平面向量解题大全

平面向量解题大全

考查内容：平面向量的线性运算，基本定理，坐标表示，数量积。

补充内容：特殊化策略、坐标法、函数建模在平面向量中的应用。

1、设向量)0,1(=a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,21b ，则下列结论中正确的是（ C ） A 、b a = B 、2

2=⋅b a C 、b a -与b 垂直 D 、b a // 2、平面向量a 与b 的夹角为 60，()0,2=a ，1=b ，则=+b a 2（ B ）

A 、3

B 、23

C 、4

D 、12

3、平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于（ C ）

A 、222)(b a b a ⋅-

B 、222)(b a b a ⋅+

C 、222)(2

1b a b a ⋅- D 、222)(21b a b a ⋅+ 4、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ A ）

A 、49-

B 、43-

C 、43

D 、49

5、如图，设,P Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+，AC AB AQ 4132+=， 则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为（ B ）

A 、15

B 、45

C 、14

D 、13

解析图：

解析：如图，设25AM AB =，15

AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则 知//NP AB

，所以5

1==∆∆S S ABC ABP ，同理可得41=∆∆ABC ABQ S S ，故54=∆∆ABQ ABP S S 。 6、已知P N O ,,在ABC ∆

所在平面内，且==，=++， 且⋅=⋅=⋅，则点P N O ,,依次是ABC ∆的（ C ）

A 、重心 外心 垂心

B 、重心 外心 内心

C 、外心 重心 垂心

D 、外心 重心 内心

7、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ C ）

A 、外心

B 、内心

C 、重心

D 、垂心

8、已知O 是ABC ∆所在平面内一点，满足OA OB OB OC ⋅=⋅=OC OA ⋅，则点O 是ABC ∆的（ D ）

A 、三个内角的角平分线的交点

B 、三条边的垂直平分线的交点

C 、三条中线的交点

D 、三条高的交点

9、已知O 是平面内的一个点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足

[)+∞∈⎫⎛+=,0,λλOA OP ，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ B ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心

10、已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m

-+=上存在点P 满足

0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ D ） A 、(,5][5,)-∞-+∞ B 、(,25][25,)-∞+∞ C 、[]25,25- D 、[]5,5-

11、在ABC ∆中，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈⋅833,83，其面积163=S ，则向量与向量夹角的取值范围是（ A ）

A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ

B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ

C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ

D 、⎥⎦

⎤⎢⎣⎡43,6ππ 12、设两个向量()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=-+=ααλλsin 2,,cos ,222m m ，其中R m ∈αλ,,。若b a 2=，则m λ

的取值范围是（ A ）

A 、]1,6[-

B 、]8,4[

C 、]1,(-∞

D 、]6,1[-

13、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E O ,是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 。若=，=，则AF = 。（用,表示） 答案：3

132+ 14、设C B A ,,为圆122=+y x 上三个不同的点，O 为坐标原点，已知0=⋅OB OA ， 且存在R ∈μλ,，使得μλ+=，则=+22μλ 。 解析：将OB OA OC μλ+=两边同时平方即可，得122=+μλ。

15、（特殊化策略）在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线l 分别交直线AC AB ,于不同的两点N M ,，若n m ==,，则=+n m 。 答案：2。解析：本题采用特殊化策略，当点M 与点B 重合时，点N 与点C 也重合，于是可以确定1==n m ，进而求解。

16、（特殊化策略）在ABC ∆中，点E 是中线AD 上一点，MN 经过点E ，与边AC AB ,分别交于N M ,。若AN n AC AM m AB ==,，且5=+n m ，λ=， 则实数=λ 。 答案：5

2

17、（特殊化策略）已知Q P ,分别是OAB ∆边OB OA ,上的点，且PQ 过OAB ∆的重心G ，若),(,,,R n m n OQ m OP OB OA ∈====，则

=+n

m 11 。 答案：3

解析：本题采用特殊化策略，将OAB ∆视为等边三角形，由于点G 为OAB ∆的重心，且PQ 过点G ，所以32==n m ，进而求解。 18、（特殊化策略）设点P 为ABC ∆的重心，若4,2==AC AB ，则=⋅ 。 解析：本题可采用特殊化策略，设ABC Rt ∆， 90=∠B ，则答案为4。

19、（特殊化策略）设ABC ∆的外接圆的圆心为点O ，两边上的高的交点为H ，且点O ，H 满足OH =()m OA OB OC ++，则实数m = 。 解析：本题可采用特殊化策略，当ABC ∆为Rt ∆时，不妨设90C =，则O 是AB 的中点，H 是直角顶点C ，有OH OC OA OB OC ==++，∴1m =。

20、（特殊化策略）若点O 是ABC ∆的外心，点'O 是ABC ∆三边中点F E D ,,所构成的DEF ∆的外心，且'()OO m OA OB OC =++，则m = 。 解析：可采用特殊化策略，设ABC ∆为直角三角形，可得12

m =。 21、（特殊化策略）在平行四边形ABCD 中，AE 4

1,31==，CE 与BF 相交于点G ，若b AD a AB ==,，则= 。（用b a ,表示） 答案：7

173+= 解析：本题采用特殊化策略，将平行四边形ABCD 视为边长为12的正方形，并建立平面直角坐标系，确定点G 坐标，进而求解。

22、（线性运算）在ABC ∆中，设==,，R Q P ,,三点在ABC ∆内部，且AP 中点为Q ，BQ 中点为R ，CR 中点为P ，若b n a m AP +=，则=+n m 。