复数自相关函数
数字信号处理-原理实现及应用(高西全-第3版)第5章 信号的相关函数及应用
rxy (m) ryx (m)
性质2 rxy (m) rx (0)ry (0) ExEy
性质3
lim
m
rxy (m)
0
因为一般能量信号都是有限非零时宽的，所以，当 m 时，二者的非零区不重叠， 所以，该性质成立。
信息与通信工程系—数字信号处理
2.自相关函数性质
性质1
若 x(n) 是实信号，则 rx (m)是实偶函数，即
[h(m) h(m)][x(m) x(m)]
rh (m) rx (m)
ry (0) rh (m) rx (m) m0
= rh (n)rx (n m) = rh (n)rx (n)
n
m0 n
系统稳定，则h(n)为能量信号
rh (m) 存在；
如果 rx (m) 存在，则 ry (m) 存在。
观测信号 y(n) x(n) w(n)；y(n) 的自相关函 ry (m)
(a) 2
w(n)
0
-2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 n
(b) 2
y(n)
0
-2
10
20
30
40
50 n
60
70
80
90 100
噪声自相关
(c)
函数导致
1
ry(m)
0
-1
-50 -40 -30 -20 -10
h(m) [x(m) x(m)]
h(m) rx (m)
所以，ryx (m)可以看成线性时不变系统对输入序列的响应输出。
rx (m)
LTI系统 h(n)
ryx (m)
信息与通信工程系—数字信号处理
系统输出信号的自相关函数:
第六章 相关函数的估计
6. 相关函数的估计（循环相关）6.1. 相关函数与协方差函数 6.1.1. 自相关函数和自协方差函数1、 自相关和自协方差函数的定义相关函数是随机信号的二阶统计特征，它表示随机信号不同时刻取值的关联程度。
设随机信号)(t x 在时刻j i t t ,的取值是j i x x ,，则自相关函数的定义为ji j i j i j iNn n jn iN j i j i x dxdx t t x x f x xx xNx x E t t R ⎰⎰∑====∞→),;,(1lim ][),(1)()(式中，上角标“（n ）”是样本的序号。
自协方差函数的定义与自相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函数再求乘积的数学期望。
亦即：ji j i j i x j x iNn x n jx n iN x j x i j i x dxdx t t x x f m x m xm x m xNm x m x E t t C j i j i j i ⎰⎰∑--=--=--==∞→),;,())(())((1lim )])([(),(1)()(当过程平稳时，);,(),;,(τj i j i j i x x f t t x x f =。
这时自相关函数和自协方差函数只是i j t t -=τ的函数，与j i t t ,的具体取值无关，因此可以记作)(τx R 和)(τx C 。
对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：时间自相关函数为：⎰+-∞→+=22)()(1lim)(TT T x dt t x t x TR ττ时间自协方差函数为：⎰+-∞→-+-=22])(][)([1lim)(TT x x T x dt m t x m t x TC ττ在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。
此时相应的定义变成][),(*j i j i x x x E t t R =)]()[(),(*j i x j x i j i x m x m x E t t C --=式中，上角标*代表取共轭。
GNSS-R反演海浪有效波高实验分析
设海 面高 度 为一个 高斯 概率分 布 ， 这种 情况 在
下， 相关 时 间 和波 浪 方 向无 关 。这 样 ，Ｃ Ｉ Ｆ的 相关
时间可 作为该 高斯 函数 的二 阶矩［ ］ ３：
— —
相关 函数 ， 通过 拟合 得到 连续 的干 涉复数 场拟 合 函
方 法 。并对 这种 方法进 行 了实验 ， 实验 结果进 行 了分析 。实验 结果得 出： 对 此方 法所测得 的结
果 随有 效波 高 变化 ， 与测 波仪 测得 的波 高 比较 一致 ， 明 ＧＮＳ － 遥 感 测 试有 效 波 高方 法 可 说 ＳＲ
以作 为一种低 成本 有 效的 测量 有效 波 高的手段 。
・
ｌ ・ ７
数 波形 的最大 幅度 的复 数值 。
对 。
直射 信号 在这 里用 作一个 参考 信息 ， 用来 消除
与海 洋运 动无 关 的项 ， 例如 一 些 残 余 多普 勒 频 偏 ， 导 航 比特相 位偏 移 和直 射 信 号 功率 变 化 以及 绝 大 部 分 由 电离层 和 中性 大 气 引 起 的 附加 时 间延 迟对 后 续相 关分 析 的影 响 。有 效 提 高 了测 量 海 况 信 息
ｒＦ ｃ Ａ 一 ７ ／ ０ ｓ
充 分成 长 ， 海浪 谱推 导有 效波 高与 相关 时间之 间 用 的理论关 系就很 困难 。邵 连军等 人在 论文 Ｉ １ ］ － 中 ５
提 出了数据 拟合 的一个 经 验模 型 ， 该模 型 中同样 使
用 了有 效 相关 时间 的概念 ， 型表 达式为 ］模
１４ 误 差 分 析 ．
ＧＰ Ｓ卫 星高 度 远 远 大 于接 收 机 高 度 ， 以认 可 为直 射信 号和 反射信 号经 历 同样 的传 播路 径 ， 是 但
自相关函数 ppt课件
复杂周期信号波形
数字信号的谐波
分解周期信号的条件
• 狄利希莱条件
要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期
信号的函数f(t)应当满足下列条件：
–
在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；
| t1 T t1
f t| dt
– 在一周期内，函数的极值数目为有限；
– 在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限
总响应
n
rtsktthtkt
k0
S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt•t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
分 t
系统对第k个冲激函数
连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4
(-1)
周期信号与非周期信号
用确定的时间函数表示的信号，可以分为 周期信号和非周期信号。
当且仅当 ftTf(t) t
则信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号
的周期。换言之，周期信号是每隔固定的 时间又重现本身的信号，该固定的时间间 隔称为周期。 非周期信号无此固定时间长度的循环周期。
|
f(t)|2dt
T/2
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结复变函数公式及常用方法总结扩展阅读：复变函数总结完整版第一章复数1i2=-1i1欧拉公式z=x+iy实部Rez虚部Imz2运算①z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2②z1z2Rez1z2Imz1z2Rez1Rez2Imz1Imz2z1z2③x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1④z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2⑤zxi y共轭复数zzxiyxiyx2y2共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示zxiyz与平面点x,y一一对应，与向量一一对应辐角当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Argz=02kk=±1±2±3…把位于-π＜0≤π的0叫做Argz辐角主值记作0=argz04如何寻找argz例：z=1-iz=i42z=1+i4z=-1π5极坐标：xrcos，yrsinzxiyrcosisini利用欧拉公式ecosisin可得到zreiz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei126高次幂及n次方znzzzzrneinrncosnisinn凡是满足方程z的ω值称为z的n次方根，记作nnzzrei2kn即rn2knr2kn1n第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一ZD都有W与其对应fz注：与实际情况相比，定义域，值域变化例fzz②limfzzz0称fz当zz0时以A为极限zz0☆当fz0时，连续例1证明fzz在每一点都连续证：fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一点都连续3导数fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0"例2fzC时有C证：对z有limz0fzzfzCClim0所以C"0z0zz例3证明fzz不可导解：令zz0fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy当0时，不存在，所以不可导。
自相关函数与偏自相关函数
自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。
实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型,而自相关函数与偏自相关函数就是分析随机过程与识别模型的有力工具。
1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。
由第一节知随机过程{t x }中的每一个元素t x ,t = 1, 2, … 都就是随机变量。
对于平稳的随机过程,其期望为常数,用μ表示,即()t E x μ=,1,2,t =L随机过程的取值将以 μ 为中心上下变动。
平稳随机过程的方差也就是一个常量2()t x Var x σ=,1,2,t =L2x σ用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。
相隔k 期的两个随机变量t x 与t k x -的协方差即滞后k 期的自协方差,定义为:(,)[()()]k t t k t t k Cov x x E x x γμμ--==--自协方差序列:k γ,0,1,2,k =L称为随机过程{t x }的自协方差函数。
当k = 0 时,20()t x Var x γσ==。
自相关系数定义:k ρ=因为对于一个平稳过程有:2()()t t k x Var x Var x σ-==所以220(,)t t k k kk x x Cov x x γγρσσγ-===,当 k = 0 时,有01ρ=。
以滞后期k 为变量的自相关系数列k ρ(0,1,2,k =L )称为自相关函数。
因为k k ρρ-=,即(,)t k t Cov x x -= (,)t t k Cov x x +,自相关函数就是零对称的,所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。
2、自回归过程的自相关函数 (1)平稳AR(1)过程的自相关函数 AR(1) 过程:11t t t x x u φ-=+,|φ1| < 1。
已知()0t E x =(why?)。
用t k x -同乘上式两侧t x t k x -11t t k t t k x x u x φ---=+上式两侧同取期望:k γ11k φγ-=其中()0t t k E u x -=(why?)(由于x t = u t + φ1 u t -1 + φ12 u t -2 +… ,所以x t-k = u t-k + φ1 u t-k-1 + φ12 u t-k-2 +…,而u t 就是白噪音与其t - k 期及以前各项都不相关)。
自相关函数和互相关函数计算和作图的整理
自相关函数和相互关函数计算和作图的整理1. 首先说说自相关和相互关的概念。
--[转版友gghhjj]-------------------------------------------------------------------------------------这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即相互关函数是描述随机信号 x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[转版友hustyoung]-----------------------------------------------------------------------------------自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；相互关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个推断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。
它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和相互关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则相互关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上相互匹配的程度。
复指数函数集
复指数函数集（原创实用版）目录1.复指数函数的定义与性质2.复指数函数的图像与解析式3.复指数函数的应用与实例正文复指数函数集是指以复数为底数的指数函数集合。
在复数域中，指数函数是一个重要的函数类型，它在复分析、调和分析以及复数微积分等领域中都有着广泛的应用。
下面我们将详细介绍复指数函数的定义与性质、图像与解析式以及应用与实例。
1.复指数函数的定义与性质复指数函数一般可以表示为 z^n，其中 z 是复数，n 是实数。
当 n 为整数时，复指数函数 z^n 的定义为：z^n = e^(nln|z|) * (e^(nlarg(z)}) / e^(nlarg(z)})其中，e 是自然对数的底数，|z|和 larg(z) 分别表示复数 z 的模和幅角。
当 n 为非整数时，复指数函数可以理解为 z 的 n 次幂的解析延拓。
复指数函数具有以下性质：(1) 当 n 为整数时，z^n 在 z 的模大于 1 的区域内单值连续；当n 为非整数时，z^n 在 z 的模大于 1 的区域内解析。
(2) 复指数函数是偶函数，即满足 z^n = β^n，其中β是复共轭。
(3) 复指数函数具有周期性，即存在正实数 T，使得对于任意 z，有z^(n+T) = z^n。
2.复指数函数的图像与解析式复指数函数的图像通常为一条以原点为中心、过点 (1,1) 的直线。
当 n 增大时，图像上的点沿着直线向右上方延伸。
复指数函数的解析式为：y = e^(nln|z|) * (e^(nlarg(z)}) / e^(nlarg(z)})3.复指数函数的应用与实例复指数函数在复数域中有着广泛的应用，以下是一些具体的实例：(1) 泰勒级数：复指数函数是泰勒级数的一个重要组成部分，通过泰勒级数可以将复指数函数展开为一个幂级数。
(2) 解析延拓：复指数函数可以用于解析延拓其他复函数，从而在复域中实现函数的连续和可微。
(3) 复数微积分：复指数函数在复数微积分中扮演着关键角色，例如求解复微分方程和复积分问题。
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复数自相关函数
复数自相关函数是一种用于描述信号相似度的数学方法，通常用于信号处理、通信系统、图像处理等领域。
本文将介绍复数自相关函数的基本概念、性质、计算方法及应用。
复数自相关函数是一个复函数，用于描述一个信号与其自身进行卷积的结果，表示信
号在时间轴上的相似度。
在时域上，复数自相关函数表示为：
$$
R(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x(t)x^*(t-\tau)dt}
$$
其中，$x(t)$为原信号，$x^*(t)$为其共轭复数，$\tau$为时间差。
简单来说，复数
自相关函数计算的是原信号与时间延迟后的信号之间的相似度。
1. 对称性：$$ R(\tau)=R^*(-\tau) $$ 这表明，复数自相关函数在时间轴上是对称的。
3. 线性性：$$ R(a_1x_1(t)+a_2x_2(t))=a_1R(x_1(t))+a_2R(x_2(t)) $$ 这表明，
复数自相关函数具有线性性质。
复数自相关函数可以通过计算信号的傅里叶变换来实现。
具体而言，可以先将原信号
和时间延迟后的信号分别进行傅里叶变换，再将它们的乘积进行傅里叶反变换，即可得到
复数自相关函数。
其计算公式如下：
其中，$\textbf{FFT}$表示傅里叶变换，$\textbf{IFFT}$表示傅里叶反变换，
$^*$表示共轭复数。
复数自相关函数在信号处理、通信系统、图像处理等领域得到了广泛应用。
以下是一
些常见的应用实例：
1. 信号匹配：复数自相关函数可以用于信号匹配，即找到两个信号之间的相似性，
例如音频相似性匹配、图像相似性匹配等。
2. 信号滤波：复数自相关函数可以用于信号滤波，在时域上可以实现与信号卷积类
似的功能，从而实现信号滤波的目的。
3. 自适应信号处理：复数自相关函数可以用于自适应信号处理，例如自适应滤波器、自适应降噪、自适应开环控制等。
总之，复数自相关函数是一种非常有用的数学方法，可以帮助我们更好地理解和处理信号数据。
通过深入了解复数自相关函数的性质和应用，可以为相关领域的研究和实践工作提供有价值的支持和指导。