贝塞尔函数及其应用
贝塞尔函数j1
贝塞尔函数j1贝塞尔函数是一类特殊函数，它是应用于数学，物理，工程和其他领域的重要工具。
其中，贝塞尔函数j1是一种常见的贝塞尔函数，其定义为：j1(x) = (1 / x) * d/dx (x * sin(x))其中，d/dx表示对x的导数。
贝塞尔函数j1在数学和工程领域中有广泛的应用，如振动理论，电磁理论，机械工程和声学。
下面，我们将详细介绍贝塞尔函数j1的性质和应用。
1. 贝塞尔函数j1是偶函数，即j1(-x) = j1(x)。
2. 当x趋近于0时，贝塞尔函数j1的值趋近于0。
5. 贝塞尔函数j1在正根附近有一个极大值，约为0.5。
6. 贝塞尔函数j1在x＞3时，可以使用渐近公式近似计算：这个公式的精度足以满足大多数实际应用情况。
1. 振动理论振动理论是对物体在振动状态下运动的研究。
在振动分析中，贝塞尔函数j1可以用来描述一维球形谐振子的振动。
球形谐振子是一种具有球对称性的物理系统，比较常见的应用是纳米颗粒的振动。
2. 电磁理论电磁理论研究电场和磁场的相互作用。
在电磁理论中，贝塞尔函数j1用来描述电子在磁场中的运动。
磁场会使电子受到一个力的作用，使其在垂直于磁场方向的平面上运动。
这个运动可以用贝塞尔函数j1来描述。
3. 机械工程机械工程是研究机器和机械系统的设计和制造。
在机械工程中，贝塞尔函数j1用来描述圆管内的流体流动。
这个应用领域比较复杂，需要考虑流体的速度分布、管道的长度和粗细等因素。
4. 声学声学研究声波的传播和产生。
在声学中，贝塞尔函数j1用来描述不同频率的声波在大气中的传播情况。
音波在不同的介质中传播的方式不同，而贝塞尔函数j1可以用来表示在大气中的传播情况。
总之，贝塞尔函数j1在数学和工程领域中具有重要的应用，可以用来描述振动、电磁、机械和声学等方面的问题。
其简单的性质和渐近公式使其在实际应用中更加方便和高效。
宽带调频中的贝塞尔函数
宽带调频中的贝塞尔函数（原创版）目录1.贝塞尔函数的概念和应用背景2.贝塞尔函数的公式和性质3.贝塞尔函数在宽带调频中的应用4.贝塞尔函数的扩展应用5.总结正文贝塞尔函数是一种特殊的数学函数，它在许多领域都有广泛的应用。
在宽带调频技术中，贝塞尔函数被用来描述信号的传播特性。
本文将从贝塞尔函数的概念和应用背景、公式和性质、在宽带调频中的应用以及其扩展应用等方面进行详细介绍。
一、贝塞尔函数的概念和应用背景贝塞尔函数，又称为贝塞尔级数，是数学物理方法中的一种特殊函数。
它来源于圆柱坐标下拉普拉斯算符分离变量后径向需要满足的微分方程。
贝塞尔函数在电信号处理、声学、光学等领域都有重要应用，尤其是在宽带调频技术中，贝塞尔函数被用来描述信号的传播特性。
二、贝塞尔函数的公式和性质贝塞尔函数有多种类型，其中第一类贝塞尔函数的公式为：J_n(x) = (1/π) * ∫(0~π) [1 - (1/2)^(n+1)] * cos(n*x) * dx 贝塞尔函数具有以下性质：1.贝塞尔函数是正交函数，即满足贝塞尔恒等式：∫(0~π) J_n(x) * J_m(x) dx = δ(n-m)2.贝塞尔函数的图像具有对称性，即满足：J_n(x) = J_n(π-x)3.当 n 为整数时，贝塞尔函数的图像呈现出一系列峰值和谷值，且峰值和谷值的位置与 n 有关。
三、贝塞尔函数在宽带调频中的应用在宽带调频技术中，贝塞尔函数被用来描述信号的传播特性。
宽带调频信号的模糊度函数与贝塞尔函数密切相关。
根据贝塞尔函数的性质，我们可以通过调整贝塞尔函数的参数 n 来实现对信号的调制。
宽带调频技术适用于声音质量要求高的应用，如音频、视频传输等。
四、贝塞尔函数的扩展应用除了在宽带调频技术中的应用外，贝塞尔函数还有其他许多应用，如在光学中的贝塞尔光束、贝塞尔反射器等，以及在计算机图形学中的贝塞尔曲线等。
综上所述，贝塞尔函数是一种重要的数学函数，在宽带调频技术等领域具有广泛的应用。
贝塞尔函数表0～2rad
贝塞尔函数表0～2rad摘要：一、贝塞尔函数简介1.贝塞尔函数的定义2.贝塞尔函数在数学和工程领域的应用二、贝塞尔函数表0～2rad1.贝塞尔函数表的构成2.贝塞尔函数值的变化规律3.贝塞尔函数的性质和特点三、贝塞尔函数表在实际问题中的应用1.贝塞尔函数表在数学问题中的应用2.贝塞尔函数表在工程问题中的应用正文：贝塞尔函数是一类在数学和工程领域有着广泛应用的函数。
它们以瑞士数学家卡尔·沃尔夫冈·贝塞尔的名字命名，并因其独特的性质和特点而受到学者们的关注。
贝塞尔函数可以表示为：BesselFunction(x, n, λ) = (1 / (2 * π * √(x^2 + n^2 * λ^2))) * ∫(exp(-(x^2 + n^2 * λ^2) / 2) * (x^2 - n^2 * λ^2) ^ (n - 1/2)) dλ其中，x表示函数的变量，n表示函数的阶数，λ表示函数的参数。
贝塞尔函数表0～2rad是一份详细列出贝塞尔函数值的表格，其中包含了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格可以帮助学者们快速查找和计算贝塞尔函数值，为他们的研究和工程应用提供便利。
贝塞尔函数表0～2rad的构成主要包括两部分：一是表格的标题和表头，包括函数名、阶数、参数和函数值；二是表格的主体，详细列出了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格是通过对贝塞尔函数进行数值积分计算得到的，因此具有较高的精度和可靠性。
贝塞尔函数值的变化规律可以通过观察贝塞尔函数表0～2rad得出。
一般来说，随着参数λ的增大，贝塞尔函数值会先增大后减小，呈现出一个波浪形的变化趋势。
而随着阶数n的增大，贝塞尔函数值会呈现出一个指数增长的趋势。
这些变化规律对于理解和掌握贝塞尔函数的性质和特点具有重要意义。
贝塞尔函数表0～2rad在实际问题中的应用非常广泛。
在数学领域，贝塞尔函数表可以帮助学者们快速计算贝塞尔函数值，为他们的理论研究和数值模拟提供数据支持。
第4章-贝塞尔函数
级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。
贝塞尔函数物理意义
贝塞尔函数物理意义
贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它在物理学中有着广泛的应用。
贝塞尔函数最初由德国数学家贝塞尔在求解热传导问题中引入，后来被证明在电磁学、声学、流体力学、核物理学等领域均有应用。
贝塞尔函数的物理意义主要包括以下几个方面：
1. 电磁波的传播：贝塞尔函数可以描述电磁波在圆形和球形空间中的传播情况。
在电磁学中，贝塞尔函数被广泛应用于分析天线辐射、微波传输、电磁波散射等问题。
2. 振动系统：贝塞尔函数还可以描述振动系统的运动规律。
在力学和物理学中，贝塞尔函数被广泛应用于分析弹簧振子、声波传播等问题。
3. 热传导：贝塞尔函数最初是由贝塞尔用于求解热传导问题的，因此在热力学中也有应用。
贝塞尔函数可以描述热能在圆形和球形空间中的传导情况。
4. 气体动力学：贝塞尔函数还可以描述气体动力学中的流场。
在流体力学中，贝塞尔函数被广泛应用于分析空气动力学、水力学等问题。
贝塞尔函数在物理学中的应用越来越广泛，不仅仅局限于上述几个方面，随着科学技术的不断发展，贝塞尔函数的物理意义还将不断拓展和深化。
- 1 -。
贝塞尔函数和球贝塞尔函数
贝塞尔函数和球贝塞尔函数前言：贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，它是傅里叶变换的基础。
贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机科学等学科中都有着重要的应用。
本文将重点介绍贝塞尔函数及其应用中常用到的球贝塞尔函数，分别从定义、性质、运算及应用等多个角度进行解释。
一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数，又称为柏松函数或泊松函数，是一个数学函数系列，其名称是为了纪念德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）而得名。
贝塞尔函数最初是为了解决圆形振动、电磁场、流体力学等问题而被引入的。
具体地说，贝塞尔函数是微分方程中的一类特殊解，其通式如下：$$ J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x/2)^{n+2k}}{k!(n+k)!} $$式中，Jn(x)代表了一类常微分方程的解，其中n代表了贝塞尔函数中的次数，x代表自变量，通常被称为“辐角”。
由于贝塞尔函数满足贝塞尔微分方程，因此它有许多重要的性质和应用。
（1）奇偶性：贝塞尔函数具有两种奇偶性，一种是关于自变量x的奇偶性，另一种是关于次数n的奇偶性。
$$ J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) $$（2）正交性：当n≠m时，两个不同次数的贝塞尔函数在区间[0,a]上的积分为0。
$$\int_{0}^{a}xJ_n(\alpha_n x)J_m(\alpha_mx)dx=\frac{\delta_{mn}}{\alpha_n}\frac{(J'_{n}(\alpha_n a))^2-(J_{n}(\alpha_n a))^2}{2}$$其中，δmn是Kronecker δ 符号，当n=m时为1，否则为0。
（3）渐近行为：在辐角趋近于无穷大时，贝塞尔函数的渐近行为为：$$ J_n(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4}) $$（4）级数展开：贝塞尔函数能用级数的形式表示：（1）递推关系：以Jn(x)为例，它的递推关系可以表示为：（2）德拜函数：德拜函数是一个和贝塞尔函数非常相似的函数，它用来描述球面波的性质。
贝塞尔函数基本知识和应用举例
都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有
广义幂级数解 y Ckxck k0
(C00)
Ck是展开系数， c是待定常数
y (x ) x c ( C 0 C 1 x C 2 x 2 C k x k )C k x c k k 0
y(x) Ck(ck)xck1 k0
y(x) C k(ck1)(ck)xck2 k0
xd
r2 x2 ydxdy
y2
rdrd
1 2 2 4 0 0 e (x 2 y 2 )dx 4 d 2 0r 0 e y r 2 rd 4 r 2 0 d 1 2 e r 2 0 d
其它结论 n122(22nnn)!!
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程： d dx(1x2)d dy x(21 m x 22)y0 m=0
勒让德方程： ddx(1x2)ddyx2y0
柱坐标下：
zrΒιβλιοθήκη xx cos y
sin
y
z z
2uk2u0
1 ( u)12 2u 2 2 zu 2k2u0
u (,,z ) R () ( )Z (z )
德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了 实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用 于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还 编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研 究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决 物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也 做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德 莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。
第 3 章 勒让德函数和贝塞尔函数及其应用
n 2
2 2k ! P1 x 1 1 x1 2 k x 2 k!1 k !1 2k ! k 0
0 k
P2 x 1
k 0
1
k
4 2k ! 3 2 1 22k x x 2 2 k!2 k !2 2k ! 2 2
令 xk 的系数为零, 可得系数递推公式
ak 2
k k 1 a k 2k 1 k
k 0,1,2,
设a0=1，由系数递推公式可得方程的一个特解
pν x a 2 k x 2 k
k 0
设a1=1，由系数递推公式可得方程的另一个特解
k 2k 1 k k k 1
1 2
1
可以用高斯判别法证明，当ν 不等于非负整数情况下，在 x=±1处，pν(x)和qν(x)都是发散的。 当ν=n(非负整数)时，pn和qn中仅有一个是n次多项式，另 一个仍然是无穷级数。 当n为偶数时，pn是n次多项式， qn是无穷级数。 当n为奇数时，qn是n次多项式， pn是无穷级数。 此结论可由系数递推关系式证实：
n 1 dn 2 Pn 1 lim n x 1 x 1 2 n! dx n
x -1 y n 1 dn 2 lim n y 2y y 0 2 n! dy n （由二项式展开定理） n 1 d n 2 y 1 lim n y 0 2 n! dy n
第二类 n 阶勒让德函数
设 v( r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ), 代入亥姆霍兹方程，两边同除 RΘΦ有
1 2 r R 1 sin θΘ 2 1 1 Φ 2 r k 0 2 2 R r sin θ Θ sin θ Φ
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题目：贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。
它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。
本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。
其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。
第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。
最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。
关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式目录一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。
（一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。
（二) 贝塞尔方程的引出ﻩ错误!未定义书签。
二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。
(一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。
1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。
2. 第二类贝塞尔函数 (6)3. 第三类贝塞尔函数ﻩ错误!未定义书签。
4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。
（二）贝塞尔函数的递推公式ﻩ错误!未定义书签。
（三）半奇数阶贝塞尔函数ﻩ错误!未定义书签。
(四) 贝塞尔函数的零点ﻩ错误!未定义书签。
（五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。
三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数ﻩ错误!未定义书签。
(一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义ﻩ错误!未定义书签。
（二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开ﻩ错误!未定义书签。
四、贝塞尔函数的应用ﻩ错误!未定义书签。
(一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。
(二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。
附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。
一、起源（一）贝塞尔函数的提出随着科学技术的发展,数学的应用更为广泛。
在许多科技领域中,微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要,数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。
它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。
它的重要性，早在1８世纪初就被人们认识。
在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程2tt xx u a u =。
以后，伯努利从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。
在此基础上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。
同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中,导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。
而这其中,18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了数学界得兴趣。
丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利,欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
１817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架,后人以他的名字来命名了这种函数 。
贝塞尔函数是一类特殊函数的总称，贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式n =α；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式21n +=α，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位,其中最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题;圆柱体中的热传导问题；圆形(或环形）薄膜的振动模态分析问题等。
（二）贝塞尔方程的引出有圆形薄盘,上下两面绝热,圆盘边界上的温度始终保持为0,且初始温度分布已知,求圆盘内的瞬时温度分布规律。
设圆形薄盘的半径为R,这个问题可以归结为求解下列问题:22222222220(),,0,|0,|(,),.t xx yy x y R t u a u u x y R t u u x y x y R ϕ+===++<>==+≤应用分离变量法求这个问题的解,为此令(,,)(,)()u x y t V x y T t = 为第一个方程的非零解,代入该方程得TV V a VT yy xx )('2+=化简并引入参数λ得 λ-=+=V V V T a yy xx 2T )0(>λ由此我们得到下面关于函数Ｔ(ｔ）和Ｖ(x,y)的方程'2()()0T t a T t λ+=, (1-１) 0xx yy V V V λ++=, (１-2)由式(1-１）得 2()a t T t Ae λ-=方程(1-２)称为H ｅlm ｈolt ｚ方程，为了求出这个方程满足边界条件222|0x y R V +==的非零解,我们采用平面上的极坐标系,则该定解问题转化为22222110,V V V V λρρρρθ∂∂∂+++=∂∂∂ ,02,R ρθπ<≤≤ (１－3)|0,R V ρ== 02θπ≤≤.(1-4)再令()θρθρΦ=)P(),(V ，代入方程(1-3)得'''''2110P P P P λρρΦ+Φ+Φ+Φ=,引入参数μ''2'''2P P P P ρρλρμΦ++=-=-Φ,于是有''0μΦ+Φ=， (1-5) 2'''2()0P P P ρρλρμ++-=. (1－6)由于温度函数),,(u t y x 是单值的,所以),(y x V 也必是单值函数，而），（θρ与），（πθρ2+在极坐标系表示同一点,因此）（θΦ应该是以2π为周期的函数,即)2()()()(πθρθρ+Φ=ΦP P ,这就决定了),2,1,0(n 2 ==n μ,由此该方程(1-5)的解为001()2a θΦ=, （0a 为常数)， ()cos sin n n n a nb n θθθΦ=+， 1,2,3,n =…将2n =μ代入方程(1-6）,得2'''22()0P P P n P ρρλ++-=，这个方程称为n 阶贝塞尔方程。
由式(1-４)得()0P R =.由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心处也应如此,于是+∞<|P(0)|，因此原定解问题的最后解决归结为求解下列问题：2'''22()()()()0,,()0(0).P P n P R P R P ρρρρλρρρ⎧++-=<⎪⎨=<+∞⎪⎩的特征值与特征函数。
若令ρλ=x ,并记)()(λxP x y =，则得2'''22()()()()0x y x xy x x n y x ++-=. （1-７)上式是贝塞尔方程最常见的形式,它是一个具有变系数的二阶线性常微分方程，它的解称为贝塞尔函数。
二、贝塞尔函数的基本概念（一）贝塞尔函数的定义定义满足本征方程22222()()()d d x x x y x n y x dx dx ++= (2-1）的函数()y x 为贝塞尔函数,n 为贝塞尔函数的阶。
本征方程也可以表述为22222():()()d d x x x y x n y x dx dx ++在圆柱坐标系和球坐标系中解波动方程,用分离变量法都可得到径向函数满足的微分方程正好就是贝塞尔方程.圆柱波径向方程2221()()0d dR m k R d d ρρρρρ+-=球波径向方程22221(1)()[]0d dR l l r k R r dr d r ρ++-=令=,()(),kr y r ξξ=上式可写成222221()()()(),2d d y l y d d ξξξξξξξ++=+ 这是半奇数阶的贝塞尔方程。
方程(2-１)是在解决圆盘上温度分布的具体情况下得到的,因此方程中的常数n 一般取为整数或零。
当n 和x 为任意实数或复数时,该方程也被称为贝塞尔方程,其解也叫做贝塞尔函数。
我们使用Fro ｂｅnius 方法求解贝塞尔方程。
注意到ｎ阶贝塞尔方程中y '与y ''前得系数在x=0处为零,即该方程在x=0处退化。
如果用x 2除以方程的两边，则y 与y '前得系数在ｘ＝0处有奇性。
正因为如此，在用幂级数方法求解方程(2－1)时,要设该方程的级数解为00()0k rk k y x c x c ∞+==≠∑ （2-2)其中r 为常数。
下面来确定ｒ和),2,1,0( =k c k ,为此将式(２-2）及1'()k r k k y c k r x ∞+-==+∑，20''()(1)k r k k y c k r k r x ∞+-==++-∑.代入方程(２-１）中,得到关于x 的恒等式22221220122()[(1)]{[()]}0r r k r k k k r n c x r n c x r k n c c x ∞++-=-++-++-+=∑故有220()0;r n c -= （２-３)221[(1)]0;r n c +-= (２－4)222[()]02,3,k k r k n c c k -+-+==… (2－5)由于c 0≠0,得r=n,或r=-n 由（２-4）得c 1=0；1. 第一类贝塞尔函数贝塞尔方程有如下形式的级数解0k r k k y c x ∞+==∑，其中,010,0,,c c r n ≠==±n 为任意实数， 展开系数有递推公式2(2)k k c c k n k -=-+. 实际上将0k r k k y c x ∞+==∑代入方程（2－１）得2200[()(1)()]()k r k r k k kk k k c k r k r c k r n c x c x ∞∞+++==++-++-=-∑∑. 比较同次项的系数,得22[()(1)()]k k c k r k r k r n c -++-++-=-,即222[()]k k c k r n c -+-=- .(i)取r=n ，则有2(2)k k c c k n k -=-+. 于是用10c =表示的奇数项3570c c c ===⋅⋅⋅=； 而偶数项246,,,c c c …都可用0c 表示,即022(1)2!(1)(2)()m mm c c m n n n m -=⋅++⋅⋅⋅+. 因此级数解的一般项为 202(1)2!(1)(2)()m nmm c x m n n n m +-⋅++⋅⋅⋅+， 其中0c 为任意常数，当0c 取一定值,就得到贝塞尔方程的一个解（由比值法知,级数解0k r k k y c x ∞+==∑的收敛半径R =+∞)．取常数012(1)n c n =Γ+，这样选取0c 有两个好处:一是可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同；二是可以运用下列恒等式()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++使分母简化,从而使一般项的系数变成221(1)2!(1)m m n m c m n m +=-Γ++， 由此得到的贝塞尔方程的级数解，此级数的和函数称为n 阶第一类贝塞尔函数，记为()n J x ,201()(1)()!(1)2mm n n m x J x m n m ∞+==-Γ++∑ (2-６) n 为正整数或零时,(1)()!n m n m Γ++=+， 因此为正整数时201()(1)()!()!2mm n n m x J x m n m ∞+==-+∑ . 显然，当n 为偶数时，()n J x 为偶函数；当n 为奇数时,()n J x 为奇函数。