第七章 特殊函数 三、贝塞尔函数及其应用
《数学物理方法》第七章 贝塞尔函数
45
【例7.2.3】试由递推公式计算J3/2(x)及 J-3/2(x) 解 在式(7.2.6)中 令v = 1/2, 即有
(7.2.16) 同理，在式(7.2.6)中令， v = -1/2,并利用7. 1
节中例7.1.1的结论，即有
46
§7.2.3 贝塞尔函数的渐近公式 平面波按柱面波展开
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
12
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线．
13
(2)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得
但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
15
(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式
诺伊曼函数的定义是
(7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
由式(7.2.12),和式(7.2.13)出发还可导出Nv(x) 的其他递推公式，其形式也与Jv(x)的递推公 式相同．
汉克尔函数的递推公式也可按上法导出． 凡是递推公式具有形如式(7.2.4)和式(7.2.5)的
函数称为柱函数．因此，第一、二、三类贝 塞尔函数又称为第一、二、三类柱函数．
43
26
【例7.1.1】试证明：半奇数阶贝塞尔函数 可用初等函数表示为
证明 利用式(7.1.10)可得
27
同理，利用式(7.1.11)可得
贝塞尔函数表0～2rad
贝塞尔函数表0～2rad摘要：一、贝塞尔函数简介1.贝塞尔函数的定义2.贝塞尔函数在数学和工程领域的应用二、贝塞尔函数表0～2rad1.贝塞尔函数表的构成2.贝塞尔函数值的变化规律3.贝塞尔函数的性质和特点三、贝塞尔函数表在实际问题中的应用1.贝塞尔函数表在数学问题中的应用2.贝塞尔函数表在工程问题中的应用正文：贝塞尔函数是一类在数学和工程领域有着广泛应用的函数。
它们以瑞士数学家卡尔·沃尔夫冈·贝塞尔的名字命名，并因其独特的性质和特点而受到学者们的关注。
贝塞尔函数可以表示为：BesselFunction(x, n, λ) = (1 / (2 * π * √(x^2 + n^2 * λ^2))) * ∫(exp(-(x^2 + n^2 * λ^2) / 2) * (x^2 - n^2 * λ^2) ^ (n - 1/2)) dλ其中，x表示函数的变量，n表示函数的阶数，λ表示函数的参数。
贝塞尔函数表0～2rad是一份详细列出贝塞尔函数值的表格，其中包含了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格可以帮助学者们快速查找和计算贝塞尔函数值，为他们的研究和工程应用提供便利。
贝塞尔函数表0～2rad的构成主要包括两部分：一是表格的标题和表头，包括函数名、阶数、参数和函数值；二是表格的主体，详细列出了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格是通过对贝塞尔函数进行数值积分计算得到的，因此具有较高的精度和可靠性。
贝塞尔函数值的变化规律可以通过观察贝塞尔函数表0～2rad得出。
一般来说，随着参数λ的增大，贝塞尔函数值会先增大后减小，呈现出一个波浪形的变化趋势。
而随着阶数n的增大，贝塞尔函数值会呈现出一个指数增长的趋势。
这些变化规律对于理解和掌握贝塞尔函数的性质和特点具有重要意义。
贝塞尔函数表0～2rad在实际问题中的应用非常广泛。
在数学领域，贝塞尔函数表可以帮助学者们快速计算贝塞尔函数值，为他们的理论研究和数值模拟提供数据支持。
怎么用贝塞尔函数
怎么用贝塞尔函数
贝塞尔函数是数学中的一种特殊函数，具有广泛的应用。
它是由德国数学家弗里德里希·贝塞尔在19世纪初提出的，用于解决泊松方程、热传导方程和电磁波方程等常微分方程的特解问题。
贝塞尔函数在物理、工程、计算机图形学和信号处理等领域中都有重要的应用。
在物理学中，贝塞尔函数经常用于处理圆对称问题。
例如，当一个点源放射出的波以球面波的形式传播时，波在离开点源一段距离后的振幅和相位分布可以由贝塞尔函数描述。
这种现象在天文学中的天体辐射、声波传播和光学中的干涉现象中都有所应用。
在工程学中，贝塞尔函数经常用于处理振动和波动问题。
例如，当一个圆形薄膜被激发时，薄膜上产生的振动模式可以由贝塞尔函数描述。
这种现象在圆形膜鼓的声波辐射和圆形振膜的音乐演奏中都得到了应用。
在信号处理中，贝塞尔函数经常用于滤波和频率分析。
例如，在数字信号处理中，贝塞尔滤波器可以用于去除信号中的噪声和干扰。
此外，贝塞尔函数还可以用于分析信号的频谱内容和谐波分量。
贝塞尔函数的计算和使用可以通过软件工具来实现。
常见的数学软件包如MATLAB、Mathematica和Python的SciPy等都提供了贝塞尔函数的计算和使用方法。
在这些软件中，只需使用相应的函数名称和参数即可计算和使用贝塞尔函数。
总而言之，贝塞尔函数是一种具有广泛应用的特殊函数，它在物理、工程、计算机图形学和信号处理等领域中都有重要的应用。
这些应用包括了处理圆对称问题、振动和波动问题、生成平滑曲线和曲面，以及滤波和频率分析等。
通过数学软件包，可以方便地计算和使用贝塞尔函数。
第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数首先，我们先来了解一下贝塞尔函数的背景。
贝塞尔函数最早由德国数学家弗里德里希·贝塞尔在19世纪初提出，用于解决圆柱坐标系下的拉普拉斯方程。
贝塞尔函数具有独特的特性，可以用于描述波动现象、振动系统、电磁场以及量子力学等领域的问题。
贝塞尔函数的一般形式可以表示为：\[J_\nu(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}\]其中，\(J_\nu(x)\)为第一类贝塞尔函数，\(\nu\)为贝塞尔指数，\(x\)为自变量。
需要注意的是，当贝塞尔指数为整数时，贝塞尔函数具有特殊性质，称为贝塞尔函数的整数阶形式。
而当贝塞尔指数为非整数时，即为第三类贝塞尔函数。
\[Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\]通过对第一类贝塞尔函数与余弦函数的线性组合，再除以正弦函数，我们可以得到第三类贝塞尔函数的表达式。
1.渐进行为：当自变量\(x\)趋近于零时，第三类贝塞尔函数无穷大。
而当\(x\)趋近于无穷时，第三类贝塞尔函数的绝对值也趋近于无穷。
2. 零点：第三类贝塞尔函数的零点分布非常稠密，无论指数\(\nu\)为何值，第三类贝塞尔函数的零点总是在实轴上分布，且以1为周期。
这个特点使得第三类贝塞尔函数在边界值问题的求解中具有重要作用。
3.定积分：第三类贝塞尔函数的定积分也具有一定的应用。
例如，当我们求解振动系统中的周期，或者计算波动问题中的重叠积分等，第三类贝塞尔函数的定积分形式会经常出现。
4.微分方程：第三类贝塞尔函数常常作为解特殊微分方程的一部分，例如亥姆霍兹方程、波动方程等。
在这些方程中，出现第三类贝塞尔函数可以帮助我们简化方程的求解。
除此之外，第三类贝塞尔函数还具有许多其他的性质和特性，例如递归关系、正交性、复变形式等。
第七章 特殊函数 三、贝塞尔函数及其应用
( m) ⎛ xn
⎝ ρ0
。 ρ⎟ ⎟
⎠
⎞
′ ( x ) 的零点【由递推关系（4）知为方 对于第二类边界条件，本征值 µn 由 J m
( m) ′ ( x ) 的第 n 个零点为 yn ， 程 J m−1 ( x ) = J m+1 ( x ) 的根，一般无表可查】决定。设 J m
139
(m) ⎞ ⎛ yn 则本征值 µn = ，相应的本征函数为 J m ( µn ρ ) = J m ⎜ 。 ⎜ ρ ρ⎟ ⎟ ρ0 ⎝ 0 ⎠
2mJ m ( x ) + J m −1 ( x ) = 0 x
′ ( x ) = J m−1 ( x ) − J m+1 ( x ) （4） 2 J m
k m+2k ⎤ −1) ( d ⎡ Jm ( x) ⎤ d ⎡ ∞ ⎛1⎞ x2k ⎥ （1）证： ⎢ m ⎥ = ⎢∑ ⎜ ⎟ dx ⎣ x ⎦ dx ⎣ ⎢ k =0 k !Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦
∴ J −m ( x ) = ∑ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ k = m k !Γ ( − m + k + 1) ⎝ 2 ⎠
∞
( −1)
k
− m+ 2k
，
令 l = k − m ,则
m+ 2l m+ 2l ∞ −1) −1) ( ( m m ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ = ( −1) ∑ = ( −1) J m ( x ) 。 J −m ( x ) = ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ l = 0 Γ ( l + m + 1) l ! ⎝ 2 ⎠ l = 0 ( l + m ) !Γ ( l + 1) ⎝ 2 ⎠ ∞ l +m l
贝塞尔函数物理意义
贝塞尔函数物理意义
贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它在物理学中有着广泛的应用。
贝塞尔函数最初由德国数学家贝塞尔在求解热传导问题中引入，后来被证明在电磁学、声学、流体力学、核物理学等领域均有应用。
贝塞尔函数的物理意义主要包括以下几个方面：
1. 电磁波的传播：贝塞尔函数可以描述电磁波在圆形和球形空间中的传播情况。
在电磁学中，贝塞尔函数被广泛应用于分析天线辐射、微波传输、电磁波散射等问题。
2. 振动系统：贝塞尔函数还可以描述振动系统的运动规律。
在力学和物理学中，贝塞尔函数被广泛应用于分析弹簧振子、声波传播等问题。
3. 热传导：贝塞尔函数最初是由贝塞尔用于求解热传导问题的，因此在热力学中也有应用。
贝塞尔函数可以描述热能在圆形和球形空间中的传导情况。
4. 气体动力学：贝塞尔函数还可以描述气体动力学中的流场。
在流体力学中，贝塞尔函数被广泛应用于分析空气动力学、水力学等问题。
贝塞尔函数在物理学中的应用越来越广泛，不仅仅局限于上述几个方面，随着科学技术的不断发展，贝塞尔函数的物理意义还将不断拓展和深化。
- 1 -。
贝塞尔函数基本知识和应用举例
都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有
广义幂级数解 y Ckxck k0
(C00)
Ck是展开系数， c是待定常数
y (x ) x c ( C 0 C 1 x C 2 x 2 C k x k )C k x c k k 0
y(x) Ck(ck)xck1 k0
y(x) C k(ck1)(ck)xck2 k0
xd
r2 x2 ydxdy
y2
rdrd
1 2 2 4 0 0 e (x 2 y 2 )dx 4 d 2 0r 0 e y r 2 rd 4 r 2 0 d 1 2 e r 2 0 d
其它结论 n122(22nnn)!!
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程： d dx(1x2)d dy x(21 m x 22)y0 m=0
勒让德方程： ddx(1x2)ddyx2y0
柱坐标下：
zrΒιβλιοθήκη xx cos y
sin
y
z z
2uk2u0
1 ( u)12 2u 2 2 zu 2k2u0
u (,,z ) R () ( )Z (z )
德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了 实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用 于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还 编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研 究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决 物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也 做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德 莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。
贝塞尔函数3
工程项目
贝塞尔函数3 管理
主编：危道军 刘志强
本节内容
贝塞尔函数第二次课内容总结 贝塞尔函数的递推公式 函数展成贝塞尔函数的级数
贝塞尔函数应用举例
3 工程项目管理规划
贝塞尔函数的递推公式
d dx
[xnJn
x]
x n J n1
x
(1)
d dx
[
xnJ
n
x
]
xnJ
n1
x
(2)
Cm e Dm e 0
U
J
0
(
(0) m b
)
b 2
J
01
(
(0) m
)
d
2U
(0) m
J1
(m(0)
)
(12)
3 工程项目管理规划
四、确定常数
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
将（5.11）与先前得到的（5.12）联立，解得
Cm
(0) m
sh
U
(0) m b
hJ1(m(0) )
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
3 工程项目管理规划
四、确定常数
u(, z)
m1
m(0) z
m(0) z
(0)
(Cm e
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
由条件(4），得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0) m b
)
0
于是得
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m 阶贝塞尔方程为 x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − m 2 ) y = 0
（1） ，
其特解为 J m ( x ) 和 J − m ( x ) ，
m+2k −1) ( ⎛ x⎞ ； Jm ( x) = ∑ ⎜ ⎟ k = 0 k !Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠ ∞ k
为 J0 ⎜ ⎜
⎝ ρ0
。 ρ⎟ ⎟
⎠
⎞
′ ( x ) = 0 的根决定，设它的 对于第三类边界条件，本征值由方程 J m ( x ) + µ HJ m
第 n 个根为 zn
( m)
( m) ⎞ ⎛ zn ，则本征值 µn = ，相应的本征函数为 J m ( µn ρ ) = J m ⎜ 。 ⎜ ρ ρ⎟ ⎟ ρ0 ⎝ 0 ⎠
第三类边界条件
在第一类边界条件时，本征值由 J m ( x ) 的零点（由表可查）决定，设 J m ( x ) 的
( m) ，则本征值 µn （第 n 个本征值）满足 第 n 个零点为 xn ( m) µn ρ0 = xn ， µn =
( m) xn
ρ0
， n = 1, 2, 。相应的本征函数为 J m ( µn ρ ) = J m ⎜ ⎜
1．递推关系
136
⎧ mJ ( x ) ′ ( x) − m = − J m +1 ( x ) Jm ⎪ J m +1 ( x ) ⎪ d ⎡ Jm ( x) ⎤ x （1） ⎢ m ⎥ = − ⇒⎨ dx ⎣ x ⎦ xm ⎪ J m ( x ) = − J m +1 ( x ) dx ∫ xm ⎪ ⎩ xm
137
们给出关于贝塞尔函数零点的几个重要结论： ① J m ( x ) 有无穷多个实零点，而且只有实零点。由于 J m ( − x ) = ( −1) J m ( x ) ，所
m
以当 x = α > 0 是 J m ( x ) 的零点时，则 x = −α 也是 J m ( x ) 的零点。因此， J m ( x ) 的 零点相对于原点是对称分布的，于是有无穷多个正的实零点。 即在 J m ( x ) 的两个零点之间必有一个 ② J m ( x ) 和 J m+1 ( x ) 的零点是相间分布的， 而且只有一个 J m+1 ( x ) 的零点。同时在 J m+1 ( x ) 的两个零点之间必有一个而且 【此结论可由递推公式（1）和（2）及高等数学中 只有一个 J m ( x ) 的零点。 的洛尔定理得出】 即 J m ( x ) 的最小正零点的值 ③ J m ( x ) 的最小正零点比 J m+1 ( x ) 最小正零点更小， （由 x = 0 是 J m ( x ) 的零点及结论②可得出） 【 x=0是 随 m 的增加而增大。
⎧ ⎪ 第一类边界条件 ⎪ J m ( µρ0 ) = 0 ⎪ ′ ( µρ 0 ) = 0 第二类边界条件 ⎨ Jm ⎪ J ( µρ 0 ) ⎪ J ( µρ ) + H ⎡ d J ( µρ ) ⎤ ′ ( µρ0 ) = − m = 0 ⇒ Jm 0 m m ⎢ ⎥ ⎪ µH ⎣dρ ⎦ ρ = ρ0 ⎩
J −m ( x ) = ∑
⎛ x⎞ ⎜ ⎟ k = 0 k !Γ ( − m + k + 1) ⎝ 2 ⎠
∞
( −1)
k
−m+2k
J − m ( x) = ∞ ( m > 0 ) 。 ， lim x →0
当 m 为非整数时， J m ( x ) 和 J − m ( x ) 是两个独立解。 但当 m 为整数时， J m ( x ) 和 J − m ( x ) 并不独立，因为当 m 为整数时， 若 k ≤ m − 1 ，即 −m + k + 1 ≤ 0 ，则 Γ ( −m + k
贝塞尔函数的正交关系 贝塞尔方程的本征值问题是斯特姆—刘维本征值问题的特例，所以对应于 不同的本征值 µn2 ，也就是不同的 µn ，相应的本征函数本征函数—贝塞尔函 数 J m ( µn ρ ) 在 ( 0, ρ0 ) 区间上带权重 ρ 正交，即
∫
ρ0
0
J m ( µ n ρ ) J m ( µl ρ ) ρ d ρ = 0
其中 µ 2 = ⎨
⎧k 2 − h 2 ⎩ −h
2
亥姆霍兹方程 ， 拉普拉斯方程 m2 ⎞ ⎟R = 0 ρ ⎠
即： ρ R′′ + R′ + ⎜ µ 2 ρ −
⎝
⎛
（ 1）
138
可改写成：
d ⎛ dR ⎞ m 2 R + µ 2ρ R = 0 ⎜ρ ⎟− dρ ⎝ dρ ⎠ ρ
d ⎡ dy ⎤ 得λ = µ2 ， k ( x ) ⎥ − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 比较， ⎢ dx ⎣ dx ⎦
( m) yn
′ ( x ) = − J1 ( x ) ， ∴ J 0 ′ ( x) 的零点也 特殊情况：当 m = 0 时，由递推关系（1）知 J 0
( 0) (1) = xn ，本征值 µn = 就是 J1 ( x) 的零点，∴ 此时， yn
(1) ⎛ xn
( 0) yn
ρ0
=
(1) xn
ρ0
，相应的本征函数
( −1)
l
=−
J m +1 ( x ) ， xm
两边积分得：
Jm ( x) J ( x) = − ∫ m +1m dx 。 m x x
展开导数并两边乘 x m 得：
′ ( x ) mJ m ( x ) Jm J ( x) mJ ( x ) ′ ( x) − m = − J m +1 ( x ) 。 − = − m +1m ⇒ J m m m +1 x x x x
∴ 当 m 为整数时，除 J m ( x ) 外，应再找一个与 J m ( x ) 无关的解。可求得这个解
N m ( x) ，且此解当 x → 0 ，趋于无穷， lim N m ( x) = ∞ ∴ 当我们研究的区域包含
x →0
x = 0 ，则由于贝塞尔方程在 x = 0 处存在自然边界条件 y x =0 < ∞ ，∴ 此时贝塞
尔方程的有界解为 y ( x ) = CJ m ( x ) ，因此我们仅研究 J m ( x ) 。 当 m 为整数时：
m+2k −1) ( ⎛ x⎞ 【当 m 为偶（奇）数时， J m ( x ) 为偶（奇）函数】 Jm ( x) = ∑ ⎜ ⎟ k = 0 k !( m + k ) ! ⎝ 2 ⎠ ∞ k m 显然 J 0 ( 0 ) = 1 ， J m ( 0 ) = 0 (m ≠ 0) ， J m ( − x ) = ( −1) J m ( x ) 。
x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − m 2 ) y = 0 （3） （ m 阶贝塞尔方程）
由于在 ρ = 0 也就是 x = 0 时，存在自然边界条件，所以（3）在 x = 0 处有界的 解为 y ( x ) = CJ m ( x ) ，即（2）的在 ρ = 0 处有界的解为 R ( ρ ) = CJ m ( µρ ) 。 本征值 µ 2 > 0 （斯特姆—刘维本征值问题的结论②）由圆柱侧面的齐次边界 条件决定。若圆柱的半径为 ρ 0 ，这些齐次边界条件为
⎧ mJ ( x ) ′ ( x) + m = J m −1 ( x ) d m ⎪ Jm m x ⎡ x J m ( x )⎦ ⎤ = x J m −1 ( x ) ⇒ ⎨ （2） ⎣ dx ⎪ x m J ( x ) = x m J ( x ) dx m ∫ m−1 ⎩
（3） J m+1 ( x ) −
这是斯特姆—刘维型方程， 与
k ( ρ ) = ρ ，q ( ρ ) =
m2
ρ
，因而 ρ = 0 是 k ( ρ ) 的一阶零点，∴ 在 ρ = 0 处有自然边界
条件。 （1）又可写成
ρ 2 R′′ + ρ R′ + ( µ 2 ρ 2 − m 2 ) R = 0 （2）
令 x = µρ ， y = R ( ρ ) = y ( x ) ，则（2）成为
∫
x0
0
2 Jm ( x ) xdx =
1 2µ
2 n
∫
x0
0
2 Jm ( x ) dx 2
140
=
x0 1 2 2 ⎡ ⎤ − 2 x J x ( ) m 2 ⎣ ⎦ 0 µn 2µn
′ ( x ) = − J1 ( x ) 。 当 m = 0 时， J 0
若在（2）中令 m = 1 时，得： 贝塞尔函数的零点
d ⎡ xJ1 ( x ) ⎤ ⎦ = xJ 0 ( x ) ， xJ1 ( x ) = ∫ xJ 0 ( x ) dx 。 dx ⎣
由于在决定贝塞尔方程的本征值问题中涉及到贝塞尔函数的零点，因此我
(n ≠ l) 。
贝塞尔函数的模 现在计算贝塞尔函数 J m ( µ n ρ ) 的模 N n( m) ， µ n 是第 n 个本征值，
0 ( m) ⎤ 2 ⎡ Nn ⎣ ⎦ = ∫0 J m ( µn ρ ) ρ d ρ 。
2
ρ
令 x = µn ρ ， x0 = µn ρ0 ，则
1 ( m) ⎤ 2 ⎡ Nn ⎣ ⎦ = µ2 n
x m+1 J m+1 ( x ) 的零点， x m+1 J m+1 ( x ) 第一个正零点是 J m+1 ( x ) 的第一个正零点 x1(
m +1)
，