＝0的系数矩阵A的秩为r，若r<n，则Ax＝0的任一基础解系中均含n－r个解向量二．非线性齐次线性方程组——x1a1+x2a2+…+xnan=b1。

定理：线性方程组有解当且仅当它的系数矩阵A与增广矩阵（A，b）有相同的秩。

并且如果它们的秩相同，且都等于r，则次线性方程组的通解中含有n－r个自由未知量。

2。

非齐次线性方程组的通解形式：设γ是线性方程组Ax＝b的特解，η1，η2,…,ηn-1是其导出组Ax＝0的基础解系，则Ax＝b的通解形式为：x＝γ＋k1η1+k2η2+…+kn-1ηn-1,其中,k1,k2,…,kn-1是任意常数。

Ax=b的形式如上式的通解称为这个线性方程组的一般解。