按贝塞尔函数展开成级数
大学物理贝塞尔方程的解
cos(x sin m )d
2
(11)
——贝塞尔函数常用的积分形式
(三) 贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表示 汉克耳函数
从贝塞尔函数的第一种积分表达式出发，利用最陡下降
法，可以得到贝塞尔函数的渐近表达式。为此，将贝塞尔函
数第一种积分表示写为
Jm (x)
g (t )e xh (t ) dt
C
[g(t)
xv
(1)k ( x )2k v1
k0 k !(k v) 2
xv Jv1(x)
与此类似，以 x – 乘 (9-1-2) 式，然后求导，可得到
d
dx
xv Jv
xv Jv1(x)
将以上两式展开，经化简分别得到
J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) 将上两式相加，得到
贝塞尔方程的另一个独立解的形式为：
w2 (z) zm dk zk AJm (z) ln z k 0
(7-3-15)
但是，确定以上解中的系数是一件很麻烦的事情。有
人采用一种巧妙的办法确定了贝塞尔方程中当 为整数或
零时的独立解。具体方法为：取 J (x) 与 J– (x) 的适当的
线性组合，使得非整数 趋于整数 m 时，该线性组合成为
(x)
k 0
(1)k k !(k v
( x)2kv 1) 2
J (x) 称为 阶贝塞尔函数。
贝塞尔函数 J0(x)、J1(x)、J2(x)… 的图像
当 为整数或零时，J (x) 与 J– (x) 不是线性独立的，
它们之间有以下关系
Jm (x) (1)m Jm (x) (m 0,1, 2, )
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
常见幂级数展开式求和公式
常见幂级数展开式求和公式幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以将各种函数表示为无穷级数的形式。
常见的幂级数展开式求和公式有泰勒级数、麦克劳林级数和幂级数的逐项积分求和公式。
下面将逐一介绍这些公式。
1.泰勒级数求和公式：泰勒级数是将一个函数在其中一点展开成无穷级数的形式，用于近似表示函数在该点的值。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=a 处的泰勒级数展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f^n(a)表示f(x)在x=a点的n阶导数，n!表示n的阶乘。
当n 足够大时，泰勒级数可以提供较准确的函数近似。
2.麦克劳林级数求和公式：麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处展开的特殊形式。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=0处的麦克劳林级数展开式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...麦克劳林级数将函数近似表示为多项式的形式，方便计算。
3.幂级数逐项积分求和公式：对于幂级数∑a_n(x-a)^n，可以对其逐项积分得到：∫[∑a_n(x-a)^n]dx = ∑[a_n/(n+1)(x-a)^(n+1)] + C其中，C为积分常数。
这个公式可以用于计算幂级数的积分。
除了上述三种常见幂级数展开式求和公式，还有一些其他的展开式求和公式，如：4.欧拉恒等式：欧拉恒等式表示以自然对数e为底的指数函数和三角函数的关系：e^ix = cos(x) + i·sin(x)其中，i表示虚数单位。
这个等式广泛应用于复数分析、信号处理等领域。
5.贝塞尔函数展开式：贝塞尔函数是一类特殊的函数，可以用无穷级数表示。
对于整数阶的贝塞尔函数J_n(x)，其展开式为：J_n(x)=(∑[(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k+n)])/(x/2)^n贝塞尔函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
傅里叶贝塞尔级数
傅里叶贝塞尔级数傅里叶贝塞尔级数是一种数学工具，用于分析周期性函数。
它是由法国数学家傅里叶和贝塞尔独立提出的，被广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
傅里叶贝塞尔级数的基本思想是将一个周期性函数表示为一系列正弦函数的线性组合。
具体来说，给定一个周期为T的函数f(x)，傅里叶贝塞尔级数可以将其表示为以下形式的级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，a0、an和bn是系数，ω=2π/T是角频率，n取正整数。
傅里叶贝塞尔级数的优点之一是它可以将周期性函数转化为一组简单的正弦函数。
这使得我们能够更好地理解和分析周期性现象。
例如，在物理学中，我们可以将周期性运动表示为傅里叶贝塞尔级数，从而研究它的频谱特性和谐波分析。
另一个重要的应用领域是信号处理。
傅里叶贝塞尔级数可以用来分析和合成信号。
通过计算信号的傅里叶系数，我们可以获得信号的频谱信息，了解信号中包含的各个频率成分的强度和相位。
在工程学中，傅里叶贝塞尔级数在电路分析和控制系统设计中也起着重要作用。
通过将电路中的周期性信号表示为傅里叶贝塞尔级数，我们可以分析电路的频率响应和稳定性。
除了周期性函数，傅里叶贝塞尔级数还可以用于处理非周期性函数。
通过在非周期性函数上引入周期性边界条件，我们可以将其转化为周期性函数，然后应用傅里叶贝塞尔级数进行分析。
傅里叶贝塞尔级数的收敛性是一个重要的问题。
根据傅里叶的定理，如果函数f(x)在一个周期内连续或可积，那么它的傅里叶贝塞尔级数收敛到原函数。
然而，在实际应用中，我们通常只需要考虑级数的有限项，而不必追求无限精度。
傅里叶贝塞尔级数是一种重要的数学工具，可以用来分析周期性函数和信号。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
通过理解和应用傅里叶贝塞尔级数，我们能更好地理解和解释周期性现象，从而推动科学和技术的发展。
数学物理方法贝塞尔函数
第七章贝塞尔函数7.1 Bessel 方程及其幂级数解定义:称Bessel 方程为:222'''()0x y xy x n y ++-=其中，n 为任意实数。
当n>0时，取级数解c k k k y a x ∞+==∑有120'()''()(1)c k c k k k k k y a c k xy a c k c k x ∞∞+-+-===+=++-∑∑代入原式，222222012{[()(1)()]}()[(1)]0k kk k a c k c k c k aa x a c a a c n x ∞-=++-++-++-++-=∑有222201222()0[(1)]0[()]0k k a c n a c n a c k n a --=+-=+-+=得1,0c n a =±=，取c=n, 有222()k k a a n k n -=+-定理：212200,1,...(1)!2!()!m m mma m n a m n m +==-=+ 取022!na n =得22(1)2!()!mmn m a m n m +-=+有一个特解220(1)()2!()!mn m n n m m y J x x m n m ∞++=-==+∑取c=-n, 得另一个特解2220(1)()2!()!m n mn n m m x y J x m n m -+∞--+=-==-+∑称J n (x)为第一类Bessel 函数。
当n 不为整数x-->0时，有J n (x)-->0, J -n (x)-->∞, 则J n (x)-与J -n (x)不相关。
由齐次线性常微分方程通解的结构定理知道，当n 不为整数，Bessel 方程的通解为()()n n y aJ x bJ x -=+由级数收敛差别法，有22211limlim 04()m m m m a a m n m R→∞→∞-===+ 式中R 为收敛半径，可知R=∞,则J n (x)与J -n (x)的收敛范围为0<|x|<∞ 定义：当n 为整数时，J n (x)-称为整数阶Bessel 函数 例计算J 0(1)的前三项和。
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
贝塞尔函数 - 维基百科,自由的百科全书
图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。
贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。
通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。
典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
贝塞尔函数综述
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。
●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ，当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ） 例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x （0≠x ）即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd Rd r r d R d r 令r k x =，xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd yd x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5） 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6）其中，A 、B 为任意实数；)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
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9
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
2 2
)
R 0
rF1
(r
)
F2
(r
)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
在(38)式中取 1
(n) m
/
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
1
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
由于Yn (0)无穷大，由边界条件(33)中的有界性条件 可知 D 0, 从而
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
12
2 2
R 0
.
11
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
2 1
2 2
dF2 dr
R
0
.
在上式中，令 1
(n) m
/
R,
2仍为任意参数，由于
F1 (R)
Jn
(n) m
(n) m R
2
(m 1, 2,), (35)
与这些固有值相对应的固有函数为
Fm (r) Jn
(n) m
r
J n
(n) m R
r
(m 1, 2,). (36)
5
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
Fm (r)
J n
(n) m R
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
d dr
r
dF1 dr
12 r
n2 r
F1
0,
d dr
R,
2
(n) k
/ R,
并且由于
F1 (R)
J
n
(
(n m
)
)
0,
F2 (R)
J
n
(
( k
n
)
)
0,
(n) m
( k
n
)
,
便立即可得(37)式成立。
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间 (0, R) 上带权 r
正交.
10
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
5.3.3 贝塞尔函数的模
定积分
R 0
rJ
2 n
(n) m R
r dr
的平方根，称为贝塞尔函数
当1 2 时，由(38)式得
J
n
(n) m R
r
(39) 的模。
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
(12
2 2
)rF1
F2
F2
d dr
r
dF1 dr
F1
d dr
r
dF2 dr
0.
上式两边对 r 从 0 到 R 积分得
(12
2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R
0
0. (38)
r
(m 1, 2,).
(36)
5.3.2 贝塞尔函数系的正交性
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间 (0, R) 上带权 r
正交，即
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
证 将贝塞尔方程(32)改写如下
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
6
R 0
F(r) CJn ( r), 另外，再利用(33)中的条件 F(R) 0 得
Jn ( R) 0.
(34)
2
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
Jn ( R) 0.
(34)
5.3.1 贝塞尔函数的零点
方程(34)表明，为了求出固有值问题(32)(33)
3 当 x 值充分大时，J n (x) 的两个相邻零点之间的
的距离接近于 .
整数阶贝塞尔函数应用更多，特别是 J 0 (x)与 J1(x) 4
Jn ( R) 0.
(34)
应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设
(n) m
(m
1,
2,
)
为J
n
(x)
的正零点，则由方程(34)得
R
(n) m
(m 1, 2,),
的固有值 , 我们需要判明 J n (x) 的零点是否存在？
所谓贝塞尔函数的零点，指的是使 J n (x) 0的那些
x的值。
关于贝塞尔函数的零点有下面一系列的定理。
3
5.3.1 贝塞尔函数的零点
1 J n (x) 有无穷多个单重实零点，这些零点在 x
轴上关于原点对称分布，因而 J n (x) 有无穷多 个正零点； 2 J n (x)的零点与 J n1 (x)的零点是彼此相间分布的， 且 J n (x) 的绝对值最小的零点比 J n1 (x)的绝对值 最小的零点更接近于0； 自然有，J n (x)与 J n1(x) 没有公共零点。
F2
d dr
r
dF1 dr
12
r
n2 r
F1F2
0,
F1
d dr
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2 F1
0.
上两式相减得
8
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
5.3 按贝塞尔函数展开为级数
应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题 时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为 级数。本节我们将讨论这个问题。
本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题 中，导出了贝塞尔方程的固有值问题：
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2
0.
将上面两式分别乘以 F2 和 F1
7
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
(
(n) m
)
故上式化为
0,
dF1 dr
R
1J n (1R)
n m
R
J
n
(
(n) m