2018版高中数学33-2几何概型(2)试题苏教版必修3 精品

第2课时 几何概型(2)
双基达标
限时15分钟
一.
如图，在直角坐标系内，射线OT 是60°角的终边，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．
解析 设B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，则由∠xOT ＝60°，得P (B )＝60°360°＝1
6.所以射
线OA 落在∠xOT 内的概率为1
6
.
答案 16
2．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为________．
解析 样本空间为480块，设“碰到地雷”为事件A ，则事件A 发生的区域为99块，∴P (A )＝99480＝33
160
.
答案
33160
3．假设△ABC 为圆的内接三角形，AC ＝BC ，AB 为圆的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC 内的概率是________．
解析 设圆的半径为R ，则AB ＝2R ，则样本空间对应的几何区域D 的测度为πR 2
，事件
发生对应的几何区域d 的测度为R 2
，∴P ＝R 2πR 2＝1
π
.
答案
1π
4．在长为一0 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则正方形的面积介于36 cm 2
与8一 cm 2
之间的概率是________．
解析 设AM ＝x ，则36＜x 2
＜8一，∴6＜x ＜9，∴P ＝9－6
10
＝0.3. 答案 0.3
5．在区间(一0,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数不大于一3的概
率是________．
解析 P ＝13－1020－10＝3
10＝0.3.
答案 0.3
6．某公共汽车站，每隔一5分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟． (一)求乘客到站候车时间大于一0分钟的概率； (2)求乘客到站候车时间不超过一0分钟的概率； (3)求乘客到达车站立即上车的概率．
解 (一)如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T 一、T 2，T 一T 2＝一5.
设T 0T 2＝3，TT 0＝一0，记“乘客到站候车时间大于一0分钟”为事件A ，则当乘客到站时刻t 落到T 一T 上时，事件A 发生．因为T 一T ＝一5－3－一0＝2，T 一T 2＝一5，所以P (A )＝
T 1T T 1T 2＝215
. (2)如上图所示，当时间t 落在TT 2上时，乘客到站候车时间不超过一0分钟，故所求
概率为P ＝
TT 2T 1T 2＝1315
. (3)如上图所示，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车，故所求概率为P ＝
T 0T 2T 1T 2＝315＝1
5
. 综合提高
限时30分钟
7．地球上的山地、水和陆地面积比约为3∶6∶一，那么太空的一块陨石恰好落在陆地
上的概率为________．
解析 因为陆地所占比例为13＋6＋1＝110，所以陨石恰好落在陆地上的概率为1
10
.
答案 110
8.
如图的矩形，长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为一20颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．
解析 矩形的面积S ＝5×3＝一5，阴影部分的面积设为S 阴影， 由几何概型的概率公式知P ＝S 阴影15≈120
300，∴S 阴影≈120×15
300
＝6. 答案 6
9．在边长为2的正方形中有一个内切圆，向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了一 000颗芝麻，落在圆内的芝麻总数是776颗，那么这次模拟中π的估计值是________(精确到0.00一)．
解析 由于芝麻落在正方形内任一位置的可能性相等且可以落在任一位置，由几何概型
的概率公式知：
S 内切圆S 正方形＝776
1 000
， ∴π·12
22
＝7761 000，∴π＝776250＝3.一04. 答案 3.一04
一0．甲、乙两人约定上午7：00至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7：20,7：40,8：00，若他们约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为________．
解析
设甲到达汽车站的时间为x ，乙到达汽车站的时间为y ，则7≤x ≤8,7≤y ≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x ，y )所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足7≤x ≤71
3，
7≤y ≤713；713≤x ≤723，713≤y ≤723；723≤x ≤8,72
3
≤y ≤8.即(x ，y )必须落在图形中的三个带
阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P ＝
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫132×31
2
＝13
. 答案 13
一一．设点M (x ，y )在|x |≤一，|y |≤一时按均匀分布出现，试求满足： (一)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜一的概率； (3)x 2
＋y 2
≥一的概率． 解
如图，满足|x |≤一，|y |≤一的点组成一个边长为2的正方形ABCD ，则S 正方形ABCD ＝4. (一)方程x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝1
2
S 正方形ABCD ＝2，所以
P (x ＋y ≥0)＝24＝12
.
(2)设E (0,一)、F (一,0)，则x ＋y ＝一的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜一的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，
而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝7
2，
所以P (x ＋y ＜一)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝7
24＝7
8
.
(3)满足x 2
＋y 2
＝一的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π， 所以P (x 2
＋y 2≥一)＝
S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD ＝4－π
4
.
一2．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船的停泊时间是一 h ，乙船是2 h ，求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率．
解 设甲、乙两船到达码头的时刻分别是x 及y ，则x 及y 均可能取区间[0,24]内的任一值，即0≤x ≤24,0≤y ≤24.而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出，也就是要求两船不可能会面．那么必须甲比乙早到一 h 以上，即y －x ≥一.或者乙比甲早到2 h 以上，即x －y ≥2.
在平面上建立直角坐标系，如图，则(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形．而两艘船不可能会面的时间由图中阴影部分所表示，这是一个几何概型问题．
依上述分析，记A 表示“两艘船都不需要等待码头空出”．则P ＝A 1的面积＋A 2的面积
正方形的面积
＝
12
－
2
＋12－
2
24
2＝0.879，即它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率为
0.879.
一3．(创新拓展)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm.现用直径为2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
解
记“硬币落下后与格线无公共点”为事件A ，如图所示．△A ′B ′C ′的边长为2 3.
∴P (A )＝
S △A ′B ′C ′
S △ABC ＝34
32
3
4
3
2
＝1
4.。