4-4 贝塞尔函数应用举例chen

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贝塞尔函数PPT课件

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由条件(4),得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0 m b
)
)
0
于是得
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
再由条件(5)得
u 0 (5) b
u(, h)
m1
m(0) h
(Cm e
m(0) h
(0)
Dm
e
)J0(
m
b
)
U
第31页/共37页
F r C1J0 r C2Y0 r
由 u(r, t) 的有界性, 可以知道 C2 0. 再由条件
u 0, r 1
知:J0 0, 即 是 J0( x) 的零点.

(n =1,2…) 表示
以上结果可得:
的正零点, 综合
第16页/共37页
方程
的特征值为:
相应的特征函数为: 这时方程
-0.5
第7页/共37页
Jn( x) 的零点和 Jn1( x) 的零点是彼此相间分 布,即 Jn( x) 的任意两个相邻零点之间有且仅有 一个 Jn1( x) 的零点,反之亦然;
1.0 J0( x)
0.5
J1( x)
o
246
-0.5
8 10 12
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(n) m
(m 1, 2,
由条件(8)知 D 0 .
第28页/共37页
二、求本征值、本征函数
再由条件(9)得,
R(b) CJ0 ( b) 0
即,J0 ( b) 0 ,由此可知 b 是 J0 (x) 的零点。

第五章-贝塞尔函数

第五章-贝塞尔函数

第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数,或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔(Hankel)函数,(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数(或称汤姆孙函数)n阶第一类开尔文(Kelvin)第五章贝塞尔函数在第二章中,用分离变量法求解了一些定解问题。

从§2.3可以看出,当我们采用极坐标系后,经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。

在那里,由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布,所以得到了欧拉方程。

如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态,就会得到一种特殊类型的常微分方程。

本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量,引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程,并讨论这个方程解的一些性质。

下面将看到,在一般情况下,贝塞尔方程的解不能用初等函数表出,从而就导入一类特殊函数,称为贝塞尔函数。

贝塞尔函数具有一系列性质,在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。

设有半径为R 的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度,且初始温度为已知,求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题:222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题,先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程(5.1)得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=(5.4)22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ (5.5)从(5.4)得2()a t T t Ae λ-=方程(5.5)称为亥姆霍兹(Helmholtz )方程。

贝塞尔函数详细介绍(全面)

贝塞尔函数详细介绍(全面)

(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0

d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数, n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x

贝塞尔函数

贝塞尔函数

5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
m0
m!
1m n m
1
(
x 2
)
n2
m
结论:当 n 不为整数时, Jn x和 Jn x 线性无关.
所以方程的通解可以表示为
y AJn x BJn x
通解可写为
y CJn x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
Y0
x
2
J0
x
(ln
x 2
C)
2
n1 m0
(1)m (m !)2
x 2
2m
m k 1
1 k
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x2Βιβλιοθήκη Jnx(ln
x 2
C)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始,,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而,导出了贝塞尔方程的特征值问题:
k
0
[c(ckk
)2(c
n2ka1k )a(ck 2

第4章-贝塞尔函数

第4章-贝塞尔函数

级数解的导数为: y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2),
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法(或达朗贝尔判别法)
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛,因此,级数式是贝塞尔方程的解.
28
下面我们分两种情况,找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解,得到方程贝塞尔的通解:
(1) 1 及 2 不是整数, 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。

贝塞尔函数和球贝塞尔函数

贝塞尔函数和球贝塞尔函数

贝塞尔函数和球贝塞尔函数前言:贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数,它是傅里叶变换的基础。

贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机科学等学科中都有着重要的应用。

本文将重点介绍贝塞尔函数及其应用中常用到的球贝塞尔函数,分别从定义、性质、运算及应用等多个角度进行解释。

一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数,又称为柏松函数或泊松函数,是一个数学函数系列,其名称是为了纪念德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔(Friedrich Wilhelm Bessel)而得名。

贝塞尔函数最初是为了解决圆形振动、电磁场、流体力学等问题而被引入的。

具体地说,贝塞尔函数是微分方程中的一类特殊解,其通式如下:$$ J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x/2)^{n+2k}}{k!(n+k)!} $$式中,Jn(x)代表了一类常微分方程的解,其中n代表了贝塞尔函数中的次数,x代表自变量,通常被称为“辐角”。

由于贝塞尔函数满足贝塞尔微分方程,因此它有许多重要的性质和应用。

(1)奇偶性:贝塞尔函数具有两种奇偶性,一种是关于自变量x的奇偶性,另一种是关于次数n的奇偶性。

$$ J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) $$(2)正交性:当n≠m时,两个不同次数的贝塞尔函数在区间[0,a]上的积分为0。

$$\int_{0}^{a}xJ_n(\alpha_n x)J_m(\alpha_mx)dx=\frac{\delta_{mn}}{\alpha_n}\frac{(J'_{n}(\alpha_n a))^2-(J_{n}(\alpha_n a))^2}{2}$$其中,δmn是Kronecker δ 符号,当n=m时为1,否则为0。

(3)渐近行为:在辐角趋近于无穷大时,贝塞尔函数的渐近行为为:$$ J_n(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4}) $$(4)级数展开:贝塞尔函数能用级数的形式表示:(1)递推关系:以Jn(x)为例,它的递推关系可以表示为:(2)德拜函数:德拜函数是一个和贝塞尔函数非常相似的函数,它用来描述球面波的性质。

贝塞尔函数基本知识和应用举例

贝塞尔函数基本知识和应用举例

都能在x=0附近展开成幂级数,则在这个邻域内方程有
广义幂级数解 y Ckxck k0
(C00)
Ck是展开系数, c是待定常数
y (x ) x c ( C 0 C 1 x C 2 x 2 C k x k )C k x c k k 0
y(x) Ck(ck)xck1 k0
y(x) C k(ck1)(ck)xck2 k0
xd
r2 x2 ydxdy
y2
rdrd
1 2 2 4 0 0 e (x 2 y 2 )dx 4 d 2 0r 0 e y r 2 rd 4 r 2 0 d 1 2 e r 2 0 d
其它结论 n122(22nnn)!!
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程: d dx(1x2)d dy x(21 m x 22)y0 m=0
勒让德方程: ddx(1x2)ddyx2y0
柱坐标下:
zrΒιβλιοθήκη xx cos y
sin
y
z z
2uk2u0
1 ( u)12 2u 2 2 zu 2k2u0
u (,,z ) R () ( )Z (z )
德国天文学家,数学家,天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ,1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒,业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长,直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学,以《天文学基础》(1818)为标志发展了 实验天文学 ,还编制基本星表 ,测定恒星视差, 预言伴星的存在,导出用 于天文计算的贝塞尔公式,较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值,还 编制大气折射表和大气折射公式,以修正其对天文观测的影响。他在数学研 究中提出了贝塞尔函数,讨论了该函数的一系列性质及其求值方法,为解决 物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外,他在大地测量学方面也 做出一定贡献,提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德 莱星表》,并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表,后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。

贝塞尔函数 - 维基百科,自由的百科全书

贝塞尔函数 - 维基百科,自由的百科全书

图1 贝塞尔函数的一个实例:一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型,其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数(考虑正负号)。

实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。

贝塞尔函数维基百科,自由的百科全书贝塞尔函数(Bessel functions),是数学上的一类特殊函数的总称。

通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数(Bessel function of the first kind)。

一般贝塞尔函数是下列常微分方程(一般称为贝塞尔方程)的标准解函数:这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。

由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程,需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。

典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数:注意,由于 在 x=0 时候是发散的(无穷),当取 x=0 时,相关系数 必须为0时,才能获得有物理意义的结果。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化(相应地,α被称为其对应贝塞尔函数的阶数)。

实际应用中最常见的情形为α是整数n,对应解称为n 阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中,α本身的正负号不改变方程的形式,但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数(这样做能带来好处,比如消除了函数在α=0 点的不光滑性)。

贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波,因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。

目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)3.3 第三类贝塞尔函数(汉克尔函数)3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了,当时引起了数学界的兴趣。

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利用叠加原理可得原定解问题的解为
(1) (1) (1) a μn a μn μn u( r , t ) = C 0 + D0 t + ∑ (C n cos t + Dn sin t )J 0 ( r) R R R n =1 ∞
代入条件 u |t = 0 = 0, ut |t = 0
r2 = 1
R2
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本节我们举例说明,用贝塞尔函数求解定解问题的 全过程.
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设有半径为 1 的薄均匀圆盘,边界上温度为零摄 氏度,初始时刻圆盘内温度分布为 1 r 2 ,其中 r 是圆盘内 任一点的极半径,求圆内温度分布规律. 由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标系较为方 便,并考虑到定解条件与θ无关,所以温度u只能是r,t的函 数,于是根据问题的要求,即可归结为求解下列定解问题: ut = a 2 ( urr + 1 ur ), 0 ≤ r < 1, t > 0 r u |r =1 = 0, t > 0 u |t = 0 = 1 r 2 , 0 ≤ r ≤ 1
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当 β = 0 时,由
′′ + rF ′ + λ r 2 F = 0 r F ′ + a 2λT = 0 T u |r = 0 < +∞
2
2
可知, 方程 utt = a ( urr + 1 ur ) 有一个特解
r
u0 ( r , t ) = C 0 + D0 t (C 0 , D0为待定常数 )

R
0
∫ rdr
R
0
r2 1 (1 2 )rdr = R 2

R
0
R2 R 2 2 (1) 2 (1) ′ (1) rJ 0 ( r )dr = J 0 ( μn )J 1 ( μn ) = J 0 ( μn ) R 2 2
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(1) μn
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(1) R μn 2 r2 Dn = (1 2 )rJ 0 ( r )dr (1) 2 (1) ∫0 a μn RJ 0 ( μn ) R R (1) 4 RJ 2 ( μn ) 4R = = (1) 3 2 (1) (1) (1) a ( μ n ) J 0 ( μ n ) a ( μ n )3 J 0 ( μ n )
(0) n 2 (0) 1 n
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因此所求定解问题的解为
(0) ( 4J 2 ( μn ) a 2 ( μn0 ) )2 t (0) u( r , t ) = ∑ (0) 2 2 (0) J 0 ( μn r )e n =1 ( μ n ) J 1 ( μ n ) ∞
F ( r ) = C1 J 0 ( β r ) + C 2 N 0 ( β r ) T ( t ) = C 3 cos a β t + C 4 sin a β t
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根据已知条件可知 C 2 = 0 ,即
F ( r ) = C1 J 0 ( β r )
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1 rJ ( μ (0) r )dr 1 r 3 J ( μ (0) r )dr = 2 (0) ∫ 0 n ∫0 0 n J 1 ( μn ) 0 2
(0) (0) (0) (0) (0) ∵ d[( μn r )J 1 ( μn r )] = ( μn r )[ J 0 ( μn r )d( μn r )]
1. 在一定条件下函数 f (r) 展开成如下形式的绝对且一 致收敛的级数; 2. 例题
利用关于特征函数系的完全(备)性可知,任意在[0,R] 上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数 f (r) ,只要它在 r = 0 处有界,在 r = R 处等于零,则它必能 展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数
R′′ +
1 R′ r = λ R
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r 2 R′′ + rR′ + λ r 2 R = 0 T ′ + a 2λT = 0
方程 T ′ + a 2 λ T = 0 的解为
a 2λ t
T ( t ) = Ce
因为 t → +∞时,u → 0,所以λ只能大于零,令 λ = β 2 ,则
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此外还有物理条件: | u |< ∞, 且当t → +∞时, u → 0
ut = a ( urr + 1 ur ) r
2
令 u( r , t ) = R( r )T ( t )
1 R′ )T , r
RT ′ = a 2 ( R′′ +

T′ = 2 aT
f ( r ) = ∑ An Jυ (ω n r )
n =1 ∞


R
0
rf ( r )Jυ (ω n r )dr = An ∫ rJυ 2 (ω n r )dr
R 0
An =
1 Jυ (ω n r )
2

R
0
rf ( r )Jυ (ω n r )dr
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(1) (1) a μn a μn Tn ( t ) = C n cos t + Dn sin t R R
即 utt = a 2 ( urr + 1 ur ) 有特解
r
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(1) (1) (1) a μn a μn μn un ( r , t ) = (C n cos t + Dn sin t )J 0 ( r) R R R 其中 C n , Dn是待定常数, n = 1,2,… .

(0) rJ 1 ( μn r ) (0) d = rJ 0 ( μn r )dr (0) μn
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另外
1
1 0
( rJ 0 ( μ n0) r )dr =
rJ 1 ( μ r )
μ
( 0) n ( 0) n
1
=
0
( J 1 ( μ n0) ) ( μ n0)
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C0 + ∑ Cn J 0 (
n =1

(1) μn
(1) μn a r2 (1) D0 + ∑ Dn μn J 0 ( r) = 1 2 R n =1 R R C 0 = 0( n = 0,1, 2, ...)

R
r) = 0
(a)
D0 =
1
(1) 由(a)并利用下面的结果:如果 μn 是 J 1 ( x )的正零点,
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当β=
(1) μn
R
( n = 1, 2, ...) 时,由方程
F ( r ) = C1 J 0 ( β r ) T ( t ) = C 3 cos a β t + C 4 sin a β t
Fn ( r ) = J 0 (
(1) μn

R
r)
退出
= =
J1 ( μ )
μ
(0) n (0) n
2
(0) ( μ n )2
1 (0) r 2 J 2 ( μn r ) 0
(0) J 1 ( μn ) (0) μn
(0) 2J 2 ( μn ) , (0) 2 ( μn )
4J 2 ( μ ) C n = (0) 2 ( μn ) J ( μ )
(0) 其中 μn 是 J 0 ( r ) 的正零点.
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求下列定解问题的解: u = a 2 ( u + 1 u ), 0 < r < R, t > 0 rr r r tt ur |r = R = 0, u |r = 0 < +∞ , t > 0 r2 2 ,0 ≤ r ≤ R u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = 1 R 用分离变量法来解,令 u( r , t ) = F ( r )T ( t ) ,采用例1中 类似的运算,可得
(0) rJ 1 ( μn r ) (0) r 3 J 0 ( μn r )dr = ∫ r 2d (0) ∫0 0 μn 1
=
r J (μ r )
3 (0) n 1 (0) n
1
μ
0
2
(0) μn

1
0
(0) r 2 J 1 ( μn r )dr
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C1 β ≠ 0
′ F ′( R ) = C 1 β J 0 ( β R ) = 0
′ J 0 ( β R) = 0 d J 0 ( x ) = J 1 ( x ) 可得 利用贝塞尔函数的递推公式 dx J1 ( β R) = 0
J 1 (0) = 0
(1) β = 0及β R = μn ( n = 1, 2, ...)
最后得到定解问题的解为
(1) (1) a μn μn 1 t 4R ∞ u( r , t ) = ∑ ( μ (1) )3 J ( μ (1) ) sin R tJ 0 ( R r ) 2 a n =1 n 0 n
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