贝塞尔曲线
apollo 贝塞尔曲线
apollo 贝塞尔曲线贝塞尔曲线是图形学中常用的数学曲线，具有平滑且自然的特点。
在 Apollo 自动驾驶系统中，贝塞尔曲线被广泛应用于路径规划和轨迹生成。
本文将介绍 Apollo 中的贝塞尔曲线以及其在自动驾驶领域的应用。
一、贝塞尔曲线的定义与特点贝塞尔曲线是由一系列控制点和参数化函数组成的曲线。
通过调整控制点的位置和参数函数的取值，可以绘制出各种不同形状的曲线，包括直线、二次曲线、三次曲线等。
贝塞尔曲线有三个基本特点：平滑性、局部控制性和逼近特性。
二、Apollo 中的贝塞尔曲线在 Apollo 自动驾驶系统中，贝塞尔曲线主要用于路径规划和轨迹生成。
首先，通过在地图上选取一系列关键点作为控制点，利用贝塞尔曲线的局部控制性，可以更加灵活地指定路径。
其次，通过调整贝塞尔曲线的参数函数，可以实现路径的平滑过渡和自然变化。
最后，Apollo 还使用贝塞尔曲线来生成机动车的轨迹，以实现更精确的行驶控制。
三、贝塞尔曲线在自动驾驶中的应用1. 路径规划：Apollo 利用贝塞尔曲线生成平滑的路径，以提高行驶的安全性和舒适性。
通过调整贝塞尔曲线的控制点和参数函数，可以生成灵活、精确的路径规划结果。
2. 轨迹生成：基于生成的路径，Apollo 使用贝塞尔曲线生成机动车的轨迹。
通过控制贝塞尔曲线的参数，可以实现车辆的平滑变速、转弯半径调整等功能。
3. 交通流量仿真：利用贝塞尔曲线模拟道路上的车辆行驶状态，包括车辆的位置、速度以及加速度等信息。
通过仿真结果，可以评估交通流量的变化趋势、道路瓶颈等情况，为交通管理和规划提供参考依据。
四、贝塞尔曲线的优势与挑战1. 优势：- 平滑性：贝塞尔曲线具有良好的平滑性，能够实现路径的平滑过渡，减少车辆行驶过程中的抖动和不稳定性。
- 灵活性：通过调整控制点和参数函数，可以实现路径的灵活规划，适应不同路况和车辆行驶需求。
- 可控性：贝塞尔曲线具有局部控制性，可以在路径的特定部分进行调整和优化，提高行驶的准确性和精度。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
cad贝塞尔曲线算法
cad贝塞尔曲线算法
CAD（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）中的贝塞尔曲线算法用于绘制平滑的曲线。
贝塞尔曲线由控制点决定，其形状在控制点之间插值。
贝塞尔曲线的算法有多种类型，其中最常用的是二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。
1. 二次贝塞尔曲线算法：
二次贝塞尔曲线有三个控制点，分别为起始点P0，控制点P1和终点P2。
曲线上的任意点P可以通过以下公式计算得出：
P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2*t*(1-t) * P1 + t^2 * P2
其中t为0到1之间的参数，代表曲线的位置。
2. 三次贝塞尔曲线算法：
三次贝塞尔曲线有四个控制点，分别为起始点P0，控制点P1，控制点P2和终点P3。
曲线上的任意点P可以通过以下公式计算得出：
P(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*t*(1-t)^2 * P1 + 3*t^2*(1-t) * P2 + t^3 * P3
其中t为0到1之间的参数，代表曲线的位置。
CAD软件通常通过在曲线上选择若干个控制点，并根据贝塞尔曲线算法计算出曲线上的点来绘制平滑的曲线。
贝塞尔曲线算法的优点是可以精确地控制曲线的形状，并且可以绘制复杂的曲线。
贝塞尔曲线的应用
贝塞尔曲线的应用什么是贝塞尔曲线贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种数学曲线，由法国数学家贝塞尔在1962年提出。
它通过控制点和控制线来定义轨迹，具有良好的平滑性和可调节性，被广泛应用于计算机图形学、动画、数字艺术等领域。
贝塞尔曲线的类型贝塞尔曲线根据控制点的数量可以分为一维、二维和三维贝塞尔曲线。
其中，一维贝塞尔曲线由两个控制点定义，二维贝塞尔曲线由三个控制点定义，三维贝塞尔曲线由四个控制点定义。
不同类型的贝塞尔曲线具有不同的应用场景和特点。
贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中被广泛应用于曲线的绘制、曲面的建模以及图形的变形等方面。
通过调整控制点的位置和权重，可以创建出各种形状丰富、流畅的曲线和曲面。
贝塞尔曲线的平滑性和可调节性使其成为计算机图形学中不可或缺的工具。
2. 动画制作贝塞尔曲线在动画制作中也扮演着重要的角色。
通过在时间轴上设置贝塞尔曲线的控制点，可以精确控制动画的过渡效果和运动轨迹。
例如，在二维动画中，通过贝塞尔曲线可以实现物体的平滑移动、缓动效果和抛物线轨迹等。
3. 数字艺术贝塞尔曲线在数字艺术中常被用于创作矢量图形和艺术图案。
通过调整贝塞尔曲线的控制点，可以创建出各种形状独特、线条流畅的艺术作品。
例如，在平面设计中，贝塞尔曲线可以用于绘制字体、图标和插图，赋予作品更多的艺术感和创造力。
贝塞尔曲线的优势和局限性1. 优势•平滑性：贝塞尔曲线具有良好的平滑性，能够创造出流畅的曲线和曲面。
•可调节性：通过调整控制点的位置和权重，可以随意改变曲线的形状和风格。
•简洁性：贝塞尔曲线的定义简单明了，只需要少量的控制点即可确定曲线的轮廓。
2. 局限性•复杂性：当控制点的数量增多时，贝塞尔曲线的计算和编辑会变得复杂而困难。
•可视化：贝塞尔曲线的控制点和控制线在可视化中较难直观显示，可能需要借助额外的工具或插件。
如何使用贝塞尔曲线使用贝塞尔曲线进行绘制和编辑通常需要借助专业绘图软件或图形库。
贝塞尔曲线曲面
贝塞尔曲线曲面
贝塞尔曲线和曲面是计算机图形学中的重要概念。
贝塞尔曲线是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔在20世纪60年代提出的一类参数曲线。
它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。
其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。
这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。
移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。
贝塞尔曲面则是通过贝塞尔曲线扩展到三维空间的结果，它是一类三维参数曲面，通过调整控制线，可以得到各种各样的曲面形状。
贝塞尔曲线和曲面广泛应用于计算机图形学中，如游戏设计、建筑设计、工业设计等领域。
在计算机图形学中，它们被用来创建各种复杂的形状和表面，使得设计更加灵活和高效。
贝塞尔曲线 坐标 算法
贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。
它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。
贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。
2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。
•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。
•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。
在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。
3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。
要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。
3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。
要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。
4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。
我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。
首先，我们需要确定曲线上的一系列点。
可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。
在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。
贝塞尔曲线控制点
贝塞尔曲线控制点
（最新版）
目录
1.贝塞尔曲线的定义
2.贝塞尔曲线的控制点
3.贝塞尔曲线的应用
正文
贝塞尔曲线是一种通过基函数和控制点定义的平滑曲线，它是以数学家贝塞尔的名字命名的。
贝塞尔曲线具有很多重要的性质，其中最重要的就是它的控制点。
贝塞尔曲线的控制点是用来控制曲线形状的点。
在贝塞尔曲线中，每个控制点都会对曲线的形状产生影响。
具体来说，贝塞尔曲线的控制点决定了曲线在每个控制点处的切线方向。
因此，通过改变控制点的位置，我们可以控制曲线的形状。
贝塞尔曲线在许多领域都有应用，例如计算机图形学、动画制作和经济学等。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线常用于绘制光滑的曲线，如文本和形状。
在动画制作中，贝塞尔曲线可以用来制作平滑的动画效果。
在经济学中，贝塞尔曲线则可以用来描述价格和需求的关系。
总的来说，贝塞尔曲线是一种重要的数学工具，它的控制点是其关键部分。
第1页共1页。
ae中贝塞尔曲线
AE中贝塞尔曲线在Adobe After Effects（AE）中，贝塞尔曲线是一个非常重要的概念，它用于创建和编辑动画和运动路径。
在这篇文章中，我们将来详细介绍AE中的贝塞尔曲线。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国数学家Pierre Bézier创建。
它被广泛应用于计算机图形学、计算机动画和计算机视觉等领域。
在AE中，贝塞尔曲线用于定义物体的运动路径、形状和动画。
二、贝塞尔曲线的构成贝塞尔曲线由一系列点组成，这些点被称为控制点。
每个控制点都有两个“把手”，一个在控制点的左边，一个在右边。
通过调整控制点的位置和把手的角度和长度，可以改变贝塞尔曲线的形状。
三、贝塞尔曲线的类型在AE中，有两种类型的贝塞尔曲线：Bezier曲线和B-spline曲线。
1. Bezier曲线：Bezier曲线是最常用的贝塞尔曲线类型。
它由两个端点和两个控制点组成。
这两个控制点定义了曲线的形状，而两个端点则确定了曲线的起点和终点。
在AE中，Bezier曲线通常用于创建动画和运动路径。
2. B-spline曲线：B-spline曲线是一种更复杂的贝塞尔曲线类型。
它由多个控制点组成，这些控制点可以沿着曲线移动，从而改变曲线的形状。
B-spline曲线在处理复杂形状和动画时非常有用。
四、如何创建和编辑贝塞尔曲线1. 创建贝塞尔曲线：在AE中，可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线：a. 选择一个图层或物体，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的空对象。
b. 在时间轴中选择空对象，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的贝塞尔曲线。
c. 在时间轴中选择贝塞尔曲线，然后使用“Ctrl”键拖动控制点以调整曲线的形状。
2. 编辑贝塞尔曲线：在AE中，可以使用以下方法编辑贝塞尔曲线：a. 拖动控制点：选择控制点并拖动它们可以改变曲线的形状。
当鼠标放在控制点的把手上时，会出现一个红色线条，表示可以调整把手的角度和长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
n
m
R
r
J
n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
mn
R
r
dr
的正平方根称为函数
J
n
n
m
R
r
的模值.
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
结论2. 在区间［０，R］上具有一阶连续导数以
及分段连续的二阶导数的函数 f ( 以展开为 如下形式的一致收敛的级数：
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C
)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
x=(0:0.02:16)'; y=besselj(1,x); plot(x,y) hold on; >> z=0; >> plot(x,z,'b')
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
y'x ak c k xck1
[(c
kk)0 2
n2 ]ak
ak2
xck 0
比较系k数y"2得x k0 ak c k c k 1 xck2
代入方c 2程确n定2 a系0数 0ak c 和a0 0 c： n
将 n n 2 代入另一方程得
2 P" P' 2 n2 P 0
n 阶贝塞尔方程.
由条件 V R 0 得 P R 0
由温度是有限的，得 P 0
P(R) 0
原问题就转化为求贝塞尔方程在条件
的特征值和特征函数.
P(0)
下
考虑贝塞尔方程
2P" P' 2 n2 P 0
(1) Jn(x)有无穷多个单重实零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的 零点;
(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分 布.
(3) 设
n
m
(
m
1,2,
)为J n x的正零点,
则有
lim
m
n m1
mn
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
Jn R 0 的解为
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶
贝塞尔方程为
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 n 0的情形.
假定方程有如下形式的级数解：
y x xc a0 a1x L ak xk L
ak x ck (a0 0) k 0
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
cos x
x
1
d
m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
例 求不定积分 xJ2 x.dx 解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x ，可得
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx x dJ1 x J1 x dx
方程的通解也可表示为
y CJ n x DYn x
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
p 1 p p
1
1,
1 2
,
1
m
0,
(m
0,1, 2L
)
当m,n为整数时，有 (n m 1) (n m)!
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始，,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而，导出了贝塞尔方程的特征值问题：
x
x
p1dx
)
n 由mna1 m01L an12(an31)(n1a) 2k1n0m 1
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
m2!nn4
1
m
1
a2m
1m
a0
22m m!n 1n
2L
n
m
.
5.2 贝塞尔方程的求解
这样，得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导 出贝塞尔方程； ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解 的性质。
稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。
瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。
5.1 贝塞尔方程的引入
设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
结论：当 n 不为整数时, J n x和 J n x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJ n x BJ n x
5.2 贝塞尔方程的求解
如果选取
A cotn ,
得到
B 1
sin n
Yn x
J n xcosn
sin n
Jn x
(n 1, 2,L )
当 n 不为整数时, J n x和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
mN
1
m
1 2N2m m!
1 N m1
x N 2m
(1)N
x 2N
N
N
!
2
N
xN 1 2(N
1)
!
2
N
4
xN (N
4
2)!2!
L
(1)N JN (x)
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
所以，当n为整数时, J n x与 J n x 线性相关
此时定义第二类贝塞尔函数为
Yn
x
lim
P" ( ) 1 P ' ( )
1
2
P
"(
)
P
(
)
0
2 P" P ' "( ) 2 0
P
P
引入参数 分解
" 0
2P" P' 2 P 0
结合自然周期条件，得本征值问题
" 0
2
本征值 n n 2，
0
a0 2
本征函数
n an cos n bn sin n ,n 1,2,L
1k
x2k
22k k !2
L
1k
22k
x2k 1
k ! k
1! L
5.4 贝塞尔函数的递推公式
又
d dx
[ xJ1 ( x)]
d dx
x2 2
x4 L 23 2!
1k
(2k 2)x2k2
22k1k !k 1!
x3 x 22
L
1k
x2k 1 22k (k !)2
L
x2
x
考虑到定解条件和 无关, 所以温度 u 只能是 r
和 t 的函数.
５.６ 应用举例
解:问题可归结为求下列定解问题:设u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
5.4 贝塞尔函数的递推公式
两式相加减 分别消去 J n 'x 和 J n x , 可以得到
J n1x
J n1x
2n x
Jn
x
J n1x J n1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 J n x J n1 x 的值, 就可以求出 J n1 x
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
u 0 x2 y2 R2
x2 y2 R2
令 ux, y,t V x, yT t，代入方程得
VT'
a
2
2V x 2
2V y 2
T
进而得
T' a 2T
Vxx Vyy V
0
齐次偏微分方程化为两个微分方程:
xn2m
1m
( x )n2m
m0 m! n m 1 2
称 J n x 为 n 阶第一类贝塞尔函数(n>=0).
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
1m
( x)n2m
m0 m! n m 1 2
做代换 r