专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题
二次函数背景下的特殊四边形存在性判定(解析版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定【方法综述】知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。
它们的判定方法如下：平行四边形的判定方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；矩形判的定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是矩形正方形的判定方法平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性解答时常用的技巧：（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。
如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得a+m=c+e，n+b=d+f则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。
（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。
（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。
【典例示范】类型一平行四边形的存在性探究例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．【答案】（1）y＝12x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋2－，（－2－2＋，（－4，4）.【思路引导】（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用抛物线的解析式表示出点M 的纵坐标，从而得到点M 到x 轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P 、Q 的坐标，然后求出PQ 的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x 的一元二次方程即可得解．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x -2），把B （0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=12， ∴抛物线的解析式为：y=12（x+4）（x -2），即y=12x 2+x -4； （2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为（m ，n ）， 则AD=m+4，MD=-n ，n=12m 2+m -4， ∴S=S △AMD +S 梯形DMBO -S △ABO =111(4)()(4)()44222m n n m +-+-+--⨯⨯= -2n -2m -8=-2×（12m 2+m -4）-2m -8=-m 2-4m =-（m+2）2+4（-4＜m ＜0）；∴S 最大值=4．（3）设P （x ，12x 2+x -4）． ①如图1，当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x -（12x 2+x -4）|=4，解得x=0，-4，-x=0不合题意，舍去．由此可得Q （-4，4）或（-2--2-；②如图2，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．故满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-，2-，（-2-．【方法总结】本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.针对训练1．如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E 的坐标．【答案】（1）（2）S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）【解析】 （1）∵A （﹣4，0）在二次函数y=ax 2﹣x+2（a≠0）的图象上， ∴0=16a+6+2，解得a=﹣， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣x 2﹣x+2； ∴点C 的坐标为（0，2），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则， 232(0)2y ax x a =-+≠122y x =+32--32-3212123204{2k b b=-+=解得，∴直线AC 的函数解析式为：；（2）∵点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D （m ，﹣m 2﹣m+2），过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则DH=﹣m 2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m ，∵四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，∴S=（m+4）×（﹣m 2﹣m+2）+（﹣m 2﹣m+2+2）×（﹣m ），化简，得S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）；（3）①若AC 为平行四边形的一边，则C 、E 到AF 的距离相等，∴|y E |=|y C |=2，∴y E =±2．当y E =2时，解方程﹣x 2﹣x+2=2得，x 1=0，x 2=﹣3，∴点E 的坐标为（﹣3，2）；当y E =﹣2时，解方程﹣x 2﹣x+2=﹣2得，x 1=，x 2=，∴点E 的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC 为平行四边形的一条对角线，则CE ∥AF ，∴y E =y C =2，∴点E 的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E 的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．1{22k b ==122y x =+123212321212321212321232123232-32-+32-32-32--32-+2．（云南省弥勒市2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线y =x 2−2x −3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2.（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F 点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）A(−1,0)，B(3,0)，y =−x −1。
二次函数专题提优》。特殊四边形存在性问题
二次函数专题提优》。
特殊四边形存在性问题二次函数专题提优：特殊四边形存在性问题一、平行四边形存在性原理：1.实验与探究：给出平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标，并归纳发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为（不必证明）。
2.运用与推广：在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，S，H，且c＞0.求当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形，并求出所有符合条件的P点坐标。
二、平行四边形的存在性问题：1.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，经过(-2,-5)和(5,-12)两点。
1）求此抛物线的解析式。
2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C 重合）。
若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标。
3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。
2.如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A(-3,0)、点B(1,0)，交y轴于点E(0,-3)，点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D。
1）求抛物线的函数表达式。
2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值。
3、在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形。
求点N的坐标。
解析：根据题意，可以得到以下条件：1.点A在抛物线上，坐标为（0，c）；2.点C在直线l上，坐标为（0，b）；3.点M在直线l上，坐标为（x，kx+b）；4.点N在抛物线上，坐标为（y，ay^2+by+c）。
二次函数背景下特殊四边形的存在性问题8.20定稿.doc
∴N（5﹣ ， ），
③以BD为边， 过M作MH⊥x轴于H， ∴在RT△BHM中MH2+BH2=BM2
即
1 (n 2)2 (n 4)2 12 2
∴
n1
4
25 5
n2
42 5 4
（不合题意舍去）
∴N（5+ ， ）
菱形的存在性问题
• 题目背景：此类题目考查的是二次函数的 综合应用，主要涉及了待定系数法求一次 函数、二次函数的解析式、勾股定理（解 直角三角形）以及菱形的性质。
①若以PQ为菱形对角线， 此时BQ=t，菱形的边长=t
因为BQ=CQ=t
t5 2
点Q为BC的中点，
Q( 3， 2) 2
∵ D2与点Q的横坐标相差t个单位 D2 (1， 2)
②若以CQ为菱形对角线，
此时BQ t菱形的边长 t CE 1 CQ 1 (5 t)
2
2
在R T △CE P中 c os
X
A
2
XC
,
YA
2
YC
)
又∵点E为BD的中点
∴E点的坐标为
(XB
2
XD
, YB
YD 2
)
∴ XA XC XB XD,,YA YC YB YD
即：平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标 之和分别相等
类型一：三点一动的平行四边形
(3)在抛物线 y x2 2x a(a＜0）上是否存在一点P，使 得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？
(∴综公∴1)P上由式m3=，(已得42满,，知-：足1∴条)-条.件1P+2件可0(的=4得3点+,抛mP物，53为线)P1∴；的(-表m4=,达-74)式，、yP∴=2(P41(,-54,7))、；
《二次函数专题提优》 ：特殊四边形存在性问题
《二次函数专题提优》：特殊四边形存在性问题（一）、平行四边形存在性原理：1、实验与探究：（1）、在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A B D，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(52)，，，；（2）、在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A B D，，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a b c d e f，，，，，的代数式表示）；归纳与发现:（3）、通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a bB c dC m nD e f，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e，，，之间的等量关系为；纵坐标b d n f，，，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广：（4）、在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c=---和三个点15192222G c c S c c⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c，（其中0c>）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G S H P，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．图1图2图3图4（二）、平行四边形的存在性问题：2、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线cbxaxy ++=2的对称轴是x=1,并且经过(−2,−5)和(5,−12)两点。
(1)、求此抛物线的解析式；(2)、设此抛物线与x轴交于A. B 两点(点A 在点B的左侧),与y轴交于C 点,D是线段BC上一点(不与点B. C重合)，若以B. O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；(3)、点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A. B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标3、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3,0），点B（1,0），交y轴于点E（0，-3），点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D. （1）、求抛物线的函数表达式；（2）、点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）、在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.A xB CDHEFGKO xylA B CDHEFGKOyl备用图图①4、如图,抛物线c bx ax y ++=2与直线y=21x −3交于A. B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(−4,−5)，点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D. (1)、求抛物线的解析式；(2)、以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。
专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题
专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题特殊四边形指：平行四边形、矩形、菱形、正方形预备知识：（一）、平行四边形的性质和判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形性质：①平行四边形两组对边分别;②平行四边形的两组对角分别;邻角③平行四边形的对角线:判定：①两组对边分别的四边形是平行四边形；②两组对边分别的四边形是平行四边形：③一组对边的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；提醒：虽然两组对角分别相等的四边形是平行四边形，但不能直接使用，还是要进行证明的（二）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
性质：具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①四个角都是直角；②对角线相等；③是轴对称图形，也是中心对称图形判定：①有一个角是直角的平行四边形：②对角线相等的平行四边形：③有三个角是直角的四边形：④对角线相等且互相平分的四边形（三）、菱形的性质和判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①四边相等：② 对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角：③是轴对称图形，也是中心对春的形判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.③四边相等的四边形是菱形.提醒：菱形的面积等于底乘以高，也等于对角线乘积的一半。
其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半。
（四）、正方形的性质和判定定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
性质：（1）它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等；两组对角相等、邻角互补：对角线互相平分（2）具有矩形的一切性质：四个角都是直角；对角线相等（3）具有菱形的一切性质：四条边相等：对角线互相垂直：每条对角线平分一组对角判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形：（3）对角线互相垂直的矩形是正方形：（4）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（先证菱形）；（5）对角线相等的菱形是正方形主要题型：（1）三定点一动点（容易题型，基本不考）：（2）两定点两动点；（3）一定点三动点金华真题：无题型一、两定点，两动点（方法：两圆一中垂）1 3例1、（2015/5/2 FI/ZZNWG）如图，抛物线广一—x?+二x+2与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点C,过点C作x轴的平行线交抛物线于点B,点D在线段OA上，且BD=BA,点P的坐标是（0, 3）,点Q从点D出发，沿D-B-C-O方向运动，点Q在线段DB上以每秒个单位的速度运动，当点Q在线段BC, CO上时，则以每秒1个单位的速度运动，到点0停止。
专题 二次函数与特殊四边形存在性问题(学生版)
专题30二次函数与特殊四边形存在性问题题型一二次函数与平行四边形存在性问题考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D C AB DC x x x x y y y y ⎧⎨⎩-=--=-，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A C B D A C B D x x x x y y y y ⎪++⎧⎪⎪⎨+==⎪⎩+，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D B A B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y ⎧⎧⎨⎨⎩⎩-=-+=+⇒-=-+=+2222A C B D A C D B A C D B A C BD x x x x x x x x y y y y y y y y ⎧⎪⎧⎪⎩++=+=++=+++=⇒⎨⎨⎪⎪⎩当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．1．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =，3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大，求出点P 的坐标；（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ，使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．（1）求抛物线H 的表达式；（2）如图，点Q 是抛物线H 的对称轴l 上的一个动点，在抛物线H 上，是否存在点P ，使得以点A ，P ，C ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于(3,0)A -与(1,0)B ，与直线(0)y kx k =≠交于点(2,3)C --．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E 是抛物线上(x 轴下方）的一个动点，过点E 作x 轴的平行线与直线OC 交于点F ，试判断在点E 运动过程中，以点O ，B ，E ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线2y ax x c =++与x 轴交于点(6,0)A ，(2,0)C -，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点为D ，对称轴交AB 于点E ，交x 轴于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 是直线CD 上一点，N 是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N ，使得以点B ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线314y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，C ，经过点C 的抛物线214y x bx c =++与直线314y x =+的另一个交点为点D ，点D 的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M 为抛物线上的动点，N 为x 轴上一点，当四边形CDMN 为平行四边形时，求点M 的坐标；题型二二次函数与菱形存在性问题7．在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于(0,3)C -点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，连接PO ，PC ，并把POC ∆沿CO 翻折，得到四边形POP C '，那么是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数3y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数23y x bx c =++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线228y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）点M 在y 轴上，点N 在直线AC 上，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ，使得以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于(3,0)A ，(1,0)B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b 、c 的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)3y a x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点8(0,3C -，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧．（1）求a 的值及点A ，B 的坐标；（2）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．题型三矩形存在性问题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y x x m -=-+⋅+>与x 轴交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）设直线12y x b =+与抛物线交于B ，G 两点，问是否存在点E （在抛物线上），点F （在抛物线的对称轴上），使得以B ，G ，E ，F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E ，F 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为直线2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q 的坐标．15．如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴，y 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，点C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，设E 为线段BC 中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180︒得到点N ，当以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和(1,0)C ，交y 轴于点(0,3)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）；（2）设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24y ax bx =+-交x 轴于(1,0)A -、(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为第四象限内抛物线上一点，连接PB ，过点C 作//CQ BP 交x 轴于点Q ，连接PQ ，求PBQ ∆面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线24y ax bx =+-向右平移经过点1(2，0)时，得到新抛物线2111y a x b x c =++，点E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F ，使得以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四正方形存在性问题19．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为(0,4)D ，AB =，设点(,0)F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线C '．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C '上的对应点P '，设M 是C 上的动点，N 是C '上的动点，试探究四边形PMP N '能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．20．如图，在正方形OABC中，4OC=，点D为边AB的中点，分别以OC、OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，DE CD⊥，交y轴与点E，连接CE．（1）求经过O、C、D三点的抛物线的表达式；（2）平移()l中的抛物线，使抛物线的顶点P始终在直线CD上，平移后的抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点M在y轴，点N在平面直角坐标系中，当以P、Q、M、N四点为顶点的四边形是正方形时，求此时M点坐标．21．如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE PC =时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF x ⊥轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．22．在平面直角坐标系中，抛物线213y x bx c =-++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线3944y x =+与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若(,0)M m 是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线顶点(1,4)P ，与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式．（2）若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过点M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E ．是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．24．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线22y ax x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，在（2）的条件下，直线CD 与AB 相交于点M ，点H 在抛物线上，过H 作//HK y 轴，交直线CD 于点K ．P 是平面内一点，当以点M ，H ，K ，P 为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P 的坐标．。
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(9上人教版)
专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题例．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），直线y x m =+与抛物线交于A 、C 两点．(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴平行线交AC 于E 点，当EP 最长时求此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点N ，使以,,,A B M N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA PC+值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练3】综合与实践如图，抛物线23y ax x c=++与x轴交于A，B两点（点A在点(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．类型二、菱形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点()30A ，和点(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由(1)求ABC 的面积；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，过点P 作PD y ∥轴交直线22PD CD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点与平移后的抛物线的交点，点M 为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点的一点，直接写出所有使得以点B E M N 、、、为顶点的四边形是菱形的点求其中一个点N 的坐标的求解过程写出来．类型三、矩形存在性问题例．已知抛物线()240y ax bx a =+-≠交x 轴于点()4,0A 和点()2,0B -，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标及PD PE +最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．(1)求点A、B、C的坐标；(2)将抛物线L向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l上是否存在点D，使得以点D的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；的面积为S，求S (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设PBC坐标；(3)已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．类型四、正方形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过,A B 两点，P 是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，若四边形AMPN 是正方形，求此正方形的面积．【变式训练1】如图，二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接BC ．点P 是抛物线第一象限内的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ．交BC 于点E ．过点P 作BC 的平行线，交y 轴于点M ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)在点P 的运动过程中，求使四边形CEPM 为菱形时，m 的值；(3)点N 为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM 上是否存在点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．课后训练1．如图1，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点P 的横坐标大1，过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求PM QN +的最大值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E ，使得以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P 的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于()4,0A ，()1,0B -两点，直线物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ．(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K 为线段AD 上一动点，过点K 作y 轴的平行线交抛物线于点求AHD 的最大面积；(3)若点M 是x 轴上的一动点，点N 是抛物线上一动点，当以点E 、B 的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点N 的坐标．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点(1,0)-，(3,0)和()0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当AN MN +有最大值时，求出抛物线上点M 的坐标；。
专题21二次函数与特殊四边形存在型问题(解析版)【苏科版】
2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题21二次函数与特殊四边形存在型问题【方法指导】【题型剖析】【类型1】二次函数与平行四边形存在型问题已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠经过点(3,7)A --，(3,5)B ，顶点为点E ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点C ．（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式．（2）在抛物线上A ，E 两点之间的部分（不包含A ，E 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCE S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【分析】（1）把点(3,7)A --，(3,5)B 的坐标分别代入一次函数表达式和二次函数表达式，即可得出直线AB 的解析式和抛物线的解析式；（2）设点2(,28)D m m m -++，分别用m 的代数式表示出DAC S ∆和DCE S ∆，再根据2DAC DCE S S ∆∆=列出方程，解方程即可得出点D 的坐标；（3）设点(,)P x y ，分三种情形讨论：①当AE 为对角线时；②当AP 为对角线时；③当PE 为对角线时，根据中点坐标公式求得点Q 的坐标，再根据点Q 在x 轴上，即可得出点P 的坐标． 【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为y kx m =+， 把点(3,7)A --，(3,5)B 代入，得7353k m k m -=-+⎧⎨=+⎩，解得：21k m =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为21y x =-，把点(3,7)A --，(3,5)B 代入抛物线28(0)y ax bx a =++≠， 得79385938a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为228y x x =-++．（2）2228(1)9y x x x =-++=--+，∴顶点(1,9)E ，设点2(,28)D m m m -++，(1,1)C ，过点D 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，则(,21)M m m -， 221(2821)42182DAC S m m m m ∆=⨯-++-+⨯=-+，18(1)442DCE S m m ∆=⨯⨯-=-，2DAC DCE S S ∆∆=22182(44)m m ∴-+=-， 解得1m =-或5m =（舍去），∴存在点(1,5)D -，使得2DAC DCE S S ∆∆=（3）(3,7)A --，(1,9)E ， 设点(,)P x y ，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论： ①当AE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为(2,2)x y ---， 点Q 在x 轴上， 2y ∴=，当2y =时，2282x x -++=，解得1x =+1x =∴点P 坐标为(1+2)或(1-，2)，②当AP 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为(4,16)x y --， 点Q 在x 轴上， 16y ∴=，当16y =时，22816x x -++=， 方程无解，舍去③当PE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为(4,16)x y ++， 点Q 在x 轴上， 16y ∴=-，当16y =-时，22816x x -++=-，解得6x =或4x =-∴点P 坐标为(6,16)-或(4,16)--，综上所述，点P 的坐标为(17+，2)或(17-，2)或(6,16)-或(4,16)--．【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数表达式，还考查了坐标系中三角形的面积计算，平行四边形性质以及分类讨论思想．合理的分类讨论来表示出点D 的坐标是解决（3）问的关键． 【变式训练】如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点(1,0)A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE ∆的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上，则(,0)B n -、(0,)C n ，点(1,0)A 在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-； ②先求出点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，于是2112)22)2222PBE S BE h t t t ∆==⨯-⨯=-+2t =时，PBE ∆的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设2(,65)N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证PQN ∆为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m=，Ⅱ．14N H HP +=，25(65)4m m m ---+-=解得1m =2m =，Ⅲ．24N H HP -=，2(65)[(5)]4mm m --+----=，解得1m =，2m ． 【解答】解：①点B 、C 在直线为y x n =+上， (,0)B n ∴-、(0,)C n ，点(1,0)A 在抛物线上， ∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪=-⎩， 1a ∴=-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-；②由题意，得， 4PB t=-，2BE t =，由①知，45OBC ∠=︒，∴点P 到BC 的高h为sin 45)2BP t ︒=-， 2112)22)22PBE S BEh t t t ∆∴==⨯-⨯=-+， 当2t =时，PBE ∆的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，∴点A 到直线BC 的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ， 设2(,65)N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证PQN ∆为等腰直角三角形，即NQ PQ == 4PN ∴=，Ⅰ．4NH HP +=，265(5)4m m m ∴-+---= 解得11m =，24m =，点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， 4m ∴=；Ⅱ．14N H HP +=，25(65)4m m m ∴---+-=解得1m =2m =， 点A 、M 、1N 、1Q 为顶点的四边形是平行四边形， 5m >，m ∴=， Ⅲ．24N H HP -=，2(65)[(5)]4m m m ∴--+----=，解得1m =2m =， 点A 、M 、2N 、2Q 为顶点的四边形是平行四边形， 0m <，52m ∴=，综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4．【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【类型2】二次函数与矩形存在型问题3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B -，且OB OC =． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且POB ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为4m +．点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E ． ①求DE 的最大值；②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形．【分析】（1）已知抛物线与x 轴两交点坐标，可设交点式(1)(3)y a x x =++；由3OC OB ==得(0,3)C -，代入交点式即求得1a =-．（2）由POB ACB ∠=∠联想到构造相似三角形，因为求点P 坐标一般会作x 轴垂线PH 得Rt POH ∆，故可过点A 在BC 边上作垂线AG ，构造ACG POH ∆∆∽．利用点A 、B 、C 坐标求得AG 、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出12PH AG OH CG ==．设点P 横坐标为p ，则OH 与PH 都能用p 表示，但需按P 横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p 表示OH 与PH 并代入2OH PH =计算即求得p 的值，进而求点P 坐标．（3）①用m 表示M 、N 横纵坐标，把m 当常数求直线MN 的解析式．设D 横坐标为d ，把x d =代入直线MN 解析式得点E 纵坐标，D 与E 纵坐标相减即得到用m 、d 表示的DE 的长，把m 当常数，对未知数d 进行配方，即得到当2d m =+时，DE 取得最大值．②由矩形MDNF 得MN DF =且MN 与DF 互相平分，所以E 为MN 中点，得到点D 、E 横坐标为2m +．由①得2d m =+时，4DE =，所以8MN =．用两点间距离公式用m 表示MN 的长，即列得方程求m 的值． 【解答】解：（1）抛物线与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B -∴设交点式(1)(3)y a x x =++3OC OB ==，点C 在y 轴负半轴(0,3)C ∴-把点C 代入抛物线解析式得：33a =- 1a ∴=-∴抛物线解析式为2(1)(3)43y x x x x =-++=---（2）如图1，过点A 作AG BC ⊥于点G ，过点P 作PH x ⊥轴于点H 90AGB AGC PHO ∴∠=∠=∠=︒ ACB POB ∠=∠ ACG POH ∴∆∆∽∴AG CGPH OH =∴AG PHCG OH=3OB OC ==，90BOC ∠=︒45ABC ∴∠=︒，BC ==ABG ∴∆是等腰直角三角形2AG BG AB ∴==CG BC BG ∴=-=∴12PH AG OH CG == 2OH PH ∴=设2(,43)P p p p ---①当3p <-或10p -<<时，点P 在点B 左侧或在AC 之间，横纵坐标均为负数 OH p ∴=-，22(43)43PH p p p p =----=++22(43)p p p ∴-=++解得：1p =2p =P ∴或 ②当31p -<<-或0p >时，点P 在AB 之间或在点C 右侧，横纵坐标异号22(43)p p p ∴=++ 解得：12p =-，232p =-(2,1)P ∴-或3(2-，3)4综上所述，点P 的坐标为、、(2,1)-或3(2-，3)4．（3）①如图2，4x m =+时，22(4)4(4)31235y m m m m =-+-+-=---2(,43)M m m m ∴---，2(4,1235)N m m m +--- 设直线MN 解析式为y kx n =+∴2243(4)1235km n m m k m n m m ⎧+=---⎨++=---⎩解得：22843k m n m m =--⎧⎨=+-⎩ ∴直线2:(28)43MN y m x m m =--++-设(D d ，243)(4)d d m d m ---<<+ //DE y 轴E D x x d ∴==，(E d ，2(28)43)m d m m --++-2222243[(28)43](24)4[(2)]4DE d d m d m m d m d m m d m ∴=------++-=-++--=--++∴当2d m =+时，DE 的最大值为4．②如图3，D 、F 关于点E 对称DE EF ∴=四边形MDNF 是矩形MN DF ∴=，且MN 与DF 互相平分12DE MN ∴=，E 为MN 中点422D E m m x x m ++∴===+ 由①得当2d m =+时，4DE = 28MN DE ∴==22222(4)[1235(43)]8m m m m m m ∴+-+-------= 解得：134m =--，234m =-+ m ∴的值为34--或34-+时，四边形MDNF 为矩形．【点评】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算．【变式训练】如图，抛物线223y x x =--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）点(,0)M m 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ，可得矩形PQNM ．如图，点P 在点Q 左边，试用含m 的式子表示矩形PQNM 的周长；（3）当矩形PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的AEM ∆的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若22FG DQ =，求点F 的坐标．【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A ，B ，C 的坐标； （2）先确定出抛物线对称轴，用m 表示出PM ，MN 即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m ，进而求出直线AC 解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N 应与原点重合，Q 点与C 点重合，求出2DQ DC ==2(3)(23)4n n n +---+=即可． 【解答】解：（1）由抛物线223y x x =--+可知，(0,3)C ． 令0y =，则2023x x =--+， 解得，3x =-或x l =， (3,0)A ∴-，(1,0)B ．（2）由抛物线223y x x =--+可知，对称轴为1x =-．(,0)M m ，223PM m m ∴=--+，(1)222MN m m =--⨯=--，∴矩形PMNQ 的周长222()(2322)2282PM MN m m m m m =+=--+--⨯=--+．（3）222822(2)10m m m --+=-++，∴矩形的周长最大时，2m =-．(3,0)A -，(0,3)C ，设直线AC 的解析式y kx b =+， ∴303k b b -+=⎧⎨=⎩解得k l =，3b =，∴解析式3y x =+，令2x =-，则1y =， (2,1)E ∴-，1EM ∴=，1AM =，1122S AM EM ∴=⨯=． （4）(2,0)M -，抛物线的对称轴为x l =-， N ∴应与原点重合，Q 点与C 点重合，DQ DC ∴=，把1x =-代入223y x x =--+，解得4y =， (1,4)D ∴-，DQ DC ∴== 2FG =，4FG ∴=．设2(,23)F n n n --+，则(,3)G n n +， 点G 在点F 的上方且4FG =，2(3)(23)4n n n ∴+---+=．解得4n =-或1n =， (4,5)F ∴--或(1,0)．【类型3】二次函数与菱形存在型问题【例3】如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的边BC 在x 轴上，90ABC ∠=︒，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)C ，交y 轴于点(0,3)E ，动点P 在对称轴上． （1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A B →方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD AB ⊥交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接AQ ，CQ ，当t 为何值时，ACQ ∆的面积最大？最大值是多少？（3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点P ，M ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点C 、E 的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）12ACQ S DQ BC ∆=⨯⨯，即可求解；（3）分EC 是菱形一条边、EC 是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点C 、E 的坐标代入二次函数表达式得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，故抛物线的解析式为：223y x x =-++， 则点(1,4)A ；（2）将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC 的表达式为：26y x =-+，点(1,4)P t -，则点2(2t D +，4)t -，设点2(2t Q +，24)4t -，21124ACQ S DQ BC t t ∆=⨯⨯=-+，104-<，故ACQ S ∆有最大值，当2t =时，其最大值为1； （3）设点(1,)P m ，点(,)M x y ， ①当EC 是菱形一条边时， 当点M 在点P 右方时，点E 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C ， 则点P 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M ， 则13x +=，3m y -=，而M P EP =得：2221(3)(1)()m x y m +-=-+-，解得：3y m =-=，故点M ； 当点M 在点P 左方时，同理可得：点(2,3M -+； ②当EC 是菱形一对角线时， 则EC 中点即为PM 中点， 则13x +=，3y m +=，而PE PC =，即221(3)4m m +-=+， 解得：1m =，故2x =，3312y m =-=-=， 故点(2,2)M ；综上，点M 或(2,3-+或(2,2)M ．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式训练】综合与探究如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，2OA =，6OC =，连接AC 和BC ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，当ACD ∆的周长最小时，点D 的坐标为 1(2，5)- ．（3）点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和BE ．求BCE ∆面积的最大值及此时点E 的坐标； （4）若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由2OA =，6OC =得到(2,0)A -，(0,6)C -，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）由点D 在抛物线对称轴上运动且A 、B 关于对称轴对称可得，AD BD =，所以当点C 、D 、B 在同一直线上时，ACD ∆周长最小．求直线BC 解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点D 纵坐标．（3）过点E 作EG x ⊥轴于点G ，交直线BC 与点F ，设点E 横坐标为t ，则能用t 表示EF 的长．BCE ∆面积拆分为BEF ∆与CEF ∆的和，以EF 为公共底计算可得12BCE S EF OB ∆=，把含t 的式子代入计算即得到BCE S ∆关于t 的二次函数，配方即求得最大值和t 的值，进而求得点E 坐标．（4）以AC 为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N 在坐标．【解答】解：（1）2OA =，6OC = (2,0)A ∴-，(0,6)C -抛物线2y x bx c =++过点A 、C ∴420006b c c -+=⎧⎨++=-⎩ 解得：16b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为26y x x =--（2）当0y =时，260x x --=，解得：12x =-，23x = (3,0)B ∴，抛物线对称轴为直线23122x -+==点D 在直线12x =上，点A 、B 关于直线12x =对称 12D x ∴=，AD BD = ∴当点B 、D 、C 在同一直线上时，ACD C AC AD CD AC BD CD AC BC ∆=++=++=+最小设直线BC 解析式为6y kx =- 360k ∴-=，解得：2k =∴直线:26BC y x =-12652D y ∴=⨯-=-1(2D ∴，5)-故答案为：1(2，5)-（3）过点E 作EG x ⊥轴于点G ，交直线BC 与点F 设(E t ，26)(03)t t t --<<，则(,26)F t t -2226(6)3EF t t t t t ∴=----=-+22111113327()3(3)()22222228BCE BEF CEF S S S EF BG EF OG EF BG OG EF OB t t t ∆∆∆∴=+=+=+==⨯-+=--+∴当32t =时，BCE ∆面积最大 23321()6224E y ∴=--=-∴点E 坐标为3(2，21)4-时，BCE ∆面积最大，最大值为278． （4）存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形． (2,0)A -，(0,6)C -AC ∴=①若AC 为菱形的边长，如图3，则//MN AC 且，MN AC ==1(2N ∴-，，2(2,N --，3(2,0)N②若AC 为菱形的对角线，如图4，则44//AN CM ，44AN CN = 设4(2,)N n -n ∴-解得：103n =- 410(2,)3N ∴--综上所述，点N 坐标为(2-，210)，(2,210)--，(2,0)，10(2,)3--．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程（组)的解法，菱形的性质，勾股定理．第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边AC 进行分类，再画图讨论计算．【类型4】二次函数与正方形存在型问题【例4】如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ． （1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE PC =时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF x ⊥轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出点E 的坐标，利用待定系数法得出直线BD 的解析式，利用PC PE =建立方程即可求出a 即可得出结论；（3）设出点M 的坐标，进而得出点G ，N 的坐标，利用FM MG =建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B -， ∴10930b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，∴23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =+-； (0,3)C ∴-，抛物线的顶点(1,4)D --， (1,0)E ∴-，设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∴304m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，∴26m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 的解析式为26y x =--，设点(,26)P a a --， (0,3)C -，(1,0)E -，根据勾股定理得，222(1)(26)PE a a =++--，222(263)PC a a =+--+， PC PE =，2222(1)(26)(263)a a a a ∴++--=+--+， 2a ∴=-，2(2)62y ∴=-⨯--=-， (2,2)P ∴--，（3）如图，作PF x ⊥轴于F ， (2,0)F ∴-，设(,0)M d ，2(,23)G d d d ∴+-，2(2,23)N d d -+-，以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM MG =，2|2||23|d d d ∴+=+-， 121d -±∴=或313d -±=， ∴点M 的坐标为121(2-+，0)，121(2--，0)，313(-+，0)，313(--，0)．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的顶点坐标，勾股定理，正方形的性质，解（2）的关键是用PC PE =建立方程求解，解（3）的关键是解绝对值方程，是一道中等难度的中考常考题．【变式训练】已知抛物线2(1)3(0)y a x a =-+≠与y 轴交于点(0,2)A ，顶点为B ，且对称轴1l 与x 轴交于点M （1）求a 的值，并写出点B 的坐标；（2）有一个动点P 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t 秒，求t 为何值时PA PB +最短；（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C ，且新抛物线的对称轴2l 与x 轴交于点N ，过点C 作//DE x 轴，分别交1l ，2l 于点D 、E ，若四边形MDEN 是正方形，求平移后抛物线的解析式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作点A 关于x 轴的对称点A '，连接BA '交x 轴于P ，点P 即为所求．（3）如图2中，设抛物线向右平移后的解析式为2()3y x m =--+．想办法用m 表示点C 的坐标，分两种情形，利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：（1）把(0,2)A 代入抛物线的解析式可得，23a =+， 1a ∴=-，∴抛物线的解析式为2(1)3y x =--+， ∴抛物线的顶点B 坐标为(1,3)．（2）如图1中，作点A 关于x 轴的对称点A '，连接BA '交x 轴于P ，点P 即为所求． (0,2)A '-，(1,3)B ，∴直线A B '的解析式为52y x =-，2(5P ∴，0)，21525t ∴==时，PA PB +最短（3）如图2中，设抛物线向右平移后的解析式为2()3y x m =--+．由22(1)3()3y x y x m ⎧=--+⎨=--+⎩，解得12m x +=， ∴点C 的横坐标12m +， 1MN m =-，四边形MDEN 是正方形，1(2m C +∴，1)m -， 把点C 的坐标代入2(1)3y x =--+， 得到2(1)134m m --=-+， 解得3m =或5-（舍弃），∴移后抛物线的解析式为2(3)3y x =--+．当点C 在x 轴下方时，1(2m C +，1)m -， 把点C 的坐标代入2(1)3y x =--+， 得到2(1)134m m --=-+， 解得7m =或1-（舍弃），∴移后抛物线的解析式为2(7)3y x =--+．【达标检测】1．如图，抛物线y ＝a （x +1）2+4（a ≠0）与x 轴交于A ，C 两点，与直线y ＝x ﹣1交于A ，B 两点，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线AB上方的抛物线上运动．①点P在什么位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标；②当点P与点C重合时，连接PE，将△PEB补成矩形，使△PEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先确定出点B的坐标，①设点P（m，﹣m2﹣2m+3），得出PG＝﹣m2﹣3m+4，利用三角形的面积公式建立函数关系式即可得出结论；②先确定出点E的坐标，进而判断出△BPE是直角三角形，即可作出图形，利用两直线的交点坐标的求法即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A是直线y＝x﹣1与x轴的交点，∴A（1，0），∵过点A（1，0）在y＝a（x+1）2+4，∴a（1+1）2+4＝0，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3（2）由题意知，，∴（是点A的纵横坐标）或，∴B（﹣4，﹣5），①如图，设点P（m，﹣m2﹣2m+3），过点P作PG∥y轴交AB于G，∴G（m，m﹣1），∴PG＝﹣m2﹣2m+3﹣（m﹣1）＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBG+S△P AG PG×（x A﹣x B|（﹣m2﹣3m+4）（1+4）（m）2，当m时，S△ABP最大，为，此时点P（，）；②方法1、由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴C（﹣3，0）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E在直线y＝x﹣1上，∴E（﹣1，﹣2），∵点P与点C重合，∴P（﹣3，0），∵B（﹣4，﹣5），∴PE2＝8，BE2＝18，BP2＝26，∴PE2+BE2＝BP2，∴△BPE是直角三角形，且∠BEP＝90°，∵C（﹣3，0），E（﹣1，﹣2），∴直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，∵△PEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，∴Ⅰ、作出如图1所示的矩形BECD（以BE为矩形的一边），∴AB∥CD，BD∥CE，∵B（﹣4，﹣5），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣9①，∵直线AB的解析式为y＝x﹣1，且AB∥CD，∴直线CD的解析式为y＝x+3②，联立①②解得，，∴D（﹣6，﹣3），即：矩形未知顶点的坐标（﹣6，﹣3）．Ⅱ、以BP为矩形的一边，如图1所示的矩形BD'F'P，∵P（﹣3，0），B（﹣4，﹣5），∴直线BP的解析式为y＝5x+15，∵D'F'∥BP，E（﹣1，﹣2），∴D'F'的解析式为y＝5x+3③，∵PF'⊥D'F'，且P（﹣3，0），∴PF'的解析式为y x④，联立③④解得，，∴F'（，），同理：D'（，）；方法2、Ⅰ、由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴C（﹣3，0）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E在直线y＝x﹣1上，∴E（﹣1，﹣2），∵四边形BDCE是矩形，∵C（﹣3，0），∴点C看作点E平移得到，向左平移2个单位，再向上平移2个单位，∴点D也是向左平移2个单位，再向上平移2个单位，且B（﹣4，﹣5），∴D（﹣6，﹣3），Ⅱ、以BP为矩形的一边，如图1所示的矩形BD'F'P，∵P（﹣3，0），B（﹣4，﹣5），∴直线BP的解析式为y＝5x+15，∵D'F'∥BP，E（﹣1，﹣2），∴D'F'的解析式为y＝5x+3③，∵PF'⊥D'F'，且P（﹣3，0），∴PF'的解析式为y x④，联立③④解得，，∴F'（，），同理：D'（，）；2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C．点B的坐标为（3，0）点C的坐标为（0，3），点C与点D关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD，PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得▱PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由；（3）点Q在y轴右侧抛物线上运动，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）把B点坐标、点C点坐标为代入抛物线y＝﹣x2+bx+c方程，即可求解；（2）存在．设点P（1，m），由k1k2＝﹣1，即可求解；（3）设点Q坐标为（t，﹣t2+2t+3），则：AQ所在的直线方程为：y＝（3﹣t）x+（3﹣t），△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，即：S四边形ACQB＝2S△ABQ，即可求解．【解答】解：（1）把B点坐标、点C点坐标为代入抛物线y＝﹣x2+bx+c方程，解得，抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3；点A坐标为（﹣1，0），点D坐标为（2，3），函数的对称轴为x＝1；（2）存在．设点P（1，m），设函数对称轴交x轴于点N，过点D作DM⊥PN于点M，则∠MDP＝∠BPN，则tan∠MDP＝tan∠BPN，即：，解得：m＝1或m＝2；则点P（1，1）或（1，2），则：PD或，则PB＝2或，tan∠BDN1或；（3）设点Q坐标为（t，﹣t2+2t+3），则：AQ所在的直线方程为：y＝（3﹣t）x+（3﹣t），如图所示，连接CA、QB，过点Q作x轴的垂线QN交x轴于N点，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，即：S四边形ACQB＝2S△ABQ，S四边形ACQB＝S梯形CONQ+S△AOC+S△BQN（﹣t2+2t+3+3）×t1×3（3﹣t）（﹣t2+2t+3），（﹣t2+3t+4），S△ABQ（3+1）（﹣t2+2t+3），∵S四边形ACQB＝2S△ABQ，化简得：5t2﹣7t﹣12＝0，解得：t＝﹣1或（舍去负值），当Q在x轴下方时，由△ACQ的面积与△ABQ的面积相等，可得：点Q坐标为（4，﹣5），则点Q坐标为（，）或（4，﹣5）．3．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P 是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P 点坐标；（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，解得，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵C（0，3），∴E（0，），∴点P的纵坐标，当y时，即﹣x2+2x+3，解得x1，x2（不合题意，舍），∴点P的坐标为（，）；（3）如图2，P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，解得．直线BC的解析为y＝﹣x+3，设点Q的坐标为（m，﹣m+3），PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，OA＝1，AB＝3﹣（﹣1）＝4，S四边形ABPC＝S△ABC+S△PCQ+S△PBQAB•OC PQ•OF PQ•FB4×3（﹣m2+3m）×3（m）2，当m时，四边形ABPC的面积最大．当m时，﹣m2+2m+3，即P点的坐标为（，）．当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线y＝x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x＝3上，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x＝3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．【分析】（1）利用待定系数法即可；（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3∵A、B在y＝x+1上∴A（﹣1，0），B（3，4）把A（﹣1，0），B（3，4）代入y＝﹣x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）①过点P作PE⊥x轴于点E．∵直线y＝x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）∴EQ＝4﹣3t，PE＝t∵∠PQE+∠NQC＝90°∠PQE+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积S＝PQ•NQ＝2PQ2∵PQ2＝PE2+EQ2∴S＝2（）2＝20t2﹣48t+32当t时，S最小＝20×（）2﹣4832②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）∴△PQE∽△QNC，可得NC＝2EQ＝8﹣6t∴N点坐标为（3，8﹣6t）由矩形对角线互相平分∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）当M在抛物线上时8﹣5t＝﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得t或当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t＝2当N在抛物线上时，8﹣6t＝4∴t综上所述当t或或或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．【分析】（1）将A（0，﹣3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C点坐标和E点坐标，则CE＝2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE＝MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M （a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），可分别得到方程求出点M的坐标；（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a，a（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△P AB＝S△PGA+S△PGB，∴当m时，△P AB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，即可求解；（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PF，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），则点M坐标为（2，﹣3）或（2，﹣3）或（4，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（0，），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：0，，解得：n＝0或﹣4（舍去0），故点M（﹣4，3）；故点M的坐标为：（2，﹣3）或（2，﹣3）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y x2x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线L2：y x2x+2中，列出方程求得解便可；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH ⊥TR于点H，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．【解答】解：（1）将x＝2代入y x2x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x+2）2（x+2）+2，解得x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y x2x+2，得y x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x﹣2）2（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x，此时点P的坐标为（3，0）或（，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y x2x+2，得﹣x2+2x﹣3═（2﹣x）2（2﹣x）+2，。
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专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题
特殊四边形指：平行四边形、矩形、菱形、正方形
预备知识：
（一）、平行四边形的性质和判定
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质：①平行四边形两组对边分别；
②平行四边形的两组对角分别；邻角
③平行四边形的对角线；
判定：①两组对边分别的四边形是平行四边形；
②两组对边分别的四边形是平行四边形；
③一组对边的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
提醒：虽然两组对角分别相等的四边形是平行四边形，但不能直接使用，还是要进行证明的
（二）矩形的性质和判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
性质：具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：
①四个角都是直角；②对角线相等；③是轴对称图形，也是中心对称图形
判定:①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形；
④对角线相等且互相平分的四边形
（三）、菱形的性质和判定：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
性质：具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：
①四边相等；②对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；
③是轴对称图形，也是中心对称图形
判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
③四边相等的四边形是菱形．
提醒：菱形的面积等于底乘以高，也等于对角线乘积的一半。
其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半。
（四）、正方形的性质和判定
定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
性质：（1）它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等；两组对角相等、邻角互补；对角线互相平分
（2）具有矩形的一切性质：四个角都是直角；对角线相等
（3）具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直；每条对角线平分一组对角
判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（先证菱形）；（5）对角线相等的菱形是正方形
主要题型：（1）三定点一动点（容易题型，基本不考）；（2）两定点两动点；（3）一定点三动点
金华真题：无
题型一、两定点，两动点（方法：两圆一中垂） 例1、（2015/5/2日/ZZNWG ）如图，抛物线y =－
15x 2+3
5
x+2与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点B ，点D 在线段OA 上，且BD=BA ，点P 的坐标是（0，3），点Q 从点
D 出发，沿D →B →C →O 方向运动，点Q 在线段DB 个单位的速度运动，当点Q 在线段BC ，CO 上时，则以每秒1个单位的速度运动，到点O 停止。
设点Q 的运动时间为t 秒
（1）求D 的坐标； key ：D （1，0）
（2）当点Q 线段BD 上运动时，△ACQ 的面积为S ，请求出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）在点Q 的运动过程中，在平面直角坐标系上是否存在点G ，使以点Q ，G ，B ，P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的t 的值和点G 的坐标；若不存在，请说明理由。
【分析】（1）首先求出A、B两点的坐标，然后过点B作BE⊥AD，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可求出点D的坐标。
（2）在坐标系中求各边都不在坐标轴上或不与坐标轴平行的三角形的面积，常用的方法有割补法、铅垂高水平宽法
（3）以定线段为分类讨论的依据。
当PB为边时，以点P为圆心，PB为半径画圆，看圆与DB、BC、CO哪条线段相交，然后根据相应的长度及对应的速度算出时间；以点B为圆心，PB为半径画圆，看圆与DB、BC、CO哪条线段相交，然后根据相应的长度及对应的速度算出时间；以PB为对角线，作PB的中垂线，看中垂线与DB、BC、CO哪条线段相交，然后根据相应的长度及对应的速度算出时间。
简言之，就是两圆一中垂。
题型二、一定点，三动点
例2、如图，已知抛物线y=ax2+bx-3经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴的交点为C，线段BC与抛物线的对称轴交于点P
（1）求抛物线的函数解析式；key：y= x2-2x-3
（2）在y轴上取点M，连接MP，将射线PM绕点P顺时针旋转90°，与抛物线的交点为Q，以PM、PQ为一组邻边作矩形PMNQ：
①如图2，当四边形MNQP是正方形时，求该正方形的边长；
②是否存在点M，使矩形PMNQ的两边的比为1：2，如果存在，求点M的坐标；如果不存在，试说明理由。
类题演练
1、已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B在x轴上且在A的右侧，点P是反比例函数
x
＞0）图象上的一个动点，Q是坐标平面内一点，以A，B，P，Q为顶点的四边形是一个含有60度角的菱形，则
[
图3y x D A B O 图3y x D A B O 图3y x D A B O 2、如图1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，OA=OB=3，过点A ，B 的抛物线对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的另一交点为点D ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，如果将三角板的直角顶点C 在x 轴上滑动，一直角所在的直线过点B ，另一条直角边与抛物线交点为E ，其横坐标为4，试求点C 的坐标；
（3）如图3，点P 为抛物线对称轴上一动点，M 为抛物线在P 、M 、N ，使得以A 、P 、M 、N 为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．
图3y
x
D A B O 图1 图2 图3
3、（2004•金华）如图在平面直角坐标系内，点A与C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作直线EF∥CD，交AC 于点F。
（1）求经过点A，C两点的直线解析式；
（2）点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由；（3）如果将直线AC向下平移，交y轴于点C′，交AB于点A′，连结DC′，过点E作EF′∥DC′，交A′C′于点F′，那么能否使四边形C′DEF′成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请说明理由。