贝塞尔函数的应用 数学物理方程
bessel方程
Bessel方程简介Bessel方程是数学中的一类特殊微分方程，以德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）的名字命名。
Bessel方程在物理、工程和应用数学中经常出现，特别是在圆柱坐标系下的问题中。
定义Bessel方程是形如x2y″+xy′+(x2−n2)y=0的二阶线性常微分方程，其中n为常数。
这个方程有两个线性无关的解，称为第一类Bessel函数J n(x)和第二类Bessel函数Y n(x)。
第一类Bessel函数第一类Bessel函数J n(x)可以通过级数展开或递归关系求解。
级数展开形式为：J n(x)=∑(−1)m m!(m+n)!∞m=0(x2)2m+n递归关系则定义了J n(x)的计算方式：J n(x)=1π[(x/2)nn!]1/2[W−n−1(x)+W n+1(x)]其中，W n(x)为贝塞尔函数。
第一类Bessel函数在物理学中有广泛的应用，例如在圆柱坐标系下的电磁场分析和振动问题中。
第二类Bessel函数第二类Bessel函数Y n(x)也可以通过级数展开或递归关系求解。
级数展开形式为：Y n(x)=J n(x)cos(nπ)−J−n(x)sin(nπ)递归关系则定义了Y n(x)的计算方式：Y n(x)=1π[(x/2)nn!]1/2[W−n−1(x)−W n+1(x)]第二类Bessel函数在物理学中也有重要的应用，特别是在圆柱坐标系下的电磁场边界条件和波动问题中。
性质和特点Bessel方程和Bessel函数具有许多重要的性质和特点。
渐近行为当x趋向于无穷大时，第一类Bessel函数J n(x)渐近于√2πx cos(x−nπ2−π4)，而第二类Bessel函数Y n(x)渐近于√2πx sin(x−nπ2−π4)。
零点Bessel函数的零点是它们的重要特征。
第一类Bessel函数J n(x)在正实轴上有无穷多个零点，而第二类Bessel函数Y n(x)在正实轴上没有零点。
《数学物理方法》第七章 贝塞尔函数
45
【例7.2.3】试由递推公式计算J3/2(x)及 J-3/2(x) 解 在式(7.2.6)中 令v = 1/2, 即有
(7.2.16) 同理，在式(7.2.6)中令， v = -1/2,并利用7. 1
节中例7.1.1的结论，即有
46
§7.2.3 贝塞尔函数的渐近公式 平面波按柱面波展开
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
12
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线．
13
(2)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得
但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
15
(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式
诺伊曼函数的定义是
(7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
由式(7.2.12),和式(7.2.13)出发还可导出Nv(x) 的其他递推公式，其形式也与Jv(x)的递推公 式相同．
汉克尔函数的递推公式也可按上法导出． 凡是递推公式具有形如式(7.2.4)和式(7.2.5)的
函数称为柱函数．因此，第一、二、三类贝 塞尔函数又称为第一、二、三类柱函数．
43
26
【例7.1.1】试证明：半奇数阶贝塞尔函数 可用初等函数表示为
证明 利用式(7.1.10)可得
27
同理，利用式(7.1.11)可得
贝塞尔函数的推导
贝塞尔函数的推导贝塞尔函数是数学中一类重要的特殊函数，它以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的朋友、法国工程师亚伯拉罕·路易·贝塞尔的名字命名。
贝塞尔函数广泛应用于数学和物理领域，特别是在描述波动现象、振动问题、椭圆边界值问题、量子力学等方面。
首先我们考虑下面的微分方程：(1) x^2y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0其中y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数，n为常数。
为了得到贝塞尔函数的解，我们假设y的解可以表示为一个无穷级数：(2) y(x) = Σ[Anxn]其中An为待定系数。
将公式(2)代入微分方程(1)中，得到：x^2Σ[Anxn] + x(2Σ[Annxn-1]) + Σ[Anxn+2] - n^2Σ[Anxn] = 0根据级数的性质，我们可以重新排列上述方程，指定每一项的系数为零：(3) Σ[(n(n-1)Anxn + An+2xn+2 - n^2Anxn)] = 0为了使上述方程对于所有x都成立，我们要求每一项的系数都为零，即：(4)n(n-1)An+An+2-n^2An=0现在我们来解上述递归关系(4)。
首先我们假设解可以表示为一个无穷级数：(5)An+2=(n^2-λ^2)/(n(n+1))An其中λ为待定的常数。
将上式代入递归关系(4)中，得到：(6)n(n-1)An+((n^2-λ^2)/(n(n+1)))An-n^2An=0(7)(n^2-λ^2)An=0由于An对于所有n都不为零，因此上式成立的唯一条件是λ^2=n^2、于是我们可以得到两个解，即λ=n和λ=-n。
对于λ=n的情况，我们得到递归关系：(8)An+2=(n^2-n^2)/(n(n+1))An(9)An+2=0由于An+2=0，我们可以得到An=0，An+2=0，An+4=0，...，即An的系数为零。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
电动力学中的泊松方程与贝塞尔函数球对称电荷分布的电势分析
电动力学中的泊松方程与贝塞尔函数球对称电荷分布的电势分析电动力学是物理学中研究电荷分布和电场的学科，而泊松方程和贝塞尔函数是电动力学中的两个重要概念。
本文将对泊松方程和贝塞尔函数在球对称电荷分布的电势分析中的应用进行详细介绍。
一、泊松方程的基本概念和原理泊松方程是描述电场中电势分布的偏微分方程，通常用于描述无源电场中的电势分布。
其数学表达式为：∇^2φ = -ρ/ε₀其中，∇^2φ表示电势φ的拉普拉斯算子，ρ表示电荷密度，ε₀为真空介电常数。
泊松方程的解法涉及到边界条件的选取和合适的参考系的选择。
在球对称电荷分布的情况下，球坐标系是一个常用的参考系。
假设球对称电荷分布的电势分布为φ(r)，其中r为距离原点的径向距离。
根据球坐标系下的拉普拉斯算子的表达式，泊松方程可以写为：1/r^2 (d/dr(r^2 dφ/dr)) = -ρ/ε₀二、贝塞尔函数的定义和性质贝塞尔函数是非常重要的一类特殊函数，与圆对称问题有关，广泛应用于物理学和工程学中。
在球对称电荷分布的电势分析中，贝塞尔函数是一个关键的数学工具。
贝塞尔函数的定义表达式如下：J_v(z) = ∑ ( (-1)^m / (m! Γ(m + v + 1)) * (z/2)^(2m + v) )其中，J_v(z)表示第一类贝塞尔函数，z为自变量，v为贝塞尔函数的阶数，Γ为伽玛函数。
贝塞尔函数具有许多重要的性质，包括递推关系、正交性和归一性等。
这些性质使得贝塞尔函数成为解决球对称电荷分布的电势问题的有力工具。
三、泊松方程与贝塞尔函数的应用在球对称电荷分布的情况下，将泊松方程应用于贝塞尔函数上可以得到如下形式的方程：1/r^2 (d/dr(r^2 dφ/dr)) - (l(l+1))/(r^2) φ = -ρ/ε₀。
这是一个贝塞尔方程，约束条件为l为非负整数。
根据边界条件和电荷分布情况，我们可以求解贝塞尔方程，得到球对称电荷分布的电势分布φ(r)。
常用的求解方法有级数展开法和特解法等。
第4章-贝塞尔函数
级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
n阶贝塞尔方程
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
二 贝塞尔方程的求解
n阶贝塞尔方程 n任意实数或复数
x2 y xy x2 n2 y 0
假设 n 0
令：y xc (a0 a1x a2 x 2 ak x k ) ak xck k 0 (c k)(c k 1) (c k) (x2 n2 ) ak xck 0 k 0
Jn (x)
2 cos x 1 n x 4 2
Yn (x)
2
x
sin
x
1
4
n
2
x , Jn (x) 0,Yn (x) 0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
性质8 正交性
R
0 rJn
(n) m R
r
J
n
(n) k R
r dr
R2
2
J
2 n1
(m(n)
3
(1)m 2m1
52m 1
(
1
)
x 2
1 2
2m
2
(1)m 22m1
x
1 2
2m
m0 2m 1 ! 2
(1)m 2 x2m1
m0 2m 1! x
2
x
(1)m x2m1
m0 2m 1 !
2 sin x
x
J 1 (x) 2
2 cosx
x
J n1 (x) (1)n 2
2
x
n
(c 2 n2 )a0 xc (c 1)2 n2 a1xc1 (c k )2 n 2 ) ak ak2 xck 0
k 0
(c2 n2 )a0 0
(c 1)2 n2 a1 0 (c k)2 n2 ) ak ak2 0
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贝塞尔函数的应用（11.13）
形如
222''()'()()()0x f x xf x x v f x ++-=
的二阶微分方程称为v 阶贝塞尔方程。
且
()()v f x J x =
是方程的一个解。
此外，当v 不是整数时，
()()v f x J x -=
是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为
12()()()v v f x C J x C J x -=+
当v 是整数时，
()()v f x Y x =
是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为
12()()()v v f x C J x C Y x =+
问题1：考虑极坐标下的二维波动方程
212()tt rr r u c u r u r u θθ--=++
(,,)0, (,,0)(,), (,,0)0t u b t u r f r u r θθθθ===
根据变量分离法，首先假设
(,,)()()()u r t R r T t θθ=Θ
代入原微分方程后可得
212()()''()''()()()'()()()()''()()R r T t c R r T t r R r T t r R r T t θθθθ--⎡⎤Θ=Θ+Θ+Θ⎣⎦
移项整理可得
1222''()''()()'()()()''()0()()()
T t R r r R r r R r c T t R r θθθμθ--Θ+Θ+Θ==-<Θ 因此
22''()()0T t c T t μ+=
同时
1222''()'()''()0()()
R r r R r r v R r θμθ--+Θ+=-=>Θ 因此
2''()()0v θθΘ+Θ=
2222''()'()()()0r R r rR r r v R r μ++-=
分别求解上述三个微分方程
对于方程2''()()0v θθΘ+Θ=，由于题目中没有给定θ的范围，因此
(,,)(,2,)u r t u r t θθπ=+
即
()(2)θθπΘ=Θ+
由于其通解为
012()(cos sin )
e C v C v θθθΘ=+
同时 1212(2)cos (2)sin (2)cos(2)sin(2)C v C v C v v C v v θπθπθπθπθπΘ+=+++=+++。