贝塞尔函数解读
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
7贝塞尔函数
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。
中文名贝塞尔函数外文名Bessel Function意义一类特殊函数的总称方程的解无法用初等函数系统地表示命名F.W.贝塞尔的姓氏分类数学目录1 基本概念2 基本内容3 分类4 应用范围基本概念编辑是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
基本内容编辑贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
历史几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式是用来计算贝塞尔函数（Bessel function）的数学公式。
贝塞尔函数是常见的特殊函数之一，它在物理学和工程学中有广泛的应用。
贝塞尔函数是由欧拉和贝塞尔在18世纪末和19世纪初研究振动问题时引入的。
它们是满足贝塞尔微分方程的解，该方程出现在许多物理问题中，如电磁波，声波和热传导等。
贝塞尔函数通常表示为J_n(x)，其中n是整数，x是实数。
贝塞尔函数的计算可以使用贝塞尔公式，该公式可以表示为：
J_n(x) = (1/π) ∫_0^πcos(nθ- x sinθ) dθ
其中，θ是积分变量，cos和sin是三角函数，π是圆周率，n和x是函数的参数。
这个公式告诉我们如何计算任意x和n的贝塞尔函数。
它涉及积分，因此可能需要数值计算来获得精确的结果。
贝塞尔函数在微积分，波动问题和量子力学等领域中广泛使用。
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。
第十七章 贝塞尔函数
第十七章 贝塞尔函数贝塞尔方程是拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变量得到的。
17.1 贝塞尔方程及其解贝塞尔方程：()02'''2=-++y v x xy y x修正贝塞尔方程：()022'''2=+++y v x xy y x当v 不是整数时，贝塞尔方程通解是：()()()x BJ x AJ x y v v -+=当v 是整数m 时，由于()()()x J x J m mm 1-=-，因此其通解为()()()x BY x AJ x y m m +=17.1.1 第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数()x J v 的级数形式为()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=∑及()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+-∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-Γ-=∑式中Γ是伽马函数。
当v 是整数时()∞=++-Γ1k v （k=0,1,2，…，v-1）所以当v=m （整数）时，上述级数实际上是从k=m 开始的，即()()[]km kk v x m k k x J 202!!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑填空：()()()x J x J m mm --=1当x 很小时，保留级数中头几项，可得()()x v x x J vv +Γ⎪⎭⎫⎝⎛≈12()⋯---≠,3,2,1v特别是()100=J ，()00=m J ()⋯=,3,2,1m当x很大时 ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈-2324cos 2x v x x x J v οπππ17.1.2 第二类贝塞尔函数定义：()()()ππv x J x J v x Y v v v sin cos --=；注意，()()()x Y x Y n nn 1-=-性质：当x 很小时，保留级数中头几项，可得：()()kv x Y vv Γ⎪⎭⎫⎝⎛-≈ππ21()0≠v ；()xx Y ln 20π≈()0=v当x很大时，其近似为()⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈24sin 2πππv x x x Y v第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数由第一、第二类贝塞尔函数组合得到，通常定义为：()()()()x iY x J x H v v v +=1()()()()x iY x J x H v v v -=2由于他们的线性组合是贝塞尔方程的两个解，故贝塞尔方程的通解可以写成: ()()()21v v BH AH x y += 。
Bessel函数介绍
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。
x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。
Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动现象
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动现象贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它在物理方程中有广泛的应用。
本文将从解析振动与波动现象的角度出发，探讨贝塞尔函数在物理方程中的应用。
一、贝塞尔函数的定义与性质贝塞尔函数是一类满足贝塞尔微分方程的特殊函数，其定义如下：（公式）贝塞尔函数具有多种性质，其中包括对称性、递推关系、积分表示等。
这些性质使得贝塞尔函数成为解析振动与波动现象的有力工具。
二、贝塞尔函数在振动问题中的应用振动是物体在某一平衡位置附近以一定频率前后运动的现象。
贝塞尔函数可以描述振动的幅度和相位随时间和空间变化的规律。
以振动的受迫振动为例，其运动方程可以表示为：（公式）其中，x(t)表示振动的位移，f(t)为外力函数。
当外力的作用下，振动系统的频率与外力的频率相同或有一定关系时，贝塞尔函数可以被用于求解振动系统的解析解。
三、贝塞尔函数在波动问题中的应用波动是物质或场在空间中以一定频率传播的过程。
贝塞尔函数可以用于描述波动的幅度、波节、波峰等特征。
在声学领域，贝塞尔函数常用于描述球面波和柱面波的振幅分布。
球面波的振幅与距离和频率有关，可以使用适当的贝塞尔函数展开。
柱面波也可以用贝塞尔函数的积分表示来描述振幅随径向距离的变化规律。
四、贝塞尔函数在电磁学中的应用贝塞尔函数在电磁学中也有重要应用。
例如，在球坐标系下求解麦克斯韦方程时，贝塞尔函数常常用于展开电磁场的径向分量。
此外，贝塞尔函数还在光学、流体力学等领域中广泛应用。
在光学中，贝塞尔函数可以用于描述光波的干涉和衍射现象。
在流体力学中，贝塞尔函数常用于求解圆柱内外流体的流动问题。
五、贝塞尔函数应用的局限性与扩展尽管贝塞尔函数在物理方程中有广泛应用，但其也存在一些局限性。
例如，贝塞尔函数的解析解通常只在特定边界条件下成立，无法适用于所有情况。
为了克服这些局限性，数值方法和近似方法也被广泛应用于解析振动与波动现象。
例如，有限元法、辛普森法等数值方法可以提供更为精确的解，同时也能够处理复杂的边界条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
贝塞尔方程
当n不为整数时，例如
n v ，上式的通解可表示为如下两种形式：
y AJ v (x) BJ v (x)
其中和，A、yB为分任别A意称J实为v数(；阶x)和 B阶Y第v一(类x)Bessel函数；
称为 阶第二类Bessel函数。
Jv (x) J v (x)
v v
Yv (x)
1
0
x
J n (
x)J n (
x)d
x
Jn( )Jn () Jn()Jn ( ) 2 2
而
1
0
x
J n 2 (
x)d
x
1 2
J
本征函数系
J
n
(
(n) m R
)r
(m 1, 2,) 的正交性。
R
0
r
J
n
(
(n m
R
)
r
)
J
n
(
(n) k
R
r
)d
r
0 R
,
2
2
J
2 n1
(
m
(
n
)
)
R2 2
J
2 n1
(
m
(
n)
)
,
mk mk.
J
n
(
(n m
R
)
r
)
m1 在【0，R】上，带权重r正交。
贝塞尔函数的正交性
若λ和μ是两个不同的常数 , 可以证明
1.先求的
数值解，再用（1）式求
(v k 1)
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。
Jv (x)
当n为正整数或零时， 表达式为
，整数阶Bessel函数 的
(n k 1) (n k)!
Jn (x)
（2）
J
n
(x)Biblioteka k 0(1)k k!(n k
)!
x 2
n2k
第一类贝塞尔函数
贝塞尔方程
贝塞尔方程式指在柱坐标系下分离变量得到的一种特殊类型的常微分方程。 Bessel方程：
上式称x为2以ddxx为2 y2宗量的x ndd阶yxBess(exl方2 程n。2 ) y 0
贝塞尔方程
当n为整数时，上式的通解为
y AJ n (x) BYn (x)
其中，A、B为任意实数； J n (x) 为n阶第一类Bessel函数； Yn (x) 为n阶第二类Bessel函数（或称为“诺依曼(Neumann)
Jv (x)
当为整数时，例如，v n ，
Yn
(x)
lim
n
J
(x)
cos( ) sin(
)
J
(x)
此时，可以按下述公式计算整数阶第二类Bessel函数
第二类贝塞尔函数
Yn
(x)
2
J n (x)( ln
x 2
0.5772
)
1
n1 m0
(n
m 1)! ( x )n2m m! 2
1
(1) m
( x )n2m nm1
1
m1
1
m0 m!(n m)! 2
k0 k 1 k0 k 1
(n 1, 2, 3, )
其中：
Y0 (x)
2
J0
(x)(ln
x 2
0.5772)
2
m0
(1) m (m!) 2
(
x ) 2m 2
m1 k 0
k
1 1
lim
x0
Yn
(x)
Yn (x) (1)n Yn (x)
（2） Jn ( x) 的零点与 Jn1( x) 的零点彼此相间分布 。
贝塞尔函数的零点
（3）以
(n) m
表示
Jn ( x) 的非负零点（正的零点）（m = 1，2，…) ,
则
(n) m1
(n) m
当
m
时, 其值将无限地接近于π, 即
Jn(x)
几乎是以 2π 为周期的周期函数。
贝塞尔函数的正交性
贝塞尔函数
贝塞尔函数
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊 函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般 称为“贝塞尔方程”）的标准解函数。
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成 柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函 数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝 塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。
在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解 贝塞尔方程的本征值问题:
Jn( R) 0
上述本征方程的解为:
R
(n) m
即
(n) m
( m(n)
R
)2
(m 1, 2, )
与这些本征值相对应的本征函数为:
Pm (r)
J
n
(
(n m R
)
r
)
(m 1, 2,)
贝塞尔函数的正交性
v
第一类贝塞尔函数
整阶第一类Bessel函数
的定义式为
J n ( x)
当n不为J整n (数x时) ，例k如0
(1) k
x n2
k!(非n整数k阶B1es)sel2函数
k
nv
Jv (x)
（1）
J
v
(
x)
k 0
(1)k k!(v k
1)
x 2
n 2 k
第一类贝塞尔函数
求 J v (x的)方法：
不一样！）
Y(n1 2) (x)
2 xn1 2 1 d n sin x
x dx x
J (n1 2) ( x)
（与
不一样！）
贝塞尔函数的零点
（1） Jn ( x) 有无穷多个单重实零点 ， 且这无穷多个零点在 x 轴上关于原 点对称分布 。自然 Jn ( x) 必有无穷多个正的零点。
由（3）式和（6）式还可得
Yv(x)
Yv1 ( x)
v x
Yv
(x)
（3）——（6）式的递推关系中，为任意实数。
（1）利用和的值可以递推出任意正整数阶第二类Bessel 函数的值。
（2）利用和的值可以递推出任意半奇数阶第二类Bessel 函数的值。
第二类贝塞尔函数
Y1 2 (x)
J1 2 (x) cos( 2) sin( 2)
第二类贝塞尔函数
Yv (x) 的递推公式：（注：与J v (x)
样！）
2v x Yv (x) Yv1(x) Yv1(x)
xvYv (x) xvYv1(x)
xvYv (x)
x
Y v v1
(
x)
的递推公式完全一
（3） （4） （5）
2Yv(x) Yv1(x) Yv1(x)
（6）
第二类贝塞尔函数
J 1 2 (x)
J 1 2 (x)
2 cosx
x
Y1 2 (x)
lim 1 2
J 1 2 (x) cos( sin(
2) 2)
J1 2 (x)
J1 2 (x)
2 sin x
x
Yn1 2 (x) (1)n1
2
xn1 2 1
d
n cosx
x dx x
J n1 2 ( x)
（与
求 J n (的x)方法：
1.直接用（2）式求
2.整数阶Bessel函数也可以通过J递n (推x关) 系得出
奇数阶Bessel函数为奇函数；偶数（包括零）阶Bessel函数为偶函数；
第二类贝塞尔函数
非整数阶第二类Bessel函数的定义式为
Yv (x)
Jv (x) cos(v ) sin(v )