互相关函数频率域描述
自相关与互相关函数
相关函数１.自相关函数自相关函数就是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系,其定义式为(2、4、6)对于周期信号,积分平均时间T为信号周期。
对于有限时间内的信号,例如单个脉冲,当T趋于无穷大时,该平均值将趋于零,这时自相关函数可用下式计算(2、4、7)自相关函数就就是信号x(t)与它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值,它就是时移变量τ的函数。
例如信号的自相关函数为若信号就是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,即,则对于正弦信号,由于,其自相关函数仍为由此可见,正弦(余弦)信号的自相关函数同样就是一个余弦函数。
它保留了原信号的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率,但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质:(1)自相关函数为偶函数,,其图形对称于纵轴。
因此,不论时移方向就是导前还就是滞后(τ为正或负),函数值不变。
(2)当τ＝0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即(2、4、8)(3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
(4)若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,趋于信号平均值的平方,即(2、4、9)实际工程应用中,常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度,定义式为(2、4、10)当τ＝0时,＝1,说明相关程度最大;当τ＝∞时,,说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。
由于,所以。
值的大小表示信号相关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2、4、3表示。
图2、4、3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2、4、4所示,自相关函数的典型应用包括:(1)检测信号回声(反射)。
若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声,那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值(另一峰值在处),这样可根据确定反射体的位置,同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。
时间历程自相关函数图形正弦波正弦波加随机噪声窄带随机噪声宽带随机噪声图2、4、4 四种典型信号的自相关函数(2)检测淹没在随机噪声中的周期信号。
信号处理中的时域分析方法及其应用
信号处理中的时域分析方法及其应用在信号处理领域中，时域分析是一种基本的分析方法。
时域分析是指对信号在时间轴上的特性进行分析，它是从时间域的角度，对信号本身进行的分析和处理。
时域分析方法包括时域波形分析、自相关分析、互相关分析、谱分析等，本文将对这些方法进行介绍，同时介绍它们在实际应用中的表现。
一、时域波形分析时域波形分析指的是对信号波形形态的分析。
通过时域波形分析，可以对信号的震动、周期、幅值、偏移等特征进行分析和处理。
时域波形分析适用于振动信号、机械振动、声音信号、脑电信号等领域。
时域波形分析的方法有很多种，其中最常见的方法是傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是利用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
通过傅里叶级数展开，可以将不规则的波形化为一系列正弦信号的叠加，从而分析信号的频率成分和幅度。
另外，还有小波变换、离散余弦变换等方法也可以进行时域波形分析。
二、自相关分析自相关分析是指将同一信号在时间上进行平移，再进行相关分析的一种方法。
通过自相关分析，可以得到信号的自相关函数，从而得到信号的时间延迟、周期、相关性等信息。
在自相关分析中，自相关函数可以用以下公式来表示：R_{xx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]x[n+m]其中，x[n]表示原始信号，R_{xx}[m]表示信号在时间上平移m 个单位后的自相关函数。
通过自相关函数的分析，可以得到信号的自相似性和周期，同时对于极化信号、超声检测、遥感图像的分析中也有广泛的应用。
三、互相关分析互相关分析是指对两个不同信号进行相关分析的方法。
通过互相关分析，可以计算出两个信号之间的相似度。
对于两个信号之间具有强相关性的情况，可以使用互相关分析来分析它们之间的关系。
在互相关分析中，互相关函数可以用以下公式来表示：R_{yx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]y[n+m]其中，x[n]表示第一个信号，y[n]表示第二个信号，R_{yx}[m]表示两个信号相位不同后的互相关函数。
自相关与互相关函数
相关函数１．自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值和另一时刻取值的依赖关系，其定义式为（2.4.6）对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。
对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2.4.7）自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。
例如信号的自相关函数为若信号是由两个频率和初相角不同的频率分量组成，即，则对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。
它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。
因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。
（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即（2.4.9）实际工程使用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为（2.4.10）当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)和x(t+τ)之间彼此无关。
由于，所以。
值的大小表示信号相关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2.4.3表示。
图2.4.3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型使用包括：（1）检测信号回声（反射）。
若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。
时间历程自相关函数图形正弦波正弦波加随机噪声窄带随机噪声宽带随机噪声图2.4.4 四种典型信号的自相关函数（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。
自相关函数和互相关函数计算和作图
[原创]自相关函数和互相关函数计算和作图的整理及一点心得大家好像对这个问题提问得比较多，所以花了一点时间整理如下。
1. 首先说说自相关和互相关的概念。
这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。
它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？这个问题happy教授给出了完整答案：-----------[转happy教授]---------------------dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)----------------------------------------------------- 上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。
互相关函数的性质
互相关函数的性质
互相关函数的性质 1
互相关函数（Cross-Correlation Function），简称CCF，是统计学中最常见的统计分析工具之一。
它是通过度量两个变量在时间上的
因果关系的不同程度来评估它们之间的相关性。
通常，互相关分析将
两个变量的时间序列作为输入，计算出它们之间的时间延迟和相关性。
互相关函数既可以应用于单一变量（单变量关系），也可以应用
于多个变量之间的关系（多变量关系）。
一般来说，如果多变量的互
相关函数结果比较高，则说明它们之间的某种因果关系是存在的；反之，如果多变量的互相关函数结果比较低，则说明它们之间的因果关
系可能仅局限于时间序列的某个特定短暂时期。
互相关函数的性质有三：
* 时间响应: 互相关函数既可以测量变量之间相关性，也可以用
来测量一个变量在另一个变量发生变化时反应的延迟时间；
* 时间限制: 如果特定类型的变量只能在一段特定的时间段内产
生效果，那么在超出这个时间段时，互相关函数的结果就会衰减；
* 减弱作用: 不管变量之间的因果关系多么的强烈，互相关函数
的相关性会随着时间的推移而减弱。
互相关函数是当今统计学中一个经常被使用的工具，它能够用来研究变量之间的时间延迟和因果关系，也可以用来预测变量的结果，这在众多领域都有着重要的应用价值。
互相关函数 与 互相关系数
互相关函数与互相关系数：
互相关函数和互相关系数是两个相关但略有不同的概念。
1.互相关函数是一种描述随机信号X(t)、Y(t)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相
关程度的函数。
计算互相关函数的一种常用方法是先从定义入手，对于连续信号和
离散信号都成立。
2.互相关系数则是一种统计量，表示两个变量之间的线性关系程度。
它的取值范围是
-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关。
互相关
系数的计算可以通过以下的公式来实现：ρ(X, Y) = cov(X,Y) /(σ(X) *σ(Y))。
总的来说，互相关函数和互相关系数都是衡量两个信号或变量之间相关性的工具，但互相关函数更注重描述信号的相似性，而互相关系数更注重描述变量之间的线性关系。
互相关函数 举例
互相关函数（Cross-Correlation Function, CCF）是两个信号在时域上的相关性的度量。
以下是一个简单的互相关函数的例子。
假设我们有两个信号x(t) 和y(t)，我们想要计算它们的互相关函数。
首先，我们需要将这两个信号进行重叠和偏移，以得到不同的延迟（或时间偏移）下的互相关结果。
对于每一个时间偏移τ，我们将x(t) 向前平移τ，并与y(t) 进行相乘：
r(τ) = ∫ x(t+τ) y(t) dt
这里，r(τ) 就是互相关函数。
现在，让我们考虑一个具体的例子。
假设x(t) = sin(2πft) 和y(t) = sin(2πft + π/2)。
这两个信号都是正弦波，但是它们的相位不同。
对于这个例子，我们可以计算互相关函数如下：
r(τ) = ∫ [sin(2πft + τ)] * [sin(2πft + π/2)] dt
这个积分的结果将取决于延迟τ。
当τ = 0 时，r(τ) 将达到最大值，因为两个信号完全对齐。
当τ 增加或减少时，r(τ) 将逐渐减小。
这个例子展示了互相关函数如何用于测量两个信号之间的相似性或相关性。
在信号处理和通信领域，互相关函数是一种重要的工具。
信号相关分析原理自相关函数互相关函数
信号相关分析原理自相关函数互相关函数1. 自相关函数（Autocorrelation Function）：自相关函数用于衡量信号与其自身之间的相似性和相关性。
自相关函数是信号的一个函数，描述了信号与其自身在不同时间延迟下的相似程度。
自相关函数的计算公式为：R_xx(tau) = E[x(t)x(t+tau)]其中，R_xx(tau)表示在时间延迟tau下信号x(t)与自身的相关程度，E表示期望值运算。
自相关函数的值越大，表示信号在不同时间延迟下的相似性越高。
自相关函数在信号处理中有广泛的应用，例如：-信号周期性分析：自相关函数可以用于检测信号是否具有周期性，通过寻找自相关函数的周期性峰值，可以判断信号的周期。
-信号估计：通过自相关函数的峰值位置可以估计信号的延迟时间。
2. 互相关函数（Cross-correlation Function）：互相关函数用于衡量两个信号之间的相似性和相关性。
互相关函数描述了两个信号在不同时间延迟下的相似程度。
互相关函数的计算公式为：R_xy(tau) = E[x(t)y(t+tau)]其中，R_xy(tau)表示信号x(t)与信号y(t)在时间延迟tau下的相关程度。
互相关函数的值越大，表示信号之间的相关性越高。
互相关函数在信号处理中也有广泛的应用，例如：-图像配准：互相关函数可以用于图像配准，通过计算两幅图像之间的互相关函数找到最大峰值，可以确定两幅图像的平移和旋转关系。
-信号相似性检测：在音频、图像和视频等领域中，可以通过互相关函数比较两段信号之间的相似性，例如音频中的语音识别和音乐识别。
总结起来，自相关函数和互相关函数是信号相关分析中常用的方法，可以用来描述信号之间的相似性、周期性和相关程度。
通过计算自相关函数和互相关函数可以在信号处理、图像处理和音频处理等领域中得到广泛的应用。
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连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4
(-1)
周期信号与非周期信号
用确定的时间函数表示的信号，可以分为 周期信号和非周期信号。
当且仅当 f t T f (t) t
则信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号
非周期信号的频域分析方法
• 当T→∞ 时，求和变成了取积分，Δω变成dω ，nω1用ω表
示。因此有
f (t) 1
2
f
(t)e jt dte jt d
• 式中方括号是原函数f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数，它 具有单位频带振幅的量纲，记作F(ω) 。即
F ( ) f (t)e jt dt
T / 2
•求出Cn，信号分解的任务就完成了。
C0 a0 A0
Cn
1 2
(an
jbn ),Cn
1 2
(an
jbn )
Cn
Cn
1 2
An
1 2
a
2 n
b2n
非周期信号的频域分析方法
• 对于定义于区间（-∞，+∞）上的非周期函数，也能分 解成许多正弦波的叠加。（也要满足狄利希莱条件）
• 如果在表示周期信号f(t)的傅立叶级数中令周期T→∞， 则在整个时间内表示f(t)的傅立叶级数也能在整个时间 内表示非周期信号。
• 将原函数写成
f (t) 1 F e jtd
2
• 这就是非周期信号f(t)的傅立叶积分表示式，它与周期信号的
傅立叶级数相当。 F( j)d 和傅立叶级数中的复数振幅相当， 是无穷小量，频谱密度 函数反映了各分量振幅间的相对比例 关系。
• f (t)的指数傅立叶级数可写为
式中
f t
Cne jn1t
n
Cn
1 T
T /2
f
T / 2
t
e jn1tdt
• Fn是复数振幅，将其代入f(t),得到
f
(t)
1 T n
T /2 T / 2
f
(t)e jn1t dte jn1t
非周期信号的频域分析方法
• 当T 增加时，基频ω1变小，频谱线变密，且各分量的振幅也 减小，但频谱的形状不变。在T→∞的极限情况下，每个频率
连续信号与离散信号
如果在某一时间间隔内，对于一切时间 值，除若干不连续点外，该函数都能给 出确定的函数值，此信号称为连续信号。
和连续信号相对应的是离散信号。代表 离散信号的时间函数只在某些不连续的 时间值上给定函数值。
一般而言，模拟信号是连续的（时间和 幅值都是连续的），数字信号是离散的。
连续信号模拟信号
δ tdt 1, t 0
δ t 0,
t0
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连
续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r
t
t
0
s ht d
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶 变换将时间变量变换为频率变量去进行分析， 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析 法。频域是最常用的一种变换域。
分 t
系统对第k个冲激函数
的冲激响应函数
析
skt• t • ht kt
法
kΔt
t
示
r(kΔt)
意
图
0 kΔt
t
时域分析的方法（2）
• 式中h(t)是单位冲激函数δ(t)对应的响应，称为单位冲激 响应函数。
• 单位冲激函数δ(t) 也称狄拉克函数或δ函数，其定义是： 在t≠0时，函数值均为0；在t=0处，函数值为无穷大，而 脉冲面积为1，即
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平 均功率。
P lim 1 T / 2 | f (t) |2dt T T T / 2
– 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两种情况。
信号总能量为有限值而信号平均功率为零，称为能量信号； 考察信号能量在时域和频域中的表达式，非周期的单脉冲信 号就是常见的能量信号；信号平均功率为大于零的有限值而 信号总能量为无穷大，称为功率信号，考察信号功率在时域 和频域中的表达式。周期信号就是常见的功率信号。
• 例：周期性脉冲信号的重复周期的倒数就是该 信号的基波频率，周期的大或小分别对应着低 的或高的基波和谐波频率；
• 信号分析中将进一步揭示两者的关系。
不同频率信号的时域图和频域图
信号还可以用它的能量特点加以区分。 – 在一定的时间间隔内，把信号施加在一负载上，负载上就 消耗一定的信号能量。
E T /2 | f (t) |2dt T / 2
冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程 度）
以时间函数描述信号的图象称为时域图， 在时域上分析信号称为时域分析。
确定信号的频率特性
信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。在频谱 函数中，也包含了信号的全部信息量。
频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和 相位。
– 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许 多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和 相位来表征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低 次序排列成频谱。
• 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同 类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方 法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计 算。
• 根据欧拉公式
e jt cost j sint
cos n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
j sin
n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
分量的幅度变为无穷小，而频率分量有无穷多个，离散频谱
变成了连续频谱。这时，f(t)已不是nω1的离散函数，而是ω
的连续函数。
• 以上过程可以用计算式说明。由于相邻频率分量间隔为
周期T 可写为
Δω=(n+1)ω1-nω1=ω1
于是，有
2 2
T
1
f
(t )
n
1
2
T /2 T / 2
f
(t )e jn1t dt e jn1t
傅立叶级数还可以n1t n )
n1
式中：
A0 a0
An
a
2 n
b2n
tan n
bn an
An-，n-分别称为 幅值谱和相位谱，统
称为频谱。
带有直流分量的信号
指数傅立叶级数
• 用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法 是傅立叶级数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。
个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时
间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的
函数值。 lim f (t ) lim f (t )
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成 分的正弦波之和。
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
f t a0 (an cos n1t bn sin n1t) n 1
• a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为
a0
1 T
T /2
f
T / 2
t dt
an
2 T
T /2
f
T / 2
t cosn1tdt
bn
2 T
T /2
f
T / 2
t sin n1tdt
• 傅立叶级数的这种形式称为三角函数展开式或称正弦-余弦 表示，是用正交函数集来表示周期信号的一种常用方法。
• 如同时域分析把信号始终看成是时间的函数 一样，在频域分析中，任何信号又可看成是 频率函数。
• 频域分析的基本工具是傅立叶分析，包括傅 立叶级数和傅立叶变换。
周期信号的频域分析方法
• 考察信号
f
t
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
1 7
sin
71t
式中ω1=2πf1。ω1称为基波频率，简称基频，
信号分析
• 时域分析 –信号时域分析（线性系统叠加原理） –卷积积分的应用及其数学描述
• 频域分析 –周期信号的频域分析(三角与指数傅立叶级 数） –非周期信号的频域分析（傅立叶积分） –信号在频域与时域之间的变换（正反傅立 叶变换式） –频谱与时间函数的关系
时域分析
• 系统的输入信号称为激励，输出称为响应 • 激励与响应都是时间的函数
复杂周期信号波形
数字信号的谐波
分解周期信号的条件
• 狄利希莱条件
要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期
信号的函数f(t)应当满足下列条件：
–
在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；
| t1 T t1
f t| dt
– 在一周期内，函数的极值数目为有限；
– 在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限
– 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限， 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程 应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率 范围称为该信号的频带。
以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为 频域分析。
时域和频域
时域特性与频域特性的联系
• 信号的频谱函数和信号的时间函数既然都包含 了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点, 那么，信号的时间特性与频率特性必然具有密 切联系。