5.3_按贝塞尔函数展开成级数
贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !(
k
1)
( x ) 2k 2
式中 ( x) 是伽马函数．满足关系
（1.2.1）
( k 1) ( k )( k 1) ( 2)( 1)( 1)
H (1)
H(2)
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
( (
x) x)
（1.1.9）
分别将
H (1)
,
H(
2
)
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x
A
H (1)
(
x
)
BH(2) ( x)
（1.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
x 和
可以为任意数．
1.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(1.1.6)的通解为
y( x) AJ ( x) BJ ( x) （1.1.7）
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
Jn (x)
(1)k
k n
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x)n2l ,
l0
l !(n l 1) 2
贝塞尔函数展开
贝塞尔函数展开一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数是解决微分方程中出现的一类特殊函数，它最早由法国数学家贝塞尔在研究热传导方程时提出，因此得名为贝塞尔函数。
贝塞尔函数可以分为第一类和第二类两种，分别用Jn(x)和Yn(x)表示。
二、贝塞尔函数的展开式1. 第一类贝塞尔函数展开式第一类贝塞尔函数Jn(x)可以用下面的级数展开：Jn(x) = (x/2)^n∑k=0^∞(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k)其中，n为整数，x为实数。
2. 第二类贝塞尔函数展开式第二类贝塞尔函数Yn(x)可以用下面的级数展开：Yn(x) = (2/π)(Jn(x)ln(x/2)+∑k=1^n(-1)^k(k-1)!/(k!)(x/2)^(-2k-n)) 其中，n为整数，x为正实数。
三、代码实现下面是一个Python实现的例子：```pythonimport mathdef J(n, x):"""计算第一类贝塞尔函数J_n(x)"""s = 0for k in range(0, 100):t = (-1)**k / (math.factorial(k) * math.factorial(n + k)) * (x / 2)**(2 * k + n)s += tif abs(t) < 1e-10:breakreturn s * (x / 2)**ndef Y(n, x):"""计算第二类贝塞尔函数Y_n(x)"""if x == 0:return float('-inf')s = J(n, x)t = math.log(x / 2) * J(n, x) - sum((-1)**k / (math.factorial(k) * (k + 1)) * (x / 2)**(-2 * k - n) for k in range(1, n + 1))return (2 / math.pi) * tif __name__ == '__main__':print(J(0, 1)) # 输出0.7651976865579666print(Y(0, 1)) # 输出-inf```四、应用举例贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，下面举几个例子：1. 球谐函数的展开式中就包含了贝塞尔函数。
5.3 按贝塞尔函数展开成级数2
( x). J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x), dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx 2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x), x
( x) J1 ( x); J0
d xJ 1 ( x) xJ 0 ( x). dx
2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x), x
(27)
(28)
(29)
例 解
求 xJ 2 ( x ) dx
J 2 ( x) 由(27)式知， 2 J 1 ( x) J 0 ( x), x
5
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx
d n x J n ( x) dx
(25)
2 k 1 x k 1 ( 1 ) n 2 k 1 2 k!(n 1 k 1) k 0
n 1 2 k x x n (1) k n1 2k 2 k!(n 1 k 1) k 0
m 1 2
1 d sin x , x dx x
m
m
J 2 m1
2
2
它是算子
1 d 这里为了方便起见，我们采用微分算子 , x dx 1 d
x dx
1 d cos x , x dx x
当：n 1 时，（ 1）式有 d 1 x J1 ( x) x 1 J 2 ( x) dx
xJ 1 ( x ) 2 J 1 ( x ) d x
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
第五章 数理方程 贝塞尔函数
(1) 由 ( n m 1) ( n m )! 得 1 1 m J n ( x) 1 n2 m xn2m 2 m! n m ! 1 m 0 0 （２）取n=N , 在 J n x 中,由于m<N时， N m 1
a 2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
2V 2V 2 V 0 2 x y
由边界条件，可知
V
x2 y2 R2
0
在极坐标系下，问题可以写成
2V 1 V 1 2V 2 V 0 0 R 2 2 V | 0 R
2 k 1 d x k 1 k (2k 2) x 1 2 k 2 2 1 2 k 2 2 dx 2 k 1 ! 2 [ k 1 !] 1 1 n m 2m Jn x 1 x n2m 2 k 1 2 m! n×（－１） m ! x0 k m 1 2k 1 2 及k ! 1 ! : k 得 n 1 分别令n 0
所以级数从m=N开始 1 1 m J N ( x) 1 N 2 m x N 2m 2 m ! N m 1 m N
N N 1 N 4 x x x N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
y CJ n x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
x 2 (1) x Y0 x J 0 x (ln C ) 2 m 0 (m !)2 2 2
n 1 m
2m m
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝赛尔函数
lim µm+1 − µm = π
( n)
( n)
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
Jn
(
λ R = 0 的解为
)
λ R = µm
(n )
m = 1,2, L
与这些特征值相应的特征函数为
( µmn) P ( ρ ) = Jn ρ m R
m = 1,2, L
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
因为 所以
d n x J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx
(
)
( ( ( ( ( ( µ n0 ) r ) J1 µ n0) r = µ n0 ) r J 0 µ n0 ) r d µ n0 ) r d
(
) (
µ
) (
µ
) (
)
∫ rJ (µ
再次分离变量,令 V ( ρ ,θ ) = P,代入化简得 (ρ )Θ(θ )
P"( ρ ) Θ(θ ) + 1
ρ
2
P ' ( ρ ) Θ(θ ) +
1
ρ
2
P ( ρ ) Θ"(θ ) + λ P ( ρ ) Θ(θ ) = 0
引入参数 µ 分解
P "( ρ ) P ' ( ρ ) Θ"(θ ) ρ +ρ + + λρ 2 = 0 P P Θ
d n [ x J n ( x )] = x n J n −1 ( x ) dx
d −n [ x J n (x )] = − x − n J n +1 (x ) dx
2n J n−1 (x ) + J n+1 ( x ) = J n (x ) x
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
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2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
5.3.3 贝塞尔函数的模
定积分
R 0
rJ
2 n
(n) m R
r dr
的平方根，称为贝塞尔函数
当1 2 时，由(38)式得
J
n
(n) m R
r
(39) 的模。
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
(12
2 2
)rF1
F2
F2
d dr
r
dF1 dr
F1
d dr
r
dF2 dr
0.
上式两边对 r 从 0 到 R 积分得
(12
2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R
0
0. (38)
R,
2
(n) k
/ R,
并且由于
F1 (R)
J
n
(
(n m
)
)
0,
F2 (R)
J
n
(
( k
n
)
)
0,
(n) m
( k
n
)
,
便立即可得(37)式成立。
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间(0, R) 上带权 r
正交.
10
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
5.3 按贝塞尔函数展开为级数
应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题 时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为 级数。本节我们将讨论这个问题。
本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题 中，出了贝塞尔方程的固有值问题：
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
F(r) CJn ( r), 另外，再利用(33)中的条件F(R) 0 得
Jn ( R) 0.
(34)
2
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
Jn ( R) 0.
(34)
5.3.1 贝塞尔函数的零点
方程(34)表明，为了求出固有值问题(32)(33)
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
d dr
r
dF1 dr
12 r
n2 r
F1
0,
d dr
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2
0.
将上面两式分别乘以 F2 和 F1
7
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
(
(n) m
)
故上式化为
0,
dF1 dr
R
1J n (1R)
n m
R
J
n
(
(n) m
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
12
2 2
R 0
.
11
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
2 1
2 2
dF2 dr
R
0
.
在上式中，令 1
(n) m
/
R,
2仍为任意参数，由于
F1 (R)
Jn
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
1
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
由于Yn (0)无穷大，由边界条件(33)中的有界性条件 可知 D 0, 从而
3 当 x 值充分大时，J n (x) 的两个相邻零点之间的
的距离接近于 .
整数阶贝塞尔函数应用更多，特别是 J 0 (x)与 J1(x) 4
Jn ( R) 0.
(34)
应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设
(n) m
(m
1,
2,
)
为J
n
(x)
的正零点，则由方程(34)得
R
(n) m
(m 1, 2, ),
(n) m
(n) m R
2
(m 1, 2, ), (35)
与这些固有值相对应的固有函数为
Fm (r) Jn
(n) m
r
J n
(n) m R
r
(m 1, 2, ). (36)
5
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
Fm (r)
J n
(n) m R
F2
d dr
r
dF1 dr
12
r
n2 r
F1F2
0,
F1
d dr
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2 F1
0.
上两式相减得
8
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
的固有值 , 我们需要判明 J n (x) 的零点是否存在？
所谓贝塞尔函数的零点，指的是使 J n (x) 0的那些
x的值。
关于贝塞尔函数的零点有下面一系列的定理。
3
5.3.1 贝塞尔函数的零点
1 J n (x) 有无穷多个单重实零点，这些零点在 x
轴上关于原点对称分布，因而 J n (x) 有无穷多 个正零点； 2 J n (x)的零点与 J n1 (x)的零点是彼此相间分布的， 且 J n (x) 的绝对值最小的零点比 J n1 (x)的绝对值 最小的零点更接近于0； 自然有，J n (x)与 J n1(x) 没有公共零点。
r
(m 1, 2, ).
(36)
5.3.2 贝塞尔函数系的正交性
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间(0, R) 上带权 r
正交，即
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
证 将贝塞尔方程(32)改写如下
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
6
R 0
9
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
2 2
)
R 0
rF1
(r
)
F2
(r
)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
在(38)式中取 1
(n) m
/