第二讲 平面向量的解题技巧
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧解决初中数学解题困扰的利器——掌握平面向量的运算技巧数学是一门抽象而又具有挑战性的学科，而初中数学的学习过程中，解题往往是困扰很多学生的难题。
然而，要解决这个问题并不难，只需要掌握好平面向量的运算技巧，就能在解答数学题目时游刃有余。
本文将为大家介绍平面向量的基本概念以及运算规则，希望对解决初中数学解题困扰有所帮助。
一、平面向量的基本概念在解决初中数学问题时，我们常常需要用到平面向量。
平面向量是指能够用有向线段来表示，具有大小和方向的量。
一个平面向量通常用字母加箭头来表示，例如：→AB，其中A、B为平面上的点。
有了这个基本概念，我们就可以更好地理解和应用平面向量来解决数学问题。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法是我们在解决数学问题中常常用到的基本运算。
其规则如下：1. 平面向量的加法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的和记作→AB + →CD。
要求得这两个向量的和，只需要将它们的对应分量分别相加即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的和为→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 平面向量的减法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的差记作→AB - →CD。
要求得这两个向量的差，只需要将它们的对应分量分别相减即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的差为→AB - →CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
通过掌握平面向量的加法和减法规则，我们能够更有效地解决初中数学解题过程中的运算问题。
三、平面向量的数量积和向量积除了加法和减法，平面向量还有两个重要的运算：数量积和向量积。
它们在解决数学问题中具有重要作用。
1. 数量积：数量积又称点积，它是两个向量的乘积。
计算数量积的公式为：→AB · →CD = AB·CD·cosθ，其中AB和CD分别为两个向量的模长，θ为它们之间的夹角。
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧和方法平面向量高中数学经典解题技巧:平面向量一、向量的有关概念及运算解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点:(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
(2)正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻(3)用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
a=(m,n)bp,q),(例1:(2010?山东高考理科?,12)定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的，，ab,,mqnp令?，下面说法错误的是( ),abababba,0A.若与共线，则? B.??2222)，,,()abab,(),a,(ab)bab,RC.对任意的,，有?? D. (?【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.,,,mqnp0ababba,,pnqma【规范解答】选B，若与共线，则有?，故A正确;因为? ,，而?,b,,mqnpabba，所以有?? ，故选项B错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策:解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性二、与平面向量数量积有关的问题解题技巧:与平面向量数量积有关的问题ababxxyyab,,,,，,00,其中、1(解决垂直问题:均为非零向量。
这一条件不能忽视。
1212222AxyBxyABxxyy(,),(,),||()()则,,，,||aaa,2(求长度问题:，特别地。
112212123(求夹角问题:求两非零向量夹角的依据abxxyy，1212cos(,).ab,, 2222||||abxyxy，，1122uuuruuurABAC,例2:1.(2010?湖南高考理科?,4)在RtABC,中，，C=90?AC=4，则等于( )A、-16B、-8C、8D、16 【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理. 【思路点拨】由于，C=90，因此选向量CA，CB为基底.uuuruuur2ABAC,【规范解答】选D .=(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离(长度).ccabab2. (2010?广东高考文科?,5)若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)?=30，则x= ( )A(6 B(5 C(4 D(3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.8ab,【思路点拨】先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.(8)(6,3)(3,)abcx,,,,,,,8(1,1)(2,5)(6,3)8ab,【规范解答】选C. ，所以x,4,3018330，,xC. 即:，解得: ，故选.三、向量与三角函数的综合例3(在直角坐标系, xOy中,已知向量a,(,1,2),又点A(8,0),B(ksin,t)(0,,.t,R).,,2AB,a,且|OA|,|AB|,求向量OB (I)若;k,4,且tsin,取最大值为4时,求OA,OB.AB与向量a (II)若向量共线，当AB,(ksin,,8,t),？AB,a,？,ksin,，8，2t,0【解析】(1) …………2分22？|OA|,|AB|,？64,(ksin,,8)，t又,,4016540165，,,,kksinsin,,,,,,55,或解得 (4)分 ,,8585,,tt,,,,,55,,4016585，4016585,或…………6分？,OB(,)OB,,(,)5555AB与向量a共线,？t,,2ksin,，16 (II) ………………8分4322 tsin(2ksin16)sin2k(sin)？,,,,，,,,,,，kk4432 …………10分又k4,01,sin时,tsin取最大值为,？,,？,,,kkk32, 由,4,得k,8,此时,,OB,(4,8),k6,,,,OAOB(8,0)(4,8)32 ………………12分注:向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。
掌握初中数学中的平面向量解题技巧
掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。
在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。
一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。
在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。
每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。
2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。
通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。
这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。
二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。
这种技巧在解决几何问题时尤为常见。
2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。
这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。
3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。
这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。
三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。
根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。
2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。
这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。
高中数学第二讲 平面向量的解题技巧
2008年高中数学第二讲 平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( )（A ）21+- （B ） BA BC 21--（C ） BA BC 21- （D ）BA BC 21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：21+-=+=，故选A.例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（2006年天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θc o s __．命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅==⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选 D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（2007年湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．例10．（2007年广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=，∴sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（2007年山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =，5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=． 又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （2006年湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。
平面向量知识点学习技巧
平面向量知识点学习技巧平面向量是数学中的重要概念，它在解决几何问题和代数运算中都起到了重要的作用。
掌握平面向量的知识点对于学生来说至关重要，因此在学习过程中，合理的学习技巧和方法十分必要。
本文将介绍一些平面向量的基本知识点，并结合实际学习经验，分享一些学习平面向量的技巧。
一、平面向量的基本概念和性质1. 平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。
通常用字母加上→来表示一个平面向量，如AB→表示由点A指向点B的平面向量。
平面向量还可以用坐标表示，比如AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是点A和点B的坐标。
2. 平面向量的运算法则平面向量的运算包括加法、减法和数乘。
加法运算满足平行四边形法则，即若有两个平面向量AB→和AC→，则它们的和等于AD→，其中D是平行四边形ABCD的对角线交点。
减法运算即加法的逆运算，即AB→ - AC→ = AB→ + (-AC→)。
数乘运算即将一个平面向量乘以一个实数，如kAB→ = k(x2 - x1,y2 - y1) = (kx2 - kx1, ky2 - ky1)。
3. 平面向量的数量积和向量积数量积又称点积或内积，用来衡量两个向量之间的夹角和方向关系。
它的计算公式为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ为AB→和AC→之间的夹角。
向量积又称叉积或外积，其结果为一个向量，用来衡量两个向量之间的平行关系和面积大小。
计算公式为AB×AC = |AB| |AC| sinθ n，其中θ为AB→和AC→之间的夹角，n为单位向量。
二、学习平面向量的技巧1. 深刻理解基本概念在学习平面向量的过程中，首先要对平面向量的定义和表示方法有一个深刻的理解，这对于后续的学习非常重要。
要善于画图，通过图示化的方法来理解和表示平面向量，可以更清晰地把握其概念和性质。
2. 熟练掌握运算法则平面向量的运算是学习的重点和难点之一。
平面向量解题方法完全归纳与总结
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1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
平面向量几何法解题技巧
平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。
本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。
一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。
它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。
向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。
模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。
两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。
2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。
向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。
3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。
公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。
高中数学平面向量及其应用的解题技巧
高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。
一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。
向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。
二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。
解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。
2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。
例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。
解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。
3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。
解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。
三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。
解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。
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π 3 cos 2 的最大 4
，B，C 的对边分别为 a，b，c ， 解： （Ⅰ）设 △ ABC 中角 A
2
4 2 4 4
例 3． （2006 年广东卷）如图 1 所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD ( ) （A） BC 1 BA （B） BC 1 BA
2
2
（C） BC 1 BA
2
（D） BC 1 BA
2
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解： CD CB BD BC 1 BA ，故选 A.
2 x 3 1 x 1, 得 b 1, 2 . 2y 3 1 y 2.
a b 3 1 3 2 3 10 cos a, b . 2 2 2 2 10 ab 3 3 1 2
故填
例 6.（2006 年湖北卷）已知向量 a
命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想 解题的能力.
1 2 2 x , x y 1, 解:设 b x, y ( x y) ，则依题意有 2 3 x y 3. y 3 . 2 故选 B. 例 7.设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 a2 a3 0 .如果向量 b1 、 b2 、 b3 ，满足 bi 2 ai ，且 ai 顺
（Ⅰ）求实数 m 的值; （Ⅱ）求函数 f ( x) 的最小值. 解： （Ⅰ） f ( x) a b m(1 sin x) cos x ， f
π π π m 1 sin cos 2 ，得 2 2 2
m 1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) sin x cos x 1
π π 2 sin x 1 ， 当 sin x 1时， 4 4
f ( x) 的最小值为 1 2 ．
例 9． （2007 年湖北卷理 16） 已知 △ ABC 的面积为 3 ，且满足 0 ≤ ABAC ≤ 6 ，设 AB 和 AC 的夹角为 ． （I）求 的取值范围； （II）求函数 f ( ) 2sin 2
则 b = （）
3,1 ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b 3 ，
3 10 . 10
3 1 （A） 2 ,2
1 3 （B） , 2 2
1 3 3 （C） , 4 4
（D） 1,0
1 7 例 4． ( 2006 年重庆卷)与向量 a = 7 , 1 , b , 的夹解相等，且模为 1 的向量是 ( )
2 2
4 3 (A) , 5 5 2 2 1 （C） 3 , 3 2 2 4 3 4 3 (B) , 或 , 5 5 5 5
命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法：∵ a1 a2 a3 0 ，∴ 2a1 2a2 2a3 0. 故把 2 ai (i=1,2,3)，分别按顺时针旋
时针旋转 30o 后与 bi 同向，其中 i 1, 2,3 ，则（
） （B） b1 b2 b3 0 （D） b1 b2 b3 0
（A） b1 b2 b3 0 （C） b1 b2 b3 0
2
2 2 1 或 2 2 1 （D） , , 3 3 3 3
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 4 3 4 3 c , 或 - , 时, c 1. 解：设所求平面向量为 c , 由 5 5 5 5 7 4 1 3 4 3 a c 1 2 5 2 5 c , 时, cos a , c . 2 2 2 2 5 5 a c 2 7 1 4 3 2 2 5 5 另一方面,当 7 4 1 3 4 3 a c 1 2 5 2 5 c , 时, cos a , c . 2 2 2 2 ac 2 5 5 7 1 4 3 2 2 5 5 当 7 1 1 7 的夹角相等.故选 B. 故平面向量 c 与向量 a = , ,b ,
由 sin 2 x
3π π 1，得 x 值的集合为 x x kπ ，k Z 4 8
π 2
例 2． （2007 年陕西卷文 17） 设函数 f ( x) a、b .其中向量 a (m, cos x), b (1 sin x,1), x R, 且f ( ) 2 .
转 30 后与 bi 重合，故 b1 b2 b3 0 ，应选 D.
巧妙解法：令 a1 = 0 ，则 a2 = a3 ，由题意知 b2 = b3 ，从而排除 B，C，同理排除 A，故选(D).
点评：巧妙解法巧在取 a1 = 0 ，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来 解决. 2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合 (1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而 综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的 双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解. (2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度 大. 例 8． （2007 年陕西卷理 17.）设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈ R,且函数 y=f(x)的图象经过点 ,2 ， 4 （Ⅰ）求实数 m 的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 解： （Ⅰ） f ( x) a b m(1 sin 2 x) cos 2 x ， 由已知 f
第二讲
平面向量的解题技巧
【命题趋向】 由 2007 年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空 题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三 角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关 问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转 化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度 和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例 1 （ 2007 年 北 京 卷 理 ） 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， D 为 BC 边 中 点 ， 且 ） 2OA OB OC0 ，那么（ Ａ． AO OD Ｂ． AO 2OD Ｃ． AO 3OD Ｄ． 2 AO OD 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 2OA OB OC 2OA (DB OD) (DC OD) = 0, DB DC,2OA 2OD 0, AO OD. 故选 A． 例 2（ ．2006 年安徽卷） 在 ABCD 中， M 为 BC 的中点， 则 MN ______. AB a, AD b, AN 3NC ， （用 a、 b 表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解： 所以, MN 3 (a b) (a 1 b) 1 a 1 b . 由AN 3NC得4 AN 3AC=3(a b) ，AM a 1 b ，
π π π m 1 sin cos 2 ，得 m 1 ． 2 2 4 π ， 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 sin 2 x
π 当 sin 2 x 1时， f ( x) 的最小值为 1 2 ， 4
2 2
2 2
例 5． （2006 年天津卷）设向量 a 与 b 的夹角为 ，且 a os __． (3,3) ，2b a (1,1) ，则 c
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量 积处理有关角度的问题. 解: 设b x, y ,由2b a 2 x, y 3,3 2 x 3, 2 y 3 1,1 .