贝塞尔函数

6-2 贝塞尔函数柱函数

在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．

通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数．

贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．

6.1 贝塞尔方程及其解

6.1.1 贝塞尔方程

拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。

考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题

2

2

2

222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,)

tt xx yy x y l t t

t u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ϕψ+===⎧=+≤+<>⎪

=≥⎪⎨

=⎪⎪=⎩（6.1.1

）

其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ϕψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）

设

(,,)(,,)()(,)

u x y t u t T t U ρϕρϕ==）得

2

2

0a T =（6.1.2）

2

2100 U U k U ρϕ

ρ′′′++=（6.1.3）

再令

(,)()()

U R ρϕρϕ=Φ，得到2

ν′′Φ+Φ=(6.1.4)

2

22

2

()0

R R k R ρρρν′′++−=（6.1.5）

于是(6.1.5)得到

22

d ()0d y x x y x

ν+−=（6.1.6）

边界条件为

()|()0

l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为

ν

阶贝塞尔微分方程．这里

ν

x

和

可以为任意数．

6.1.2贝塞尔方程的解

通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：（1）当

ν≠整数时，贝塞尔方程(6.1.6)的通解为

()J ()J ()

y x A x B x νν−=+（6.1.7）

其中,A B 为任意常数，J ()x ν定义为ν阶第一类贝塞尔函数但是当n ν=整数时，有J ()(1)J ()n

n n x x −=−故上述解中的J ()

n x 与

J ()n x −是线性相关的，所以(6.1.7)成为通解必须是

ν≠

整数.

（2）当

ν

取任意值时：

定义第二类贝塞尔函数N ()x ν，这样贝塞尔方程的通解可表示为

()J ()N ()

y x A x B x νν=+（6.1.8）

(3) 当ν取任意值时：

由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的

第三类贝塞尔函数H ()x ν

，又称为汉克尔函数．

(1)

(2)

H ()J ()iN ()H ()J ()iN ()

x x x x x x νννννν⎧=+⎨=−⎩（6.1.9）

分别将(1)(2)

H ,H νν

称为第一种和第二种汉克尔函数．

于是贝塞尔方程的通解又可以表示为

(1)(2)

(H ()H ()

y x A x B x νν=+（6.1.10）

最后，总结ν阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：

（i ）()J ()J () (y x A x B x ννν−=+≠整数）（ii ）

()J ()N ()

(y x A x B x ννν=+可以取任意数）

（iii ）(1)

(2)

()H ()H ()

(y x A x B x ννν=+可以取任意数）

6.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质

6.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式第一类贝塞尔函数J ()x ν的级数表示式为

220

1()

1)2()

!(1)2k

k

k

k x x k k ννν∞

+−+=Γ−++∑∑（6.2.1）

伽马函数．满足关系

()(1)(2)(1)(1)

k k ννννν++−++Γ+"

当ν为正整数或零时，(1)()!

k k ννΓ++=+当

ν

取整数时

(1),(0,1,2,,1)

k k ννΓ−++=∞=⋅⋅⋅−所以当

n ν=整数时，上述的级数实际上是从k n

=的项开始，即

, (0)n ≥(6.2.2)

220

11)()

!(1)21(1)(), ()

!(1)2k

n k

l

n l

x k n k x l k n l n l −+∞

+=Γ−++−=−Γ++∑(6.2.3)

所以

J ()(1)J ()

n

n n x x −=−（6.2.4）

同理可证

J ()J ()

n n x x −=−（6.2.5）

因此有重要关系

J ()(1)J ()

n

x x −=−（6.2.6）

贝塞尔函数表示式

246

22

3

511()()()2(2!)2(3!)2

11()()2!22!3!2

x x x x x −+−+−+−""