第11讲贝塞尔函数
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !(
k
1)
( x ) 2k 2
式中 ( x) 是伽马函数．满足关系
（1.2.1）
( k 1) ( k )( k 1) ( 2)( 1)( 1)
H (1)
H(2)
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
( (
x) x)
（1.1.9）
分别将
H (1)
,
H(
2
)
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x
A
H (1)
(
x
)
BH(2) ( x)
（1.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
x 和
可以为任意数．
1.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(1.1.6)的通解为
y( x) AJ ( x) BJ ( x) （1.1.7）
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
Jn (x)
(1)k
k n
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x)n2l ,
l0
l !(n l 1) 2
贝塞尔函数表0～2rad
贝塞尔函数表0～2rad摘要：一、贝塞尔函数简介1.贝塞尔函数的定义2.贝塞尔函数在数学和工程领域的应用二、贝塞尔函数表0～2rad1.贝塞尔函数表的构成2.贝塞尔函数值的变化规律3.贝塞尔函数的性质和特点三、贝塞尔函数表在实际问题中的应用1.贝塞尔函数表在数学问题中的应用2.贝塞尔函数表在工程问题中的应用正文：贝塞尔函数是一类在数学和工程领域有着广泛应用的函数。
它们以瑞士数学家卡尔·沃尔夫冈·贝塞尔的名字命名，并因其独特的性质和特点而受到学者们的关注。
贝塞尔函数可以表示为：BesselFunction(x, n, λ) = (1 / (2 * π * √(x^2 + n^2 * λ^2))) * ∫(exp(-(x^2 + n^2 * λ^2) / 2) * (x^2 - n^2 * λ^2) ^ (n - 1/2)) dλ其中，x表示函数的变量，n表示函数的阶数，λ表示函数的参数。
贝塞尔函数表0～2rad是一份详细列出贝塞尔函数值的表格，其中包含了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格可以帮助学者们快速查找和计算贝塞尔函数值，为他们的研究和工程应用提供便利。
贝塞尔函数表0～2rad的构成主要包括两部分：一是表格的标题和表头，包括函数名、阶数、参数和函数值；二是表格的主体，详细列出了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格是通过对贝塞尔函数进行数值积分计算得到的，因此具有较高的精度和可靠性。
贝塞尔函数值的变化规律可以通过观察贝塞尔函数表0～2rad得出。
一般来说，随着参数λ的增大，贝塞尔函数值会先增大后减小，呈现出一个波浪形的变化趋势。
而随着阶数n的增大，贝塞尔函数值会呈现出一个指数增长的趋势。
这些变化规律对于理解和掌握贝塞尔函数的性质和特点具有重要意义。
贝塞尔函数表0～2rad在实际问题中的应用非常广泛。
在数学领域，贝塞尔函数表可以帮助学者们快速计算贝塞尔函数值，为他们的理论研究和数值模拟提供数据支持。
贝塞尔函数
贝塞尔函数当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V V VT a T x y ∂∂'=+∂∂ 或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+= （5.4）22220V V V x yλ∂∂++=∂∂ （5.5） 从（5.4）得2()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件2220x y R V +== （5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，代入（5.7）并分离变量可得()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9）22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,,,n对应于2n n μ=，有00()2a θΘ=（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a nb n n θθθΘ=+=以2n n μ=代入（5.10）得222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔函数
xn1Jn1 ax C
7. 证明y Jn (ax)满足 x2 y '' xy ' (a2x2 n2 ) y 0
Jn (t )满足以下Bessel方程
t 2Jn(t ) tJn (t ) (t 2 n2 )Jn(t ) 0
令 t ax, 即可
a2 x2Jn(ax) axJn (ax) (a2 x2 n2 )Jn(ax) 0
在求特征值问题时推导出常微分方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
r2F "r r F 'r r2 n2 F r 0
令x r
记
y(
x)
F
r
x2
d2y dx 2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
n 阶贝塞尔方程:
方程的一个特解（n 阶第一类贝塞尔函数）
Jn
x
1m
m0
1 2n2m
m!
n
1 m
1
xn2m
1
lim
m
1m
4(m 1) n m 1
2n2m m!n m!
可以判定这个级数在整个数轴上收敛．
正
J n
x
m0
2n2m
1m m! n
m
1
xn2m
4.
d dx
J
0
ax
a
d
d (ax)
J
0
ax
aJ1
ax
5.
d dx
[ xJ1
ax
]
d
d (ax)
[axJ1
ax
]
axJ
0
ax
6. (1) xJ2 xdx ?
贝塞尔函数 - 维基百科,自由的百科全书
图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。
贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。
通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。
典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
贝塞尔函数综述
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。
●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ，当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ） 例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x （0≠x ）即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd Rd r r d R d r 令r k x =，xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd yd x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5） 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6）其中，A 、B 为任意实数；)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
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(1)
T 't a2T t 0
2V
它的解 为 2
1
V
1
2
2V
2
V 0
0 R
V |R T0 t Aea2 t
再次分离变量,令 V , P ,代入化简得
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
P
"
(
)
1
P
'2V(
x 2
) 2V y 2
12PV
0 "(
)
P
(
)
0
引入由参边数界条件2 P，"P可 知
dr
５.６ 应用举例
例1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘， 边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度 分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径， 求圆盘的温度分布规律。
分析:由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标.
考虑到定解条件和 无关, 所以温度 只u 能是 和r
的函t 数.
解 根据问题的要求, 即可归结为求下列定
1
a2m
1m
a0
22m m!n 1n
2
n m .
这样，得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
xn2m
m0
m
!
1m
nm
1
(
x 2
)n
2
m
称 J n 为x 阶n 第一类贝塞尔函数(n>=0).
取指标
c
n, a0
1
2n n 1
得方程的另一特解
Jn
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
建微立分不同J0阶的5的.第3贝贝2塞k塞尔+尔2函函项数数之的1间递k递1推2推2公k公2式x式(2kk.2 2)!2
由ur,t 的有界性, 可以知道 C2 0 ,
由条件 u r1 0 得 J0 0 , 即 是 J 0 x
的零点. 用 n0( n=1,2…)表示 J0 x 的正零点, 综合以 上结果可得:
0 n
Fn r J0
0 n
r
Tn t Cnea2 n0 t
从而
un
r,t
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
由于 Yn50.4函数, 展由成条贝件塞| P尔(0函) |数的知级D数 0,
从而
题中在，本导章P出开了r 始贝 C，塞J我尔n 们方从程r 薄的圆特盘征温值度问分题布：的定解问
解问题: 设 u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
0 r 1
由于u
和 无关,
u
0,可以化简为问题
u
t
a2
2u r 2
1 r
u r
,
0r
1
u t0 1 r 2
u r1 0
由物理意义, u , 且当t 时, u 0
令 ur,t FrT t 代入方程得
(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分 布.
(3) 设
n
m
(
m
1,2,)为J n x
的正零点,
则有
lim
m
n m1
m n
Jn R 0 的解为
R mn m 1,2,
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
mn
R
r
m 1,2,
➢ 贝塞尔函数的正交性
讨论
Pm
对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.
Yn1
x
Yn1
x
2n x Yn
x
Yn1 x Yn1 x 2Y 'n x
例
n 为半奇数. J n x可以用初等函数来表示:
J 2m1 x 1m
2
2
m1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J 2m1 x 2
2
m 1
x2
1 x
d dx
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
x2 y2 R2
u 0 x2 y2 R2
令 ux, y,t V x, yT t ， 代入方程得
进而得
VT'
a
2
2V x 2
2V y 2
T
T ' Vxx Vyy
a 2T
V
0
齐次偏微分方程化为两个微分方程: 在极坐标系下，问题可以写成
xJ 'n x nJn x xJ n1x
两式相加减 分别消去 J n 'x 和 J n x, 可以得到
J n1x
J n1x
2n x
Jn
x
J n1x J n1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 J n x J n1 x 的值, 就可以求出 J n1 x
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
J n xcosn
sin n
Jn x
当 n 不为整数时, J n x和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
方程的通解也可表示为
y CJ n x DYn x
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
24
x4
2!2
26
x6
3!2
1k
x2k
22k k !2
J1 x
x 2
xd3 23d2x!
J
0x25
x5 2!
J1 3!
x
1k
22k
x2k 1
k ! k
1!
又
d dx
[
xJ1
(
x)]
d dx
x2 2
x4 23 2!
1k
(2k 2)x2k2
22k1k !k 1!
x
x3 22
C e J t a2
n
0
n
0
r 0 n
由叠加原理, 可得原问题的解为
u
r,t
C e J
a2 n0 t
n
0
0 n
r
n1
由初始边界条件得
首先ddx考虑1k零1 2阶2k和2 x一2kk阶2 1贝!塞2 尔 函数1k之2(2间2kk2[关k2系)x12.k!1]2
Jn x
1k
1 x2k1 m m0
22k1k !k 1!
1 2n2m m!
n×1（m－!１x）n2m
分别令n 0 及 n 1得:
J0
所x以 1
x2 22
m
cos x
x
1 d m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
例 求不定积分 xJ2 x.dx
解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x 可得
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx
x dJ1 x J1 x dx
中,由于m<N时，
N
1
m
1
0
所以级数从m=N开始
JN (x)
mN
1 m 1 2N2m m!
1 N m1
x N 2m
(1)N
xN
2N
N
!
xN 1 2N2 (N 1)!
x N 4 2N4(N
2)!2!
(1)N JN (x)
所以，当n为整数时, J n x 与J n x 线性相关
k)0
(
xk2
n22,)3],ak
x
c
k
0
由选c取akak0z221nkn221aznnka21zkk
ak 2
(
得
0
p
取c=n
e 0
x
x
p1dx
)
n 由mna1 m01 an12(an31)(n 1a) 2k1n0m 1
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
1
m2!nn4 m
P ' "( ) 2 0
P
2 P""Vx2Py2'R2
00
2
P
0
本征值问题
" 0
2
本征值 n n 2，
0
a0 2
本征函数
n an cos n bn sin n ,n 1,2,
将 n n2 代入另一方程得
2 P" P' 2 n2 P 0
此时定义第二类贝塞尔函数为
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x
不为整数.可以证明 J n x 和 Yn x 线性无关，