实验三 求代数方程的近似根(解)

f ''( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 2! ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) P( x)
令： P ( x ) = 0
f ( x0 ) x = x0 − f '( x0 )
( f '( x0 ) ≠ 0)
7. 求方程根 解)的其它方法 求方程根(解 的其它方法
(1) solve('x^3-3*x+1=0') (2) roots([1 0 -3 1]) (3) fzero('x^3-3*x+1', -2) (4) fzero('x^3-3*x+1', 0.5) (5) fzero('x^3-3*x+1', 1.4) (6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')
k = 0, 1, 2, ... ...
Altken 法同样具有较好的加速效果
牛顿迭代法
基本思想： 基本思想：
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 近似非线性方程 线性化 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为
(1) 令 x0 = ( a + b) / 2，计算 f ( x0 )； ( 2) 若 | f ( x0 ) |< ε，则 x0 就是我们所要 的近似根，
停止计算， 输出结果 x = x0； (3) 若 f ( a ) ⋅ f ( x0 ) < 0，令 a1 = a, b1 = x0 ; 否则令 a1 = x0 , b1 = b； ( 4) 令 x1 = ( a1 + b1 ) / 2, 若 | f ( x1 ) |< ε，则停止计算， 输出结果 x = x1； 若 f ( a1 ) ⋅ f ( x1 ) < 0，令 a2 = a1 , b2 = x1; 否则令 a2 = x1 , b2 = b1；
定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有 如下估计
1 qk | x k +1 − x k | | x k − x * |≤ | x1 − x 0 | | x k − x * |≤ 1−q 1−q
迭代法收敛性判断
已知方程 x =ϕ(x)，且 ， 定理 3： (1) 对 ∀ x∈[a, b]，有 ϕ(x)∈[a, b]； ∈ ， ∈ ； (1) 对 ∀ x∈[a, b]，有|ϕ’(x)|≤q< 1； ∈ ， ≤ ； (2) 则对 ∀x0∈[a, b] ，由迭代 xk+1 = ϕ(xk) 得到 的点列都收敛， 的点列都收敛，且
q | x k − x * |≤ | x1 − x 0 | 1−q
q 越小，迭代收敛越快 越小，迭代收敛越快
ϕ’(x*) 越小，迭代收敛越快 越小，迭代收敛越快
k
迭代法收敛性判断
以上所给出的收敛性定理中的条件的 验证都比较困难，在实际应用中，我们 常用下面不严格的判别方法：
较小， 当有根区间 [a, b] 较小，且对某一 x0∈[a, b] ，
0(k
∞)
对分法总是收敛的
但对分法的收敛速度较慢 但对分法的收敛速度较慢 通常用来试探实根的分布区间， 通常用来试探实根的分布区间， 分布区间 或给出根的一个较为粗糙的近似 粗糙的近似。 或给出根的一个较为粗糙的近似。
迭代法
基本思想
构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 的一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算 出发，
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) = 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 是一次多项式，称上面的方程为线性方 否则称之为非线性方程 非线性方程。 程；否则称之为非线性方程。
对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内， 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。
x * − x2 = ϕ ( x*) − ϕ ( x1 ) = ϕ '(ξ )( x * − x1 )
ϕ '(ξ ) ≈ ϕ ( x1 ) − ϕ ( x0 )
x1 − x0 x2 − x1 = x1 − x0
x2 − x1 x* ≈ x2 + ( x * − x1 ) x1 − x0
( x2 − x1 ) 2 x* ≈ x 2 − x2 − 2 x1 + x0
Altken 迭代法
Altken迭代公式
xk
(1)
( x2 − x1 ) 2 x* ≈ x 2 − x2 − 2 x1 + x0
= ϕ ( xk ), xk
( 2)
= ϕ ( xk )
(1)
x k +1
( xk ( 2) − xk (1) ) 2 = xk ( 2) − ( 2) (1) x k − 2 xk + xk
ψ ( x ) = (1 − w ) x + wϕ ( x )
的确定： 加权系数 wk 的确定：令 ψ’(x)=0 得
w= 1 1 − ϕ '( x )
wk =
1 1 − ϕ '( xk )
松弛迭代法
松弛法迭代公式：
xk +1 = (1 − wk ) ⋅ xk + wk ⋅ ϕ ( xk )
1 wk = , 1 − ϕ '( xk )
(ϕ '( xk ) ≠ 1)
松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭 松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭 加速后也能收敛。 代，加速后也能收敛。
缺点：每次迭代需计算导 数
Altken 迭代法
Altken迭代法
用 差商 近似 微商 是方程的根， 设 x* 是方程的根，则由中值定理可得
具体实验1：对分法 先作图观察方程：x 3 − 3 x + 1 = 0
y
O
x*
x1
x0
x
牛顿法迭代公式
牛顿迭代公式
x k +1 f ( xk ) = xk − f '( xk )
f ( x0 ) x = x0 − f '( x0 )
k = 0, 1, 2, ... ...
ϕ(x) 即为牛顿
法的迭代函数
f ( x ) f ''( x ) ϕ '( x ) = [ f '( x )]2
数学实验
实验三
求代数方程的近似根 (解)
实验三、 实验三、近似求解代数方程 问题背景和实验目的
解方程（代数方程） 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之 一，也是众多应用领域中不可避免的问题之 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如 一。
果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可 以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对 分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解。
lim xk +1 = lim ϕ ( xk ) = ϕ lim xk
k →∞ k →∞ k →∞
(
)
x*
即 x* = ϕ ( x*)
ϕ ( x*)
f ( x*) = 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！ 若得到的点列发散，则迭代法失效！
迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 Ω =(x*-δ , x* +δ ), 使 定义： 都收敛, 得对 ∀ x0 ∈ Ω 开始的迭代 xk+1 = ϕ(xk) 都收敛 附近局部收敛 局部收敛。 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 内连续， 设 x* ， 定理 1： =ϕ(x*)，的某个 邻域 Ω 内连续，且对 ∀x∈Ω 都有 |ϕ’(x)|≤q< 1, 则对 ∀x0∈ Ω，由迭 ∈ ≤ 得到的点列都收敛。 代 xk+1 = ϕ(xk) 得到的点列都收敛。
>> syms x >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x) >> g=diff('sin(x)+3*x^2','x')
1.例 syms x t diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6) ans= 720*sin(x^2) 2．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])求解：求解多项式
= ϕ ( x)
x k +1 = ϕ ( x k )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
{ xk }k =0
∞
f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = ϕ (性
收敛性分析
若 收敛， 连续， { xk } 收敛，即 lim xk = x *，假设 ϕ(x) 连续，则 k →∞
牛顿法的收敛速
f ( x) 度 ϕ ( x ) = x − f '( x ) 令
当 f (x*) ≠ 0 时 ϕ’(x*)=0 牛顿法至少二阶局部收敛
牛顿法迭代公式
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快， 至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭 代点充分靠近精确解时。 代点充分靠近精确解时。
其他 Matlab 相关函数
diff g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数 ： g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 关于默认变量 默认变量的导数 ： g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数 ：