7贝塞尔函数
《数学物理方法》第七章 贝塞尔函数
45
【例7.2.3】试由递推公式计算J3/2(x)及 J-3/2(x) 解 在式(7.2.6)中 令v = 1/2, 即有
(7.2.16) 同理，在式(7.2.6)中令， v = -1/2,并利用7. 1
节中例7.1.1的结论，即有
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§7.2.3 贝塞尔函数的渐近公式 平面波按柱面波展开
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
12
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线．
13
(2)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得
但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
15
(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式
诺伊曼函数的定义是
(7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
由式(7.2.12),和式(7.2.13)出发还可导出Nv(x) 的其他递推公式，其形式也与Jv(x)的递推公 式相同．
汉克尔函数的递推公式也可按上法导出． 凡是递推公式具有形如式(7.2.4)和式(7.2.5)的
函数称为柱函数．因此，第一、二、三类贝 塞尔函数又称为第一、二、三类柱函数．
43
26
【例7.1.1】试证明：半奇数阶贝塞尔函数 可用初等函数表示为
证明 利用式(7.1.10)可得
27
同理，利用式(7.1.11)可得
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数PPT演示课件
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u
0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0
(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2
(x) ett x1dt
令t=u2
(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
第七章 特殊函数 三、贝塞尔函数及其应用
( m) ⎛ xn
⎝ ρ0
。 ρ⎟ ⎟
⎠
⎞
′ ( x ) 的零点【由递推关系（4）知为方 对于第二类边界条件，本征值 µn 由 J m
( m) ′ ( x ) 的第 n 个零点为 yn ， 程 J m−1 ( x ) = J m+1 ( x ) 的根，一般无表可查】决定。设 J m
139
(m) ⎞ ⎛ yn 则本征值 µn = ，相应的本征函数为 J m ( µn ρ ) = J m ⎜ 。 ⎜ ρ ρ⎟ ⎟ ρ0 ⎝ 0 ⎠
2mJ m ( x ) + J m −1 ( x ) = 0 x
′ ( x ) = J m−1 ( x ) − J m+1 ( x ) （4） 2 J m
k m+2k ⎤ −1) ( d ⎡ Jm ( x) ⎤ d ⎡ ∞ ⎛1⎞ x2k ⎥ （1）证： ⎢ m ⎥ = ⎢∑ ⎜ ⎟ dx ⎣ x ⎦ dx ⎣ ⎢ k =0 k !Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦
∴ J −m ( x ) = ∑ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ k = m k !Γ ( − m + k + 1) ⎝ 2 ⎠
∞
( −1)
k
− m+ 2k
，
令 l = k − m ,则
m+ 2l m+ 2l ∞ −1) −1) ( ( m m ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ = ( −1) ∑ = ( −1) J m ( x ) 。 J −m ( x ) = ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ l = 0 Γ ( l + m + 1) l ! ⎝ 2 ⎠ l = 0 ( l + m ) !Γ ( l + 1) ⎝ 2 ⎠ ∞ l +m l
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。
贝塞尔函数
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
m0
m!
1m n m
1
(
x 2
)
n2
m
结论：当 n 不为整数时, Jn x和 Jn x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJn x BJn x
通解可写为
y CJn x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
Y0
x
2
J0
x
(ln
x 2
C)
2
n1 m0
(1)m (m !)2
x 2
2m
m k 1
1 k
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x2Βιβλιοθήκη Jnx(ln
x 2
C)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始，,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而，导出了贝塞尔方程的特征值问题：
k
0
[c(ckk
)2(c
n2ka1k )a(ck 2
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贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。
中文名贝塞尔函数外文名Bessel Function意义一类特殊函数的总称方程的解无法用初等函数系统地表示命名F.W.贝塞尔的姓氏分类数学
目录
1 基本概念
2 基本内容
3 分类
4 应用范围
基本概念编辑
是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带
来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
基本内容编辑
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
定义
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
历史
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日
等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
现实背景和应用范围
贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；
* 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；
* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；
贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。
第一类贝塞尔函数
第一类阶贝塞尔函数是贝塞尔方程当为整数或非负时的解，须满足在时有限。
这样选取和处理''J''<sub>α</sub>的原因见本主题下面的贝塞尔函数#性质|性质介绍；另一种定义方法是通过它在点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用
于α为非整数）：
上式中为Γ函数（它可视为阶乘|阶乘函数向非整型因变量和自变量|自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或三角函数|余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数的曲线（）。
如果;不为整数，则和线性无关，可以构成微分方程的一个'''解系'''。
反之若是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：=
于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与线性无关的另一解，需要定义'''第二类贝塞尔函数'''。
第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）。