第11讲 一次函数及其图象

安 徽 省
数
学
第三章 函数及其图象
第11讲 一次函数及其图象
要点梳理
1．概念
形如函数 y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0) y＝kx 叫做
一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，则把
函数 叫做正比例函数．
要点梳理 2．正比例函数y＝kx的图象 过 (0， 0) ， (1， k) 两点的一条直线．
【例1】 (1)(2014·成都)在平面直角坐标系中，已 知一次函数y＝2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2， y2)两点，若x1＜x2，则y1____ ＜ y2.(填“＞”“＜”或“ ＝”)
(2)(2014·达州)直线y＝kx＋b不经过第四象限，则
( C)
A．k＞0，b＞0
C．k＞0，b≥0
数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次
函数，不一定是正比例函数．
(2)正比例和正比例函数的区别
成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例
函数，但正比例函数的两个量一定成正比例．
1．(2014·深圳)已知函数y＝ax＋b经过(1，3)， (0，－2)，则a－b＝( D )
A．－1
B．－3
C．3
是 x＝2 ． 1 2 2 3 4
x －1 0 y 6 4
0 －2 －4
(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2，0)，则关于x的
不等式－x＋b＞0的解集是 x＜2 【点评】 ．
进一步熟悉函数图象的作法，通过图象
体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的 内在联系，提高识图能力．一次函数y＝kx＋b，当 y＝0，则kx＋b＝0，得到一元一次方程，当y＞0， 则有kx＋b＞0，得到一元一次不等式．
3．(1)(2014· 毕节)如图，函数 y＝2x 和 y＝ax＋4 的图象 相交于点 A(m，3)，则不等式 2x≥ax＋4 的解集为( A ) 3 A．x≥2 B．x≤3 3 C．x≤2 D．x≥3
(2)(2014·鄂州)在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)
．
一个方法
待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，一般
是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数)，再根
据条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组，求
出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法．
两个区别
(1)正比例函数和一次函数的区别
正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括
正比例函数．也就是说：如果一个函数是正比例函
D．7
2．(2014·济南)若一次函数y＝(m－3)x＋5的函数
值y随x的增大而增大，则( C )
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
1 3．(2014· 枣庄)将一次函数 y＝2x 的图象向上平移 2 个单 位，平移后，若 y＞0，则 x 的取值范围是( B ) A．x＞4 B．x＞－4 C．x＞2 D．x＞－2
【点评】
(1)k，b是一次函数y＝kx＋b的未知系数，
这种先设待求函数关系式，再根据条件列出方程或方
程组，求出未知数，从而得出所求结果的方法，就是
待定系数法．(2)函数中常用的方法还有代入法．
2．(2013·河北)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从 点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的 直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．
N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8，8＝1＋t，∴t＝7， ∵点M，N位于l的异侧，∴4＜t＜7 (3)t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上
一次函数与一次，x，y的
部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解
4．(2014· 江西)直线 y＝x＋1 与 y＝－2x＋a 的交点在第一
象限，则 a 的取值可以是( D )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．(2014·河北)如图，直线l经过第二、三、四象限
，l的解析式是y＝(m－2)x＋n，则m的取值范围在
数轴上表示为(
) C
一次函数y＝kx＋b中，系数k和b对图象及性质的影响
(1)当t＝3时，求l的解析式；
(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； (3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意得 b＞0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4， ∴y＝－x＋4 (2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b， 解得b＝5，5＝1＋t，∴t＝4，当直线y＝－x＋b过
要点梳理
3．正比例函数y＝kx的性质
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大 (2)当k＜0时，y随x的增大而减小 ； ．
要点梳理 4．一次函数y＝kx＋b的图象
要点梳理 5．一次函数y＝kx＋b的性质
过
b (0，b)，(－ ，0) k
的一条直线．
；
(1) 当k＞0时，y随x的增大而增大 (2) 当k＜0时，y随x的增大而减小
B．k＜0，b＞0
D．k＜0，b≥0
【点评】
(1)一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x
的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．(2)
一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)是一条直线
，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而
增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增
大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．
如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，
B(x，y)，下列结论正确的是( B )
A．a＞0 B．a＜0 C．b＝0 D．ab＜0
待定系数法求一次函数的解析式 【例2】 (2014·怀化)设一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图
象经过A(1，3)，B(0，－2)两点，试求k，b的值．
k＋b＝3， 解：把 A(1，3)，B(0，－2)代入 y＝kx＋b 得 b＝－2， k＝5， 解得 即 k，b 的值分别为 5，－2 b＝－2，
1．(1)(2012·娄底)对于一次函数y＝－2x＋4，下列 结论错误的是( D ) A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝－2x的 图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)
(2)(2013·福州)A，B两点在一次函数图象上的位置