苏教版必修四第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算1 向量的加减法(学案含答案)
苏教版高中数学必修四向量的线性运算教案(2)(1)
2．2．1 向量的加法一、课题：向量的加法二、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和 向量；3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
三、教学重、难点：1．如何作两向量的和向量； 2．向量加法定义的理解。
四、教学过程： （一）复习：1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）（A ）OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r （B ）AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、DE u u u r（C ）FE u u u r 、AB u u u r 、CB u u u r 、OF u u u r （D ）AF u u u r 、AB u u u r 、OC u u ur 、OD u u u r（二）新课讲解：1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r．规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r．说明：①共线向量的加法： a r b r a b +r r②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a r ，b r ，求作向量a b +r r .作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =u u u r r ，AB b =r r ，则OB a b =+u u u r r r.（1） （2） 2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r为邻边作ABCD Y，则则以A 为起点的对角线AC u u u r 就是a r 与b r的和，这种求向量和的方法称为向量加Fb r a rO BA AB C法的平行四边形法则。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法课件 苏教版必修4
梳理
(1) 向量减法的定义 若 b＋x＝a ，则向量x叫做a与b的差，记为a－b ，求两个 向量差的运算，叫做向量的减法. (2)向量的减法法则 以O为起点，作向量O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b， 即当向量a，b起点 相同时，从b 的终点指a向 的终点的向量就是a－b.
[思考辨析 判断正误]
跟踪训练 3 在四边形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，且A→C＝a＋b，
|a＋b|＝|a－b|，则四边形 ABCD 的形状一定是_矩__形_∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵D→B＝a－b，|a＋b|＝|a－b|， ∴|A→C|＝|D→B|.
∴四边形ABCD为矩形.
提示 两个相等向量之差等于0.
提示 答案
题型探究
类型一 向量减法的几何作图
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解 方法一 如图①，在平面内任取一点O，
作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b， 再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，
作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b， 再作C→B＝c，连结 OC，则O→C＝a＋b－c.
答案
梳理
(1)定义：如果两个向量长度相等 ，而方向相反 ， 那么称这两个向 量是相反向量. (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量 .
知识点二 向量的减法
思考
根据向量的加法，如何求作a－b? 答案 先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b).
第2章 §2.2 向量的线性运算
2.2.2 向量的减法
学习目标
苏教版数学高一苏教版必修4学案2.2向量的线性运算
课堂导学 三点剖析 1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律 【例1】 在四边形中，已知AB =a ，AD =b ，BC =c ，试用向量a ,b ,c 表示向量DC .思路分析：连结AC ，则将四边形ABCD 分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将AC 用a ,b ,c 与DC 来表示，即可求出DC .解：在下图中作向量AC .由向量加法的三角形法则，得AC =a +c ，AC =b +DC .所以 a +c =b +DC .因此DC =a +c -b .温馨提示找到向量AC 并以AC 建立DC 与a ,b ,c 的关系是本题的关键.【例2】在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，设AB =a ,AD =b ，求作向量a -b ,21a -b ,b +21a . 思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.解：如图a -b =AB -AD =DB .21a -b =-=. b +21a =+DF =. 2．对向量数乘运算律的理解和应用【例3】设x 是未知量，解方程2（x-31a ）-21(b -3x+c )+b =0. 思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决.解：原方程化为2x-32a -21b +23x-21c +b =0, 27B-32a +21b -21c =0, 27x =32a -21b +21c , ∴x =214a -71b +71c . 3.向量共线的应用【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN|=31|BD|.求证：M 、N 、C 三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M 、N 、C ），不妨证、具有一定的倍数关系，只要用已知条件a ,b 表示出，，问题就可以解决.证明：∵=a ,=b ,∴=-=a -b .∴=+=21b +31 =21b +31 (a -b )= 31a +61b =61(2a +b ). 又∵=+=21b +a =21 (2a +b ), ∴=3.又与有共同起点，∴M 、N 、C 三点共线.温馨提示几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.各个击破类题演练1已知平行四边形ABCD ，=a ，=b ，用a 、b 分别表示向量，.思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则. 解：连结AC 、DB ，由求向量和的平行四边形法则，则AC =AB +AD =a +b .依减法定义得，DB =AB -AD =a -b .变式提升1 (2006广东高考，4)如右图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）A.-+21 B.--21 C.-21 D.+21 思路分析：由三角形法则得知CD =BD -BC =21BA -BC . 答案：A类题演练2若O 为平行四边形ABCD 的中心，=4e 1，=6e 2，则3e 2-2e 1=______________. 解：3e 2=21,2e 1=21AB ,∴3e 2-2e 1=21-21AB =21(-AB )=21(+BA )=21BD . 答案：21 变式提升2化简32［(4a -3b )+ 31b -41(6a -7b )］=__________________. 解析：原式=32(4a -3b +31b -23a +47b ) =32［(4-23)a +(-3+31+47)b ］ =32(25a -1211b )=35a -1811b . 答案：35a -1811b 类题演练3设x 为未知向量，解方程31x +3a -152b =0. 解：原方程化为31x+(3a -152b )=0, 所以31x =0-(3a -152b ),31x=-3a +152b .所以x=-9a +52b . 变式提升3(2006山东高考，文4)设向量a =（1，-3），b =（-2，4）.若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ）A.(1，-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)解析：依题可知4a +(3b -2a )+c =0,所以c =2a -4a -3b =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案：D类题演练4已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2e 1+3e 2，=6e 1+23e 2，=4e 1-8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线.思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A 、B 、D 三点共线，只需证AD 、AB 共线，根据题目的条件如何才能求得AD 呢？显然AD =AB +BC +CD 证明：∵=++=2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2=12e 1+18e 2=6（2e 1+3e 2） =6， ∴向量与向量共线. 又∵AB 和AD 有共同的起点A ，∴A 、B 、D 三点共线.变式提升4a =e 1+2e 2,b =3e 1-4e 2，且e 1、e 2共线，则a 与b （ ）A.共线B.不共线C.可能共线，也可能不共线D.不能确定思路分析：∵e 1与e 2共线，则存在实数e 1=λe 2,∴a =e 1+2e 2=(λ+2)e 2,b =3e 1-4e 2=(3λ-4)e 2,∴a =λ+32λ-4b ,故a 与b 共线. 答案：A。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法 苏教版必修4
[预习导引] 1.向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的 差 ，记为a－b，求两个 向量差的运算，叫做 向量的减法 .
2.向量减法的平行四边形法则 以向量A→B＝a，A→D＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则对角 线的向量B→D＝b－a，D→B＝a－b. 3.向量减法的三角形法则 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a －b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
＝0.
(2)B→D＋D→C＋A→B－A→C. 解 B→D＋D→C＋A→B－A→C ＝(B→D＋D→C)＋(A→B－A→C) ＝B→C＋C→B
＝0.
要点二 用已知向量表示其他向量 例2 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； 解 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，
D→E＝d，E→A＝e，则 D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a.
(2)用 b，c 表示D→B； 解 D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)用 a，b，e 表示E→C； 解 E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝e＋a＋b. (4)用 d，c 表示E→C. 解 E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
规律方法 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利 用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤： ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形 或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋E→A)＋(A→B＋D→C).
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C. 方法二 如图，在平面内取点O，连结AO、 EO、DO、CO、FO、BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，
苏教版高中数学必修4教案：第二章 平面向量 第2课时 2.2向量的加法
第2课时§2.2 向量的加法【教学目标】一、知识与技能（1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算二、过程与方法从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律三、情感、态度与价值观感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量；2．向量加法定义的理解。
【教学过程】一、复习：1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知O点是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）（A）OB、CD、FE、CB（B）AB、CD、FA、DE（C）FE、AB、CB、OF（D）AF、AB、OC、OD二、创设情景利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB ，向量OA ，AB ，OB 三者之间有何关系？OBA三、讲解新课： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：AB BC AC +=作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：AB BC AC +=．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
b a O B A3．向量的运算律：交换律：a b b a +=+．结合律：()()a b c a b c ++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行： 例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．四、例题分析：例1、 如图，一艘船从A 点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法学案 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点) 2．掌握向量减法的几何意义．(难点) 3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)[基础·初探]教材整理 向量的减法阅读教材P 66～P 67的全部内容，完成下列问题． 1．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．向量的减法法则以O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b .图2210判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)OP →－OQ →＝PQ →.( )(2)若－b 与a 同向，则a －b 与a 同向．( ) (3)向量的减法不满足结合律．( )(4)AB →＝OB →－OA →.( ) 【解析】 (1)×.OP →－OQ →＝QP →；(2)√.－b 与a 同向，则a －b ＝－b ＋a 与a 同向． (3)×.如(a －b )＋c ＝a ＋(c －b )． (4)√.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). 【导学号：06460045】 【精彩点拨】 充分利用向量减法的运算律求解． 【自主解答】 (1)原式＝NQ →＋QP →－(NM →＋MP →) ＝NP →－NP →＝0.(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.运用向量减法法则运算的常用方法：可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算.运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点. 引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一.[再练一题]1．化简：AC →－BD →＋CD →－AB →＝________. 【解析】 原式＝(AC →－AB →)＋DB →＋CD →＝BC →＋CB → ＝0. 【答案】 0如图2211所示，已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：图2211(1)AD →－AB →；(2)AB →＋CF →； (3)BF →－BD →.【精彩点拨】 寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．【自主解答】 (1)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →， ∵OD →＝d ，OB →＝b ， ∴AD →－AB →＝d －b .(2)∵AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)， OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，∴AB →＋CF →＝b ＋f －a －c . (3)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →， ∵OF →＝f ，OD →＝d ， ∴BF →－BD →＝f －d .用几个基本向量表示某个些向量的技巧：首先，观察待表示向量的位置；其次，寻找或作相应的平行四边形和三角形； 再次，运用法则找关系； 最后，化简结果.[再练一题]2．如图2212，解答下列各题：图2212(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解】 由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .[探究共研型]探究1 若【提示】 ①当a 与b 同向且|a |≥|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ；OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；②当a 与b 同向且|a |≤|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；③若a 与b 反向，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则B A →＝a －b .探究2 结合探究1的图示及向量的减法法则，探究|a －b |与a ，b 之间的大小关系？ 【提示】 当a 与b 不共线时，有：||a |－|b ||＜|a －b |＜|a |＋|b |； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：|a －b |＝|a |－|b |； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：|a －b |＝|b |－|a |.已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.【精彩点拨】 |a ＋b |＝|a －b |→判断a 与b 的位置关系→求|a －b |的值．【自主解答】 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD .则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 所以|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形． 故AD ⊥AB . 在Rt △DAB 中， |AB →|＝6，|AD →|＝8， 由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10， 所以|a －b |＝10.1．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．[再练一题]3．已知向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝3，求|a －b |. 【解】 在▱ABCD 中，使AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝1，所以ABCD 为菱形，且AC ⊥BD ，交点为O ，∴AO ＝32，AB ＝1，OB ＝AB 2－AO 2＝12，∴BD ＝2BO ＝1，即|a －b |＝1.[构建·体系]1．化简AB →－AC →＋BC →等于________． 【解析】 AB →－AC →＋BC →＝CB →＋BC → ＝0. 【答案】 02．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 【解析】 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0. 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1. ∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 【答案】 0 23．在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是________.【导学号：06460046】①AB →－DC →＝0； ②AD →－BA →＝AC →； ③AB →－AD →＝BD →；【解析】 ∵ABCD 是平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，故①正确；又AD →＝BC →，∴AD →－BA →＝BC →－BA →＝AC →， 故②正确；又AB →－AD →＝DB →≠BD →，故③错误．【答案】 ①②4．如图2213，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝________.图2213【解析】 由三角形法则可知 DC →＝AC →－AD → ＝(AB →＋BC →)－AD → ＝a ＋c －b . 【答案】 a ＋c －b5．如图2214所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .图2214(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 【解】 (1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 若a ＋b 与a －b 所在直线垂直，则AC ⊥BD .又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为菱形，即应满足|a |＝|b |. (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形，∴a⊥b ， ∴当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能，∵▱ABCD 的两条对角线不可能平行，∴a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十六) 向量的减法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →的结论正确的是________． ①AB →；②BA →；③CD →；④DC →. 【解析】 ∵AC →－AD →＝DC →， 又ABCD 为平行四边形， ∴DC →＝AB →. ∴①④正确． 【答案】 ①④2．已知两向量a 和b ，如果a 的方向与b 的方向垂直，那么|a ＋b |________|a －b |.(填写“＝”“≤”或“≥”)【解析】 以a ，b 为邻边的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知 |a ＋b |＝|a －b |.【答案】 ＝3．化简下列向量式，结果为0的个数是________．①RS →－RT →＋ST →；②BD →＋DC →＋AB →－AC →；③AB →－AC →－CB →；④AB →＋BC →－AC →.【导学号：06460047】【解析】 ①RS →－RT →＋ST →＝0. ②BD →＋DC →＋AB →－AC →＝BC →＋CB →＝0. ③AB →－(AC →＋CB →)＝0. ④AB →＋BC →－AC →＝0. 【答案】 44．如图2215所示，在正方形ABCD 中，已知AB →＝a ，BC →＝b ，OD →＝c ，则图中能表示a －b ＋c 的向量是________．图2215【解析】 由已知得a －b ＝AB →－AD →＝DB →，c ＝OD →，∴a －b ＋c ＝DB →＋OD →＝OB →. 【答案】 OB →5．(2016·南通高一检测)如图2216，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，若用a ，b 表示向量BC →，则BC →＝________.图2216【解析】 BC →＝OC →－OB →＝AO →－OB →＝－OA →－OB → ＝－a －b . 【答案】 －a －b6．已知|a |＝7，|b |＝2，若a∥b ，则|a －b |＝________.【解析】 ∵a∥b ，当a 与b 同向时，|a －b |＝|7－2|＝5，当a 与b 反向时，|a －b |＝|7＋2|＝9.【答案】 5或97．下列四个式子，不能化简为AD →的序号是________．①(AB →＋CD →)－CB →；②(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)；③OC →－OA →＋CD →；④MB →＋AD →－BM →.【解析】 ①原式＝AB →＋(CD →－CB →)＝AB →＋BD →＝AD →；②原式＝AD →＋BC →－(BM →＋MC →)＝AD →＋BC →－BC →＝AD →；③原式＝AC →＋CD →＝AD →；④原式＝MB →＋AD →＋MB →≠AD →，∴只有④不能化为AD →.【答案】 ④8．(2016·南京高一检测)如图2217，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列各式不．正确的是________．图2217①AD →＋BE →＋CF →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝0；③AD →＋CE →－CF →＝0；④BD →－BE →－FC →＝0.【解析】 ①AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝－BD →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝(BD →＋DF →)－CE →＝BF →－CE →≠0；③AD →＋CE →－CF →＝AD →＋(CE →－CF →)＝AD →＋FE →≠0；④BD →－BE →－FC →＝(BD →－BE →)－FC →＝ED →－FC →＝ED →＋CF →≠0.【答案】 ②③④二、解答题9．如图2218，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作a －b ＋a .图2218【解】 作法：作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b .如图所示：作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .10．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．【解】由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，如图，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3. [能力提升]1．如图2219，在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →，则OD →＝________.图2219【解析】 因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，所以BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，所以OD →＝OA→＋AD →＝a ＋c －b .【答案】 a ＋c －b2．(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 如图．∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 的中点，∴AC →＝AD →＋AB →＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 【答案】 433．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．【解析】 如图所示，|AB →－BC →|＝|AB →＋BC ′→|＝|AC ′→|，又|AB →|＝1，|BC ′→|＝1，∠ABC ′＝120°，∴在△ABC ′中，|AC ′→|＝2|AB →|cos 30°＝ 3.【答案】 34．已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求|a ＋b ||a －b |.【解】 设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴BA ＝OA ＝OB ，∴△OAB 为正三角形．设其边长为1，则|a －b |＝|BA →|＝1，|a ＋b |＝2×32＝3， ∴|a ＋b ||a －b |＝31＝ 3.。
2020-2021学年苏教版必修4 2.2.2 向量的减法 教案
2.2.1向量的加法（教学设计）一、学习目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力。
3、通过向量的运算和熟悉的数学运算进行类比，使学生掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算，渗透类比的数学方法。
二、学习重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量。
难点：理解向量加法的定义和几何意义。
三、教法、学法教法：本着“以教师为主导，以学生为主体，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法．通过创设问题情境，使学生对向量加法有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。
采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提高教学质量。
四、学习过程 （一）知识储备 1、向量的有关概念（1）零向量的方向是___________，规定_________________。
（2）相等向量应满足__________________________________。
相反向量应满足___________________________________。
（3）共线向量是指____________________________________。
2、平行四边形对边____________________________________。
（二）自主先学 1、向量加法的定义已知向量a 和b ,在平面内任取一点o ，作,OA a AB b ==,则向量OB 叫做a 与b 的_____,记作_________,即a b OA AB OB +=+=. 如下图，分别作出a 与b 的和(1) （2） (3) （4）向量的加法：求两个向量____的运算叫做向量的加法。
高中数学《向量的线性运算》学案2 苏教版必修4
向量的减法一、课题：向量的减法二、学习目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；3．能用向量运算解决一些具体问题。
三、学习重、难点：向量减法的定义。
四、学习过程：（一）复习：1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算。
（二）新课讲解： 1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a - 。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：()a a --= ；()()0a a a a +-=-+= ． 2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
表示()a b a b -=+- ． 3．向量减法的法则： 已知如图有a ，b ，求作a b - ． （1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则BA a b =- ． 说明：a b - 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）． （2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =- ， 则BA BO OA a b =+=- ． 思考：若//a b ，怎样作出a b - ？4．例题分析： 例1 试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+ ． 证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。
（2）当a ，b 均不为零向量时： ①a ，b ，即//a b 时，当a ，b 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+ ； 当，b 异向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+ ． ②a ，b 不共线时，在ABC ∆中，||||||AB BC -< ||AC < ||||AB BC + ， 则有||||||||||||a b a b a b -<+<+ ． ∴||||||||||||a b a b a b -≤+≤+ 其中： 当a ，b 同向时，||||||a b a b +=+ ， 当a ，b 同向时，||||||||a b a b -=+ ． 例2 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。
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向量的加法
重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 难点：向量加法的交换律与结合律的推导。
向量的减法
重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系。
难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义。
向量的加法
一、向量加法的定义及运算法则
1. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
其中0,()()0a a a a a a +=+-=-+=。
2. 向量加法的运算法则
（1）三角形法则：如图1，已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则向量叫做a 与b 的和，记做a ＋b ，即a ＋b ＝＋＝。
图1
（2）平行四边形法则：
把向量a ，b 平移到同一点O ，如图2，作出平行四边形，则a ＋b ＝。
图2
【核心归纳】
准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 （1）两个法则的使用条件不同
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和，但是在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三角形法
则和它的平行四边形法则都应该熟练掌握。
（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的。
（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同。
二、向量加法的运算律
（1）交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
（2）结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）。
【核心突破】
（1）两个向量的和仍然是一个向量。
（2）当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且a b a b <＋＋。
（3）特殊位置关系的两向量的和
①向量a 与b 同向，则a ＋b 与a 、b 方向相同，则a b a b =＋＋； ②向量a 与b 反向，若a ＋b 与b 方向相同，则a b b a =-＋。
（4）向量加法广泛应用于力的合成、速度的合成等。
示例：在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，试判断四边形的形状。
思路分析：要结合图形中的三角形运用加、减法的法则。
答案：如图所示
由向量加法的三角形法则得AC AD DC
=+AC AB AD AB DC =+∴=
即AB ∥DC ，且AB DC =∴四边形ABCD 是平行四边形。
技巧点拨：
如果再添上AB AD =，那么四边形ABCD 是菱形；如果AB AD 和垂直，那么四边形ABCD 是矩形。
向量的减法
一、向量的减法定义
如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a b -，求两个向量差的运算叫做向量的减法。
【要点诠释】
向量的减法是向量的加法的逆运算，利用相反向量的定义，AB BA -=，就可以把减法转化为加法。
二、向量减法的运算法则——三角形法则
在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA BO OA OB OA a b =+=-+=-，
即a b -表示从减向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量。
【要点诠释】
1. 向量的减法运算与向量的加法运算可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
2. 以向量,AB a AD b ==为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线AC a b =+，
BD b a =-，DB a b =-。
向量的加法
例题1 （向量加法的化简与运算） 化简或运算：
如图所示，梯形ABCD＝8＝10+
思路分析：利用三角形法则，先求和向量，再求模。
答案：如图所示，作CE＝DA，
则BC＋DA＝BC＋CE＝BE，
+
＝10－8＝2。
技巧点拨：
求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则，求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连。
例题2 （向量加法在平面几何中的应用）
如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO＝OC，DO＝OB。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
思路分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只需证明AD＝BC，且A，B，C，D 不在一条直线上即可。
答案：由向量的加法法则，知：
又AO＝OC，∴AD＝BC，
∵A，B，C，D不在一条直线上，
∴A D与BC平行且相等，
∴四边形ABCD是平行四边形。
技巧点拨：
利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题。
向量的减法
例题1（已知向量作和（差）向量）
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c。
思路分析：先将a，b首尾相连，作出a＋b，然后根据向量减法的定义作a＋b与c的差向量。
答案：
作法一如图（1）所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c；
作法二如图（2）所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，过点B作CB＝c，则OC＝a＋b－c。
【重要提示】
1. 求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用。
2. 求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量。
3. 作图时一定要注意箭头的方向。
例题2 （向量加减法的基本运算）
化简：（AB－CD）－（AC－BD）。
思路分析：思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如AB＝OB－OA等。
答案：
方法一（利用相反向量）
方法二（利用向量减法的几何意义）
方法三（利用AB＝OB－OA）
设O是平面内任意一点，则
技巧点拨：
1. 向量减法运算的常用方法：
2. 注意在满足下列两种形式的情况下可以化简：
（1）首尾相连且为和；
（2）起点相同且为差。
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用。
向量的加法
忽视零向量与数0的区别致误
化简＋＋。
【错解】＋＋＝＋＝。
【错因分析】错解的原因是混淆了数0和零向量这两个不同的概念，结果应为零向量。
【防范措施】向量相加或相减，其结果仍然是向量，注意与0的不同。
【正解】＋＋＝＋＝。
向量的减法
利用“形”解决向量的模的求值问题
已知非零向量a，b满足|a|＋1，|b|－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值。
思路分析：解答本题可先由|a|，|b|及|a－b|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a＋b|的值。
答案：如图，OA＝a，OB＝b，则BA＝|a－b|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则OC＝|a＋b|，由于＋1）2＋－1）2＝42.故
2
OA＋2
OB＝2
BA，所以△AOB
是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有OC＝BA＝4，即|a＋b|＝4。
技巧点拨：
向量在平面几何中的应用一般有两种题型：
（1）以平面几何为背景的向量计算、证明问题；
（2）利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用。
解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化。