平面向量解题大全

平面向量解题大全考查内容：平面向量的线性运算，基本定理，坐标表示，数量积。

补充内容：特殊化策略、坐标法、函数建模在平面向量中的应用。

1、设向量)0,1(=a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,21b ，则下列结论中正确的是（ C ） A 、b a = B 、22=⋅b a C 、b a -与b 垂直 D 、b a // 2、平面向量a 与b 的夹角为 60，()0,2=a ，1=b ，则=+b a 2（ B ）A 、3B 、23C 、4D 、123、平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于（ C ）A 、222)(b a b a ⋅-B 、222)(b a b a ⋅+C 、222)(21b a b a ⋅- D 、222)(21b a b a ⋅+ 4、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ A ）A 、49-B 、43-C 、43D 、495、如图，设,P Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+，AC AB AQ 4132+=， 则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为（ B ）A 、15B 、45C 、14D 、13解析图：解析：如图，设25AM AB =，15AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则 知//NP AB，所以51==∆∆S S ABC ABP ，同理可得41=∆∆ABC ABQ S S ，故54=∆∆ABQ ABP S S 。

6、已知P N O ,,在ABC ∆所在平面内，且==，=++， 且⋅=⋅=⋅，则点P N O ,,依次是ABC ∆的（ C ）A 、重心 外心 垂心B 、重心 外心 内心C 、外心 重心 垂心D 、外心 重心 内心7、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ C ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心8、已知O 是ABC ∆所在平面内一点，满足OA OB OB OC ⋅=⋅=OC OA ⋅，则点O 是ABC ∆的（ D ）A 、三个内角的角平分线的交点B 、三条边的垂直平分线的交点C 、三条中线的交点D 、三条高的交点9、已知O 是平面内的一个点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足[)+∞∈⎫⎛+=,0,λλOA OP ，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ B ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心10、已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m-+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ D ） A 、(,5][5,)-∞-+∞ B 、(,25][25,)-∞+∞ C 、[]25,25- D 、[]5,5-11、在ABC ∆中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋅833,83，其面积163=S ，则向量与向量夹角的取值范围是（ A ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππB 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππC 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππD 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,6ππ 12、设两个向量()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=ααλλsin 2,,cos ,222m m ，其中R m ∈αλ,,。

若b a 2=，则m λ的取值范围是（ A ）A 、]1,6[-B 、]8,4[C 、]1,(-∞D 、]6,1[-13、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E O ,是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 。

若=，=，则AF = 。

（用,表示） 答案：3132+ 14、设C B A ,,为圆122=+y x 上三个不同的点，O 为坐标原点，已知0=⋅OB OA ， 且存在R ∈μλ,，使得μλ+=，则=+22μλ 。

解析：将OB OA OC μλ+=两边同时平方即可，得122=+μλ。

15、（特殊化策略）在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线l 分别交直线AC AB ,于不同的两点N M ,，若n m ==,，则=+n m 。

答案：2。

解析：本题采用特殊化策略，当点M 与点B 重合时，点N 与点C 也重合，于是可以确定1==n m ，进而求解。

16、（特殊化策略）在ABC ∆中，点E 是中线AD 上一点，MN 经过点E ，与边AC AB ,分别交于N M ,。

若AN n AC AM m AB ==,，且5=+n m ，λ=， 则实数=λ 。

答案：5217、（特殊化策略）已知Q P ,分别是OAB ∆边OB OA ,上的点，且PQ 过OAB ∆的重心G ，若),(,,,R n m n OQ m OP OB OA ∈====，则=+nm 11 。

答案：3解析：本题采用特殊化策略，将OAB ∆视为等边三角形，由于点G 为OAB ∆的重心，且PQ 过点G ，所以32==n m ，进而求解。

18、（特殊化策略）设点P 为ABC ∆的重心，若4,2==AC AB ，则=⋅ 。

解析：本题可采用特殊化策略，设ABC Rt ∆， 90=∠B ，则答案为4。

19、（特殊化策略）设ABC ∆的外接圆的圆心为点O ，两边上的高的交点为H ，且点O ，H 满足OH =()m OA OB OC ++，则实数m = 。

解析：本题可采用特殊化策略，当ABC ∆为Rt ∆时，不妨设90C =，则O 是AB 的中点，H 是直角顶点C ，有OH OC OA OB OC ==++，∴1m =。

20、（特殊化策略）若点O 是ABC ∆的外心，点'O 是ABC ∆三边中点F E D ,,所构成的DEF ∆的外心，且'()OO m OA OB OC =++，则m = 。

解析：可采用特殊化策略，设ABC ∆为直角三角形，可得12m =。

21、（特殊化策略）在平行四边形ABCD 中，AE 41,31==，CE 与BF 相交于点G ，若b AD a AB ==,，则= 。

（用b a ,表示） 答案：7173+= 解析：本题采用特殊化策略，将平行四边形ABCD 视为边长为12的正方形，并建立平面直角坐标系，确定点G 坐标，进而求解。

22、（线性运算）在ABC ∆中，设==,，R Q P ,,三点在ABC ∆内部，且AP 中点为Q ，BQ 中点为R ，CR 中点为P ，若b n a m AP +=，则=+n m 。

答案：76 23、（数量积问题）已知平面上三点C B A ,,满足2AB =，1BC =，3CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 。

答案：4-24、（线性运算与数量积）在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2==AC AB ，D 为BC 边上的点，且0=⋅BC AD ，若EB CE 3=，则AE AC AB ⋅+)(= 。

答案：225、（线性运算与数量积）如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，BD BC 3=，1AD =，则AC AD ⋅= 。

25、26、答案：3 26、（线性运算与数量积）如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒== 是边BC 上一点，2,DC BD =，则=⋅BC AD 。

答案：38- 27、（坐标法与数量积）如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==BD AC ， 则=⋅AC AD 。

答案：3解析：令AB a =，AD b =，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩， 所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=。

28、（坐标法与数量积）在平行四边形ABCD 中，N M ,分别为BC CD ,的中点，()()1,3,2,1==，则=⋅ 。

答案：310 解析：设()()()()2,26,2,6,0,,0,0B B B x D x C x B A --，则通过M 点的横坐标可计算出310=B x ，从而确定=⋅AM 的值。

29、（坐标法与数量积）在AOB Rt ∆中，3,2,90===∠OB OA AOB ，若21,31==，AD 与BC 相交于点M ，则=⋅OM 。

答案：514 解析：本题采用坐标法，通过联立直线方程确定点M 坐标，进而求解。

30、在四边形ABCD 中，)1,1(==DC AB ，113BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是 。

答案：331、设点O 为ABC ∆的外心，12,3,2=+==y x AC AB ，若)0(≠+=xy y x ， 则=∠BAC cos 。

答案：43,32 解析：⎪⎩⎪⎨⎧+∠=∠+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅y BAC x BAC y x AC AC y AC AB x AC AO AB AC y AB AB x AB AO 9cos 629cos 642，联立12=+y x ， 令BAC t ∠=cos ，且()1,1-∈t ，化简得，0617122=+-t t ，所以43,3221==t t 。

32、如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 。

32、37、 答案：92-。

解析：本题可利用均值定理，求出()PA PB PC +⋅的最小值是92-。

33、过点()1,2P 的直线()21-=-x k y ，其中k 为常数，分别交y x ,轴的正半轴于B A ,两点，若μλ+=，其中O 为坐标原点，则μλ11+的最小值为 。

答案：4 解析：本题先建系，得到()k B k A 21,0,0,12-⎪⎭⎫ ⎝⎛-，再根据OB OA OP μλ+=，可以 得到()⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k 211122μλ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=k k k 211122μλ，最后由均值定理推出μλ11+的最小值为4。

34、（坐标法与线性运算、数量积）若等边ABC ∆的边长为23平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=,则MA MB ⋅= 。

答案：2-35、（特殊化策略与坐标法）在ABC ∆中，点P 为AB 上一点，CB CA CP 3132+=，Q 为BC 的中点，AQ 与CP 交于点M ，CP t CM =，则=t 。

答案：43 解析：本题采用特殊化策略，将ABC ∆视为等腰直角三角形，且3==CB CA ，以点C 为原点，建立平面直角坐标系，于是得到点Q P ,的坐标，再将直线CP AQ ,联立，确定出点⎪⎭⎫ ⎝⎛43,23M ，进而通过CP t CM =，确定出43=t 。

36、（特殊化策略与坐标法）在ABC ∆中，点E D ,分别在边AC AB ,上，且已知 DB AD 2=，EC AE 3=，CD 与BE 交于点F ，设y x +===,,，则实数对),(y x 为 。