第二类修正的贝塞尔函数标准曲线BESSELK0
用matlab画贝塞尔函数图象几例
第一类贝塞尔函数在MatLab中用besselj(NU,Z)来表示：用MatLab的仿真代码是：clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besselj(0,x);y_1=besselj(1,x);y_2=besselj(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([0,20,-1,1]);title('0阶、一阶、二阶第一类贝塞尔函数曲线图'); xlabel('Variable X');ylabel('Variable Y');第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)在MatLab中用用bessely(NU,Z)来表示：clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=bessely(0,x);y_1=bessely(1,x);y_2=bessely(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([1,20,-2,1]);title('0阶、1阶、2阶第二类贝塞尔函数曲线图');xlabel('Variable X');ylabel('Variable Y');第三类贝塞尔函数(汉克尔函数)汉克尔函数在MatLab中用BESSELH(NU,K,Z)clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besselh(0,2,x);y_1=besselh(1,2,x);y_2=besselh(2,2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);axis([0,20,-0.5,1]);grid on;title('0阶、1阶、2阶第三类贝塞尔函数曲线图');xlabel('Variable X');ylabel('Variable Y');变形第一类贝塞尔函数(modified function of the first kind)变形第一类贝塞尔函数在MatLab中用BESSELI(NU,Z) 表示clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besseli(0,x);y_1=besseli(1,x);y_2=besseli(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([0,6,0,6]);title('0阶、1阶、2阶变形第一类贝塞尔函数曲线');xlabel('Variable X');ylabel('Varialbe Y');变形第二类贝塞尔函数(modified Bessel function of the second kind)变形第二类贝塞尔函数在MatLab中用BESSELK(NU,Z) 表示clear ,clc;format longx=(0:0.01:20)';y_0=besselk(0,x);y_1=besselk(1,x);y_2=besselk(2,x);plot(x,y_0,x,y_1,x,y_2);grid on;axis([0,6,0,6]);title('0阶、1阶、2阶变形第二类贝塞尔函数曲线');xlabel('Variable X');ylabel('Varialbe Y');。
Bessel方程及Bessel函数
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值,可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程.●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数;)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼（Neumann ）函数")。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4)其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel)函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ,当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值,所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言,必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件"。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程,其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外,由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ,根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ,通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程,其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ）例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x (0≠x )即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x )例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd R d r r d R d r 令r k x =,xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd y d x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5) 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6)其中,A 、B 为任意实数;)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
Excel公式和函数 贝赛耳函数
Excel 公式和函数 贝赛耳函数贝赛尔（Bessel ）函数是数学上一种特殊的函数。
1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架 该函数用于理论物理研究、应用数学、大气科学以及无线电等工程领域。
在Excel 中一共提供了4个贝赛耳函数，下面以BESSELI 函数为例进行介绍。
该函数返回修正Bessel 函数值，它与用纯虚数参数运算时的Bessel 函数值相等。
其中，变量x 与n 阶修正Bessel 函数公式为：In （x ）=（i ）-nJn （ix ）。
语法：BESSELI(x,n)在BESSELI 函数中，主要包含两个参数，其中，x 为参数值。
N 为函数的阶数，如果n 不是整数，则截尾取整。
例如，在Excel 中，A 列显示了运算公式，C 列为函数的计算说明。
然后，在B2中，输入“=BESSELI(3,0)”公式，即可求出相应的结果，并运用相同的方法，输入不同的公式，即可得到如图15-1所示的效果。
图15-1 BESSELI 函数提 示从上述的实例中，用户可以发现参数x 与参数n 之间的成反比例关系，当x 固定时，n 的取值越大，则得出的计算结果越小；反之，则计算结果越大。
在该函数的计算过程中，需注意以下几点说明：●如果参数x 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
●如果参数n 为非数值型，则BESSELI 函数返回错误值#V ALUE!。
● 如果参数n<0，则BESSELI 函数返回错误值#NUM!。
另外，在Excel 中还为用户提供3种有关贝赛尔函数的用法，其功能如表15-1所示。
表15-1 贝赛尔函数功能表输入。
bezier曲线参数表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，通常用于计算机图形学、动画设计等领域。
贝塞尔曲线的参数表达式可以通过一系列控制点来定义。
对于n阶贝塞尔曲线，需要n+1个控制点P0, P1, ..., Pn。
贝塞尔曲线的参数表达式可以表示为：
B(t) = ∑(P[i] * C(n, i) * (1-t)^(n-i) * t^i)，其中t∈[0,1]
其中，C(n, i)表示组合数，即从n个不同项中取出i个的组合方式数量。
具体来说，对于二次贝塞尔曲线（n=2），参数表达式可以简化为：
B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2*(1-t)*t * P1 + t^2 * P2
对于三次贝塞尔曲线（n=3），参数表达式可以表示为：
B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*(1-t)^2 * t * P1 + 3*(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3
其中，P0, P1, ..., Pn是控制点。
通过改变参数t的值，可以得到贝塞尔曲线上的不同点。
通常，t的值从0变化到1，以获得从起点到终点的曲线。
通过计算t的不同值，可以得到曲线上的其他点。
第二章 Bézier曲线
Bézier曲线递推公式图例2
凸包性
凸包的定义
几何不变性例1
几何不变性例2
三次Bézier曲线等分作图
三次Bézier 曲线插值
三次Bézier曲线的几何特征1
三次Bézier曲线的几何特征2
三次Bézier曲线的几何特征3
三次Bézier曲线的几何特征4
三次Bézier曲线等分作 图
连接点处的参数连续性(1)
连接点处的参数连续性(2)
连接点处参数连续性图例
Bézier曲线的几何连续性
组合Bézier 曲线图例
Bézier曲线几何连续性图例
§6.Bézier曲线修形及升阶
Bézier 曲线的形状修改
Bézier 曲线的升阶
有理Bézier曲线
升阶图例1
第二章 Bézier曲线
§1.一般介绍 §2.Bézier曲线的定义及性质 §3.de Casteljau算法 §4.Bézier曲线的其它表示形式及导数 §5.组合Bézier曲线和几何连续性 §6.Bézier曲线修形及升阶
§1.一般介绍
Bézier曲线是分别由法国 Citroën 汽车公司的de Casteljau大约于1959年 和法国Renault汽车公司的Bézier大约 于 1962 年独立研制的.由于以Bézier 方法为基础的 UNISURF 系统首先公开 发表,所以现在这一方法冠以Bézier的 名字.
升阶图例2
形状修改图例
图例：三次Bézier曲线
Bézier曲线的定义(现在)
Bernstein多项式的性质(1)
1.单位分解性
2.非负性 3.端点性质
Bernstein多项式的性质(2)
COMSOL_Multiphysics中各常用内置参量
Summary of Built-In Variables With Reserved NamesThis section is an overview of the built-in elements of the following categories as defined by the underlying COMSOL language:•C onstants•V ariables•F unctionsThese language elements are built-in or user-defined. In addition there are operators that cannot be user-defined, and expressions, which are always user-defined.具有保留名称的内置变量摘要本节概述了由基础COMSOL语言定义的以下类别的内置元素：•常量•变量•功能这些语言元素是内置的或用户定义的。
此外，还有不能由用户定义的运算符，以及始终由用户定义的表达式。
ABOUT RESERVED NAMES关于预留名称Built-in variables have reserved names, names that cannot be redefined by the user. It is not recommended to use a reserved variable name for a user-defined variable, parameter, or function. For some of the most common reserved variable names, such as pi, i, and j, the text where you enter the name turns orange and you get a tooltip message if you select the text string. Reserved function names are reserved only for function names, which means that such names can be used for variable and parameter names, and vice versa. The following tables list most built-in elements and hence those reserved names.内置变量具有保留名称，用户无法重新定义。
Bessel函数介绍
[1] 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，第 82 页~第 123 页，ISBN 7-312-00799-6/O·177
[2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972) （英文） Chapter 9 整阶贝塞尔函数 ■ Section 9.1 J, Y （韦伯） and H （汉开尔） ■ Section 9.6 修正贝塞尔函数（I 和 K） ■ Section 9.9 开尔文函数 ■ Chapter 10 分数阶贝塞尔函数 ■ Section 10.1 球贝塞尔函数（j、y 和 h） ■ Section 10.2 修正球贝塞尔函数（I 和 K） ■ Section 10.3 黎卡提-贝塞尔函数 ■ Section 10.4 艾里函数（Airy functions） [3] George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001). [4] Frank Bowman, Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958) ISBN 0486604624. [5] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1966) Cambridge University Press. [6] G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25(1908), p.377. [7] Hong Du, "Mie-scattering calculation," Applied Optics 43 (9), 1951-1956 (2004).
matlab的第一类第零阶开尔文函数
matlab的第一类第零阶开尔文函数开尔文函数是一类特殊的数学函数，被广泛应用于物理学、工程学和数学领域。
它以数学家和物理学家威廉·开尔文（William Thomson）的名字命名。
在Matlab中，开尔文函数可以使用besselk 函数来计算。
besselk 函数是用来计算第一类第零阶开尔文函数（Bessel function of the second kind），也被称为调整过的贝塞尔函数（Modified Bessel function）。
第一类第零阶开尔文函数用符号K_0(x)表示，定义为：K_0(x) = ∫[0, ∞] e^(-x cosh t) dt其中，x 是自变量，cosh 是双曲余弦函数。
第一类第零阶开尔文函数在物理学和工程学中的应用非常广泛。
它们常常出现在电磁波传播、随机过程、热传导、傅里叶变换等问题中。
其特点是在x接近0时，函数值趋于无穷大，而在x趋向于正无穷大时，函数值趋于0。
在Matlab中，使用besselk 函数计算第一类第零阶开尔文函数的值。
例子如下：matlabx = 1; % 自变量K0 = besselk(0, x); % 计算第一类第零阶开尔文函数值disp(K0); % 显示函数值上述代码中，我们设置自变量x 的值为1，然后使用besselk 函数计算第一类第零阶开尔文函数的值，并将结果存储在变量K0 中。
最后，使用disp 函数显示函数值。
还可以通过绘图来可视化第一类第零阶开尔文函数。
例如，绘制函数在x 范围从0 到10 的曲线：matlabx = 0:0.1:10; % 自变量范围K0 = besselk(0, x); % 计算第一类第零阶开尔文函数值plot(x, K0); % 绘制曲线xlabel('x'); % 设置x 轴标签ylabel('K_0(x)'); % 设置y 轴标签title('Bessel Function of the Second Kind'); % 设置标题以上代码中，首先通过x = 0:0.1:10 定义了自变量x 的范围，然后使用besselk 函数计算相应的函数值，并将结果存储在变量K0 中。