第11讲 一次函数及其应用(原卷版)

第11讲一次函数及其应用
1．一次函数的概念
一般地，形如的函数叫做一次函数，当b＝0时，y＝kx＋b即为y＝kx叫做正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
2．一次函数的图象与性质
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，
它与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为原点，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是过(0，b) 的一条直线．
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象所经过的象限及增减性．
k、b的符号
k＞0 函数图象图象的位置增减性
b＞0 图象过第一、二、三象限y随x的增大而增大
b＝0 图象过第一、三象限y随x的增大而增大
b＜0 图象过第一、三、四象限y随x的增大而增大
k＜0 函数图象图象的位置增减性
b＞0 图象过第一、二、四象限y随x的增大而减小
b＝0 图象过第二、四象限y随x的增大而减小
b ＜0
图象过第二、三、四 象限 y 随x 的增大而减小
3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
(1)设：设出一次函数解析式一般形式y ＝kx ＋b(k≠0);
(2)代：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入y ＝kx ＋b 得到方程(组); (3)求：解方程(组)求出k ，b 的值； (4)写：写出一次函数的解析式． 4．一次函数与方程(组)的关系
(1)一次函数的解析式y ＝kx ＋b 就是一个二元一次方程；
(2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的__ __就是方程kx ＋b ＝0的解；
(3)一次函数y ＝k 1x ＋b 1与y ＝k 2x ＋b 2的图象交点的横、纵坐标值就是方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1
y ＝k 2x ＋b 2的解．
5．一次函数与不等式的关系
(1)函数y ＝kx ＋b 的函数值y 大于0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＞0的解集，即函数图象位于x 轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围；
(2)函数y ＝kx ＋b 的函数值y 小于0时，自变量x 的取值范围
就是不等式 的解集，即函数图象位于x 轴的 部分对应点的横坐标的取值范围． 6．一次函数的实际应用
(1)常见类型：①费用问题；②销售问题；③行程问题；④容量问题； ⑤方案问题．
(2)解一次函数实际问题的一般步骤：
①设出实际问题中的变量； ②建立一次函数关系式； ③利用待定系数法求出一次函数关系式； ④确定自变量取值范围； ⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义； ⑥答．
考点1： 一次函数的图象与性质
【例题1】（2018•江苏扬州•3分）如图，在等腰Rt △ABO ，∠A=90°，点B 的坐标为（0，2），若直线l ：y=mx+m （m ≠0）把△ABO 分成面积相等的两部分，则m 的值为 ．
考点2：一次函数与方程、不等式的关系
【例题2】．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝－1
2x＋5的图象l1分别与x，y
轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m，4)．
(1)求m的值及l2的解析式；
(2)求S△AOC－S△BOC的值；
(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
考点3：一次函数的实际应用
【例题3】（2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
一、选择题：
1. （2019•四川省广安市•3分）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（）
A．一、二、三B．二、三、四C．一、三、四D．一、二、四
2. （2018•湘潭）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（）
A．B．C．D．
3. (2019湖北荆门)（3分）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）
A．k≥0且b≤0B．k＞0且b≤0C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
4. （2019•山东临沂•3分）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（）
A．图象经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点（0，b）D．当x＞﹣时，y＞0
5. （2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）
A．B．C．D．2
二、填空题：
6. （2019•山东潍坊•3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．
7. （2018•邵阳）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是．
8. （2019▪广西河池▪3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．
9. （2019•山东省聊城市•3分）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P 的坐标为.
三、解答题：
10. （2019•湖北省仙桃市•8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
11. (2017·台州改编)如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)．
(1)求b，m的值；
(2)直接写出关于x的不等式2x＋1<mx＋4的解集；
(3)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D.若线段CD长为2，求a的值．
12. （2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
13. (2017·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy中，A(0，5)，直线x＝－5与x轴交于点D，直线y＝－3 8x
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8与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.
(1)求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
(2)设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；
(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．
14. （2019·贵州安顺·10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x （元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
15. (2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)直线l1与y轴交于点M，求△AOM的面积；
(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n 的取值范围．
【变式】(4)将(3)中条件“过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线l1，l2的交点分别为C，D”保持不变，“当点C位于点D上方时”改为“且CD＝2”，求点C的坐标．。