第四章 贝塞尔函数讲解
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数解读
贝塞尔方程
当n不为整数时，例如
n v ，上式的通解可表示为如下两种形式：
y AJ v (x) BJ v (x)
其中和，A、yB为分任别A意称J实为v数(；阶x)和 B阶Y第v一(类x)Bessel函数；
称为 阶第二类Bessel函数。
Jv (x) J v (x)
v v
Yv (x)
1
0
x
J n (
x)J n (
x)d
x
Jn( )Jn () Jn()Jn ( ) 2 2
而
1
0
x
J n 2 (
x)d
x
1 2
J
本征函数系
J
n
(
(n) m R
)r
(m 1, 2,) 的正交性。
R
0
r
J
n
(
(n m
R
)
r
)
J
n
(
(n) k
R
r
)d
r
0 R
,
2
2
J
2 n1
(
m
(
n
)
)
R2 2
J
2 n1
(
m
(
n)
)
,
mk mk.
J
n
(
(n m
R
)
r
)
m1 在【0，R】上，带权重r正交。
贝塞尔函数的正交性
若λ和μ是两个不同的常数 , 可以证明
1.先求的
数值解，再用（1）式求
(v k 1)
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。
Jv (x)
当n为正整数或零时， 表达式为
贝塞尔函数表0～2rad
贝塞尔函数表0～2rad摘要：一、贝塞尔函数简介1.贝塞尔函数的定义2.贝塞尔函数在数学和工程领域的应用二、贝塞尔函数表0～2rad1.贝塞尔函数表的构成2.贝塞尔函数值的变化规律3.贝塞尔函数的性质和特点三、贝塞尔函数表在实际问题中的应用1.贝塞尔函数表在数学问题中的应用2.贝塞尔函数表在工程问题中的应用正文：贝塞尔函数是一类在数学和工程领域有着广泛应用的函数。
它们以瑞士数学家卡尔·沃尔夫冈·贝塞尔的名字命名，并因其独特的性质和特点而受到学者们的关注。
贝塞尔函数可以表示为：BesselFunction(x, n, λ) = (1 / (2 * π * √(x^2 + n^2 * λ^2))) * ∫(exp(-(x^2 + n^2 * λ^2) / 2) * (x^2 - n^2 * λ^2) ^ (n - 1/2)) dλ其中，x表示函数的变量，n表示函数的阶数，λ表示函数的参数。
贝塞尔函数表0～2rad是一份详细列出贝塞尔函数值的表格，其中包含了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格可以帮助学者们快速查找和计算贝塞尔函数值，为他们的研究和工程应用提供便利。
贝塞尔函数表0～2rad的构成主要包括两部分：一是表格的标题和表头，包括函数名、阶数、参数和函数值；二是表格的主体，详细列出了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格是通过对贝塞尔函数进行数值积分计算得到的，因此具有较高的精度和可靠性。
贝塞尔函数值的变化规律可以通过观察贝塞尔函数表0～2rad得出。
一般来说，随着参数λ的增大，贝塞尔函数值会先增大后减小，呈现出一个波浪形的变化趋势。
而随着阶数n的增大，贝塞尔函数值会呈现出一个指数增长的趋势。
这些变化规律对于理解和掌握贝塞尔函数的性质和特点具有重要意义。
贝塞尔函数表0～2rad在实际问题中的应用非常广泛。
在数学领域，贝塞尔函数表可以帮助学者们快速计算贝塞尔函数值，为他们的理论研究和数值模拟提供数据支持。
贝塞尔函数
贝塞尔函数当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V V VT a T x y ∂∂'=+∂∂ 或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+= （5.4）22220V V V x yλ∂∂++=∂∂ （5.5） 从（5.4）得2()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件2220x y R V +== （5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，代入（5.7）并分离变量可得()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9）22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,,,n对应于2n n μ=，有00()2a θΘ=（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a nb n n θθθΘ=+=以2n n μ=代入（5.10）得222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式是用来计算贝塞尔函数（Bessel function）的数学公式。
贝塞尔函数是常见的特殊函数之一，它在物理学和工程学中有广泛的应用。
贝塞尔函数是由欧拉和贝塞尔在18世纪末和19世纪初研究振动问题时引入的。
它们是满足贝塞尔微分方程的解，该方程出现在许多物理问题中，如电磁波，声波和热传导等。
贝塞尔函数通常表示为J_n(x)，其中n是整数，x是实数。
贝塞尔函数的计算可以使用贝塞尔公式，该公式可以表示为：
J_n(x) = (1/π) ∫_0^πcos(nθ- x sinθ) dθ
其中，θ是积分变量，cos和sin是三角函数，π是圆周率，n和x是函数的参数。
这个公式告诉我们如何计算任意x和n的贝塞尔函数。
它涉及积分，因此可能需要数值计算来获得精确的结果。
贝塞尔函数在微积分，波动问题和量子力学等领域中广泛使用。
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。
第4章-贝塞尔函数
级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。
bessely函数
bessely函数贝塞尔函数（Bessel function）是数学中的一类特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在19世纪初引入和研究的。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中有广泛的应用。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数两类。
第一类贝塞尔函数一般记作Jn(z)，其中n为阶数，z为自变量。
第二类贝塞尔函数一般记作Yn(z)。
贝塞尔函数满足贝塞尔方程，即二阶常微分方程：z^2 * d^2y/dz^2 + z * dy/dz + (z^2 - n^2) * y = 0贝塞尔函数的性质和特点使其在科学和工程领域中拥有广泛的应用，特别是在波动理论、电磁学、热力学和量子力学中。
以下是贝塞尔函数的一些重要应用：1.振动问题：贝塞尔函数可以描述弦、鼓膜、声音等的振动情况。
通过解贝塞尔方程，可以得到这些系统的振动模式和频率。
2.圆柱波：贝塞尔函数是描述无限长圆柱体中的波动现象的基本工具。
例如，电磁波在圆柱体中的传播可以用贝塞尔函数来描述。
3.散射和辐射问题：贝塞尔函数的特殊性质使其在散射和辐射问题中有重要应用。
例如，电磁波在球体上的散射和辐射问题可以通过贝塞尔函数来求解。
4.热传导问题：贝塞尔函数可以描述热传导问题中的温度分布。
例如，考虑一个半径为R的无限长圆柱体，在柱体表面施加边界条件后，可以通过贝塞尔函数来求解圆柱体内部的温度分布。
5.量子力学：贝塞尔函数在量子力学中有重要的应用，特别是在氢原子问题中。
贝塞尔函数可以用来描述氢原子中电子的径向波函数。
除了上述的应用，贝塞尔函数还在其他领域中发挥着重要的作用，如电磁场分析、激光传输、声学等。
贝塞尔函数的定义和性质可以通过级数展开、递归关系或微分方程等多种方法来推导和求解。
总结起来，贝塞尔函数是一类特殊函数，具有广泛的应用领域。
它可以用来描述振动问题、圆柱波、散射和辐射问题、热传导问题以及量子力学中的一些问题。
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定义：
(x) ett x1dt (x 0)
0
基本性质： (x 1) x(x)
证明：
(x 1） ett x11dt t xd (et ) t xet x ett x1dt x(x）
令t=u2
0
1
ett
1
2dt
eu2
三维热传导方程： t
a
2
2
x2
2
y 2
2
z 2
a22
分离变量： (r,t) u(r)T (t)
对u(r)，
得到： 2u k 2u （0 亥姆霍兹方程）
球坐标下：
z
r
x
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x r sin cos
x
d dx
x
dy dx
m2 x
y xy
0
参数形式的 贝塞尔方程
=1
d dx
x
dy dx
m2 x
y
xy
0
贝塞尔方程
取： k(x) 1 x2、q 0、 1
d dx
(1
x2
)
dy dx
y
0
勒让德方程
二、伽马函数的基本知识
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''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2
m2
球贝塞尔方程
k=0
欧拉方程
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1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2 ) 0
sin 2
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程：
d dx
(1
x2)
dy dx
( 2
m2 1 x2
)y
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德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
0
m=0
勒让德方程：
d dx
(1
x2
)
dy dx
2
y
0
柱坐标下：
z
r
x
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x cos
y
sin
y
z z
2u k 2u 0
1
(
u )
1
2
2u
2
2u Βιβλιοθήκη z2 k 2u0
u(,, z) R()()Z(z)
0
0
0
0
(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
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求证： 1 2
(x) ett x1dt
y
r
sin
sin
y z r cos
2u k 2u 0
1 r2
r
r 2
u r
1
r 2 sin
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
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设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
1837年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置， 第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早 被测定的恒星视差之一。
一、几个微分方程的引入
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三维波动方程：
2
t 2
a
2
2
x2
2
y 2
2
z 2
a22
y0
另一途径：
d dx
k(x)
d d
y x
q
(x)
y
(x)
y
0
,
(a x b)
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Sturm-Liouville（ 施 图姆-刘维尔）型方程
取：k(x) 1、q (x) 0、 (x) 1
d2y dx2
y
0
亥姆霍兹方程
取：k(x) x、q (x) m2 、 (x) x
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第四章：贝塞尔函数
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本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 伽马函数的基本知识 • 贝塞尔方程的求解 • 贝塞尔函数的基本性质 • 贝塞尔函数应用举例
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参考了孙秀泉教授的课件
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贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外， 在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们 以19世纪德国天文学家 F.W.Bessel 的姓氏命名，他 在1824年第一次描述过它们。
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
dr dr
k=0
d r 2 dR 2R 0
dr dr