2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
合集下载
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
2 2
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2) ( y 3) 0 表示点（2，3）
2 2 2 2
x 2, y 3
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
C(2,-8)
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
D 4 E 6 F ห้องสมุดไป่ตู้2
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2) ( y 3) 0 表示点（2，3）
2 2 2 2
x 2, y 3
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
C(2,-8)
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
D 4 E 6 F ห้องสมุดไป่ตู้2
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时， 方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程 不表示任何图形 ．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它 表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆 心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
2 2
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2) ( y 3) 0 表示点（2，3）
2 2 2 2
x 2, y 3
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2) ( y 3) 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
点到直线距离公式
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2) ( y 3) 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
点到直线距离公式
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
解析：由D2＋E2－4F＝1＋1＋4m>0， 1 得m>－2. 1 故当m>－2时，x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆．
答案：A
2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
一般方程x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)
E＝F＝0
|b|＝r |a|＝r
D2－4F＝0 E2－4F＝0
因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注 意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平 面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的 问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定 理等可简化过程．
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程 x ＋y ＋Dx ＋Ey＋F＝0
2 2
条件
图形 不表示任何图形
D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F=0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示一个点
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，
－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，
F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心 坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d= |1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1)2 ( y 2)2 4
(2) x y 2x 4 y 6 0
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1)2 ( y 2)2 4
(2) x y 2x 4 y 6 0
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
-4-2=-E , 即 E=6 . (-4)(-2)=F F=8 D -3）在直线2x-y-7=0上， 又点（ - ， 2 ∴-D+3-7=0,即D=-4.
∴圆的一般方程为x2+y2-4x+6y+8=0. 答案：x2+y2-4x+6y+8=0
三、解答题
7.（2010·白山高一检测）求过原点及A（1，1），且在x轴 上截得的线段长为3的圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将点（0，0）和A（1，1）的坐标代入方程得
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
【解析】（1）由题意可设B（-3a-4,a),则AB的中点
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d=
|1+2-1| 1 +(-1)
2 2
Байду номын сангаас
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
用r=2求出E的值，用D>E这一条件取舍便可.
【解析】圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心坐标为
D E 半径 r= 1 D2 +E2 +12. (- ,- ), 2 2 2 1 2 r= E +12=2. (1)若D=0，即圆心坐标在y轴上时，有 2
解得E=2或E=-2，又D>E,∴E=-2. 所以，所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0.
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
）
(B)(-∞,
(C)(
5 ,+∞) 4
5 ） 4
(D)［
5 ,+∞) 4
5 ］ 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
9 D= 4 22 +22 +2D+2E+F=0 11 2 则 （-4）-4D+F=0 得 E= 4 1+1+D-E+F=0 F=-7 ∴△ABC外接圆的方程为 x2 +y2 + 9 x- 11 y-7=0. 4 4
一、选择题（每题4分，共16分）
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
(A)是一个点 (B)是一个圆 (C)是一条直线 (D)不存在
）
【解析】选D.∵D2+E2-4F=(-2)2+42-4〓6<0, 故选D.
2.若关于x,y的方程x2+y2+mxy+2x-y+n=0表示的曲线是圆，则
(2)若E=0，即圆心坐标在x轴上时，有
r=
1 2 D +12=2. 解得D=2或D=-2. 2
又D>E,∴D=2. 所以，所求圆的方程为x2+y2+2x-3=0. 综上可知所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0或x2+y2+2x-3=0.
9.(10分)已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD